MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) જ્યારે પારોના બે ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે પારોનું કુલ કદ જળવાઈ રહે છે.
ધારો કે $R$ એ પરિણામી મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ટીપાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ છે.
બીજા ટીપાનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ છે.
પરિણામી ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
કુલ કદ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,$V = V_1 + V_2$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $R^3 = R_1^3 + R_2^3$ મળે છે.
તેથી,પરિણામી ટીપાની ત્રિજ્યા $R = (R_1^3 + R_2^3)^{1/3}$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સપાટ વર્તુળાકાર પ્લેટને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીની સપાટી પરથી દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = 2 \pi r T$ છે.
અહીં,$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ અને $T = 70 \times 10^{-3} \ Nm^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2}) \times (70 \times 10^{-3})$
$F = 2 \times 22 \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-2}$
$F = 88 \times 10^{-4} \ N = 8.8 \times 10^{-3} \ N$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ (excess pressure) $P_{excess} = \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P_{atm} + P_{excess} = P_{atm} + \frac{4T}{R}$ હોવાથી, તે સ્પષ્ટ છે કે પરપોટાની અંદરનું દબાણ તેની ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $R$ થી વધીને $2R$ થાય છે, ત્યારે વધારાનું દબાણ ઘટે છે.
તેથી, પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ ઘટે છે.

(C) પૃષ્ઠતાણ એટલે પ્રવાહીની સપાટી પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ.
તે પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેમ જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે તેમની વચ્ચેના આસંજક બળોને નબળા પાડે છે.
પરિણામે,તાપમાન વધવાની સાથે મોટાભાગના પ્રવાહીઓનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$2r = R \implies r = \frac{R}{2}$
ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
નાના ટીપા માટે: $\Delta P_{S} = \frac{2T}{r}$
મોટા ટીપા માટે: $\Delta P_{B} = \frac{2T}{R}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{2T/R}{2T/r} = \frac{r}{R}$
$r = \frac{R}{2}$ મૂકતા:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\Delta P_{B} = \frac{1}{2} \Delta P_{S}$.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$h \propto \frac{1}{g}$
$h$ ને $10 \,cm$ કરતા ઘણું વધારે બનાવવા માટે, $g$ નું મૂલ્ય પૃથ્વી પરના $g$ ના મૂલ્ય કરતા ઘણું ઓછું હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું મૂલ્ય ચંદ્રની સપાટી પર ન્યૂનતમ હોય છે $(g_{moon} \approx \frac{g_{earth}}{6})$.
તેથી, ચંદ્ર પર પાણી વધુ ઊંચાઈ સુધી ચડશે.

(C) સાબુના પરપોટા માટે, વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ છે. અંદરનું કુલ દબાણ $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિમાં, હવાના મોલની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે, અને $PV = nR_g\theta$ (જ્યાં $R_g$ વાયુ અચળાંક છે).
પ્રથમ પરપોટા માટે: $(P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3 = n_1 R_g \theta$.
બીજા પરપોટા માટે: $(P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3 = n_2 R_g \theta$.
સંયુક્ત પરપોટા માટે: $(P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = (n_1 + n_2) R_g \theta$.
$n_1$ અને $n_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(P + \frac{4T}{R}) R^3 = (P + \frac{4T}{r_1}) r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) r_2^3$.
$PR^3 + 4TR^2 = Pr_1^3 + 4Tr_1^2 + Pr_2^3 + 4Tr_2^2$.
$P(R^3 - r_1^3 - r_2^3) = 4T(r_1^2 + r_2^2 - R^2)$.
$T = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફૂલાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
તેથી,$W_1 = 8 \pi r^2 T$,જ્યાં $T$ એ ઓરડાના તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે.
ગરમ કરેલા દ્રાવણમાંથી બનાવેલા $2r$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_2 = 8 \pi (2r)^2 T'$ છે,જ્યાં $T'$ એ ઊંચા તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે.
$W_2 = 8 \pi (4r^2) T' = 32 \pi r^2 T'$.
સાબુનું દ્રાવણ ગરમ હોવાથી,તેનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,એટલે કે $T' < T$.
$W_1$ અને $W_2$ ની સરખામણી કરતા: $W_2 = 4 W_1 \times (T'/T)$.
કારણ કે $T' < T$,તેથી $W_2 < 4 W_1$ મળે છે.

(D) ટીપું નીચે મુજબના બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે:
ટીપાનું વજન,$W = Mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ (નીચેની તરફ).
પ્લવન બળ (ઉત્પ્લાવક બળ) = સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનું વજન = $\frac{2}{3} \pi r^3 d g$ (ઉપરની તરફ).
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ,$F = 2 \pi r T$ (ઉપરની તરફ).
સંતુલન માટે,નીચેની તરફનું બળ એ ઉપરની તરફના બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$Mg = F + F_{t}$
$F = Mg - F_{t}$
$2 \pi r T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g - \frac{2}{3} \pi r^3 d g$
$2 \pi r T = \frac{2}{3} \pi r^3 (2 \rho - d) g$
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 \rho - d) g$
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 \rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}}$
વ્યાસ $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 \rho - d)}}$.

(A) સોયનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપર તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે સોયની બંને બાજુએ તેની લંબાઈ પર કાર્ય કરે છે.
$W = 2 \times T \times L$
આપેલ છે:
$T = 70 \ dyne/cm$
$L = 7 \ cm$
$W = 2 \times 70 \times 7 = 980 \ dyne$
કારણ કે $1 \ g \ wt = 980 \ dyne$,તેથી સોયનું વજન $1 \ g \ wt$ છે.

(A) તકતીનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા બળ અને પાણીના ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ એ પરિઘ $2 \pi r$ પર શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે.
પૃષ્ઠતાણ બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_s = T \cdot (2 \pi r) \cdot \cos \theta$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે,જે $W$ આપેલું છે.
તકતી સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ નીચેની તરફનું બળ (તકતીનું વજન $W_{disc}$) એ કુલ ઉપરની તરફના બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$W_{disc} = F_s + W$.
$W_{disc} = 2 \pi r T \cos \theta + W$.

(A) સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારના ગુણાકાર જેટલું હોય છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય છે.
આમ,$W = 8 \pi r^2 T$.
$r$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $W = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} T$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $W \propto V^{2/3}$.
$2V$ કદના પરપોટા માટે,નવું કાર્ય $W'$ એ $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$W' = 2^{2/3} W$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોય છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ બદલવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
આમ, $W = 8\pi T(r_2^2 - r_1^2)$.
આપેલ છે: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$, $r_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$, $r_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times (0.0025 - 0.0009)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times 0.0016$
$W = 0.24 \pi \times 0.0016 = 0.000384 \pi \ J$
$W = 0.384 \pi \ mJ \approx 0.4 \pi \ mJ$.

