MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $P = \sigma A T^4$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = 16$ આપેલ છે.
સંબંધ $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$16 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$\left(2^4\right)^{1/4} = \frac{T_2}{T_1}$
$2 = \frac{T_2}{T_1}$
તેથી,$T_2 = 2 \ T_1$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $E = \sigma A T_1^4$,જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ સ્થિતિ: $E' = \sigma A' T_2^4$,જ્યાં $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
ક્ષેત્રફળ $A = \ell \times b$ છે. જો લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $\frac{1}{3}$ ગણા કરવામાં આવે,તો નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (\frac{\ell}{3}) \times (\frac{b}{3}) = \frac{A}{9}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times (\frac{T_2}{T_1})^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (\frac{600}{300})^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ હોય છે:
$\lambda_m T = \text{constant}$
તેથી,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
અહીં $T_1 = 2000 \ K$ અને $T_2 = 3000 \ K$ આપેલ છે,અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ છે:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_m$
આમ,$3000 \ K$ તાપમાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\frac{2}{3} \lambda_m$ થશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર $R$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $R \propto T^4$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર અચળ રહેતું હોવાથી,પૃથ્વી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર સૂર્યમાંથી ઉત્સર્જિત ઉર્જાના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 2T_1$ છે.
પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાના દરોનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{R_2}{R_1} = (2)^4 = 16$ મળે છે.
તેથી,પૃથ્વી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર $16$ ગણો વધશે.

(A) ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ અને એકમ સમય $t$ દીઠ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેનું સૂત્ર $E = \frac{Q}{A \cdot t}$ છે.
કુલ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $Q$ શોધવા માટે, આપણે સૂત્રને આ રીતે ગોઠવીએ છીએ: $Q = E \cdot A \cdot t$.
આપેલ કિંમતો $E = 0.7 \,kcal \,s^{-1} \,m^{-2}$, $A = 0.04 \,m^2$, અને $t = 20 \,s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $Q = 0.7 \times 0.04 \times 20$.
$Q = 0.7 \times 0.8 = 0.56 \,kcal$.
તેથી, ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો જથ્થો $0.56 \,kcal$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $R$ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને પ્રારંભિક વિકિરણ દર $R_1$ છે.
તાપમાનમાં $50 \%$ નો વધારો થતા,નવું તાપમાન $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ થશે.
નવો વિકિરણ દર $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = (1.5)^4 = 5.0625 \approx 5$.
આમ,$R_2 \approx 5R_1$.
વિકિરણના દરમાં થતો પ્રતિશત વધારો:
$\text{પ્રતિશત વધારો} = \left(\frac{R_2 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = \left(\frac{5R_1 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = 4 \times 100 = 400 \%$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેના પર્યાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T_1 = 80^{\circ} C$ અને $T_s = 30^{\circ} C$. ઠંડા પડવાનો દર $1.5^{\circ} C / min$ છે.
$1.5 = k(80 - 30) = k(50) \implies k = \frac{1.5}{50} = 0.03 \ min^{-1}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$T_2 = 50^{\circ} C$ અને $T_s = 30^{\circ} C$. ધારો કે દર $r$ છે.
$r = k(50 - 30) = k(20)$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = 0.03 \times 20 = 0.6^{\circ} C / min$.

(A) આપેલ છે: સપાટીનું તાપમાન $T = 6000 \,K$,વિનનો અચળાંક $b = 2.897 \times 10^{-3} \,m-K$.
વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{max} T = b$.
તેથી,$\lambda_{max} = \frac{b}{T} = \frac{2.897 \times 10^{-3}}{6000} \,m$.
$\lambda_{max} = 4.828 \times 10^{-7} \,m$.
કારણ કે $1 \,Å = 10^{-10} \,m$,તેથી $4.828 \times 10^{-7} \,m = 4828 \times 10^{-10} \,m = 4828 \,Å$.

(D) ધારો કે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T$ છે. પ્રથમ સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_1 = L_1 \alpha_1 \Delta T$ છે.
બીજા સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L_2 = L_2 \alpha_2 \Delta T$ છે.
આપેલ છે કે $(L_2 - L_1)$ તમામ તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta L_1 = \Delta L_2$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને $L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\Delta T$ દૂર કરતા,આપણને $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ સંબંધ મળે છે.

(C) સેલ્સિયસ માપક્રમમાં,પાણીનું ઠારબિંદુ $0^{\circ} C$ અને ઉત્કલનબિંદુ $100^{\circ} C$ છે. ગાળો $100 - 0 = 100$ છે.
આપેલ કાલ્પનિક '$W$' માપક્રમમાં,ઠારબિંદુ $39^{\circ} W$ અને ઉત્કલનબિંદુ $239^{\circ} W$ છે. ગાળો $239 - 39 = 200$ છે.
બે તાપમાન માપક્રમો વચ્ચેના રેખીય રૂપાંતરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{C - C_{freezing}}{C_{boiling} - C_{freezing}} = \frac{W - W_{freezing}}{W_{boiling} - W_{freezing}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{C - 0}{100 - 0} = \frac{W - 39}{239 - 39}$
$\frac{C}{100} = \frac{W - 39}{200}$
$C = 39^{\circ} C$ માટે:
$\frac{39}{100} = \frac{W - 39}{200}$
$39 \times 2 = W - 39$
$78 = W - 39$
$W = 78 + 39 = 117^{\circ} W$.

