MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે કણો $P$ અને $Q$ ના સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ છે.
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ મળે છે.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે $|\cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})| = 1$ હોય,તેથી $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,જ્યાં $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$.
આપેલ છે કે $d_{max} = \sqrt{2} a$,તેથી $\sqrt{2} a = 2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$.
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે દર્શાવે છે કે $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,કંપવિસ્તાર $A = 0.3 \,m$,આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{5} \,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \,rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = m\omega^2A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_{max} = (5 \times 10^{-3} \,kg) \times (10 \,rad/s)^2 \times (0.3 \,m)$.
$F_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.3 = 5 \times 10^{-1} \times 0.3 = 0.5 \times 0.3 = 0.15 \,N$.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{max} = \omega A = \frac{2 \pi}{T} A$.
અહીં,$A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક મહત્તમ વેગ $v = \frac{2 \pi A}{T}$ છે.
જો કંપવિસ્તાર ત્રણ ગણો $(A' = 3A)$ અને આવર્તકાળ બમણો $(T' = 2T)$ કરવામાં આવે,તો નવો મહત્તમ વેગ $V'_{max}$ નીચે મુજબ થશે:
$V'_{max} = \frac{2 \pi A'}{T'} = \frac{2 \pi (3A)}{2T} = \frac{3}{2} \left( \frac{2 \pi A}{T} \right) = 1.5 v$.
તેથી,નવો મહત્તમ વેગ $1.5 v$ થશે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ નો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે આવર્તકાળ એ કંપવિસ્તાર $A$ પર આધારિત નથી.
તેથી,આવર્તકાળમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
$S.H.M.$ માં રહેલા કણની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $E \propto A^2$,જો કંપવિસ્તાર $A$ ઘટાડવામાં આવે,તો કુલ ઉર્જા $E$ પણ ઘટશે.
આમ,આવર્તકાળ અચળ રહે છે જ્યારે કુલ ઉર્જા ઘટે છે.

(B) આપેલ છે: $m = 0.4 \,kg$, $f = \frac{16}{\pi} \,Hz$, $K.E. = 2 \,J$, $P.E. = 1.2 \,J$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{16}{\pi} = 32 \,rad/s$.
કુલ ઊર્જા $T.E. = K.E. + P.E. = 2 + 1.2 = 3.2 \,J$.
$S.H.M.$ માં કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (32)^2 \times A^2$.
$3.2 = 0.2 \times 1024 \times A^2$.
$3.2 = 204.8 \times A^2$.
$A^2 = \frac{3.2}{204.8} = \frac{32}{2048} = \frac{1}{64}$.
$A = \sqrt{\frac{1}{64}} = 0.125 \,m$.

(B) $S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
અહીં $a = 0.5 \,m/s^2$ અને $x = 0.02 \,m$ આપેલ છે.
$\omega^2 = \frac{a}{x} = \frac{0.5}{0.02} = 25 \,rad^2/s^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = 5 \,rad/s$ મળે છે.
મહત્તમ વેગ $V_{\max}$ નું સૂત્ર $V_{\max} = A \omega$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
અહીં $A = 0.1 \,m$ આપેલ છે.
તેથી,$V_{\max} = 0.1 \times 5 = 0.5 \,m/s$.

(D) $S.H.M.$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઝડપ $V_{\max}$ મધ્યમાન સ્થિતિએ મળે છે અને તે $V_{\max} = A\omega$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઝડપ $V$ એ મહત્તમ ઝડપના ચોથા ભાગની છે:
$V = \frac{1}{4} V_{\max}$
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{1}{4} (A\omega)$
$\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{4}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 - x^2 = \frac{A^2}{16}$
$x^2 = A^2 - \frac{A^2}{16} = \frac{15A^2}{16}$
$x = \frac{A\sqrt{15}}{4}$

(C) સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin (3t + 3)$ છે.
$S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $A = 5 \ cm$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3 \ rad/s$
$S.H.M.$ માં કણના મહત્તમ પ્રવેગનું સૂત્ર $a_{max} = A \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $a_{max} = 5 \times (3)^2$ મળે છે.
$a_{max} = 5 \times 9 = 45 \ cm \ s^{-2}$.

