MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $\bar{v} = 2\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$ है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\bar{v} = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 3(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
$\bar{v} = (2 - 4 + 3)\hat{i} + (2 + 2 - 6)\hat{j} + (2 - 3 + 3)\hat{k}$
$\bar{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\bar{v}$ का परिमाण $|\bar{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\bar{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \frac{\bar{v}}{|\bar{v}|} = \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ है।
$6$ इकाई परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $6 \times \hat{v} = 6 \times \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ होगा।

(A) स्थिति सदिश $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ है।
लंबाई $M = |\overline{OP}|$ इस प्रकार दी गई है:
$M^2 = |\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t|^2 = |\hat{a}|^2 \cos^2 t + |\hat{b}|^2 \sin^2 t + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin t \cos t$.
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t = 1 + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t$.
$M$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin 2t = 1$ होना चाहिए,इसलिए $2t = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{4}$.
तब $M = \sqrt{1 + \hat{a} \cdot \hat{b}}$.
$\overline{OP}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|}$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\overline{OP} = \hat{a} \cos(\frac{\pi}{4}) + \hat{b} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$.
इस प्रकार,$\hat{u} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{|\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(A) दिया गया है कि $\bar{x}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{y}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{z}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$।
हमें $S = \bar{x} \cdot(\bar{a}+\bar{b})+\bar{y} \cdot(\bar{b}+\bar{c})+\bar{z} \cdot(\bar{c}+\bar{a})$ का मान ज्ञात करना है।
$\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} + \frac{(\bar{c} \times \bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{c})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} + \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c}+\bar{a})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c}$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए और यह तथ्य कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है:
$S = \frac{[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{b}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{b}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$।
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{b}] = 0, [\bar{c} \bar{a} \bar{c}] = 0, [\bar{a} \bar{b} \bar{a}] = 0$ और $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{c} \bar{a} \bar{b}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 3$।

(D) दिया गया है कि $\overline{a}+2\overline{b}$,$\overline{c}$ के साथ संरेख है,इसलिए $\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c}$ जहाँ $n$ एक शून्येतर अदिश है। $(i)$
इसी प्रकार,$\overline{b}+3\overline{c}$,$\overline{a}$ के साथ संरेख है,इसलिए $\overline{b}+3\overline{c} = m\overline{a}$ जहाँ $m$ एक शून्येतर अदिश है। (ii)
(ii) से,$\overline{b} = m\overline{a} - 3\overline{c}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(i)$ में रखने पर: $\overline{a} + 2(m\overline{a} - 3\overline{c}) = n\overline{c}$ प्राप्त होता है।
यह $(1+2m)\overline{a} = (n+6)\overline{c}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{c}$ संरेख नहीं हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $1+2m = 0 \Rightarrow m = -1/2$ और $n+6 = 0 \Rightarrow n = -6$.
अब,व्यंजक $\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c}$ पर विचार करें।
$(i)$ से,$\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c} = -6\overline{c}$.
अतः,$\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c} = -6\overline{c} + 6\overline{c} = \overline{0}$.

(B) माना भुजा सदिश $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है और विकर्ण सदिश $\vec{c} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,माना $\vec{a} = \vec{AB}$ और $\vec{c} = \vec{AC}$ है।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ होता है।
माना $\vec{b} = \vec{BC}$ है। अतः $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$,जिसका अर्थ है $\vec{b} = \vec{c} - \vec{a}$।
$\vec{b} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{k}$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इसकी दो आसन्न भुजाओं के सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 0) - \hat{j}(-3 - 1) + \hat{k}(0 - (-1)) = -\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}$।
क्षेत्रफल $= |-\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $P, Q$ और $R$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{q} = -2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{r} = -8 \hat{i}+13 \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) = -3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (-8 \hat{i}+13 \hat{j}) - (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) = -6 \hat{i}+10 \hat{j}-2 \hat{k}$.
हम देखते हैं कि $\vec{QR} = 2(-3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}) = 2 \vec{PQ}$.
चूंकि $\vec{QR}, \vec{PQ}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समांतर हैं।
चूंकि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $Q$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $P, Q$ और $R$ संरेख हैं।
और चूंकि $\vec{QR} = 2 \vec{PQ}$ है,इसलिए बिंदु $Q, P$ और $R$ के बीच स्थित है।

