MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $4^{\text{th}}$ અને $5^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાની વચ્ચે રચાતી અપ્રકાશિત શલાકા એ $5^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા છે.
$n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n - 0.5) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ અને $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-8} \text{ cm} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = (5 - 0.5) \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$
$\Delta x = 4.5 \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm} = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(D) વ્યતિકરણ ભાતમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે, કળા તફાવત $\phi = (2n+1)\pi$ હોય છે, જે $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ તરફ દોરી જાય છે।
જો કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય, તો $I_1 \neq I_2$, જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$।
તેથી, $I_{min} \neq 0$।
આનો અર્થ એ છે કે વિનાશક વ્યતિકરણના વિસ્તારમાં, તરંગો એકબીજાને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરતા નથી, અને ત્યાં પ્રકાશની થોડી તીવ્રતા બાકી રહે છે।

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $\lambda_{\text{air}} = 6300 \,Å = 6300 \times 10^{-10} \,m$ અને $\mu = 1.33$ છે।
તેથી, $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \,m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda_{\text{liquid}} \times D}{d}$ છે।
અહીં $D = 1.33 \,m$ અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$W = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
મધ્યસ્થ મહત્તમ માટે,$n = 0$ અને પ્રથમ મહત્તમ માટે,$n = 1$ હોય છે.
આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 6300 Å$ માટે,પ્રથમ મહત્તમ માટેનો પથ તફાવત $\Delta x = 1 \times 6300 Å = 6300 Å$ થાય.

(D) ધારો કે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I'$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_0$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = 1$ હોય,તેથી $I_0 = 4I'$.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I' \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I' \times \frac{1}{2} = 2I'$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{I}{I_0} = \frac{2I'}{4I'} = \frac{1}{2}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\lambda_1$ તરંગલંબાઇ માટે $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,$\lambda_2$ તરંગલંબાઇ માટે $(n/2)^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_2 = \frac{(n/2) \lambda_2 D}{d} = \frac{n \lambda_2 D}{2d}$ છે.
હવે,$y_1$ અને $y_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{(n \lambda_1 D / d)}{(n \lambda_2 D / 2d)} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{2d}{n \lambda_2 D} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં, $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, જ્યાં $D_1 = 75 \,cm$ છે.
જ્યારે સ્લિટનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે, ત્યારે $d_2 = 2d_1$ થાય છે. ફ્રિન્જની પહોળાઈ અચળ રાખવા માટે $(\beta_2 = \beta_1)$, આપણે $\frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ હોવું જોઈએ.
$d_2 = 2d_1$ મૂકતા, આપણને $\frac{D_2}{2d_1} = \frac{D_1}{d_1}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $D_2 = 2D_1$.
$D_2 = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$.
પડદાને $75 \,cm$ થી $150 \,cm$ સુધી ખસેડવો આવશ્યક છે, જેનો અર્થ છે કે તેને સ્લિટ્સથી $150 \,cm - 75 \,cm = 75 \,cm$ દૂર ખસેડવો જોઈએ.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $10^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $Y_1 = \frac{10 \lambda_1 D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે $5^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $Y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ છે.
$Y_1$ અને $Y_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{10 \lambda_1 D / d}{5 \lambda_2 D / d} = \frac{10 \lambda_1}{5 \lambda_2} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર: $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $K$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 1$ હોય,તેથી $K = 4I_0$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ આપેલ છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = K \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $I = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$ મળે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ થાય છે.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$.
આથી $\lambda = \frac{d^2}{(2n-1)D}$ મળે છે.
$n=1, 2, 3, \ldots$ માટે,$(2n-1)$ ની કિંમતો $1, 3, 5, \ldots$ થાય છે.
આમ,$\lambda$ એ $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \ldots$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,શક્ય તરંગલંબાઈઓ $D, 3D, 5D, \ldots$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) યંગના બે સ્લિટના પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણની ભાત રચવા માટે બે અલગ-અલગ સ્લિટમાંથી આવતા સુસંબદ્ધ પ્રકાશના તરંગોનું સંપાતીકરણ જરૂરી છે.
જ્યારે એક સ્લિટને કાળા અપારદર્શક કાગળથી ઢાંકી દેવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશ ફક્ત બાકી રહેલી એક જ સ્લિટમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
હવે બીજી કોઈ સ્ત્રોત ન હોવાથી,પ્રથમ સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશ સાથે વ્યતિકરણ થવાની શક્યતા રહેતી નથી.
પરિણામે,પડદા પર કોઈ વ્યતિકરણની ભાત (fringes) જોવા મળશે નહીં.

(B) $YDSE$ માં ફ્રિન્જ પહોળાઈનું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે।
ધારો કે મૂળ ફ્રિન્જ પહોળાઈ $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1} = W$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ, નવું અંતર $D_2 = D_1 + 0.25 D_1 = 1.25 D_1$ અને નવું સ્લિટ અંતર $d_2 = \frac{d_1}{2}$ છે।
નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $W_2 = \frac{\lambda (1.25 D_1)}{(d_1 / 2)} = 1.25 \times 2 \times \frac{\lambda D_1}{d_1}$।
કારણ કે $W = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, તેથી $W_2 = 2.5 W$ થાય।

(B) મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = (n - 0.5) \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 4$,તેથી $y_4 = (4 - 0.5) \frac{\lambda D}{d} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની સામે રચાય છે,તેથી તેનું મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d}{2} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
$\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\lambda = \frac{d^2}{2 \times 3.5 D} = \frac{d^2}{7 D}$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાથી $n^{\text{મા}}$ અપ્રકાશિત પટ્ટાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y_n = (n - \frac{1}{2}) \beta$
જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ અપ્રકાશિત પટ્ટાનો ક્રમ દર્શાવે છે.
આમ,અંતર $(n - 0.5) \beta$ થાય છે.

(D) વ્યતિકરણ ભાતમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ માટે,કળા તફાવત $\phi = 0$ હોય,તેથી $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $(I_{\min})$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \pi$ હોય,તેથી $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(D) પથ તફાવત $\Delta x = \frac{57}{2} \lambda = 28.5 \lambda$ આપેલ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n \lambda$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$. અહીં $28.5 \lambda$ એ પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી,તેથી તે પ્રકાશિત શલાકા નથી.
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બંનેને સરખાવતા: $28.5 \lambda = (n - 0.5) \lambda$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n - 0.5 = 28.5$,જે $n = 29$ આપે છે.
તેથી,આ બિંદુ $29^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે.

(A) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_A = \pi / 2$ છે. તેથી,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi / 2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_B = \pi$ છે. તેથી,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 4I(-1) = 5I - 4I = I$.
$A$ અને $B$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $I_A - I_B = 5I - I = 4I$ થાય છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ $(YDSE)$ માં,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ આપેલ છે.
ધારો કે બંને સ્લિટની તીવ્રતા સમાન છે,$I_1 = I_2 = I_s$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 I_s + 2 I_s (\frac{1}{2}) = 2 I_s + I_s = 3 I_s$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_0$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(\Delta \phi) = 1$ હોય,તેથી $I_0 = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_s} + \sqrt{I_s})^2 = (2 \sqrt{I_s})^2 = 4 I_s$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_0} = \frac{3 I_s}{4 I_s} = \frac{3}{4}$ થાય.