(B) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$, $\theta$, $\rho$, અને $g$ અચળ હોવાથી, $h \propto \frac{1}{r}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, $A \propto r^2$ અથવા $r \propto \sqrt{A}$ થાય.
તેથી, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$.
આપેલ છે કે નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{1}{16} A_1$, તેથી $\frac{A_1}{A_2} = 16$.
આમ, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{16} = 4$, જેનો અર્થ છે કે $r_1 = 4 r_2$.
સંબંધ $h_2 = h_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h_2 = 2 \,cm \times 4 = 8 \,cm$.

(A) આપેલ છે કે,સમઘનની ધાર $x = 1 \ cm$ છે.
સમઘનનું કદ $V = x^3 = (1 \ cm)^3 = 1 \ cm^3$.
ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત પાત્રમાં બરફ ઓગળતો હોવાથી,પાણી ગોળાકાર ટીપાનું સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
ગોળાકાર ટીપાનું કદ = સમઘનનું કદ = $1 \ cm^3$.
ધારો કે ગોળાકાર ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 1 \implies r^3 = \frac{3}{4 \pi} \implies r = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1/3}$.
ગોળાકાર ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$.
$A = 4 \pi \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{2/3} = 4 \pi \frac{3^{2/3}}{(4 \pi)^{2/3}}$.
$A = (4 \pi)^{1/3} \times (3^2)^{1/3} = (4 \pi \times 9)^{1/3} = (36 \pi)^{1/3} \ cm^2$.

(A) પાણી કાચના સળિયા અને કેશિકા નળી વચ્ચેની જગ્યામાં ઉપર ચઢે છે. સંપર્ક રેખાની કુલ લંબાઈ નળીનો આંતરિક પરિઘ અને સળિયાનો બાહ્ય પરિઘનો સરવાળો છે,જે $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = 2\pi(r_1 + r_2)$ છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $F = L \cdot T \cos \theta = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$ છે.
એન્યુલર સ્પેસમાં પાણીના સ્તંભનું વજન $W = \text{કદ} \times \rho \times g = \pi(r_2^2 - r_1^2) h \rho g$ છે.
ઉપરની તરફના બળને પ્રવાહીના સ્તંભના વજન સાથે સરખાવતા: $\pi(r_2^2 - r_1^2) h \rho g = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$.
નિત્યસમ $r_2^2 - r_1^2 = (r_2 - r_1)(r_2 + r_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\pi(r_2 - r_1)(r_2 + r_1) h \rho g = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$.
શુદ્ધ પાણી માટે,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos \theta = 1$. $h$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$h = \frac{2T}{(r_2 - r_1)\rho g}$.

(D) કેશિકા નળીના નીચેના છેડે દબાણ એ નળીની ઊંડાઈને કારણે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ અને કેશિકા ઉન્નયનને કારણે દબાણનો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે નીચેના છેડાની ઊંડાઈ $8 \,cm$ છે અને કેશિકા ઉન્નયન $4 \,cm$ છે.
નીચેના છેડે કુલ દબાણ $P = h_{depth} + h_{rise}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = 8 \,cm + 4 \,cm = 12 \,cm$ પાણી.
તેથી,નીચેના છેડે હવાના પરપોટાને ફૂલાવવા માટે જરૂરી દબાણ $12 \,cm$ પાણી છે.
આમ,$X = 12$.

(B) ગોળાકાર સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto r^3$ અથવા $r \propto V^{1/3}$.
સાબુના પરપોટા માટે,તેને $r$ ત્રિજ્યા સુધી ફુલાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ છે,જ્યાં $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ (કારણ કે સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે).
તેથી,$W \propto r^2$.
$r \propto V^{1/3}$ મૂકતા,આપણને $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$ મળે છે.
ધારો કે $V_1 = V$ કદ માટે $W_1 = W$ છે,અને $V_2 = 2V$ કદ માટે કાર્ય $W_2$ છે.
તો,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = (2)^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
આમ,$W_2 = 4^{1/3}W$.

(B) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_{i} - P_{0} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P_{0} = 1 \, atm$, તેથી વધારાનું દબાણ:
$\Delta P_{1} = 1.01 \, atm - 1 \, atm = 0.01 \, atm$
$\Delta P_{2} = 1.03 \, atm - 1 \, atm = 0.03 \, atm$
કારણ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, તેથી $\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{0.03}{0.01} = 3$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}$ છે.
અહીં $\frac{r_{2}}{r_{1}} = 3$ હોવાથી, $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી, $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27}$.
આમ, તેમના કદનો ગુણોત્તર $V_{1}:V_{2} = 1:27$ અથવા $V_{2}:V_{1} = 27:1$ છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે. જ્યારે પદાર્થ $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે પદાર્થ પાણીમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \delta g$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = V \rho g$ અનુભવે છે.
પરિણામી ઉપરનું બળ (અવરોધક બળ) $F_{net} = F_B - W = Vg(\delta - \rho)$ છે.
પાણીમાં પદાર્થનો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\delta - \rho)}{V \rho} = g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right)$ છે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંડાઈ $d$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = 2ad$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $v$ સપાટી પરનો વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે),આપણને $2gh = 2 \left[ g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right) \right] d$ મળે છે.
$d$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d = \frac{h \rho}{(\delta - \rho)}$ મળે છે.

(D) દડાનો વેગ અચળ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે દડો ટર્મિનલ વેગ (terminal velocity) પ્રાપ્ત કરી ચૂક્યો છે. આ સ્થિતિમાં,દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
દડા પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ અને ઉપરની તરફ સ્નિગ્ધતા બળ $(F_V)$ લાગે છે.
સંતુલનની સ્થિતિ મુજબ:
$F_V + F_B = Mg$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V d_2 g$,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
દડાનું દળ $M = V d_1$ હોવાથી,કદ $V = \frac{M}{d_1}$ થાય.
ઉત્પ્લાવક બળના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_B = \frac{M}{d_1} d_2 g$
હવે,સંતુલનના સમીકરણમાં $F_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_V + \frac{M}{d_1} d_2 g = Mg$
$F_V = Mg - \frac{M d_2 g}{d_1}$
$F_V = Mg(1 - \frac{d_2}{d_1})$

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાની $\rho_L$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \rho_L)}{\eta}$
ગોળાઓ સમાન કદના હોવાથી ($r$ અચળ છે) અને સમાન પ્રવાહીમાં હોવાથી ($\eta$ અને $\rho_L$ અચળ છે),ટર્મિનલ વેગ ઘનતાના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$V \propto (\rho - \rho_L)$
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\rho_A - \rho_L}{\rho_B - \rho_L}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.4}{V_B} = \frac{7.5 - 1.5}{3 - 1.5} = \frac{6.0}{1.5} = 4$
$V_B = \frac{0.4}{4} = 0.1 \ ms^{-1}$

(B) દડો અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho_{b}$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_{\ell}$ છે.
આપેલ છે કે $\rho_{\ell} = 4\rho_{b}$.
દડાનું વજન $W = V \rho_{b} g$ છે,જે નીચેની તરફ લાગે છે.
પ્લવન બળ (buoyant force) $F_{B} = V \rho_{\ell} g$ છે,જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
દડો અચળ વેગથી ઉપર આવતો હોવાથી,સ્નિગ્ધતા બળ $F_{v}$ નીચેની તરફ લાગે છે.
બળોને સંતુલિત કરતા: $F_{B} = W + F_{v}$.
તેથી,$F_{v} = F_{B} - W = V \rho_{\ell} g - V \rho_{b} g = V g (4\rho_{b} - \rho_{b}) = 3 V \rho_{b} g$.
કારણ કે $W = V \rho_{b} g$,તેથી $F_{v} = 3W$.
આમ,સ્નિગ્ધતા બળ એ દડાના વજન કરતાં $3$ ગણું વધારે છે.