(D) माना $AD$,$\triangle ABC$ की शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए सदिश $\overline{AD}$ को सूत्र $\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overline{AD} = \frac{(3 \hat{i} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k})}{2}$
$\overline{AD} = \frac{(3+5) \hat{i} + (-2) \hat{j} + (4+4) \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = \frac{8 \hat{i} - 2 \hat{j} + 8 \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = 4 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$
अब,माध्यिका की लंबाई सदिश $\overline{AD}$ का परिमाण है:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{16 + 1 + 16}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{33} \text{ इकाई}$.

(B) दिया गया है कि $\overline{a} \times \overline{b} = 2 \overline{a} \times \overline{c}$,जिसे हम $\overline{a} \times (\overline{b} - 2 \overline{c}) = \overline{0}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि सदिश $(\overline{b} - 2 \overline{c})$,$\overline{a}$ के समांतर है,जो $\overline{b} - 2 \overline{c} = \lambda \overline{a}$ के अनुरूप है।
माना $\overline{b}$ और $\overline{c}$ के बीच का कोण $\alpha$ है।
$|\overline{b} \times \overline{c}| = \sqrt{15}$ दिया गया है,इसलिए $|\overline{b}| |\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$ होगा।
मान रखने पर,$(4)(1) \sin \alpha = \sqrt{15}$,जिससे $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ होगा।
अब,$|\overline{b} - 2 \overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$ का उपयोग करते हैं।
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$16 + 4(1) - 4(|\overline{b}| |\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 (1)^2$.
$20 - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2$.
$20 - 4 = \lambda^2$,जिससे $\lambda^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \pm 4$ है। विकल्पों में $-4$ दिया गया है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) दिए गए सदिश $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
चूंकि $\bar{a}+\lambda \bar{b}$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(A) सबसे पहले,सदिश $\vec{v} = 3 \bar{a} + \bar{b} - 2 \bar{c}$ की गणना करें।
$\vec{v} = 3(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - 2(4 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{v} = (6 + 1 - 8) \hat{i} + (-3 + 1 + 4) \hat{j} + (3 - 2 - 2) \hat{k}$
$\vec{v} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$
अब,$\vec{v}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$\vec{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$ है।

(C) माना $\vec{a} = Cx \hat{i} - 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + 2Cx \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण अधिक कोण है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(Cx)(x) + (-6)(2) + (-3)(2Cx) < 0$।
$Cx^2 - 12 - 6Cx < 0$।
$Cx^2 - 6Cx - 12 < 0$।
सभी वास्तविक $x$ के लिए इस द्विघात व्यंजक को ऋणात्मक होने के लिए,$x^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(C < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर (discriminant) $D$ ऋणात्मक $(D < 0)$ होना चाहिए।
$D = (-6C)^2 - 4(C)(-12) = 36C^2 + 48C < 0$।
$12$ से भाग देने पर: $3C^2 + 4C < 0$।
$C(3C + 4) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $-\frac{4}{3} < C < 0$ हो।
अतः,$C$ का मान $(-\frac{4}{3}, 0)$ अंतराल में हो सकता है।

(B) $f(x) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$f''(x) = 6x$
$f''(3) = 18 > 0$,अतः $x_0 = 3$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = 3$ पर:
$\bar{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\bar{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1)$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = -6 - 6 - 3 = -15$