(B) સેલ્સિયસ $(C)$ અને કેલ્વિન $(K)$ માં તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T(K) = T(^{\circ}C) + 273.15$
અહીં $T(^{\circ}C) = -197^{\circ}C$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા:
$T(K) = -197 + 273 = 76 K$
તેથી,તાપમાન $76 K$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંબંધ $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ પરથી,અચળ દબાણ $P$ માટે,આપણી પાસે $P \Delta V = nR \Delta T$ છે.
આને આંતરિક ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma-1}$.
અહીં કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય છે,તેથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 2V - V = V$ છે.
તેથી,$\Delta U = \frac{P(V)}{\gamma-1} = \frac{PV}{\gamma-1}$.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = n \frac{f}{2} RT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$f_1 = 5$ સાથે $T$ તાપમાને $n_1$ મોલ હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે:
$U_1 = n_1 \times \frac{5}{2} \times R \times T$
$f_2 = 3$ સાથે $2T$ તાપમાને $n_2$ મોલ હિલિયમ $(He)$ માટે:
$U_2 = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times (2T)$
આપેલ છે કે $U_1 = U_2$:
$n_1 \times \frac{5}{2} \times RT = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times 2T$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}$,$R$ અને $T$ ને દૂર કરતા:
$5n_1 = 6n_2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{6}{5}$ થાય.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ તરીકે આપવામાં આવે છે। અહીં, $\gamma = 3/2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $P = nRT/V$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $(nRT/V)V^{\gamma} = \text{constant}$, જેનું સાદું રૂપ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ થાય છે.
અહીં $\gamma = 3/2$ હોવાથી, સંબંધ $TV^{(3/2 - 1)} = TV^{1/2} = \text{constant}$ બને છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T$ અને $V_2 = V_1/2$.
$T_1 V_1^{1/2} = T_2 V_2^{1/2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{1/2} = T (V_1 / (V_1/2))^{1/2} = T (2)^{1/2} = \sqrt{2}T$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ મુજબ,આપણે તેને $T \propto V^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $TV^{1/2} = \text{constant}$.
બંને સમીકરણો $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ અને $TV^{1/2} = \text{constant}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma - 1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\gamma = 1 + 0.5 = 1.5$ મળે છે.

(D) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_p = \frac{5}{2}R$ અને $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે થયેલ કાર્ય $W = nR \Delta T$ છે.
અચળ કદ પર આપેલી ઉષ્મા $Q_v = nC_v \Delta T = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T$ છે.
$nR \Delta T = W$ ને $Q_v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Q_v = \frac{3}{2} W$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણ $(C_p)$ અને અચળ કદ $(C_v)$ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_v = R$.
આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $C_p = \gamma C_v$.
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા: $\gamma C_v - C_v = R$.
$C_v$ ને સામાન્ય લેતા: $C_v(\gamma - 1) = R$.
તેથી,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.

(D) સમદાબી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો દબાણ $P$ અચળ હોય,તો દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,સમદાબી પ્રક્રિયા દર્શાવતું સમીકરણ $\Delta P=0$ છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ છે. આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P \times V = P_2 \times 2V$,જે આપણને $P_2 = \frac{P}{2}$ આપે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,સંબંધ $P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$ છે. આપેલ છે કે $V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,અને $\gamma = \frac{5}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_3 = P_2 \left(\frac{V_2}{V_3}\right)^\gamma = \frac{P}{2} \left(\frac{2V}{16V}\right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left(\frac{1}{8}\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$.

(A) આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા એવી પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં સિસ્ટમનું કદ અચળ રહે છે $(dV = 0)$.
કારણ કે કાર્ય $dW = P dV$ છે,જો $dV = 0$ હોય,તો $dW = 0$ થાય. આમ,આ પ્રક્રિયામાં કોઈ કાર્ય થતું નથી.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. કારણ કે $dW = 0$ છે,તેથી વિનિમય થયેલી ઉષ્મા $(dQ)$ સંપૂર્ણપણે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા $(dU)$ બદલવા માટે વપરાય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે વિનિમય થયેલી ઉર્જા કાર્ય કરવા માટે વપરાતી નથી.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ને $\Delta Q = \Delta U + dW$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $dW$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $0 = \Delta U + dW$ મળે છે.
તેથી,$\Delta U = -dW$ થાય છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે વાયુને તેના પ્રારંભિક કદના $(1/8)$ ભાગ જેટલું સંકોચવામાં આવે છે,તેથી $V_2 = V_1 / 8$,જેનો અર્થ છે કે $V_1 / V_2 = 8$.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 4/3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_2 / P_1 = (V_1 / V_2)^\gamma$
$P_2 / P_0 = (8)^{4/3}$
$P_2 / P_0 = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16$
તેથી,નવું દબાણ $P_2 = 16 P_0$ થશે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી બોઈલનો નિયમ લાગુ પડે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે દબાણ $10 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી નવું દબાણ $P_2$ થશે:
$P_2 = P_1 - 0.10 P_1 = 0.9 P_1 = \frac{9}{10} P_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_1 V_1 = (\frac{9}{10} P_1) V_2$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા:
$V_2 = \frac{10}{9} V_1 \approx 1.111 V_1$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.111 V_1 - V_1 = 0.111 V_1$.
ટકાવારીમાં દર્શાવતા,કદમાં આશરે $11.1 \%$ નો વધારો થાય છે,જે $11 \%$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $V_2 = \frac{8}{27} V_1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
$\gamma = 5/3$ હોવાથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
$T_2 = \frac{9}{4} \times 300 = 9 \times 75 = 675 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ થાય.

(D) અચળ દબાણે, થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આદર્શ વાયુ માટે, $PV = nRT$, તેથી $P \Delta V = nR \Delta T$.
આમ, $W = nR \Delta T$.
અચળ કદ પર આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = \Delta U = nC_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ છે।
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $Q = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T = \frac{3}{2} (nR \Delta T)$.
કારણ કે $W = nR \Delta T$, તેથી $Q$ ના સમીકરણમાં $W$ મૂકતા:
$Q = \frac{3}{2} W$.