(B) પાઈપમાંથી વહેતા પ્રવાહી માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_{n})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R_{n} = \frac{v_{c} \rho d}{\eta}$
જ્યાં:
$v_{c}$ એ ક્રાંતિક વેગ છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $(10^3 \,kg/m^3)$ છે,
$d$ એ નળીનો વ્યાસ $(2 \times r = 2 \times 1 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m)$ છે,
$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(1 \times 10^{-3} \,Ns/m^2)$ છે,
$R_{n}$ એ ક્રાંતિક રેનોલ્ડ્સ નંબર $(2500)$ છે.
$v_{c}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$v_{c} = \frac{R_{n} \eta}{\rho d}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_{c} = \frac{2500 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-2}}$
$v_{c} = \frac{2.5}{20} = 0.125 \,m/s$
આમ, સુરેખ પ્રવાહને અશાંત પ્રવાહમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી પ્રવાહની ઝડપ $0.125 \,m/s$ છે.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ, સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ટર્મિનલ વેગ એ દડાની ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $V \propto r^2$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm$, વેગ $V_1 = 20 \,cm / s$.
ત્રિજ્યા $r_2 = 1 \,cm$, વેગ $V_2 = ?$.
સમપ્રમાણતા $V \propto r^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \frac{1}{4}$
$V_2 = \frac{20}{4} = 5 \,cm / s$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
સંયોજન દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે.
આમ,$v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1 = 5 \ cm/s$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (n^{1/3})^2 = n^{2/3}$.
$v_2 = v_1 \times n^{2/3} = 5 n^{2/3} \ cm/s$.

(A) જ્યારે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પડે છે ત્યારે તે $V$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V^2 = 0^2 + 2gh$
$\therefore h = \frac{V^2}{2g}$
જો તે વધુ નીચે પડે અને $3V$ જેટલો અંતિમ વેગ પ્રાપ્ત કરે,તો ધારો કે તે કુલ $h'$ ઊંચાઈ કાપે છે.
તે જ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(3V)^2 = 0^2 + 2gh'$
$9V^2 = 2gh'$
$\therefore h' = \frac{9V^2}{2g} = 9h$
વધારાના અંતરાલમાં કાપેલું અંતર એ કુલ ઊંચાઈ અને પ્રારંભિક ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{અંતર} = h' - h = 9h - h = 8h$.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$,પ્રતિપ્રવેગ $a = -0.3 \ m/s^2$,અને અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ (જ્યારે વાહન અટકે છે).
સૌ પ્રથમ,વાહનને અટકતા લાગતો સમય શોધો: $t = \frac{v-u}{a} = \frac{0-15}{-0.3} = 50 \ s$.
વાહન $50 \ s$ માં અટકી જાય છે,જે $60 \ s$ (એક મિનિટ) કરતા ઓછો સમય છે,તેથી $60 \ s$ પછીનું સ્થાનાંતર એ $50 \ s$ પછીના સ્થાનાંતર જેટલું જ રહેશે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = (15 \times 50) + \frac{1}{2} \times (-0.3) \times (50)^2$
$s = 750 - 0.15 \times 2500 = 750 - 375 = 375 \ m$.
ટ્રાફિક સિગ્નલથી પ્રારંભિક અંતર $400 \ m$ હતું.
તેથી,એક મિનિટ પછી ટ્રાફિક સિગ્નલથી વાહનનું અંતર $400 \ m - 375 \ m = 25 \ m$ થશે.

(A) પદાર્થ $A$ માટે જે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે (પ્રારંભિક વેગ $u=0$):
$S_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$
પદાર્થ $B$ માટે જે $V$ જેટલા સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે:
$S_B = Vt$
તેઓ $t$ સમય પછી એક જ બિંદુએ મળે છે,તેથી તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોવું જોઈએ:
$S_A = S_B$
$\frac{1}{2}at^2 = Vt$
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને):
$\frac{1}{2}at = V$
$t = \frac{2V}{a}$

(A) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 3 \ s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u - gt$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = u - (10 \ m/s^2)(3 \ s)$.
તેથી,$u = 30 \ m/s$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 - 2gh$.
$v = 0$ અને $u = 30 \ m/s$ મૂકતા: $0 = (30)^2 - 2(10)h$.
$20h = 900$.
$h = 45 \ m$.

(C) વિમાન સમક્ષિતિજ દિશામાં ઉડી રહ્યું છે,તેથી બોમ્બના વેગનો પ્રારંભિક શિરોલંબ ઘટક $u_y = 0 \text{ m/s}$ છે.
શિરોલંબ દિશા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $980 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$.
$t^2 = \frac{980 \times 2}{9.8} = 100 \times 2 = 200$.
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ s}$.
બોમ્બનો સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = 200 \text{ km/hr} = 200 \times \frac{5}{18} = \frac{1000}{18} \text{ m/s}$ છે.
બોમ્બ દ્વારા તેના પતન દરમિયાન કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d = v_x \times t$ છે.
$d = \frac{1000}{18} \times 10\sqrt{2} = \frac{10000}{9\sqrt{2}} \text{ m}$.

(B) સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જે શિરોલંબ ફેંકવામાં આવે છે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{V^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{V^2}{2g}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{V^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{V^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{V^2}{8g}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{V^2/2g}{V^2/8g} = \frac{8}{2} = 4:1$ થાય છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = a \hat{i} + b \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક,$u_x = a$.
શિરોલંબ વેગનો ઘટક,$u_y = b$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં બમણી છે: $R = 2H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
બંને બાજુ $b/g$ વડે ભાગતા (ધારો કે $b \neq 0$): $2a = b$,અથવા $b = 2a$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે. તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ તેના સમક્ષિતિજ વેગના ઘટક જેટલી હોય છે,જે $v = u \cos \theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ કરતા અડધી છે:
$u \cos \theta = \frac{u}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$\theta = 60^{\circ}$ અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{u^2 (\sqrt{3}/2)^2}{2g} = \frac{u^2 (3/4)}{2g} = \frac{3u^2}{8g}$.

(D) કોણીય વેગ $\omega$ એ સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
ઘડિયાળના કલાકના કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 12 \text{ કલાક}$ છે.
પૃથ્વી માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 24 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,કલાકના કાંટાનો કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{12}$ અને પૃથ્વીનો કોણીય વેગ $\omega_2 = \frac{2\pi}{24}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / 12}{2\pi / 24} = \frac{24}{12} = 2$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $\omega_1 : \omega_2$ એ $2 : 1$ છે.