(B) दिए गए सदिश $\bar{a}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$,$\bar{b}=(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$,और $\bar{c}=(3 \hat{i}+\hat{j})$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ की गणना करें:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
चूंकि $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+1 \hat{j}+0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(D) दिए गए सदिश $\bar{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{c}=m\hat{i}+\hat{j}+n\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ और $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ होगा।
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ के लिए:
$(1)(m) + (-1)(1) + (2)(n) = 0$
$m - 1 + 2n = 0$
$m + 2n = 1$ ... $(i)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ के लिए:
$(2)(m) + (4)(1) + (1)(n) = 0$
$2m + n = -4$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$4m + 2n = -8$ ... $(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से $(i)$ को घटाने पर:
$(4m + 2n) - (m + 2n) = -8 - 1$
$3m = -9 \implies m = -3$।
$m = -3$ को $(i)$ में रखने पर:
$-3 + 2n = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$।
अतः,$(m, n) = (-3, 2)$।

(C) शीर्ष $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$,और $C(3, -1, 2)$ हैं।
स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है $\overline{A} \times \overline{X} = \overline{B}$.
दोनों पक्षों में $\overline{A}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\overline{A} \times (\overline{A} \times \overline{X}) = \overline{A} \times \overline{B}$.
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\overline{A} \cdot \overline{X}) \overline{A} - (\overline{A} \cdot \overline{A}) \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{A} \cdot \overline{X} = C$ और $\overline{A} \cdot \overline{A} = |\overline{A}|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$C \overline{A} - |\overline{A}|^2 \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X}$ के लिए हल करने पर:
$|\overline{A}|^2 \overline{X} = C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X} = \frac{C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}}{|\overline{A}|^2}$.

(C) दिया गया है $\overline{R} \times \overline{B} = \overline{C} \times \overline{B}$,जिसे हम $(\overline{R} - \overline{C}) \times \overline{B} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $(\overline{R} - \overline{C})$ सदिश $\overline{B}$ के समांतर है,अतः किसी अदिश $k$ के लिए $\overline{R} - \overline{C} = k\overline{B}$।
अतः,$\overline{R} = \overline{C} + k\overline{B}$।
दिया गया है $\overline{R} \cdot \overline{A} = 0$,इसमें $\overline{R}$ का मान रखने पर:
$(\overline{C} + k\overline{B}) \cdot \overline{A} = 0
\Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + k(\overline{B} \cdot \overline{A}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overline{A} \cdot \overline{C} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) = 2(4) + 0(-3) + 1(7) = 8 + 7 = 15$।
$\overline{A} \cdot \overline{B} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 0(1) + 1(1) = 2 + 1 = 3$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$15 + k(3) = 0
\Rightarrow 3k = -15
\Rightarrow k = -5$।
अब,$\overline{R}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{R} = \overline{C} - 5\overline{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})
= (4-5)\hat{i} + (-3-5)\hat{j} + (7-5)\hat{k}
= -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.

(C) दिया गया है: $|\vec{a}| = \sqrt{27}$,$|\vec{b}| = 7$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$।
अतः,$\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{35}{\sqrt{27} \times 7} = \frac{5}{\sqrt{27}}$।
अब,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$।
इसलिए,$\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{27}}$ (मानते हुए कि $\theta$ न्यून कोण है)।
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = \sqrt{27} \times 7 \times \sqrt{\frac{2}{27}} = 7 \sqrt{2}$।

(D) दिया गया है: $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
सबसे पहले,$\overline{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overline{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
अब,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ ज्ञात करें:
$\overline{a} \times \overline{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ है।
दिया गया है कि $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|=3$ और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
सूत्र $|\overline{u} \times \overline{v}| = |\overline{u}||\overline{v}| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 = 3 \times |\overline{c}| \times \sin 30^{\circ} \Rightarrow 3 = 3 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} \Rightarrow |\overline{c}| = 2$.
अब,शर्त $|\overline{c}-\overline{a}|=3$ का उपयोग करने पर:
$|\overline{c}-\overline{a}|^2 = 9 \Rightarrow |\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
मान रखने पर: $2^2 + 3^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 4 + 9 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$13 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{c} = 2$.