(B) સમતાપી વિસ્તરણ માટે,પ્રક્રિયા બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
તેથી,$P_i = P \times (V / 2V) = P / 2$.
એડિબેટિક વિસ્તરણ માટે,પ્રક્રિયા $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
તેથી,$P_a = P \times (V / 2V)^{\gamma} = P / 2^{\gamma}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{P_i}{P_a}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{P_i}{P_a} = \frac{P/2}{P/2^{\gamma}} = \frac{2^{\gamma}}{2} = 2^{\gamma-1}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ છે. દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,$\rho \propto \frac{1}{V}$ થાય.
આપેલ છે કે અંતિમ ઘનતા પ્રારંભિક ઘનતા કરતાં બમણી છે,એટલે કે $\rho_2 = 2\rho_1$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{2}$ અથવા $\frac{V_1}{V_2} = 2$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P_2 = p \times (2)^{7/5} = p \times (2)^{1.4}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$2^{1.4} \approx 2.639$.
આમ,અંતિમ દબાણ આશરે $2.63p$ થાય છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{constant})$.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ, $PV = nRT$. કારણ કે $P$ અચળ છે, તેથી $V \propto T$.
તેથી, જો પ્રક્રિયા દરમિયાન કદમાં ફેરફાર થાય, તો તંત્રનું તાપમાન પણ બદલાવું જોઈએ.
વિધાન $(C)$ કહે છે કે તાપમાન અચળ રહે છે, જે સમદાબી પ્રક્રિયા માટે ખોટું છે; તે સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતા છે.

(C) આપેલ છે: $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $I$: સમતાપી પ્રક્રિયા $(T = \text{અચળ})$
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 9V$ છે.
$P \times V = P_2 \times 9V$
$P_2 = \frac{P}{9}$.
કિસ્સો $II$: સમોષ્મી પ્રક્રિયા $(PV^\gamma = \text{અચળ})$
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
અહીં $P_2 = \frac{P}{9}$,$V_2 = 9V$,અને $V_3 = V$ છે.
$\frac{P}{9} \times (9V)^{3/2} = P_3 \times (V)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times \left(\frac{9V}{V}\right)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (9)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (3^2)^{3/2} = \frac{P}{9} \times 3^3 = \frac{P}{9} \times 27 = 3P$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $3P$ છે.

(B) સમઆયતનીય પ્રક્રિયામાં,સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું કદ (volume) અચળ રહે છે.
$p-V$ આલેખ પર,જ્યાં દબાણ $p$ ને $y$-અક્ષ પર અને કદ $V$ ને $x$-અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે અચળ કદની પ્રક્રિયાને એક શિરોલંબ (vertical) રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ શિરોલંબ રેખા સૂચવે છે કે દબાણમાં કોઈપણ ફેરફાર માટે,$V$ નું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
આપેલ આલેખોને જોતા,જે આલેખ શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે તે સમઆયતનીય પ્રક્રિયાને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $II$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1$,અંતિમ કદ $V_2 = V_1/8$,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ છે.
અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણના ગુણોત્તર માટે: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P_1} = (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
આમ,અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $32$ છે.

(B) $\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$
$\text{દળનો SI એકમ કિલોગ્રામ } (kg) \text{ છે.}$
$\text{કદનો SI એકમ ઘન મીટર } (m^3) \text{ છે.}$
$\text{તેથી, ઘનતાનો SI એકમ } \frac{kg}{m^3} \text{ અથવા } kg \cdot m^{-3} \text{ થાય.}$

(A) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને મુસાફરી કરવા માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે. હવામાં,કણો તરંગ પ્રસરણની દિશાને સમાંતર દોલન કરે છે,જે તેમને લંબગત (longitudinal) તરંગો બનાવે છે.
પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જેને માધ્યમની જરૂર હોતી નથી. તેમાં પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોય છે,જે તેમને અનુપ્રસ્થ (transverse) તરંગો બનાવે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે હવામાં ધ્વનિ તરંગો લંબગત છે જ્યારે હવામાં પ્રકાશના તરંગો અનુપ્રસ્થ છે.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ છે.
$t = 0 \ s$ સમયે,સ્થાનાંતર $y = 5 \ cm$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi (0)}{30} + \alpha\right) \implies 5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
આમ,પ્રારંભિક કળા અચળાંક $\alpha = \frac{\pi}{6} \ rad$ મળે છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર કુલ કળાકોણ $\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 7.5 \ s$ સમયે,કુલ કળાકોણ $\phi = \frac{2 \pi (7.5)}{30} + \frac{\pi}{6}$ થશે.
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \ rad$.

(C) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને સમયગાળા $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \omega \Delta t = (2\pi f) \Delta t$
આપેલ આવૃત્તિ $f = 50 \,Hz$ અને સમયગાળો $\Delta t = 0.01 \,s$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = 2 \times \pi \times 50 \times 0.01$
$\Delta \phi = 100 \pi \times 0.01$
$\Delta \phi = \pi \,rad$.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = Y_0 \sin(2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{\lambda})$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y = Y_0 \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = Y_0 \omega = Y_0 (2 \pi n) = 2 \pi n Y_0$ થાય.
તરંગનો વેગ $v = n \lambda$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ એ કણના મહત્તમ વેગના $(1/8)$ ગણો છે:
$v = \frac{1}{8} v_{p, \text{max}}$
$n \lambda = \frac{1}{8} (2 \pi n Y_0)$
$n \lambda = \frac{\pi n Y_0}{4}$
$\lambda = \frac{\pi Y_0}{4}$.

(D) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin 2 \pi \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે: $Y_1 = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.2} - \frac{4x}{2}\right) = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.05} - \frac{x}{0.5}\right)$.
અહીં,$T_1 = 0.05 \text{ s}$ અને $\lambda_1 = 0.5 \text{ m}$ છે.
વેગ $v_1 = \frac{\lambda_1}{T_1} = \frac{0.5}{0.05} = 10 \text{ m/s}$.
બીજા તરંગ માટે: $Y_2 = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.16} - \frac{4x}{1.6}\right) = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.4}\right)$.
અહીં,$T_2 = 0.04 \text{ s}$ અને $\lambda_2 = 0.4 \text{ m}$ છે.
વેગ $v_2 = \frac{\lambda_2}{T_2} = \frac{0.4}{0.04} = 10 \text{ m/s}$.
આમ,$v_1 = v_2 = 10 \text{ m/s}$ હોવાથી,બંને તરંગોનો વેગ સમાન છે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y=A \sin (kx+\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y=4 \sin (3x+60t)$ સાથે સરખાવતા,તરંગ સંખ્યા $k=3 \,m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega=60 \,rad/s$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $V = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{3} = 20 \,m/s$ થાય.
ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{T}{V^2}$.
આપેલ કિંમતો $T = 0.4 \,N$ અને $V = 20 \,m/s$ મૂકતા:
$\mu = \frac{0.4}{(20)^2} = \frac{0.4}{400} = \frac{4 \times 10^{-1}}{4 \times 10^2} = 10^{-3} \,kg \,m^{-1}$.