(D) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 5 \sin \frac{\pi t}{6}$ આપેલ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\theta$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\omega = \frac{d}{dt} \left( 5 \sin \frac{\pi t}{6} \right) = 5 \cdot \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right) \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right)$.
$t = 3 \ s$ સમયે:
$\omega = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi \times 3}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,તેથી $\omega = \frac{5\pi}{6} \times 0 = 0 \ rad/s$.

(C) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કોઈપણ બિંદુએ પદાર્થની ઝડપ $V$ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જ્યારે દોરી સમક્ષિતિજ હોય છે,ત્યારે પદાર્થ વર્તુળના કેન્દ્રની સમાન શિરોલંબ સ્તરે હોય છે.
ધારો કે પદાર્થને ઉપરના બિંદુએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અથવા વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે પૂરતો વેગ આપવામાં આવે છે,તો સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં વેગ $V = \sqrt{3gr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ ને $a_c = \frac{V^2}{r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $a_c = \frac{(\sqrt{3gr})^2}{r} = \frac{3gr}{r} = 3g$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
ત્રિજ્યા $r = d/2 = 0.25 \ m = 25 \times 10^{-2} \ m$.
આવૃત્તિ $f = 2 \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad/s$.
$U.C.M.$ માં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = r \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (25 \times 10^{-2}) \times (4 \pi)^2$.
$a = 0.25 \times 16 \pi^2$.
$a = 4 \pi^2 \ m/s^2$.

(D) '$r$' ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર '$v$' ઝડપથી ગતિ કરતા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ '$a$' નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{v^2}{r}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $a \propto v^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ '$v_1 = v$' છે અને પ્રારંભિક પ્રવેગ '$a_1 = a$' છે.
ધારો કે અંતિમ ઝડપ '$v_2 = 2v$' છે અને અંતિમ પ્રવેગ '$a_2$' છે.
અંતિમ પ્રવેગ અને પ્રારંભિક પ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{2v}{v}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,ફેરફાર પછી અને પહેલાના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(A) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
પ્રારંભિક બળ $F_1 = \frac{mV^2}{r}$.
નવી ઝડપ $v_2 = \frac{V}{2}$ અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 3r$.
નવું બળ $F_2 = \frac{m(V/2)^2}{3r} = \frac{mV^2/4}{3r} = \frac{mV^2}{12r} = \frac{F_1}{12}$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_2 - F_1 = \frac{F_1}{12} - F_1 = -\frac{11}{12}F_1$.
ઋણ નિશાની બળના મૂલ્યમાં ઘટાડો સૂચવે છે. આમ,બળમાં $\frac{11}{12}$ ગણો ઘટાડો થાય છે.

(A) પરિભ્રમણના અડધા સમયગાળામાં,કણ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી વ્યાસાંત બિંદુએ પહોંચે છે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જે વર્તુળનો વ્યાસ છે: $2 R$.
કાપેલું અંતર એ કાપેલા પથની લંબાઈ છે,જે વર્તુળના પરિઘનું અડધું માપ છે: $\frac{1}{2} \times (2 \pi R) = \pi R$.
તેથી,સ્થાનાંતર $2 R$ છે અને કાપેલું અંતર $\pi R$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
અહીં $x = \frac{A}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - (\frac{A}{2})^2)$
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3 A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{2 \pi}{T})^2 A^2$
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{4 \pi^2}{T^2}) A^2$
$K.E. = \frac{3 m \pi^2 A^2}{2 T^2}$

(C) હિંચકો ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $(h_{min} = 0.75 \,m)$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $(h_{max} = 2 \,m)$ વચ્ચે $S.H.M$ કરે છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે,અને સૌથી નીચા બિંદુએ આ સ્થિતિ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
અસરકારક ઊભી સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર ઊંચાઈ) $h = h_{max} - h_{min} = 2 \,m - 0.75 \,m = 1.25 \,m$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v^2 = 2 \times 10 \,m/s^2 \times 1.25 \,m$
$v^2 = 25 \,m^2/s^2$
$v = 5 \,m/s$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = P \sin \omega t + Q \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
કારણ કે $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \omega t$,તેથી સમીકરણ $x = P \sin \omega t + Q \cos \omega t$ બને છે.
આ $P$ અને $Q$ કંપવિસ્તાર ધરાવતી બે સરળ આવર્ત ગતિઓનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે,જેમના વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$ દ્વારા મળે છે.
$S$.$H$.$M$. કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 R^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R^2 = P^2 + Q^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2} m \omega^2 (P^2 + Q^2)$ મળે છે.

(D) $S.H.M.$ માં કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે, જ્યાં $k = m \omega^2$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ સમાન છે, એટલે કે $K = U = \frac{E}{2}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ થાય.
તેથી, $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2) \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
સ્થાનાંતર $x$ પર કણ પર લાગતું બળ $F = kx = m \omega^2 x$ છે.
મહત્તમ બળ $F_m = k A = 50 \,N$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર બળનું મૂલ્ય $F' = kx = k (\frac{A}{\sqrt{2}}) = \frac{F_m}{\sqrt{2}}$.
$F_m = 50 \,N$ મૂકતા, આપણને $F' = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \,N$ મળે છે.

(B) ગતિઊર્જા સરેરાશ સ્થાન $(x = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા અંતિમ સ્થાનો ($x = +A$ અથવા $x = -A$) પર મહત્તમ હોય છે.
સરેરાશ સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું પદાર્થનું સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $\pm A$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $F = -k x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $2 E = k x^2$ છે.
આ સમીકરણને બળ $F = -k x$ ના સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 E}{F} = \frac{k x^2}{-k x}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 E}{F} = -x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 E}{F} + x = 0$
આમ,સાચો સંબંધ $\frac{2 E}{F} + x = 0$ છે.

(C) આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 0.06 \,m$,ગતિઊર્જા $K.E. = 10 \,J$,સ્થિતિઊર્જા $P.E. = 8 \,J$.
કુલ ઊર્જા $T.E. = K.E. + P.E. = 10 \,J + 8 \,J = 18 \,J$.
સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ છે અને કુલ ઊર્જા $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P.E.}{T.E.} = \frac{\frac{1}{2} kx^2}{\frac{1}{2} kA^2} = \frac{x^2}{A^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{18} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$.
$\frac{4}{9} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{3} = \frac{x}{0.06}$.
$x = \frac{2}{3} \times 0.06 = 2 \times 0.02 = 0.04 \,m$.

(A) શિરોલંબ સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલ $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,એટલે કે $kx = mg$.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી,જેનો અર્થ છે કે વિસ્તરણ $x = 0$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ એ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુથી $A$ (કંપવિસ્તાર) અંતરે નીચે હોવાથી,સંતુલન સમયે વિસ્તરણ $x = A$ થાય.
તેથી,$kA = mg$,જે કંપવિસ્તાર $A = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}$ આપે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 5 \ Hz$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \ rad/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{10}{(10 \pi)^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi^2} \ m$.
મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} = A \omega$ છે.
$V_{\max} = \left( \frac{1}{10 \pi^2} \right) \times (10 \pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$.