(C) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \neq 0$ है।
हम जानते हैं कि $\overline{a} \cdot \overline{p} = \overline{a} \cdot \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$ है।
इसी प्रकार,$\overline{b} \cdot \overline{q} = \overline{b} \cdot \frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$ है।
और $\overline{c} \cdot \overline{r} = \overline{c} \cdot \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{c} \overline{a} \overline{b}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$2 \overline{a} \cdot \overline{p} + \overline{b} \cdot \overline{q} + \overline{c} \cdot \overline{r} = 2(1) + 1 + 1 = 4$।

(B) दिया गया है,$\bar{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों $(2 \bar{a}+\bar{b})$ और $(\bar{a}+2 \bar{b})$ की गणना करें:
$2 \bar{a}+\bar{b} = 2(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$.
$\bar{a}+2 \bar{b} = (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 5 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$.
अब,उनके परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें:
$|2 \bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{4^2+(-1)^2+5^2} = \sqrt{42}$.
$|\bar{a}+2 \bar{b}| = \sqrt{5^2+4^2+1^2} = \sqrt{42}$.
डॉट प्रोडक्ट (अदिश गुणन) ज्ञात करें:
$(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b}) = (4)(5) + (-1)(4) + (5)(1) = 20 - 4 + 5 = 21$.
सूत्र $\cos \theta = \frac{(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})}{|2 \bar{a}+\bar{b}| |\bar{a}+2 \bar{b}|}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\bar{a} \times \bar{b}| = 15$ है।
नए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ और $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ हैं,उनके सदिश गुणनफल के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,इसलिए:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 15 = 105$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया है,$\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{a} \times \overline{b}=\hat{j}-\hat{k}$।
साथ ही,$\overline{a} \cdot \overline{b}=1$।
मान लीजिए $\overline{b}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$।
हम जानते हैं कि $\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$।
इसे $\hat{j}-\hat{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$z-y=0 \implies z=y$ $(i)$
$-(z-x)=1 \implies x-z=1$ $(ii)$
$y-x=-1$ $(iii)$
डॉट प्रोडक्ट से,$\overline{a} \cdot \overline{b} = x+y+z=1$ $(iv)$।
$z=y$ और $x=z+1$ को $(iv)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(z+1) + z + z = 1 \implies 3z = 0 \implies z=0$।
अतः,$y=0$ और $x=0+1=1$।
इसलिए,$\overline{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करें:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ ...$(i)$.
दिया गया है कि $|\overline{c} - \overline{a}| = 2 \sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
यहाँ $|\overline{a}| = 3$ है,इसलिए $|\overline{a}|^2 = 9$ है।
शर्त $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ का उपयोग करने पर,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ अर्थात $(|\overline{c}| - 1)^2 = 0$ हो जाता है,इसलिए $|\overline{c}| = 1$ ...$(ii)$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(60^{\circ})$ है।
मान रखने पर: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(B) हमें अदिश त्रिक गुणनफल $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot [(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c})]$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल का विस्तार करें: $(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c}) = \overline{a} \times \overline{a} + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c} = 0 + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c}$.
अब,$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c})$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण $[\overline{x} \overline{y} \overline{z}] = \overline{x} \cdot (\overline{y} \times \overline{z})$ का उपयोग करते हुए:
$= [\overline{a} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{c}]$.
चूंकि कोई भी अदिश त्रिक गुणनफल जिसमें दो सदिश समान हों,$0$ होता है:
$= 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] - [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 + 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.

(C) मान लीजिए $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\bar{c}=\hat{a}+2 \hat{b}$ और $\bar{d}=5 \hat{a}-4 \hat{b}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$\bar{c} \cdot \bar{d} = 0$
$(\hat{a}+2 \hat{b}) \cdot (5 \hat{a}-4 \hat{b}) = 0$
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}|=1$ और $|\hat{b}|=1$,और $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$ होगा।
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

