MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना कि अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ है।
हमें $(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot [(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w})]$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल का विस्तार करें: $(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w}) = \bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} - \bar{v} \times \bar{v} + \bar{v} \times \bar{w}$.
चूंकि $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,यह $\bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} + \bar{v} \times \bar{w}$ में सरल हो जाता है।
अब,$(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot (\bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} + \bar{v} \times \bar{w})$
$= \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) + \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$= 0 - 0 + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + 0 - [\bar{v} \bar{u} \bar{w}] + 0 - [\bar{w} \bar{u} \bar{v}] + 0 - 0$.
$= [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] - [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.

(C) हम जानते हैं कि अदिश त्रिगुणनफल $[\bar{x} \quad \bar{y} \quad \bar{z}] = (\bar{x} \times \bar{y}) \cdot \bar{z}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = ((\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
सदिश सर्वसमिका $(\bar{u} \times \bar{v}) \times \bar{w} = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{v} \cdot \bar{w})\bar{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{b} \times \bar{c}) = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]\bar{b}$.
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = ([\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]\bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] (\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}))$
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$
चूंकि अदिश त्रिगुणनफल चक्रीय होता है,$[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
अतः,$[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]^2$.
इसे $\lambda [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}] = 0$।
माना $\overline{\alpha} = 2 \overline{a} - \overline{b}$,$\overline{\beta} = 2 \overline{b} - \overline{c}$,और $\overline{\gamma} = 2 \overline{c} - \overline{a}$।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल $[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}]$ को गुणांकों के सारणिक और $[\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}]$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} [\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}]$।
सारणिक की गणना करने पर: $2(4 - 0) - (-1)(0 - 1) + 0 = 2(4) + 1(-1) = 8 - 1 = 7$।
अतः,$[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}] = 7 \times [\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}] = 7 \times 0 = 0$।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि दाईं ओर का सारणिक अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$ के बराबर है।
$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
अब,बाईं ओर के अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करें:
$[3 \bar{a}+\bar{b} \quad 3 \bar{b}+\bar{c} \quad 3 \bar{c}+\bar{a}] = (3 \bar{a}+\bar{b}) \cdot ((3 \bar{b}+\bar{c}) \times (3 \bar{c}+\bar{a}))$.
सदिश गुणनफल (cross product) का विस्तार करने पर:
$(3 \bar{b}+\bar{c}) \times (3 \bar{c}+\bar{a}) = 9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a}) = 9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
अब $(3 \bar{a}+\bar{b})$ के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$= (3 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a}))$
$= 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 9[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{a}] + 3[\bar{a} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] + 9[\bar{b} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 3[\bar{b} \quad \bar{b} \quad \bar{a}] + [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$.
चूंकि दो समान सदिशों वाला कोई भी अदिश त्रिक गुणनफल $0$ होता है,इसलिए यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 28[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
इसकी तुलना $\lambda [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$ से करने पर,हमें $\lambda = 28$ प्राप्त होता है।

(D) अदिश त्रिक गुणन को $\left[\bar{a} \bar{b} \bar{c}\right] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{a}$ को सदिश $\bar{b} \times \bar{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\hat{n}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के लंबवत इकाई सदिश है। तब $\bar{b} \times \bar{c} = |\bar{b}||\bar{c}| \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \hat{n} = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{n} = 6\sqrt{3} \hat{n}$।
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\bar{a} = |\bar{a}| \hat{n} = 2 \hat{n}$।
अतः,$\left[\bar{a} \bar{b} \bar{c}\right] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = (2 \hat{n}) \cdot (6\sqrt{3} \hat{n}) = 12\sqrt{3} (\hat{n} \cdot \hat{n}) = 12\sqrt{3} \times 1 = 12\sqrt{3}$।

(A) सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका के अनुसार: $\hat{a} \times (\hat{b} \times \hat{c}) = (\hat{a} \cdot \hat{c}) \hat{b} - (\hat{a} \cdot \hat{b}) \hat{c}$.
इसे दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर: $(\hat{a} \cdot \hat{c}) \hat{b} - (\hat{a} \cdot \hat{b}) \hat{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{c}$.
चूंकि $\hat{b}$ और $\hat{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\hat{b}$ और $\hat{c}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\hat{a} \cdot \hat{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-(\hat{a} \cdot \hat{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{a} \cdot \hat{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
माना $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,$\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}| |\hat{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
इसलिए,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = 1(\vec{a}) - (1)\hat{i} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - \hat{i} = 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} = 1(\vec{a}) - (2)\hat{j} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2\hat{j} = \hat{i} + 3\hat{k}$
$\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = (\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} = 1(\vec{a}) - (3)\hat{k} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 3\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\vec{b} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
अंत में,परिमाण (magnitude) इस प्रकार है:
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$

(C) सबसे पहले,हम $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के परिमाण और अदिश गुणनफल की जाँच करते हैं।
$|\overline{a}|^2 = \frac{1}{10}(16+9+1) = 2.6$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{3\sqrt{10}}(4-6+2) = 0$.
अतः,सदिश लंबवत हैं।
माना $E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot \{(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b})\}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = |\bar{a}|^2 \bar{b} - 2|\bar{b}|^2 \bar{a}$.
अब,$E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (|\bar{a}|^2 \bar{b} - 2|\bar{b}|^2 \bar{a}) = -5|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
यहाँ $|\bar{a}|^2 = 2.6$ और $|\bar{b}|^2 = 1$ है,इसलिए $E = -5(2.6)(1) = -13$।

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}+\bar{c}}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{c}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{c} = 0$.
चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं (और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$.
अतः,$|\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\theta = \frac{3 \pi}{4}$.

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र के अनुसार: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{c}$ के साथ तुलना करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \bar{c}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,$|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$ है।
अतः,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूंकि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करें:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\overline{a}| = 3$ और $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ है,इसलिए $|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ होगा।
$|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0 \Rightarrow (|\overline{c}| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |\overline{c}| = 1$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ})$ होता है।
मान रखने पर: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) दिया गया है,$(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
हम जानते हैं कि सदिश त्रिक गुणन का सूत्र: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ स्वतंत्र सदिश हैं,इसलिए $\overline{b}$ का गुणांक शून्य होगा:
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-\overline{b} \cdot \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
चूंकि सदिश शून्येतर हैं,$|\overline{b}||\overline{c}|$ से भाग देने पर:
$\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
अब,सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi$,इसलिए $\sin \theta \ge 0$:
$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$।
हम सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं।
साथ ही,$\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$।
अतः,$\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$।
इसकी तुलना $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ से करने पर,हमें $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 5$।