यदि सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,जहाँ $\overline{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{c}=x\hat{i}-(2-x)\hat{j}-\hat{k}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{k} - \hat{i}$ है। यदि $\vec{d}$ एक इकाई सदिश है ताकि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0 = [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{d}]$ हो,तो $\vec{d}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $(1,5,35), (7,5,5), (1, \lambda, 7)$ और $(2 \lambda, 1, 2)$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग है

$[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$

यदि $a = i + j + k$,$b = 4i + 3j + 4k$,और $c = i + \alpha j + \beta k$ समतलीय सदिश हैं और $|c| = \sqrt{3}$ है,तो:

मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश $5\hat{i}+5\hat{j}+2\lambda\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$-2\hat{i}+\lambda\hat{j}+4\hat{k}$ और $-\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$ हैं। मान लीजिए समुच्चय $S = \{\lambda \in \mathbb{R} : \text{बिंदु } A, B, C \text{ और } D \text{ समतलीय हैं}\}$. तो $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।