(B) आसन्न भुजाओं $\overline{a}$ और $\overline{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overline{a} \times \overline{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करते हैं:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\alpha & 1 \\ 1 & \alpha & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3\alpha - \alpha) - \hat{j}(9 - 1) + \hat{k}(3\alpha + \alpha) = -4\alpha \hat{i} - 8 \hat{j} + 4\alpha \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{(-4\alpha)^2 + (-8)^2 + (4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$ है।
क्षेत्रफल $8\sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8\sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$।
$32\alpha^2 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$।
अब,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b} = (3\hat{i} - \alpha\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \alpha\hat{j} + 3\hat{k}) = 3(1) - \alpha(\alpha) + 1(3) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$।
$\alpha^2 = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\overline{a} \cdot \overline{b} = 6 - 4 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $|\overline{a}| = 2, |\overline{b}| = 3, |\overline{c}| = 4$.
चूँकि $\overline{a} \perp (\overline{b}+\overline{c})$,इसलिए $\overline{a} \cdot (\overline{b}+\overline{c}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
चूँकि $\overline{b} \perp (\overline{c}+\overline{a})$,इसलिए $\overline{b} \cdot (\overline{c}+\overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} = 0$.
चूँकि $\overline{c} \perp (\overline{a}+\overline{b})$,इसलिए $\overline{c} \cdot (\overline{a}+\overline{b}) = 0 \Rightarrow \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$.
अब,योग के परिमाण का वर्ग लें:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
अतः,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{29}$.

(D) दिया गया है कि $|\overline{A}|=3, |\overline{B}|=4, |\overline{C}|=5$ है।
चूंकि $\overline{A} \perp (\overline{B}+\overline{C})$,इसलिए $\overline{A} \cdot (\overline{B}+\overline{C}) = 0 \Rightarrow \overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot \overline{C} = 0$ है।
चूंकि $\overline{B} \perp (\overline{C}+\overline{A})$,इसलिए $\overline{B} \cdot (\overline{C}+\overline{A}) = 0 \Rightarrow \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot \overline{A} = 0$ है।
चूंकि $\overline{C} \perp (\overline{A}+\overline{B})$,इसलिए $\overline{C} \cdot (\overline{A}+\overline{B}) = 0 \Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + \overline{C} \cdot \overline{B} = 0$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A}) = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = |\overline{A}|^2 + |\overline{B}|^2 + |\overline{C}|^2 + 2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A})$ पर विचार करें।
मान रखने पर,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0 = 9 + 16 + 25 = 50$ है।
अतः,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}| = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0), A(\bar{a}+2\bar{b}), B(\bar{a}-2\bar{b})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OA} = \bar{a}+2\bar{b}$ और $\vec{OB} = \bar{a}-2\bar{b}$.
$\vec{OA} \times \vec{OB} = (\bar{a}+2\bar{b}) \times (\bar{a}-2\bar{b})$
$= \bar{a} \times \bar{a} - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) - 4(\bar{b} \times \bar{b})$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= 0 - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 0 = -4(\bar{a} \times \bar{b})$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(\bar{a} \times \bar{b})| = 2 |\bar{a} \times \bar{b}|$.
चूंकि $\bar{a} \perp \bar{b}$,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.
क्षेत्रफल $= 2 \times 6 = 12 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) दिया गया है,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1$ और $|\bar{c}|=2$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{c}$ का उपयोग करने पर।
दिया गया समीकरण: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - |\bar{a}|^2\bar{c} + \bar{b} = \bar{0}$।
चूंकि $|\bar{a}|=1$,इसलिए $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c} = -\bar{b}$।
दोनों पक्षों का परिमाण का वर्ग लेने पर: $|(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c}|^2 = |-\bar{b}|^2$।
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 |\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})(\bar{a} \cdot \bar{c}) = |\bar{b}|^2$।
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2(1) + 4 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 1$।
$-(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = -3 \Rightarrow (\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 3$।
अतः,$\bar{a} \cdot \bar{c} = \sqrt{3}$ (न्यून कोण के लिए)।
$|\bar{a}||\bar{c}| \cos \theta = \sqrt{3} \Rightarrow (1)(2) \cos \theta = \sqrt{3}$।
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$।

(D) दी गई शर्त के अनुसार,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$,$\overline{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(\overline{b}+\lambda \overline{a}) \cdot \overline{c} = 0$.
सबसे पहले,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$ की गणना करें:
$\overline{b}+\lambda \overline{a} = (-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}$.
अब,$\overline{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$((-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$3(-1+2\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(1+3\lambda) = 0$.
$-3 + 6\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$8\lambda - 1 = 0$.
$8\lambda = 1$.
$\lambda = \frac{1}{8}$.