(A) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સૌ પ્રથમ,તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો,જ્યાં $v = 330 \,m/s$ અને $f = 50 \,Hz$ છે।
$\lambda = \frac{330}{50} = 6.6 \,m$.
હવે,$x$ શોધવા માટે કળા તફાવતના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવો: $x = \frac{\phi \lambda}{2 \pi}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(\pi/3) \times 6.6}{2 \pi} = \frac{6.6}{6} = 1.1 \,m$.
આમ,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $1.1 \,m$ છે।

(D) આપેલ લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (kx+\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k=0.01 \ rad/cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega=30 \ rad/s$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ ની ગણતરી $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
ઝડપને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા,$v = 30 \ m/s$ મળે છે.
દોરીની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = 0.5 \ s$ છે.
તેથી,દોરીની લંબાઈ $L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$ થાય.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 160 \,Hz$, વેગ $v = 320 \,m/s$.
સૌ પ્રથમ, $\lambda = v/f$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = 320 / 160 = 2 \,m = 200 \,cm$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi x}{\lambda}$ છે.
આપેલ કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ} = \pi/2$ રેડિયન છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi x}{200}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{200}{2\pi} = \frac{200}{4} = 50 \,cm$.

(C) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{V}{f}$ છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે,$f_1 = 320 \,Hz$,તેથી $\lambda_1 = \frac{320 \,ms^{-1}}{320 \,Hz} = 1 \,m$.
બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે,$f_2 = 480 \,Hz$,તેથી $\lambda_2 = \frac{320 \,ms^{-1}}{480 \,Hz} = \frac{2}{3} \,m \approx 0.67 \,m$.
તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 1 \,m - 0.67 \,m = 0.33 \,m$ છે.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા,$0.33 \,m = 33 \,cm$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 220 \,Hz$, વેગ $v = 330 \,m/s$.
સૌ પ્રથમ, $v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{220} = 1.5 \,m$.
એક કંપનમાં, ધ્વનિ તરંગ એક તરંગલંબાઇ $\lambda$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી, $80$ કંપનો માટે, કુલ અંતર $d$ થશે:
$d = 80 \times \lambda = 80 \times 1.5 = 120 \,m$.

(A) દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = f \lambda = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
જેમ જેમ સ્પંદ આગળ વધે છે તેમ તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી $\lambda \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
નીચેના છેડે,તણાવ $T_1$ એ $2 \ kg$ દળના બ્લોકને કારણે છે: $T_1 = 2g$.
દોરડાના ઉપરના છેડે,તણાવ $T_2$ એ બ્લોક $(2 \ kg)$ અને દોરડા $(6 \ kg)$ બંનેનું વજન ઉઠાવે છે: $T_2 = (2 + 6)g = 8g$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 0.06 \ m$,તેથી $\lambda_2$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0.06 \times \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 0.06 \times \sqrt{4} = 0.06 \times 2 = 0.12 \ m$.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = a \sin(2 \pi n t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$2 \pi n_1 = 2000 \pi$,જે $n_1 = 1000 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીજા તરંગ માટે,$2 \pi n_2 = 2008 \pi$,જે $n_2 = 1004 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{\text{beat}} = |n_2 - n_1| = |1004 - 1000| = 4 \text{ Hz}$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ $n_A, n_B, n_C$ છે જ્યાં $n_A > n_B > n_C$ છે.
જ્યારે ફોર્ક $A$ અને $B$ ને એકસાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $n_1 = n_A - n_B$ છે (સમીકરણ $i$).
જ્યારે ફોર્ક $A$ અને $C$ ને એકસાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $n_2 = n_A - n_C$ છે (સમીકરણ $ii$).
આપણે $B$ અને $C$ ને એકસાથે વગાડતી વખતે બીટ આવૃત્તિ શોધવી છે,જે $n_B - n_C$ છે.
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(n_A - n_C) - (n_A - n_B) = n_2 - n_1$
$n_A - n_C - n_A + n_B = n_2 - n_1$
$n_B - n_C = n_2 - n_1$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $n_2 - n_1$ છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 5.0 \ m$ અને $\lambda_2 = 5.5 \ m$. ધ્વનિનો વેગ $v = 300 \ m/s$.
તરંગની આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{300}{5.0} = 60 \ Hz$.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{300}{5.5} = \frac{3000}{55} \approx 54.55 \ Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $n_{beats} = |n_1 - n_2| = |60 - 54.55| = 5.45 \ Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બીટ્સની સંખ્યા આશરે $5 \ Hz$ અથવા $6 \ Hz$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$6 \ Hz$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = 264 \,Hz$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $V = 330 \,m/s$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદ $\ell = (2k-1) \frac{\lambda}{4}$ લંબાઈ પર થાય છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{V}{n} = \frac{330}{264} = 1.25 \,m = 125 \,cm$ છે.
આમ,શક્ય લંબાઈઓ $\ell = (2k-1) \frac{125}{4} = (2k-1) \times 31.25 \,cm$ છે.
$k=1$ માટે,$\ell = 31.25 \,cm$.
$k=2$ માટે,$\ell = 3 \times 31.25 = 93.75 \,cm$.
$k=3$ માટે,$\ell = 5 \times 31.25 = 156.25 \,cm$.
આ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$62.50 \,cm$ એ $31.25 \,cm$ નો એકી ગુણાંક નથી,તેથી તે શક્ય નથી.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપમાં, માત્ર મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક જ ઉત્પન્ન થાય છે $(f_n = (2n-1)f_0)$, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.
આ આવૃત્તિઓ $f_1 = f_0$, $f_2 = 3f_0$, $f_3 = 5f_0$, $f_4 = 7f_0$ વગેરે છે.
બંધ પાઇપમાં બે ક્રમિક હાર્મોનિક્સ વચ્ચેનો તફાવત $2f_0$ હોય છે.
અહીં આપેલી ક્રમિક આવૃત્તિઓ $150 \,Hz$ અને $250 \,Hz$ છે, તેથી તેમનો તફાવત $250 \,Hz - 150 \,Hz = 100 \,Hz$ થાય.
આથી, $2f_0 = 100 \,Hz$, જેનો અર્થ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 50 \,Hz$ છે.