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \text{ s}$, કુલ પથ લંબાઈ $= 4 \text{ cm}$.
કંપવિસ્તાર $A = \frac{\text{પથ લંબાઈ}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2 \pi / \sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ rad/s}$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \omega^2 |x|$ અને વેગનું મૂલ્ય $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
આપેલ છે કે $v = a$, તેથી $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 |x|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\omega^2 (A^2 - x^2) = \omega^4 x^2$.
$\omega^2$ વડે ભાગતા: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$.
કિંમતો મૂકતા: $2^2 - x^2 = (\sqrt{3})^2 x^2$.
$4 - x^2 = 3x^2 \implies 4x^2 = 4 \implies x^2 = 1$.
આમ, $x = 1 \text{ cm}$.

(C) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C_1 = KC$ થાય છે,જ્યારે બીજું કેપેસિટર $C_2 = C$ રહે છે.
કેપેસિટરો $V$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_2 = V \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V \left( \frac{KC}{KC + C} \right) = V \left( \frac{KC}{C(K + 1)} \right)$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(D) જ્યારે બેટરી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ થી વધીને $C' = kC$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે.
અહીં $q$ અચળ છે અને $C$ વધે છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{q^2}{2kC}$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ કરતા ઓછી હશે.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(D) આ ગોઠવણી શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ કેપેસિટરની બનેલી છે.
$t$ જાડાઈ અને $k$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{k \varepsilon_0 A}{t}$ છે.
કે સ્લેબ શ્રેણીમાં મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t_1}{k_1 \varepsilon_0 A} + \frac{t_2}{k_2 \varepsilon_0 A} + \frac{t_3}{k_3 \varepsilon_0 A}$ મળે છે.
$\frac{1}{\varepsilon_0 A}$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} \left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]$.
તેથી,પરિણામી કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{A \varepsilon_0}{\left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]}$ છે.

(D) $C_1$ કેપેસિટર પર સંગ્રહિત પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1$ છે.
જ્યારે અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_2$ ને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસિટર પર પુનઃવિતરિત થાય છે.
સમાંતર જોડાણનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થાય છે.
વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,નવું પોટેન્શિયલ $V_2 = \frac{Q}{C_{eq}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_1 + C_2}$ મળે છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,$A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે $15 \ V$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ પાડવામાં આવ્યો છે.
દરેક $C = 5 \mu F$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ચારેય કેપેસિટરો બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન એટલે કે $V = 15 \ V$ રહેશે.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ એ સૂત્ર $q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $q = 5 \mu F \times 15 \ V = 75 \mu C$ મળે છે.

(A) ધારો કે કેપેસિટર પરનો મૂળ વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને કેપેસિટન્સ $C$ છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારમાં $2 \text{ C}$ નો વધારો કરવામાં આવે, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q + 2$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{(Q + 2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \% $ નો વધારો થાય છે, તેથી $U' = U + 0.21U = 1.21U$.
$U$ અને $U'$ ના સમીકરણો મૂકતા, આપણને મળે છે: $\frac{(Q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ ને દૂર કરતા, $(Q + 2)^2 = 1.21Q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $Q + 2 = 1.1Q$ મળે છે.
પદોની ગોઠવણી કરતા, $0.1Q = 2$, જેનું સાદું રૂપ $Q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$ થાય છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર '$E$' એ દરેક પ્લેટ દ્વારા વ્યક્તિગત રીતે ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
પ્લેટો સમાન હોવાથી,દરેક પ્લેટ $\frac{E}{2}$ મૂલ્યનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
એક પ્લેટ પર લાગતું બળ '$F$' એ બીજી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે હોય છે.
તેથી,$F = Q \times (\text{બીજી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર}) = Q \times \frac{E}{2} = \frac{QE}{2}$.

(A) તંત્રની પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2 + \frac{1}{2} C V_2^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Q_1 + Q_2 = C V_1 + C V_2$ નું પુનઃવિતરણ થાય છે.
તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ છે.
જોડાણ પછી સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{C(V_1 + V_2)}{2C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ મળે છે.
તંત્રની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (2C) V^2 = C \left( \frac{V_1 + V_2}{2} \right)^2 = \frac{C}{4} (V_1 + V_2)^2$ છે.
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C (V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C (V_1 + V_2)^2$ છે.
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C (V_1 - V_2)^2$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $W = \frac{1}{2} CV^2$ છે, જ્યાં $C$ એ કેપેસીટન્સ છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $W_1 = \frac{1}{2} CV_1^2$, જ્યાં $V_1 = 5 \,V$.
અંતિમ ઉર્જા $W_2 = \frac{1}{2} CV_2^2$, જ્યાં $V_2 = 15 \,V$.
અંતિમ ઉર્જા અને પ્રારંભિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{1}{2} CV_2^2}{\frac{1}{2} CV_1^2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{15}{5}\right)^2 = (3)^2 = 9$ મળે છે.
તેથી, ગુણોત્તર $9 : 1$ છે.

(B) ધારો કે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને બેટરીનું e.m.f. $V$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થાય છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ હોય છે.
કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q = CV$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} qV$ છે.
બેટરી દ્વારા $q$ વિદ્યુતભાર પૂરો પાડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = qV = CV^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અને બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{U}{W} = \frac{\frac{1}{2} qV}{qV} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 6 \mu F$ છે.
પરિપથને જોતા,$C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{13} = 3 \mu F$ મળે છે.
હવે,$C_{13}$ એ $C_2$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{123} = C_{13} + C_2 = 3 + 6 = 9 \mu F$ થાય.
અંતે,$C_{123}$ એ $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{18}{5} = 3.6 \mu F$ મળે છે.

(C) $1$. નીચે જમણી બાજુએ રહેલા $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C + C = 2 C$ થાય.
$2$. આ $C_p = 2 C$ તેની ઉપર રહેલા $2 C$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{2 C} + \frac{1}{2 C} = \frac{2}{2 C} = \frac{1}{C}$,તેથી $C_s = C$.
$3$. આ $C_s = C$ વચ્ચે રહેલા $C$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p' = C + C = 2 C$ થાય.
$4$. આ $C_p' = 2 C$ તેની ઉપર રહેલા $2 C$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s'$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s'} = \frac{1}{2 C} + \frac{1}{2 C} = \frac{1}{C}$,તેથી $C_s' = C$.
$5$. અંતે,આ $C_s' = C$ ડાબી બાજુએ રહેલા $2 C$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2 C = 3 C$ થાય.