(B) दिया गया है: $\bar{a} = \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
माना $\bar{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} = \vec{0}$ से,$\bar{a} \times \bar{b} = -\bar{c} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ की गणना करने पर:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (y + z)\hat{i} - z\hat{j} - x\hat{k}$.
तुलना करने पर: $y + z = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.
$z = -1$ रखने पर,$y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$.
अब,$\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ की जाँच करने पर:
$\bar{a} \cdot \bar{b} = y - z = 0 - (-1) = 1$.
यहाँ $1 \neq 3$ है,अतः प्रश्न में दी गई शर्तें परस्पर विरोधी हैं।

(D) दी गई रेखाएं $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ और $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ हैं।
यहाँ,$\bar{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\bar{b}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\bar{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\bar{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\bar{a}_2 - \bar{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{b}_1 \times \bar{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-2-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\bar{b}_1 \times \bar{b}_2) \cdot (\bar{a}_2 - \bar{a}_1)}{|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2|} \right| = \left| \frac{(-2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{38}} \right| = \left| \frac{-2 + 15 - 9}{\sqrt{38}} \right| = \frac{4}{\sqrt{38}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{19}}$ इकाई है।

(C) मान लीजिए कि अभीष्ट सदिश $\vec{r}$ है। चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए यह $\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k} = -5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{|-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{5\sqrt{3}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
$6$ परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $\vec{r} = 6 \times \hat{n} = \pm \frac{6}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \pm 2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।

(A) चूंकि सदिश $\overline{a}$,$\overline{b}$ और $\overline{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ और $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$।
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ के लिए:
$(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$\lambda - 1 + 2\mu = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1 \quad ...(i)$
$\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$ के लिए:
$(2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$2\lambda + 4 + \mu = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4 \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$4\lambda + 2\mu = -8 \quad ...(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(4\lambda + 2\mu) - (\lambda + 2\mu) = -8 - 1$
$3\lambda = -9 \implies \lambda = -3$।
$\lambda = -3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-3 + 2\mu = 1
2\mu = 4
\mu = 2$।
अतः,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$।

(B) $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$\overline{a}$ और $\overline{b}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{|\overline{a} \times \overline{b}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,ऐसे कुल दो इकाई सदिश हैं।

(C) दिया गया है $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ और $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 - 6) = 0$ की गणना करें।
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{b} = 0$,$\hat{a}$ और $\hat{b}$ लंबवत इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1, |\hat{b}| = 1$ और $\hat{a} \times \hat{b}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है।
हमें $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot [(\hat{a} \times \hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b})]$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणनफल गुणधर्म $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक $[2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a} \times \hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ बन जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल गुणधर्म $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = -[\vec{v} \quad \vec{u} \quad \vec{w}]$ का उपयोग करते हुए,हमें $-[\hat{a} \times \hat{b} \quad 2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ प्राप्त होता है।
अंदर के सदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $(2 \hat{a}-\hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b}) = 2(\hat{a} \times \hat{a}) + 4(\hat{a} \times \hat{b}) - (\hat{b} \times \hat{a}) - 2(\hat{b} \times \hat{b})$।
चूंकि $\hat{a} \times \hat{a} = 0$,$\hat{b} \times \hat{b} = 0$,और $\hat{b} \times \hat{a} = -(\hat{a} \times \hat{b})$,यह $0 + 4(\hat{a} \times \hat{b}) + (\hat{a} \times \hat{b}) - 0 = 5(\hat{a} \times \hat{b})$ बन जाता है।
इस प्रकार,व्यंजक $-(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot [5(\hat{a} \times \hat{b})] = -5 |\hat{a} \times \hat{b}|^2$ है।
चूंकि $\hat{a} \perp \hat{b}$ और वे इकाई सदिश हैं,$|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}| |\hat{b}| \sin(90^{\circ}) = 1 \times 1 \times 1 = 1$।
इसलिए,$-5(1)^2 = -5$।