(C) પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ હેઠળ $S.H.M.$ કરતા પદાર્થ માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$.
આપેલ છે કે $F_1 = k_1 x$ અને $F_2 = k_2 x$,તેથી $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$ અને $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ થાય.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1 + k_2}$,તેથી $\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$.
$k_1$ અને $k_2$ ના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$ મળે છે.
તેથી,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$.

(C) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક દળ $m_1$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ છે.
નવા દળ $(m_1 + m_2)$ માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1} = 1 + \frac{m_2}{m_1}$.
ગુણોત્તર શોધવા માટે ગોઠવતા: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{T_2^2}{T_1^2} - 1 = \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_1^2}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{\ell}$.
જો ઘડિયાળ ઝડપથી ચાલતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેનો આવર્તકાળ $T$ ખૂબ ઓછો છે (તે ખૂબ ઝડપથી દોલનો પૂર્ણ કરે છે).
સમય સુધારવા માટે,આપણે આવર્તકાળ $T$ વધારવાની જરૂર છે.
કારણ કે $T$ એ લંબાઈ $\ell$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી લંબાઈ $\ell$ વધારવાથી આવર્તકાળ $T$ વધશે.
આવર્તકાળ એ ગોળાના દળ અને દોલનના કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે (નાના ખૂણાઓ માટે).

(A) $m$ દળ ધરાવતા કણનો $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ માટે,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$,તેથી $T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$.
બીજી સ્પ્રિંગ માટે,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$,તેથી $T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે.
શ્રેણી જોડાણ માટેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$.
$T_1^2$ અને $T_2^2$ ના પદો મૂકતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = T_1^2 + T_2^2$ મળે છે.
તેથી,$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k_s = \frac{K \cdot K}{K + K} = \frac{K}{2}$
સમાંતર જોડાણમાં,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k_p = K + K = 2K$
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,આવૃત્તિ $f_s$ છે:
$f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K/2}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}$
સમાંતર જોડાણ માટે,આવૃત્તિ $f_p$ છે:
$f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}$
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}} = \sqrt{\frac{K}{2M} \cdot \frac{M}{2K}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ જે $SHM$ કરે છે,તેના માટે બળ $F = kx$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે. આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$.
બળ $F_1$ માટે,$k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$.
બળ $F_2$ માટે,$k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે,ત્યારે અસરકારક બળ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k_1 + k_2}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$.
$k_1$ અને $k_2$ ના પદો મૂકતા,$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
તેથી,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ પર $m$ દળ છે. અન્ય બે દળો દ્વારા તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1$ અને $F_2$ છે,જ્યાં $F_1 = F_2 = G \frac{m^2}{L^2}$ છે.
આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. પરિણામી બળ $F$ નીચે મુજબ મળે:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{3} F_1 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$.
ત્રિકોણના કેન્દ્રથી દરેક દળનું અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mr \omega^2 = F$
$m \left( \frac{L}{\sqrt{3}} \right) \omega^2 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$
$\omega^2 = 3 G \frac{m}{L^3}$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી:
$\left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{3Gm}{L^3}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 L^3}{3Gm}$
$T \propto L^{3/2}$.

(A) સરળ લોલકની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં $d = \frac{R}{2}$ આપેલ હોવાથી,$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
ઊંડાઈ $d$ પર નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{l}}$ થાય.
$g' = \frac{g}{2}$ મૂકતા,$n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g/2}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right)$.
તેથી,$n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$.