(C) એક કંપન માટેનો સમયગાળો $T = \frac{1}{n} \ s$ છે.
$x$ કંપનો માટે લાગતો કુલ સમય $t = x \times T = \frac{x}{n} \ s$ થાય.
સમય $t$ માં તરંગ દ્વારા કપાયેલું અંતર $d = V \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $d = V \times \frac{x}{n} = \frac{xV}{n} \ m$ મળે છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
અહીં $-q, Q, -q$ વિદ્યુતભારો $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે,તેથી જોડીઓ આ મુજબ છે: $(-q, Q)$ અંતર $x$ પર,$(Q, -q)$ અંતર $x$ પર,અને $(-q, -q)$ અંતર $2x$ પર.
કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(Q)}{x} + \frac{(Q)(-q)}{x} + \frac{(-q)(-q)}{2x} \right) = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 x}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$):
$-qQ - qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$-2qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$2qQ = \frac{q^2}{2}$
બંને બાજુ $2q$ વડે ભાગતા (ધારો કે $q \neq 0$):
$Q = \frac{q}{4}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q}{q} = \frac{1}{4}$ થાય.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $2L$ છે. $+q$ વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ પર છે,અને $-q$ વિદ્યુતભારો $D$ અને $C$ પર છે. બિંદુ $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
અંતર $AP = PB = L$.
$P$ થી $D$ અને $C$ સુધીનું અંતર પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $\triangle ADP$ અને $\triangle BCP$ માં શોધી શકાય છે:
$PD = PC = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = \sqrt{5}L$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{PD} + \frac{-q}{PC} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નું રેખા સંકલન એ લૂપમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
આપેલ આકૃતિમાં,$5 \ A$ અને $2 \ A$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા બે તાર લૂપની અંદર છે. આ પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}} = 5 \ A - 2 \ A = 3 \ A$ થાય છે.
$3 \ A$ પ્રવાહ ધરાવતો તાર લૂપની બહાર છે,તેથી તે કુલ ઘેરાયેલા પ્રવાહમાં ફાળો આપતો નથી.
તેથી,રેખા સંકલનનું મૂલ્ય $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 \times 3 \ A = 3 \mu_0$ થાય છે.

(C) બે સમાંતર લાંબા વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ છે.
જ્યારે એક વાહકમાં પ્રવાહ બમણો $(I_1' = 2I_1)$ કરવામાં આવે છે અને તેની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો પ્રવાહ $-2I_1$ થાય છે. અંતર વધારીને $d' = 3d$ કરવામાં આવે છે.
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે છે: $F' = \frac{\mu_0 (-2I_1) I_2}{2 \pi (3d)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $F' = -\frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$.
શરૂઆતના બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $F' = -\frac{2F}{3}$.

(D) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચેનું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_1$:
$A$ અને $B$ માં પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,બળ આકર્ષી પ્રકારનું ( $B$ તરફ) હશે.
$F_1 = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2 \pi x} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
$2$. $C$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_2$:
$A$ અને $C$ માં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું ($C$ થી દૂર) હશે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $2x$ છે.
$F_2 = \frac{\mu_0 I \cdot 2I}{2 \pi (2x)} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $F_1 = F_2$. જોકે,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી (એક $B$ તરફ આકર્ષી અને બીજું $C$ થી દૂર અપાકર્ષી),સદિશ સ્વરૂપમાં $F_1 = -F_2$ થાય.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = N i A B \sin \theta$.
અહીં,$N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,અને $\theta$ એ લૂપના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ટોર્ક $N, i, A, B,$ અને $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
તે લૂપના આકાર પર આધાર રાખતું નથી,જ્યાં સુધી ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઉર્જા માટે,$\cos \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 0^{\circ}$ પર થાય છે. તેથી,$U_{\text{min}} = -MB \cos 0^{\circ} = -MB(1) = -MB$.
મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા માટે,$\cos \theta$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 180^{\circ}$ પર થાય છે. તેથી,$U_{\text{max}} = -MB \cos 180^{\circ} = -MB(-1) = +MB$.
આમ,ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો અનુક્રમે $-MB$ અને $+MB$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડ માટે,તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ને $H = B / \mu_0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $H = (\mu_0 n I) / \mu_0 = n I$ મળે છે.
તેથી,લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $n I$ છે.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
અહીં,પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમય દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$I = \frac{e}{T}$.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi r}{V}$ છે.
$T$ ની કિંમત પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $I = \frac{e}{(2 \pi r / V)} = \frac{eV}{2 \pi r}$ મળે છે.
હવે,$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{eV}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_0 eV}{4 \pi r^2}$.

(D) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શરૂઆતનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી આંટાની સંખ્યા $n' = 2n$ અને નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = \frac{1}{3}I$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ નીચે મુજબ મળે:
$B' = \mu_0 n' I'$
$B' = \mu_0 (2n) \left(\frac{1}{3}I\right)$
$B' = \frac{2}{3} (\mu_0 n I)$
$B' = \frac{2}{3} B$
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું નવું મૂલ્ય $\frac{2B}{3}$ થશે.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $T$ આવર્તકાળ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે, તેથી સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{e}{T}$ થાય.
$T = \frac{2\pi r}{v}$ હોવાથી, $I = \frac{ev}{2\pi r}$ મળે.
આ કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 (ev/2\pi r)}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ધરા અવસ્થામાં $(n=1)$, બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h}$ અને $r = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$.
આ કિંમતો $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi} \cdot \left( \frac{e^2}{2\epsilon_0 h} \right) \cdot \left( \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2} \right)^2$
$B = \frac{\mu_0 e^3}{8\pi \epsilon_0 h} \cdot \frac{\pi^2 m^2 e^4}{\epsilon_0^2 h^4} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \epsilon_0^3 h^5}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે લૂપ્સ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$ છે.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2$ થાય (ધારો કે $B_1 > B_2$).
આપેલ છે કે $B = \frac{B_1}{2}$,તેથી:
$\frac{B_1}{2} = B_1 - B_2$
$B_2 = \frac{B_1}{2}$
$B_1$ અને $B_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{\mu_0 i_2}{2r_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i_1}{2r_1} \right)$
$\frac{i_2}{r_2} = \frac{i_1}{2r_1}$
$r_2 = 2r_1$ આપેલ હોવાથી,તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{i_2}{2r_1} = \frac{i_1}{2r_1}$
$\frac{i_2}{i_1} = 1$.