(D) दिया गया है कि $\bar{u} \cdot \hat{n}=0$ और $\bar{v} \cdot \hat{n}=0$ है।
इसका अर्थ है कि इकाई सदिश $\hat{n}$,$\bar{u}$ और $\bar{v}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\hat{n}$ सदिश गुणनफल $\bar{u} \times \bar{v}$ के समानांतर है।
इस प्रकार,$\hat{n} = \pm \frac{\bar{u} \times \bar{v}}{|\bar{u} \times \bar{v}|}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल की गणना करें:
$\bar{u} \times \bar{v} = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}-\hat{j}) = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{i} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{j} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\bar{u} \times \bar{v}| = |-2\hat{k}| = 2$ है।
अतः,$\hat{n} = \pm \frac{-2\hat{k}}{2} = \pm \hat{k}$ है।
अब,$|\bar{w} \cdot \hat{n}|$ की गणना करें:
$|\bar{w} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) \cdot (\pm \hat{k})| = |\pm 3| = 3$।

(C) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
सबसे पहले,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ है।
अब,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$(1)(p) + (-1)(1) + (2)(q) = p - 1 + 2q = 0 \implies p + 2q = 1$ ... $(i)$
फिर,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$(2)(p) + (4)(1) + (1)(q) = 2p + 4 + q = 0 \implies 2p + q = -4$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$q = -4 - 2p$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p + 2(-4 - 2p) = 1$
$p - 8 - 4p = 1$
$-3p = 9 \implies p = -3$
$p = -3$ का मान $q = -4 - 2p$ में रखने पर:
$q = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$
अतः,$(p, q) = (-3, 2)$।

(B) माना $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि $(5 \overline{a} + 4 \overline{b})$ और $(\overline{a} - 2 \overline{b})$ एक-दूसरे पर लंब हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$(5 \overline{a} + 4 \overline{b}) \cdot (\overline{a} - 2 \overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 10(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 4(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 - 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
$|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ रखने पर,$5(1)^2 - 6(1)(1)\cos \theta - 8(1)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$5 - 6 \cos \theta - 8 = 0$
$-6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।

(B) माना $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि $\overline{c} = \overline{a} + 2\overline{b}$ और $\overline{d} = 5\overline{a} - 4\overline{b}$ परस्पर लंब हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$
$(\overline{a} + 2\overline{b}) \cdot (5\overline{a} - 4\overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 10(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 + 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
यहाँ $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ रखने पर:
$5(1) + 6 \cos \theta - 8(1) = 0$
$6 \cos \theta - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(C) माना $\overline{u} = 3 \overline{a} + 5 \overline{b}$ और $\overline{v} = 5 \overline{a} + 3 \overline{b}$.
$\overline{u} = 3(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 5(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (3+10)\hat{i} + (-6+15)\hat{j} + (9-5)\hat{k} = 13 \hat{i} + 9 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$\overline{v} = 5(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (5+6)\hat{i} + (-10+9)\hat{j} + (15-3)\hat{k} = 11 \hat{i} - \hat{j} + 12 \hat{k}$.
$\overline{u}$ और $\overline{v}$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{|\overline{u}| |\overline{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overline{u} \cdot \overline{v} = (13)(11) + (9)(-1) + (4)(12) = 143 - 9 + 48 = 182$.
$|\overline{u}| = \sqrt{13^2 + 9^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 81 + 16} = \sqrt{266}$.
$|\overline{v}| = \sqrt{11^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{121 + 1 + 144} = \sqrt{266}$.
$\cos \theta = \frac{182}{\sqrt{266} \cdot \sqrt{266}} = \frac{182}{266} = \frac{13}{19}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{19}\right)$.