(B) ચાકગતિ ઉર્જા $E$ ને $E = \frac{L^2}{2I}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $L = \sqrt{2IE}$.
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{I_2}{3} \implies I_2 = 3I_1$ અને $E_1 = 27E_2$.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\sqrt{2I_1E_1}}{\sqrt{2I_2E_2}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{E_1}{E_2}} = \sqrt{\frac{I_1}{3I_1} \cdot \frac{27E_2}{E_2}}$.
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 27} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$L_1 : L_2$ નો ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(C) ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે,તેથી $K \propto I f^2$ થાય.
આપેલ છે કે $f_2 = 2f_1$ અને $K_2 = \frac{K_1}{4}$,તેથી:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{I_2 f_2^2}{I_1 f_1^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times (2)^2$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times 4$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{16}$
કોણીય વેગમાન $L = I \omega = I(2\pi f)$ છે,તેથી $L \propto I f$ થાય.
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 f_2}{I_1 f_1} = \left(\frac{I_2}{I_1}\right) \times \left(\frac{f_2}{f_1}\right)$
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{1}{16} \times 2 = \frac{1}{8}$
તેથી,$L_2 = \frac{L}{8}$.

(D) પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_P = K_Q$ થાય.
તેથી,$\frac{L_P^2}{2I_P} = \frac{L_Q^2}{2I_Q}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_Q^2}{L_P^2} = \frac{I_Q}{I_P}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{L_Q}{L_P} = \sqrt{\frac{I_Q}{I_P}}$.
આપેલ છે કે $I_Q > I_P$,તેથી $\frac{I_Q}{I_P} > 1$ થાય.
આમ,$\sqrt{\frac{I_Q}{I_P}} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_Q}{L_P} > 1$.
તેથી,$L_Q > L_P$.

(B) કણનું કોણીય વેગમાન તેના સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાનના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ,સદિશ $\overrightarrow{L}$ એ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{p}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = rp \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મૂલ્ય $L$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે થાય છે.
તેથી,જ્યારે $\overrightarrow{p}$ એ $\overrightarrow{r}$ ને લંબ હોય ત્યારે $\overrightarrow{L}$ મહત્તમ હોય છે.

(A) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ પ્રારંભિક કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે: $L = I \omega = I^{\prime} \omega^{\prime}$.
આપેલ છે કે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime} = 2I$ છે,તેથી $2I \omega^{\prime} = I \omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^{\prime} = \frac{\omega}{2}$.
નવી ગતિઊર્જા $K^{\prime} = \frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{\prime 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$K^{\prime} = \frac{1}{2} (2I) \left( \frac{\omega}{2} \right)^2 = I \left( \frac{\omega^2}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} I \omega^2 \right) = \frac{K}{2}$.

(C) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ ને $I = MK^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ દળ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{r} = MR^2$ છે.
તેથી,$MR^2 = MK_{r}^2$,જે આપણને $K_{r} = R$ આપે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{d} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}MR^2 = MK_{d}^2$,જે આપણને $K_{d} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ આપે છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{r}}{K_{d}} = \frac{R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ થાય છે.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
જ્યારે ગોળાને $R'$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તકતીની તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ $I' = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2} MR'^2 + MR'^2 = \frac{3}{2} MR'^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $I' = I$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} MR'^2 = \frac{2}{5} MR^2$.
બંને બાજુથી $M$ દૂર કરતા,આપણને $R'^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$R' = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2}{\sqrt{15}} R$ મળે છે.

(A) તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $M = 1 \,kg$ અને $R = 2 \,m$ આપેલ છે,તેથી $I_{cm} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = 2 \,kg \cdot m^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$XY$ અક્ષને સમાંતર અને તકતીની ધારમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $d = R$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે।
કિંમતો મૂકતા,$I' = 2 + (1 \times 2^2) = 2 + 4 = 6 \,kg \cdot m^2$.