(C) કેપેસિટર્સ $C_2$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_p = C_2 + C_3 = 8 \ \mu F + 4 \ \mu F = 12 \ \mu F$
હવે,$C_p$ અને $C_1$ શ્રેણી જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_p}{C_1 + C_p} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \mu F$
આ જોડાણ દ્વારા સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર:
$q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 900 \ V = 3600 \ \mu C$
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પર વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. તેથી,$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $3600 \ \mu C$ છે.
$C_1$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{3600 \ \mu C}{6 \ \mu F} = 600 \ V$
કારણ કે $V_A - V_P = V_1$,તેથી:
$900 \ V - V_P = 600 \ V$
$V_P = 900 \ V - 600 \ V = 300 \ V$

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
$\frac{1}{C} = \frac{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}{C_1 C_2 C_3}$.
તેથી,$C = \frac{C_1 C_2 C_3}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$.
સંયોજન દ્વારા સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $Q = CV = \frac{C_1 C_2 C_3 V}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ જેટલો હોય છે.
તેથી,કેપેસિટર $C_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1}$ છે.
$Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_1 = \frac{C_1 C_2 C_3 V}{C_1 (C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2)} = \frac{C_2 C_3 V}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે. કોષનું emf $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = xl$.
શ્રેણીમાં $A, B, C$ કોષો માટે: $E_A + E_B + E_C = x(420) \quad (1)$
શ્રેણીમાં $A, B$ કોષો માટે: $E_A + E_B = x(220) \quad (2)$
શ્રેણીમાં $B, C$ કોષો માટે: $E_B + E_C = x(320) \quad (3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $E_C = x(420 - 220) = x(200)$.
$E_C$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $E_B + x(200) = x(320) \implies E_B = x(120)$.
$E_B$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $E_A + x(120) = x(220) \implies E_A = x(100)$.
આમ,ગુણોત્તર $E_A : E_B : E_C = 100 : 120 : 200 = 1 : 1.2 : 2$ થાય.

(D) ફેરાડેના ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,જ્યારે વાહકમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાય છે,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુત પ્રવાહના લૂપ્સ ઉત્પન્ન થાય છે જેને એડી પ્રવાહો કહેવાય છે. જ્યારે જાડી ધાતુની પ્લેટને બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે,જે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ પ્રેરિત કરે છે અને પરિણામે એડી પ્રવાહો ઉત્પન્ન થાય છે.

(B) ગેલ્વેનોમીટરને $I_{range}$ રેન્જના એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S$ નું સૂત્ર $S = \frac{I_g G}{I_{range} - I_g}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,રેન્જ $3I$ છે,તેથી $S_1 = \frac{I_g G}{3I - I_g}$.
બીજા કિસ્સામાં,રેન્જ $4I$ છે,તેથી $S_2 = \frac{I_g G}{4I - I_g}$.
ગુણોત્તર $S_2:S_1$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{I_g G}{4I - I_g}}{\frac{I_g G}{3I - I_g}} = \frac{3I - I_g}{4I - I_g}$.

(B) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ $k = V/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે।
જ્યારે ડ્રાઇવિંગ સોર્સને અચળ રાખીને પોટેન્શિયોમીટર વાયરની લંબાઈ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે વાયરનો કુલ અવરોધ વધે છે।
ડ્રાઇવિંગ વોલ્ટેજ $V$ અચળ રહેતો હોવાથી, પ્રવાહ $I = V/R_{total}$ ઘટે છે।
પરિણામે, પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = I \cdot \rho$ (જ્યાં $\rho$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ છે) ઘટે છે।
$E$ જેટલા ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ધરાવતા કોષ માટે, બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ એ $E = k \cdot l$ અથવા $l = E/k$ દ્વારા મળે છે।
અહીં $k$ ઘટતું હોવાથી, સમાન ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ ને બેલેન્સ કરવા માટે બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l$ માં વધારો થશે।

(B) જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ $G$ સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
એમીટરનો અસરકારક અવરોધ $R$ સમાંતર જોડાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{G} + \frac{1}{S}$
અહીં $G = 50 \Omega$ અને $R = 2.5 \Omega = \frac{5}{2} \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2.5} = \frac{1}{50} + \frac{1}{S}$
$\frac{1}{S} = \frac{1}{2.5} - \frac{1}{50}$
$\frac{1}{S} = \frac{20}{50} - \frac{1}{50} = \frac{19}{50}$
તેથી,$S = \frac{50}{19} \Omega$.

(A) ગેલ્વેનોમીટર (અવરોધ $G$ અને પૂર્ણ સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g$) ને $I$ રેન્જના એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S$ નું સૂત્ર: $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં, રેન્જ $I_1 = 0.04 \,A$ છે અને શંટ $S_1 = 3r$ છે. તેથી, $3r = \frac{I_g G}{0.04 - I_g} \quad \dots(1)$.
બીજા કિસ્સામાં, રેન્જ $I_2 = 0.08 \,A$ છે અને શંટ $S_2 = r$ છે. તેથી, $r = \frac{I_g G}{0.08 - I_g} \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{3r}{r} = \frac{I_g G}{0.04 - I_g} \times \frac{0.08 - I_g}{I_g G}$
$3 = \frac{0.08 - I_g}{0.04 - I_g}$
$3(0.04 - I_g) = 0.08 - I_g$
$0.12 - 3I_g = 0.08 - I_g$
$0.12 - 0.08 = 3I_g - I_g$
$0.04 = 2I_g$
$I_g = 0.02 \,A$.
આમ, ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થઈ શકતો મહત્તમ પ્રવાહ $0.02 \,A$ છે.

(D) સંતુલન લંબાઈ $\ell_1$ એ કોષના $EMF$ $E$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $E = k\ell_1$.
જ્યારે કોષને $R = 2 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = k\ell_2$ મળે છે,જ્યાં $\ell_2$ એ નવી સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $\ell_1 = 240 \ cm$ અને $\ell_2 = \frac{\ell_1}{2} = 120 \ cm$.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજનું સૂત્ર $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
સંબંધોને મૂકતા,$k\ell_2 = k\ell_1 \left( \frac{R}{R+r} \right)$ મળે.
આથી $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{R}{R+r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{120}{240} = \frac{2}{2+r}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2}{2+r} \implies 2+r = 4 \implies r = 2 \ \Omega$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના e.m.f. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \ell$ અથવા $E = k\ell$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 + E_2 = k\ell_1$ થાય,જ્યાં $\ell_1 = 64 \ cm$.
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 - E_2 = k\ell_2$ થાય,જ્યાં $\ell_2 = 32 \ cm$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{64}{32} = 2$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$.
આથી $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$,એટલે કે $\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષના આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ છે,જ્યાં $\ell_1$ એ ઓપન સર્કિટ માટેની બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે અને $\ell_2$ એ $R$ અવરોધ સાથે શન્ટ કરેલી સ્થિતિમાં બેલેન્સિંગ લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
કિસ્સો $1$: $R_1 = 3 \ \Omega$,$\ell_2 = 1 \ m$
કિસ્સો $2$: $R_2 = 6 \ \Omega$,$\ell_2' = 1.5 \ m$
કોષનું $EMF$ અચળ હોવાથી,બંને કિસ્સામાં બેલેન્સિંગ લંબાઈ $\ell_1$ સમાન રહેશે.
$r = 3 \left( \frac{\ell_1}{1} - 1 \right) = 6 \left( \frac{\ell_1}{1.5} - 1 \right)$
$3 \ell_1 - 3 = 4 \ell_1 - 6$
$\ell_1 = 3 \ m$
$\ell_1$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = 3 \left( \frac{3}{1} - 1 \right) = 3 \times 2 = 6 \ \Omega$.