(D) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \\ m & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - m(0 - m^2) + 1(0 - m) = 1 + m^3 - m$.
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dm} = 3m^2 - 1$.
$\frac{dV}{dm} = 0$ रखने पर,हमें $3m^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m^2 = \frac{1}{3}$,इसलिए $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि हम आयतन (जो धनात्मक होना चाहिए) देख रहे हैं,हम $m > 0$ के लिए $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ लेते हैं।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dm^2} = 6m$.
$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{dm^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो पुष्टि करता है कि $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\overline{a} \cdot [(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c})]$
क्रॉस गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}) = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{b} + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{b} + \overline{c} \times \overline{c}$
चूंकि $\overline{x} \times \overline{x} = 0$ और $\overline{c} \times \overline{b} = -(\overline{b} \times \overline{c})$,इसलिए:
$= \overline{b} \times \overline{a} + 0 + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} - (\overline{b} \times \overline{c}) + 0 = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}$
अब,$\overline{a}$ के साथ डॉट गुणन करने पर:
$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}) = \overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a}) + \overline{a} \cdot (\overline{c} \times \overline{a})$
$= [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}]$
अदिश त्रिक गुणन में यदि कोई दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है:
$= 0 + 0 = 0$

(B) दिया गया है कि $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\overline{a}|^2 = 2^2+1^2+(-2)^2 = 9$ और $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,इसलिए समीकरण $|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ बन जाता है।
यह $(|\overline{c}|-1)^2=0$ में सरल हो जाता है,अतः $|\overline{c}|=1$ है।
अब,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
अंत में,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया है कि $|\overline{a}| = |\overline{c}| = 1$ और $\overline{a}$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \frac{\pi}{3} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ का उपयोग करते हुए.
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $((\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
चूंकि $(\overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = 0$ (क्योंकि दो समान सदिशों के साथ अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है),इसलिए समीकरण सरल हो जाता है:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
$\frac{1}{2} [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 5 \Rightarrow [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 10$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,$[\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = -[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.
अतः,$-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 10 \Rightarrow [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = -10$.
अंत में,$5[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 5 \times (-10) = -50$.

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ सदिशों $\overline{a}, \overline{b},$ और $\overline{c}$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1+1 \\ x & 1 & 1-x+x \\ y & x & 1+x-y+y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$= 1 \times ((1+x) - x) = 1 \times 1 = 1$
चूंकि परिणाम $1$ है,जो एक स्थिरांक है और $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ न तो $x$ और न ही $y$ पर निर्भर करता है।

(C) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0, \overline{b} \cdot \overline{c} = 0, \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ और उनके परिमाण $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=2, |\overline{c}|=3$ हैं।
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार,$[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}] = (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot ((\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c})$।
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर: $(\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c}$।
अब,इस मान को रखने पर: $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c})$।
चूंकि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत हैं,$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = |\overline{a}| |\overline{b}| |\overline{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$।
साथ ही,$\overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$ और $\overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$।
इसी प्रकार,$\overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})$।
यह व्यंजक $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - (-\overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 2[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ में बदल जाता है।
चूंकि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 1 \times 2 \times 3 = 6$,अंतिम मान $2 \times 6 = 12$ प्राप्त होता है।

(A) चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष: $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, k)$,$D(7, -4, 7)$।
सदिश हैं:
$\vec{AB} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (k-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
आयतन $= \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 11$।
सारणिक का मान $= \begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & k-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 22k - 88$।
अतः,$\frac{1}{6} |22k - 88| = 11 \Rightarrow |22k - 88| = 66$।
स्थिति $1$: $22k - 88 = 66 \Rightarrow 22k = 154 \Rightarrow k = 7$।
स्थिति $2$: $22k - 88 = -66 \Rightarrow 22k = 22 \Rightarrow k = 1$।
विकल्पों के अनुसार,$k=7$ सही उत्तर है।