(B) $YY'$ અક્ષ ઉપરની રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તે રીંગનો વ્યાસ છે. તેથી,ઉપરની રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
નીચેની બે રીંગો માટે,$YY'$ અક્ષ એ દરેક રીંગના સમતલમાં રહેલો સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,રીંગના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ થાય.
આવી બે નીચેની રીંગો હોવાથી,તેમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 + I_3 = \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = 3 MR^2$ થશે.
આમ,$YY'$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = \frac{7}{2} MR^2$ મળે છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ આપેલ છે. પ્રથમ રીંગનું દળ $M_1 = \lambda(2\pi R)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
તેથી,$I_1 = M_1 R_1^2 = (2\pi R \lambda) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
બીજી રીંગનું દળ $M_2 = \lambda(2\pi nR)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_2 = nR$ છે.
તેથી,$I_2 = M_2 R_2^2 = (2\pi nR \lambda) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
પદો મૂકતા: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$n^3 = 8$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $n = 2$ મળે છે.

(A) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ તેના દળ $m$ અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ના પદમાં $I = mK^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય વેગ $\omega$ સાથે $L = I\omega$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$I$ માટેનું સૂત્ર કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $L = (mK^2)\omega$ મળે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ શોધવા માટે આ સમીકરણને ગોઠવતા,$\omega = \frac{L}{mK^2}$ મળે છે.

(A) ઉપરના ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી $YY'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
નીચેના બે ગોળાઓ માટે,$YY'$ અક્ષ તેમના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દરેક નીચેના ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ થશે.
તેથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 2 \times I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + 2 \times \frac{7}{5} MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{14}{5} MR^2 = \frac{16}{5} MR^2$ થશે.

(C) કોઈ પદાર્થની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી $i$-મા કણનું લંબ અંતર છે.
આપેલ દળના વિતરણ માટે,જો દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી સરેરાશ વધુ અંતરે વિતરિત થયેલું હોય,તો જડત્વની ચાકમાત્રા વધુ હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણીય લેમિના $PQR$ માં,અક્ષ $QR$ એ ત્રિકોણની બાજુ છે. લેમિનાનું સમગ્ર દળ એવી રીતે વિતરિત થયેલું છે કે મોટાભાગનું ક્ષેત્રફળ (અને તેથી દળ) અક્ષ $PQ$ અથવા $PR$ ની તુલનામાં અક્ષ $QR$ થી વધુ સરેરાશ અંતરે રહેલું છે.
તેથી,અક્ષ $QR$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ હશે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
ધારો કે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે. તો લૂપના દળ $M_P = 2\pi R_1 m$ અને $M_Q = 2\pi R_2 m$ થશે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = M_P R_1^2 = (2\pi R_1 m) R_1^2 = 2\pi m R_1^3$ અને $I_Q = M_Q R_2^2 = (2\pi R_2 m) R_2^2 = 2\pi m R_2^3$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{2\pi m R_1^3}{2\pi m R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
આપેલ છે કે $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{1}{8}$,તેથી $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = 2$.

(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = ML^2/12$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક છેડાથી $L/2$ અંતરે છે. નવી અક્ષ તે જ છેડાથી $L/4$ અંતરે છે.
તેથી,અંતર $d = |L/2 - L/4| = L/4$ થાય.
આ કિંમતોને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = ML^2/12 + M(L/4)^2$
$I = ML^2/12 + ML^2/16$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા:
$I = (4ML^2 + 3ML^2) / 48 = 7ML^2/48$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ છે. તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ છે. આપેલ છે કે $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,તેથી તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ છે.
તેમની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ થશે.

(C) આપેલ છે: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 4 \ rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = r\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = r\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $a_c = a_t$,તેથી $r\omega^2 = r\alpha$.
આ સમીકરણ $\omega^2 = \alpha$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\alpha} = \sqrt{4} = 2 \ rad/s$.
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $2 = 0 + 4t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = 2/4 = 1/2 \ s$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 0.4 \,m$,દળ $M = 1 \,kg$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 10 \,rad \,s^{-2}$.
તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \,m^2$.
ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = I \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tau = 0.08 \,kg \,m^2 \times 10 \,rad \,s^{-2} = 0.8 \,N \,m$.
કિનારી પર લાગતું સ્પર્શક બળ $F$ એ ટોર્ક સાથે $\tau = F \times R$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.8 \,N \,m}{0.4 \,m} = 2 \,N$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 0.4 \,m$,દળ $M = 1 \,kg$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 10 \,rad/s^2$.
તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{1 \times (0.4)^2}{2} = \frac{0.16}{2} = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। વળી,કિનારી પર લાગતા સ્પર્શક બળ $F$ માટે,$\tau = RF$.
બંનેને સરખાવતા: $RF = I\alpha$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{I\alpha}{R} = \frac{0.08 \times 10}{0.4} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \,N$.

