यदि bar{a}, bar{b}, bar{c} तीन सदिश इस प्रकार | vedclass

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Question

(D) दिया गया है: $|\bar{a}| = \sqrt{31}$,$|\bar{b}| = \frac{1}{2}$,$|\bar{c}| = 2$,और $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $	heta = \frac{2\pi}{3}$ ह

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$11$

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(D) दिया गया है: $|\bar{a}| = \sqrt{31}$,$|\bar{b}| = \frac{1}{2}$,$|\bar{c}| = 2$,और $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $	heta = \frac{2\pi}{3}$ है।$2(\bar{a} 	imes \bar{b}) = 3(\bar{c} 	imes \bar{a})$ से,हम $2(\bar{a} 	imes \bar{b}) + 3(\bar{a} 	imes \bar{c}) = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\bar{a} 	imes (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$.इसका मतलब है कि $\bar{a}$ सदिश $(2\bar{b} + 3\bar{c})$ के समानांतर है। मान लीजिए $2\bar{b} + 3\bar{c} = k\bar{a}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|2\bar{b} + 3\bar{c}|^2 = k^2|\bar{a}|^2$.$4|\bar{b}|^2 + 9|\bar{c}|^2 + 12(\bar{b} \cdot \bar{c}) = k^2(31)$.$4(\frac{1}{4}) + 9(4) + 12(\frac{1}{2})(2)\cos(\frac{2\pi}{3}) = 31k^2$.$1 + 36 + 12(-1/2) = 31k^2 \implies 31 = 31k^2 \implies k^2 = 1$.हमें $X = \left|\frac{\bar{a} 	imes \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}ight|^2$ ज्ञात करना है।चूंकि $\bar{a} 	imes (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$,हमारे पास $2(\bar{a} 	imes \bar{b}) = -3(\bar{a} 	imes \bar{c})$ है,इसलिए $\bar{a} 	imes \bar{c} = -\frac{2}{3}(\bar{a} 	imes \bar{b})$.अतः $|\bar{a} 	imes \bar{c}|^2 = \frac{4}{9}|\bar{a} 	imes \bar{b}|^2$.गणना करने पर अंतिम उत्तर $11$ प्राप्त होता है।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ में,यदि सदिश $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ का $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ पर प्रक्षेप सदिश का परिमाण $\sqrt{3}$ है और यदि $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ है,तो $\|\alpha\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(P)$ $1$
$(B)$ मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि फलन $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है। तो $a$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। यदि $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ है,तो $n$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $4$ है। यदि $q$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है ताकि $a, 5, q, b$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\|q-a\|$ का मान (मानों) है	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

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