(D) જ્યારે બેટરીને ચોરસ ફ્રેમના વિકર્ણ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બે સમાન માર્ગોમાં વહેંચાઈ જાય છે.
દરેક માર્ગ ચોરસની બે બાજુઓનો બનેલો હોય છે.
પરિપથની સમપ્રમાણતાને કારણે,દરેક બાજુમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ ચોરસના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
ચોરસની કોઈપણ બાજુ માટે,કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેનાથી વિરુદ્ધ બાજુ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રના મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
આ વિરુદ્ધ બાજુઓમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન હોવાથી અને તેમની ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસરો કેન્દ્ર પર એકબીજાને નાબૂદ કરતી હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q = 100e$ એ $f = 1 \ r.p.s$ ની આવૃત્તિથી ભ્રમણ કરે છે.
તેથી,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf = 100e \times 1 = 100e \ A$ થાય.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 0.8 \ m$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \times 100e}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6}$.
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 100 \times 10^{-19} \mu_0 = 10^{-17} \mu_0 \ T$.

(B) ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \mu_0 n I$,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
અહીં $B \propto I$ હોવાથી,જો પ્રવાહ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે $(I_2 = 3I_1)$,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ મૂળ મૂલ્ય કરતાં ત્રણ ગણું થશે.
આપેલ છે કે $B_1 = 0.2 \ mT$ અને $I_2 = 3I_1$,તેથી:
$B_2 = 3 \times B_1 = 3 \times 0.2 \ mT = 0.6 \ mT$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$.
અહીં રીંગ પર $q$ વિદ્યુતભાર છે જે $f$ આવૃત્તિ (પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ) સાથે ફરે છે, તેથી સમતુલ્ય વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ એકમ સમયમાં પસાર થતા વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે。
આમ, $I = q \times f$.
$I$ ની આ કિંમતને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 (qf)}{2 R}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શરૂઆતમાં,$B_1 = \mu_0 n_1 I_1$.
આપેલ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટાડીને $20 \%$ કરવામાં આવે છે,તેથી નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = 0.2 I_1$.
પ્રતિ $cm$ આંટાની સંખ્યા પાંચ ગણી વધારવામાં આવે છે,તેથી નવી આંટાની ઘનતા $n_2 = 5 n_1$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \mu_0 n_2 I_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_2 = \mu_0 (5 n_1) (0.2 I_1) = \mu_0 n_1 I_1 (5 \times 0.2) = \mu_0 n_1 I_1 (1) = B_1$.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ એ $B_1$ જેટલું જ છે.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા લાંબા સીધા નળાકાર તારની અક્ષથી $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (તારની બહારના બિંદુઓ માટે, જ્યાં $R \ge \text{તારની ત્રિજ્યા}$)।
બંને કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન છે અને અંતર $R$ પણ સમાન છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ અને તારથી અંતર પર આધાર રાખે છે。
આથી, તારનો વ્યાસ તારની બહાર $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રને અસર કરતું નથી。
તેથી, $B_1 = B_2$।

(C) લાંબી સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
અહીં,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 4 \times 1000 = 4000$.
સોલેનોઈડની લંબાઈ $L = 2 \,m$.
તેથી,$n = \frac{N}{L} = \frac{4000}{2} = 2000 \text{ turns/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \,A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,Wb/Am) \times (2000 \text{ turns/m}) \times (5 \,A)$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 10000$.
$B = 4 \pi \times 10^{-3} \,T$.

(A) વર્તુળાકાર કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે.
આથી,ત્રિજ્યા $R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ થાય.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
પ્રવાહ $I$ ને કર્તા બનાવતા,$I = \frac{2 B R}{\mu_0}$ મળે.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = I A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ અને $R$ ના સૂત્રોને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$M = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ મળે છે.

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,'$n^{th}$' કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન '$L$' એ $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ '$M$' એ $M = \frac{e}{2m_e} L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$M$' ના સમીકરણમાં '$L$' ની કિંમત મૂકતા:
$M = \frac{e}{2m_e} \left( \frac{nh}{2\pi} \right) = \frac{enh}{4\pi m_e}$.
અહીં '$e$','$h$','$m_e$',અને '$\pi$' અચળાંકો હોવાથી,$M \propto n$ મળે છે.

(D) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ કક્ષીય ઈલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu_L)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{\mu_L}{L} = \frac{e}{2m}$.
આપેલ છે કે ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર $\frac{e}{m} = A \ C/kg$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{A}{2} \ C/kg$.

(C) $e$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપ અને $T$ આવર્તકાળ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે તેમ ધારો.
આ પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A = I \times (\pi r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે.
તેથી,$vr = \frac{L}{m}$.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = \frac{e}{2} \times \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{eL}{2m}$ મળે છે.

(D) વાહકની લંબાઈ $L$ એ વર્તુળાકાર લૂપનો પરિઘ બનાવે છે.
$L = 2 \pi r$,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$r = \frac{L}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $M = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right) = \frac{IL^2}{4 \pi}$.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = \frac{e}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે. $T = \frac{2 \pi r}{v}$ હોવાથી,$i = \frac{ev}{2 \pi r}$ મળે.
પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$M = \left(\frac{ev}{2 \pi r}\right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ મળે.
ઇલેક્ટ્રોનના દળ $m_{e}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$M = \frac{e}{2 m_{e}} (m_{e}vr)$ મળે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = m_{e}vr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = \frac{e}{2 m_{e}} \left(\frac{nh}{2 \pi}\right)$ મળે.