(C) મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$K = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2 \omega^2}{4}$ મળે.
$\omega^2$ ને કર્તા બનાવતા,$\omega^2 = \frac{4K}{md^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = \sqrt{\frac{4K}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{K}{m}}$ થાય.

(A) દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$m$ દળ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે પરમાણુઓ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ થાય.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં કોણીય ઝડપ $\omega = 1 \ rad/s$ આપેલ છે,તેથી: $K = \frac{1}{2} I (1)^2 = \frac{1}{2} I$.
પ્રશ્ન મુજબ,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$ ના '$P$' ગણી છે: $I = P \cdot K$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા: $I = P \cdot (\frac{1}{2} I)$.
બંને બાજુ $I$ વડે ભાગતા: $1 = P \cdot \frac{1}{2}$.
તેથી,$P = 2$.

(D) જ્યારે કેન્દ્રત્યાગી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું થાય ત્યારે પદાર્થ વિષુવવૃત્ત પર વજનહીન બને છે,જે $R \omega^2 = g$ અથવા $\omega^2 = \frac{g}{R}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘન ગોળા માટે (પૃથ્વીને ઘન ગોળો માનતા),જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
$I$ અને $\omega^2$ ના મૂલ્યોને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} MR^2) \times (\frac{g}{R})$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$K = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times M \times R \times g = \frac{1}{5} MgR$.

(A) મીટર સ્કેલનું ગુરુત્વકેન્દ્ર $50 \text{ cm}$ ના નિશાન પર હોય છે। ફાચર આ બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે।
ફાચરથી '$W$' વજનનું અંતર $50 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 30 \text{ cm}$ છે।
ફાચરથી $25 \text{ g-wt}$ વજનનું અંતર $74 \text{ cm} - 50 \text{ cm} = 24 \text{ cm}$ છે।
સ્કેલ સમક્ષિતિજ રહે તે માટે, પીવોટ (ફાચર) ની આસપાસ ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ જેટલી હોવી જોઈએ:
$W \times 30 \text{ cm} = 25 \text{ g-wt} \times 24 \text{ cm}$
$W = \frac{25 \times 24}{30} \text{ g-wt}$
$W = \frac{600}{30} \text{ g-wt} = 20 \text{ g-wt}$

(B) સળિયામાંથી વહેતી ઉષ્માનો દર નીચે મુજબ છે: $Q = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
આ ઉષ્માનો ઉપયોગ બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે,તેથી $Q = mL$,જ્યાં $m$ એ ઓગળેલા બરફનું દળ છે અને $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mL = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
આપેલ કિંમતો: $K = 96 \,cal/(s \cdot m \cdot ^{\circ}C)$,$A = 10^{-3} \,m^2$,$\Delta \theta = 100^{\circ}C$,$t = 60 \,s$,$\ell = 1 \,m$,અને $L = 8 \times 10^4 \,cal/kg$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = \frac{96 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{1 \times 8 \times 10^4}$.
$m = \frac{96 \times 10^{-1} \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{576}{8 \times 10^5} = 72 \times 10^{-4} \,kg = 7.2 \times 10^{-3} \,kg$.