(A) ધારો કે નોડ $E$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \,V$ છે. નોડ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $6 \,V$ છે।
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$A$ થી $B$ તરફ વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_1} = \frac{-8 - 6}{28} = \frac{-14}{28} = -0.5 \,A$ છે।
$C$ થી $B$ તરફ વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_C - V_B}{R_2} = \frac{12 - 6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \,A$ છે।
ધારો કે પ્રવાહ $I$ એ $B$ થી $E$ તરફ નીચેની દિશામાં વહે છે। નોડ $B$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ:
$I = I_1 + I_2 = -0.5 + \frac{1}{9} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{-9 + 2}{18} = -\frac{7}{18} \,A$.

(A) કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જે સૂચવે છે કે જંકશન પર કોઈ વીજભારનો સંગ્રહ થતો નથી. આમ,તે વીજભારના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
કિર્ચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ જણાવે છે કે બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્રના સંરક્ષી સ્વભાવનું પરિણામ છે. આમ,તે ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(D) ધારો કે $8 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = 1.5 \text{ A}$ છે.
$8 \Omega$ ના અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_p)$ $V_p = I_1 \times R_1 = 1.5 \text{ A} \times 8 \Omega = 12 \text{ V}$ થશે.
$3 \Omega$ નો અવરોધ $8 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $12 \text{ V}$ જ રહેશે.
$3 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I_2)$ $I_2 = \frac{V_p}{R_2} = \frac{12 \text{ V}}{3 \Omega} = 4 \text{ A}$ થશે.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ એ સમાંતર શાખાઓમાં વહેતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે: $I = I_1 + I_2 = 1.5 \text{ A} + 4 \text{ A} = 5.5 \text{ A}$.

(C) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
પ્રથમ જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I_4 = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} = 6 \text{ A}$
બીજા જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I_6 = I_4 - 1.2 \text{ A} = 6 \text{ A} - 1.2 \text{ A} = 4.8 \text{ A}$
ત્રીજા જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I_8 = I_6 + 0.8 \text{ A} = 4.8 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 5.6 \text{ A}$
અંતિમ જંકશન પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$I = I_8 - 0.5 \text{ A} - 1.7 \text{ A} = 5.6 \text{ A} - 2.2 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ પર પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.1 \text{ A}$ છે.
ધારો કે ઉપરની શાખા ($PQ$ અને $QR$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે.
તેથી,નીચેની શાખા ($PS$ અને $SR$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I - i) = (2.1 - i) \text{ A}$ થશે.
બંને માર્ગો પર $P$ અને $R$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_{PR} = i(R_{PQ} + R_{QR}) = (I - i)(R_{PS} + R_{SR})$
$V_{PR} = i(5 + 1) = (2.1 - i)(12.5 + 2.5)$
$6i = (2.1 - i)(15)$
$6i = 31.5 - 15i$
$21i = 31.5$
$i = \frac{31.5}{21} = 1.5 \text{ A}$.
આમ,$1 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $1.5 \text{ A}$ છે.

(B) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, $\frac{5}{R} = \frac{\ell_1}{100 - \ell_1}$ --- $(1)$
જ્યારે $R$ ને સમાન અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $1.6 \ell_1$ પર છે, તેથી:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{10}{R} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{5}{R} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\ell_1}{100 - \ell_1} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$
$100 - 1.6 \ell_1 = 0.8(100 - \ell_1)$
$100 - 1.6 \ell_1 = 80 - 0.8 \ell_1$
$20 = 0.8 \ell_1 \implies \ell_1 = \frac{20}{0.8} = 25 \, cm$.
$\ell_1 = 25$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15 \, \Omega$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,ગેપમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell_A = 40 \ cm$ અને $\ell_B = 100 - 40 = 60 \ cm$ હોવાથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\rho$ એ વિશિષ્ટ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
લંબાઈ સમાન હોવાથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $3:1$ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.
આમ,વિશિષ્ટ અવરોધકતાનો ગુણોત્તર $6:1$ છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો અવરોધ છે.
આ કિસ્સામાં,ચોથી ભુજામાં બે અવરોધો $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1 + S_2}{S_1 S_2}$.
તેથી,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$.
$S$ ની આ કિંમતને સંતુલન શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$ મળે છે.

(B) તારનો અવરોધ $1 \Omega \text{ cm}^{-1}$ છે.
તારના $40 \text{ cm}$ ભાગનો અવરોધ $= 40 \Omega$.
તારના $60 \text{ cm}$ ભાગનો અવરોધ $= 60 \Omega$.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી, ગેલ્વેનોમીટર ધરાવતી શાખાને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
સંતુલિત બ્રિજ માટે, શરત $\frac{4}{40} = \frac{Y}{60}$ છે.
$Y = \frac{4 \times 60}{40} = 6 \Omega$.
હવે, પરિપથમાં $6 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ છે.
ઉપરની શાખામાં $4 \Omega$ અને $Y = 6 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_1 = 4 + 6 = 10 \Omega$.
નીચેની શાખામાં $40 \Omega$ અને $60 \Omega$ ના તારના ભાગો શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_2 = 40 + 60 = 100 \Omega$.
સમાંતર જોડાણનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$.
$R_{eq} = \frac{100}{11} \Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{100/11} = \frac{66}{100} = 0.66 \text{ A}$.