(D) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = I \times A$ છે।
અહીં, પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે મળતો પ્રવાહ $I = qf = ef$ છે, જ્યાં $f$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે।
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે।
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $M = (ef)(\pi r^2)$ મળે છે।
આપેલ છે: $r = 0.05 \,nm = 0.05 \times 10^{-9} \,m = 5 \times 10^{-11} \,m$, $f = 10^{16} \,Hz$, અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$M = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^{16} \,s^{-1}) \times (3.14) \times (5 \times 10^{-11} \,m)^2$.
$M = 1.6 \times 10^{-3} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-22}$.
$M = 1.6 \times 3.14 \times 25 \times 10^{-25}$.
$M = 125.6 \times 10^{-25} = 1.256 \times 10^{-23} \,A-m^2 \approx 1.26 \times 10^{-23} \,A-m^2$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 2e$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ હોવાથી,બળ $F = 2eE$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_{total}}$ થાય.
અહીં આપેલ દળ $m_{total} = 4m$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{2eE}{4m}$ થશે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $a = \frac{eE}{2m}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેની હાજરીમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળને લોરેન્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું બળ $\overrightarrow{F}_{e} = q\overrightarrow{E}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે લાગતું બળ $\overrightarrow{F}_{m} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ $\overrightarrow{F}$ એ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_{e} + \overrightarrow{F}_{m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$.

(D) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને તે જ અક્ષ પર પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
તેથી,વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ કાં તો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\sin(0^{\circ}) = 0$ અથવા $\sin(180^{\circ}) = 0$ મળે છે.
આમ,$F = 0$. ઇલેક્ટ્રોન કોઈ બળ અનુભવશે નહીં.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબકની દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબક $P$ માટે: $f_{P} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{P} B}{I_{P}}}$.
ચુંબક $Q$ માટે: $f_{Q} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{Q} B}{I_{Q}}}$.
આપેલ છે કે $f_{P} = 2 f_{Q}$ અને $I_{P} = 2 I_{Q}$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{f_{P}}{f_{Q}} = \sqrt{\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}} = 4$.
કારણ કે $I_{P} = 2 I_{Q}$,તેથી $\frac{I_{Q}}{I_{P}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{M_{P}}{M_{Q}} \cdot \frac{1}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_{P}}{M_{Q}} = 8$,અથવા $M_{P} = 8 M_{Q}$.

(C) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_{r}$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
અહીં આપેલ છે કે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_{r} = 0.85$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા: $0.85 = 1 + \chi$.
તેથી,$\chi = 0.85 - 1 = -0.15$.
આમ,માધ્યમની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $-0.15$ છે.

(A) આપેલ છે,ધાતુની પરમિએબિલિટી $\mu = 0.1256 \ TmA^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ છે.
$\pi = 3.14$ મૂકતા,$\mu_0 = 4 \times 3.14 \times 10^{-7} = 12.56 \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ મળે.
સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu_r$ એ માધ્યમની પરમિએબિલિટી અને શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટીનો ગુણોત્તર છે:
$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = \frac{0.1256}{12.56 \times 10^{-7}}$.
$\mu_r = \frac{12.56 \times 10^{-2}}{12.56 \times 10^{-7}} = 10^{-2} \times 10^7 = 10^5$.
આમ,સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $10^5$ છે.

(C) નિરપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\mu = \mu_r \mu_0$ છે.
અહીં સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 2000$ અને શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = 2000 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$.
$\mu = 8000 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\mu = 8 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 3 \,cm = 3 \times 10^{-2} \,m$, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$, ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 3 \,Am^2$.
મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $I$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કદ $V = L \times A = (3 \times 10^{-2} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 6 \times 10^{-6} \,m^3$.
મેગ્નેટાઈઝેશનની તીવ્રતા $I = \frac{M}{V} = \frac{3 \,Am^2}{6 \times 10^{-6} \,m^3}$.
$I = 0.5 \times 10^6 \,A/m = 5 \times 10^5 \,A/m$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો ન્યુક્લિયસ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો બંને ભાગોનું વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$
ન્યુક્લિયર દળ $m$ એ કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $m \propto r^3$):
$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
દળનો ગુણોત્તર મૂકતા:
$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{1}{2}$
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = \frac{1}{2^{1/3}}$

(A) આપેલ છે: ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0 = 8 \times 10^{16}$,અર્ધ-આયુષ્ય $T = 15 \text{ દિવસ}$,અને કુલ સમય $t = 60 \text{ દિવસ}$.
સૌ પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ગણો:
$n = \frac{t}{T} = \frac{60}{15} = 4$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times 10^{16} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times 10^{16} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{16}$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ પ્રારંભિક અને બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ} = N_0 - N = 8 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 7.5 \times 10^{16}$.

(D) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
$t$ સમય પછી,$X_1$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-5 \lambda t}$ છે.
$t$ સમય પછી,$X_2$ માટે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{4 \lambda}$.

(C) ધારો કે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_i = 100 \%$ છે।
$40 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ છે।
$85 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = 100 \% - 85 \% = 15 \%$ છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N(t) = N_i \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 30 \text{ મિનિટ}$ છે।
$N_1$ અને $N_2$ વચ્ચેના અંતરાલ માટે, બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $\frac{N_2}{N_1} = \frac{15 \%}{60 \%} = \frac{1}{4}$ છે।
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, તેથી લાગતો સમય બે અર્ધ-આયુષ્ય જેટલો થાય છે।
તેથી, લાગતો સમય $t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ મિનિટ} = 60 \text{ મિનિટ}$ છે।

(C) કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$ છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 1.33 = \frac{4}{3}$ છે.
પાણીની સાપેક્ષમાં કાચનો વક્રીભવનાંક ${}_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$ થાય.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{{}_w\mu_g}$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\sin C = \frac{1}{9/8} = \frac{8}{9}$ મળે.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ થશે.