(C) વાહકમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{kA \Delta \theta}{d}$.
ઉષ્મીય વાહકતા $k$ ને કર્તા બનાવતા: $k = \frac{Q}{tA} \cdot \frac{d}{\Delta \theta}$.
આપેલ છે: ઉષ્મા ફ્લક્સ $\frac{Q}{tA} = 900 \ kcal / (min \cdot m^2) = \frac{900}{60} \ kcal / (s \cdot m^2) = 15 \ kcal / (s \cdot m^2)$.
જાડાઈ $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 15^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{15 \times 3 \times 10^{-2}}{15} = 3 \times 10^{-2} \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ}C)$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{s} = R + R = 2R$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta T}{R_{s}} \times t_{s} = \frac{\Delta T}{2R} \times 8 = \frac{4 \Delta T}{R}$ છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{\Delta T}{R_{p}} \times t_{p} = \frac{\Delta T}{R/2} \times t_{p} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$ છે.
બંને કિસ્સામાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q$ સમાન હોવાથી,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{4 \Delta T}{R} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$.
$t_{p}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_{p} = \frac{4}{2} = 2 \ s$ મળે છે.

(C) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\ell$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
જ્યારે તમામ રેખીય પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રિજ્યા $r$ એ $2r$ થાય છે અને લંબાઈ $\ell$ એ $2\ell$ થાય છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ થાય છે.
નવી લંબાઈ $\ell' = 2\ell$ થાય છે.
ઉષ્મા વહનનો નવો દર $Q'$ એ $Q' = \frac{kA'(\theta_1 - \theta_2)}{\ell'}$ દ્વારા મળે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $Q' = \frac{k(4A)(\theta_1 - \theta_2)}{2\ell} = 2 \left( \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell} \right) = 2Q$.

(B) ઉષ્મીય અવરોધ $(R_{th})$ એ તાપમાનના તફાવત $(\Delta T)$ અને ઉષ્માના વહન દર ($H$ અથવા ઉષ્મીય પ્રવાહ) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $R_{th} = \frac{\Delta T}{H}$
આપેલ છે:
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 28^{\circ} C$
ઉષ્માના વહનનો દર $H = 1400 \ cal s^{-1}$
ગણતરી:
$R_{th} = \frac{28}{1400} \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
$R_{th} = 0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
તેથી, ઉષ્મીય અવરોધ $0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$ છે.

(A) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વહનનો દર નીચે મુજબ છે: $\frac{Q}{At} = \frac{k \Delta \theta}{d}$.
આપેલ છે:
ઉષ્મા ફ્લક્સ $\frac{Q}{At} = 10 \ kcal / (s \cdot m^2)$
જાડાઈ $d = 1.8 \ cm = 1.8 \times 10^{-2} \ m$
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 9^{\circ} C$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = k \times \frac{9}{1.8 \times 10^{-2}}$
$10 = k \times \frac{9}{0.018}$
$10 = k \times 500$
$k = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} = 0.02 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$.

(D) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,જ્યાં $A = \pi r^2$.
આમ,$Q_1 = \frac{k \pi r_1^2 (T_1 - T_2)}{L_1}$.
જ્યારે લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે $L_2 = 2L_1$ અને $r_2 = 2r_1$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $Q_2 = \frac{k \pi r_2^2 (T_1 - T_2)}{L_2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \cdot \left( \frac{L_1}{L_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
તેથી,$Q_2 = 2 Q_1$.

(B) સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ એ એવી વસ્તુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે કોઈપણ તરંગલંબાઇના તમામ આપાત વિકિરણોનું શોષણ કરે છે. કિર્ચોફના ઉષ્મીય વિકિરણના નિયમ મુજબ,તેના વાતાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા કોઈપણ પદાર્થ માટે,તેની ઉત્સર્જકતા (emissivity) તેની શોષકતા (absorptivity) જેટલી હોય છે. કારણ કે સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થની શોષકતા $1$ હોય છે,તેથી તેની ઉત્સર્જકતા (ઉત્સર્જનનો ગુણાંક) પણ $1$ હોવી જોઈએ,જેને એકમ (unity) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{m})$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે,એટલે કે $\lambda_{m} T = b$.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોય છે $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{yellow}})$.
તારો '$Q$' વાદળી પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે અને તારો '$P$' પીળો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે,તેથી $\lambda_{Q} < \lambda_{P}$ થાય.
તેથી,$T_{Q} > T_{P}$,જેને $T_{P} < T_{Q}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$E = \sigma A T^4$,જ્યાં $T = 27^{\circ}C = 300 \ K$ છે.
જ્યારે લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/3$ ગણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (L/3) \times (B/3) = A/9$ થાય છે.
નવું તાપમાન $T' = 327^{\circ}C = 600 \ K$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત નવી ઉર્જા $E' = \sigma A' (T')^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(C) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં,ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય. કારણ કે આવૃત્તિ અને પ્રવેગક પોટેન્શિયલ અચળ રાખવામાં આવ્યા છે,તેથી આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા વધારવાથી એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા વધે છે,જે બદલામાં એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. તેથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ વધે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0$ છે.
આપેલ છે કે $K_2 = 3K_1$,તેથી:
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = 3\left(\frac{hc}{\lambda_1} - W_0\right)$.
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - 3W_0$.
$W_0$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$3W_0 - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2}$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right)$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.
તેથી,$W_0 = \frac{hc}{2}\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.

