यदि रेखा $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+4}{3}$ समतल $\ell x+m y-z=9$ में स्थित है,तो $\ell^2+m^2$ का मान है

मान लीजिए कि उस समतल का समीकरण,जो बिंदु $(1,4,-3)$ से होकर गुजरता है और समतलों $3x-2y+4z-7=0$ और $x+5y-2z+9=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा को समाहित करता है,$\alpha x+\beta y+\gamma z+3=0$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ $\frac{x-a+d}{\alpha-\delta}=\frac{y-a}{\alpha}=\frac{z-a-d}{\alpha+\delta}$ और $\frac{x-b+c}{\beta-\gamma}=\frac{y-b}{\beta}=\frac{z-b-c}{\beta+\gamma}$ समतलीय हैं।

$x-2y+4z+4=0$ और $x+y+z-8=0$ समीकरणों द्वारा दी गई रेखा,समतल $x-y+2z+1=0$ को किस बिंदु पर काटती है?

मान लीजिए $A$ एक बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $\bar{i}-3 \bar{j}$ है और $\bar{r}=(\bar{i}-3 \bar{j})+t(\bar{j}-2 \bar{k})$ एक रेखा है। यदि $P$ इस रेखा पर एक बिंदु है और समतल $\bar{r} \cdot(2 \bar{i}+3 \bar{j}+5 \bar{k})=0$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $P$ से गुजरने वाले और $AP$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए:

बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2 \hat{j}$ और $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं। यदि बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः समतल $x+y+z=3$ पर $A$ और $B$ के लंबकोणीय प्रक्षेप हैं,तो $P Q=$