(A) આપેલ સર્કિટ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે ભુજાઓમાં અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,મધ્યના $5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
તેથી,$5 \Omega$ ના અવરોધને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં $3 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 + 2 = 5 \Omega$ થાય છે.
નીચેની શાખામાં પણ $3 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધ શ્રેણીમાં છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 + 2 = 5 \Omega$ થાય છે.
આ બંને શાખાઓ $6 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
સમાંતરમાં જોડાયેલ બે $5 \Omega$ ના અવરોધનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{2.5} = 2.4 \text{ A}$ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આના પરથી, ઉર્જાને $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 1 \,nm$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \frac{h^2}{2m\lambda_1^2}$ છે.
અંતિમ ઉર્જા $E_2 = \frac{h^2}{2m\lambda_2^2} = \frac{h^2}{2m(0.5\lambda_1)^2} = \frac{h^2}{2m(0.25\lambda_1^2)} = 4E_1$ થાય.
જરૂરી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ છે.
આમ, આપવી પડતી વધારાની ઉર્જા તેની પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(C) $0 \leq x \leq 1$ વિસ્તારમાં,કણની સ્થિતિઊર્જા $U = E$ છે. કુલ ઊર્જા $E_{total} = nE$ છે.
$E_{total} = K.E. + P.E.$ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K_1 = nE - E = (n-1)E$ થાય.
વેગમાન $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2m(n-1)E}$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p_1} = \frac{h}{\sqrt{2m(n-1)E}}$ છે.
$x > 1$ વિસ્તારમાં,સ્થિતિઊર્જા $U = 0$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $K_2 = nE - 0 = nE$ થાય.
વેગમાન $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2mnE}$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{p_2} = \frac{h}{\sqrt{2mnE}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m(n-1)E}}{h / \sqrt{2mnE}} = \sqrt{\frac{2mnE}{2m(n-1)E}} = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W$ છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$hc = \lambda_1(E_1 + W)$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$hc = \lambda_2(E_2 + W)$.
$hc$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\lambda_1(E_1 + W) = \lambda_2(E_2 + W)$
$\lambda_1 E_1 + \lambda_1 W = \lambda_2 E_2 + \lambda_2 W$
$\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2 = W(\lambda_2 - \lambda_1)$
$W = \frac{\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં,$h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ કણનું દળ છે અને $q$ કણનો વીજભાર છે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m_p = m$ અને વીજભાર $q_p = e$ લો.
આલ્ફા કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m$ અને વીજભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે.
બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2}: 1$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $E$ ધરાવતા પ્રોટોન માટે,વેગમાન $p$ એ $E = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mE}$.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
ઊર્જા $E$ ધરાવતા ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ એ $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$.
બંને તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
તેથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$.
આને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) $\text{ફોટોનનું વેગમાન } p \text{ શોધવાનું સૂત્ર } p = \frac{h}{\lambda} \text{ છે.}
\text{અહીં } h = 6.63 \times 10^{-34} \,Js \text{ અને } \lambda = 3 \,nm = 3 \times 10^{-9} \,m \text{ આપેલ છે.}
\text{તેથી, } p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3 \times 10^{-9}} = 2.21 \times 10^{-25} \,kg \,m/s.
\text{ફોટોનની ઉર્જા } E \text{ શોધવાનું સૂત્ર } E = \frac{hc}{\lambda} = pc \text{ છે.}
\text{તેથી, } E = (2.21 \times 10^{-25} \,kg \,m/s) \times (3 \times 10^8 \,m/s) = 6.63 \times 10^{-17} \,J.$

(C) $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $p$ નીચે મુજબ મળે: $E = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mE}$.
ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ થાય.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda_p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ છે,તેથી $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ થાય.
તરંગલંબાઇઓનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$ મળે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે શરૂઆતની તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે જ્યારે સ્થિતિમાન $V_1 = V$ છે.
ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે જ્યારે સ્થિતિમાન $V_2 = 4V$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
આમ,તરંગલંબાઈ તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi = 4.2 \text{ eV} - 2.4 \text{ eV} = 1.8 \text{ eV}$.
જ્યારે ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V$ એવા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે કે જેથી ઈલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા તેની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા જેટલી થાય,ત્યારે ઉત્સર્જન બંધ થઈ જાય છે:
$eV = (KE)_{\max} \implies V = 1.8 \text{ V}$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધાતુના ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.8 = (9 \times 10^9) \times \frac{q}{0.1}$.
વીજભાર $q$ માટે ઉકેલતા: $q = \frac{1.8 \times 0.1}{9 \times 10^9} = 2 \times 10^{-11} \text{ C}$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{q}{e} = \frac{2 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^8$.

(C) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $t$ સમયમાં $n$ ફોટોન ઉત્સર્જિત થતા હોય,તો કુલ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_{total} = n \times \frac{hc}{\lambda}$ થાય.
પાવર $P$ ને એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $P = \frac{E_{total}}{t} = \frac{nhc}{\lambda t}$.
$n$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $n = \frac{P \lambda t}{hc}$ મળે છે.

(C) પ્રારંભિક આવૃત્તિ $v = 2v_0$ છે,જ્યાં $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
જ્યારે આપાત આવૃત્તિને $\left(\frac{1}{3}\right)$ ગણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $v' = \frac{1}{3} \times 2v_0 = \frac{2}{3}v_0$ થાય છે.
અહીં $v' < v_0$ હોવાથી,આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા ઓછી છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના નિયમો મુજબ,જો આપાત આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોય,તો પ્રકાશની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય તો પણ કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થતા નથી.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ શૂન્ય થશે.

(D) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{max} = h\nu - \Phi = eV_0$
અહીં, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે, $\Phi$ એ સપાટીનું કાર્ય વિધેય છે, અને $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે।
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને પદાર્થના પ્રકાર (કાર્ય વિધેય) પર આધાર રાખતું હોવાથી, તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે।
તેથી, આપાત વિકિરણની તીવ્રતા વધારવાથી સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી।

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(K.E.)_{max} = h v - h v_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ અને $v_2$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(K.E.)_1 = h v_1 - h v_0$ ....$(1)$
$(K.E.)_2 = h v_2 - h v_0$ ....$(2)$
આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{1}{K}$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{K} = \frac{h v_1 - h v_0}{h v_2 - h v_0} = \frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$v_2 - v_0 = K(v_1 - v_0)$
$v_2 - v_0 = K v_1 - K v_0$
$K v_0 - v_0 = K v_1 - v_2$
$v_0(K - 1) = K v_1 - v_2$
$v_0 = \frac{K v_1 - v_2}{K - 1}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{max}$ નીચે મુજબ છે:
$(K.E.)_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$(K.E.)_1 = \frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ લેતા:
$(K.E.)_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{hc}{\lambda'} - W_0 = \frac{hc}{(2\lambda/3)} - W_0 = \frac{3}{2}\frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + W_0$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + W_0) - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{3}{2}W_0 - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{1}{2}W_0$
કારણ કે $W_0 > 0$,તેથી $(K.E.)_2 > \frac{3}{2}(K.E.)_1$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 > \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2)$
$v_2^2 > 1.5 V^2$
$v_2 > \sqrt{1.5} V = (1.5)^{1/2} V$.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 10 eV$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = 2 \times 10^{15} Hz$ છે.
વર્ક ફંક્શન $W_0$ નું સૂત્ર $W_0 = h\nu_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W_0 = (6.63 \times 10^{-34} Js) \times (2 \times 10^{15} Hz) = 13.26 \times 10^{-19} J$.
આને $eV$ માં ફેરવવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} C)$ વડે ભાગતા:
$W_0 = \frac{13.26 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 8.2875 eV \approx 8.3 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - W_0$ છે.
$K_{max} = 10 eV - 8.3 eV = 1.7 eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = E - \phi$
જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc - \phi \lambda}{\lambda}$
બંને બાજુ $\frac{2}{m}$ વડે ગુણતા:
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ ફોટોનની આવૃત્તિ છે.
જ્યારે ફોટોન એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $\nu$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના સ્ત્રોત દ્વારા નક્કી થાય છે.
આવૃત્તિ બદલાતી ન હોવાથી,ફોટોનની ઉર્જા $E$ પણ બદલાતી નથી.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે ફોટોન હવામાંથી કાચ જેવા ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રવેશે છે ત્યારે તેનો વેગ,તરંગલંબાઇ અને વેગમાન બદલાય છે.