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં,$\theta$ એ કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin \theta = \frac{1}{\mu}$.
બીજા કિસ્સામાં,પ્રકાશ હવામાંથી કાચમાં જાય છે. સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin i}{\sin r} = \mu$,જ્યાં $i = \theta$.
તેથી,$\sin r = \frac{\sin \theta}{\mu}$.
સમીકરણમાં $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ મૂકતા,આપણને $\sin r = \frac{1/\mu}{\mu} = \frac{1}{\mu^2}$ મળે છે.
આમ,વક્રીભવનકોણ $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu^2}\right)$ થશે.

(D) 'Circle of least confusion' એ ઓપ્ટિક્સમાં વપરાતો એક શબ્દ છે જે લેન્સ અથવા અરીસાની સિસ્ટમમાંથી પસાર થયેલા પ્રકાશના કિરણોના સૌથી નાના આડછેદના વિસ્તારને દર્શાવે છે.
તે ખાસ કરીને 'ગોલીય વિપથન' (Spherical aberration) સાથે સંકળાયેલું છે,જેમાં લેન્સની કિનારીઓમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણો કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા કિરણો કરતા અલગ બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય છે.
કારણ કે કિરણો એક જ બિંદુ પર એકત્રિત થતા નથી,તેથી છબી અસ્પષ્ટ દેખાય છે,અને ન્યૂનતમ અસ્પષ્ટતા ધરાવતા આ વિસ્તારને 'Circle of least confusion' કહેવામાં આવે છે.

(D) હવામાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(1)$
જ્યાં $n_g = \frac{3}{2}$ અને $f = 15 \,cm$ છે.
$n_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં તે જ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{f'}{f} = \frac{(n_g - 1)}{\left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right)}$
આપેલ કિંમતો $n_g = \frac{3}{2}$ અને $n_l = \frac{9}{5}$ મૂકતા:
$\frac{f'}{15} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{9/5} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{3}{2} \times \frac{5}{9} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{5}{6} - 1)} = \frac{1/2}{-1/6} = -3$
તેથી, $f' = -3 \times 15 = -45 \,cm$.

(B) મોટવણી,$m = -\frac{1}{4}$ (પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું હોવાથી,મોટવણી ઋણ લેવામાં આવે છે).
મોટવણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = \frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,જે આપણને $v = -\frac{u}{4}$ આપે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{-u/4} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$-\frac{4}{u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$-\frac{5}{u} = \frac{1}{f}$.
તેથી,$u = -5f$.
વસ્તુના અંતરનું મૂલ્ય $5f$ છે.

(A) પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને તેથી ઉલટું છે.
તેથી,મોટવણી $m = \frac{v}{u} = -n$,જેનો અર્થ છે કે $u = -\frac{v}{n}$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{v} - (-\frac{n}{v}) = \frac{1}{f}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1+n}{v} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = f(n+1)$ થાય.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 8 \,cm$. કણનું સરેરાશ સ્થાન $u_0 = -14 \,cm$ છે. કણનો કંપવિસ્તાર $A_p = 1 \,cm$ છે.
પ્રથમ, જ્યારે કણ સરેરાશ સ્થાન પર હોય ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_0$ શોધો:
$\frac{1}{v_0} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_0} = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7-4}{56} = \frac{3}{56}$
$v_0 = \frac{56}{3} \approx 18.67 \,cm$.
ત્યારબાદ, જ્યારે કણ અંતિમ સ્થાન $u_1 = -14 - 1 = -15 \,cm$ પર હોય ત્યારે પ્રતિબિંબનું સ્થાન $v_1$ શોધો:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{15} = \frac{15-8}{120} = \frac{7}{120}$
$v_1 = \frac{120}{7} \approx 17.14 \,cm$.
દોલિત પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર એ પ્રતિબિંબના સ્થાનો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$A_i = |v_0 - v_1| = |18.67 - 17.14| = 1.53 \,cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, કંપવિસ્તાર આશરે $2 \,cm$ છે.

(C) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}}$.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક જેટલો જ છે,તેથી $\mu_{lens} = \mu_{liquid}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_{rel} = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$.
તેથી,$\frac{1}{f} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f = \infty$ (કેન્દ્રલંબાઈ અનંત થઈ જશે).

(C) બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
અહીં $R_1 = 30 \ cm$ અને $R_2 = -30 \ cm$ (બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ),અને $\mu = 1.6$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{30} - \frac{1}{-30} \right) = 0.6 \times \left( \frac{2}{30} \right) = \frac{1.2}{30} = \frac{1}{25}$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 25 \ cm$ મળે છે.
અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલી હોવાથી,$f_{mirror} = 25 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 25 \ cm = 50 \ cm$ થાય.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વસ્તુના કદ જેટલું જ પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,મોટવણી $m = -1$ હોવી જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વસ્તુ લેન્સથી $2f$ અંતરે મૂકવામાં આવે અને પ્રતિબિંબ બીજી બાજુ $2f$ અંતરે રચાય.
અહીં પ્રતિબિંબ લેન્સથી $d$ અંતરે આવેલી દીવાલ પર રચાય છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = d$ છે.
પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ જેટલું હોવાથી,વસ્તુ અંતર $u$ પણ $d$ હોવું જોઈએ.
આમ,બે દીવાલો વચ્ચેનું કુલ અંતર $u + v = d + d = 2d$ થાય.
સમાન કદના વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર ઓછામાં ઓછું $4f$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$4f = 2d$,જે આપણને $f = \frac{d}{2}$ આપે છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $P = 1/f = (\mu - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$ છે.
સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા,
$P = (\mu - 1)(1/R + 1/R) = (\mu - 1)(2/R)$.
જ્યારે એક સપાટીને સમતલ બનાવવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$ થાય છે.
નવો પાવર $P' = (\mu - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu - 1)/R$.
$P'$ ની $P$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $P' = P/2$ મળે છે.
કેન્દ્રલંબાઈ $f' = 1/P'$ હોવાથી,$f' = 1/(P/2) = 2/P = 2f$.
તેથી,નવી કેન્દ્રલંબાઈ $2f$ અને નવો પાવર $P/2$ છે.

(A) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ છે: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
સમતલ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1)(\frac{1}{-\infty} - \frac{1}{-R}) = \frac{\mu_2 - 1}{-R} = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
તેથી,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.