(A) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં,ફોટોકરંટ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
દરેક આપાત ફોટોન વધુમાં વધુ એક ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા માત્ર એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા દ્વારા નક્કી થાય છે.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા નક્કી કરે છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ (threshold frequency) કરતા વધારે હોય,પરંતુ તે ફોટોકરંટના મૂલ્યને અસર કરતી નથી.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $\phi_0 = h\nu_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$y = (KE)_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -h\nu_0$ ($Y$-અંતઃખંડ).
$1$. $X$-અંતઃખંડ $(A)$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $(KE)_{\max} = 0$:
$0 = h\nu - h\nu_0 \implies \nu = \nu_0 = A$.
$2$. $Y$-અંતઃખંડ $(B)$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\nu = 0$:
$(KE)_{\max} = -h\nu_0 = B$. $B$ એ અંતઃખંડનું મૂલ્ય દર્શાવતું હોવાથી,આપણે $|B| = h\nu_0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$Y$-અંતઃખંડના મૂલ્ય અને $X$-અંતઃખંડનો ગુણોત્તર:
$\frac{|B|}{A} = \frac{h\nu_0}{\nu_0} = h$.
આમ,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ એ $\frac{B}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા).

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ એ $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે. આ દર્શાવે છે કે $E$ માત્ર આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,ખાસ કરીને $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે દરેક ફોટોન એક ઈલેક્ટ્રોન સાથે આંતરક્રિયા કરીને ઉત્સર્જન પ્રેરે છે,તેથી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(N \propto I)$.

(C) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત પ્રવાહ $(i)$ $i = \frac{e}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ થાય છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ એ વિદ્યુતભારના વહનનો દર હોવાથી,$i = \frac{\Delta q}{\Delta t}$ લખી શકાય.
પ્રવાહ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$.
તેથી,કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $\Delta q = \frac{\Delta \phi}{R}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર માત્ર ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા કુલ ફેરફાર $(\Delta \phi)$ અને અવરોધ $(R)$ પર આધાર રાખે છે.

(C) $DC$ સર્કિટમાં સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર એક સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{R/2} = \frac{4}{R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{E}{R/4} = \frac{4 E}{R}$ થાય છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે:
$U = 25 \ mJ = 25 \times 10^{-3} \ J$
$I = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L = \frac{2U}{I^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{2 \times 25 \times 10^{-3}}{(50 \times 10^{-3})^2}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2500 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-3}}$
$L = 20 \ H$.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ત્રણેય ઇન્ડક્ટર્સના ડાબા છેડા બિંદુ $P$ સાથે અને જમણા છેડા બિંદુ $Q$ સાથે જોડાયેલા છે.
આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર્સ માટે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
અહીં $L_1 = L_2 = L_3 = 6 \ H$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \ H^{-1}$
તેથી,$L_{eq} = 2 \ H$.

(A) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતી કોઈલમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} LI_1^2$ છે.
ધારો કે નવો પ્રવાહ $I_2 = \frac{I_1}{2}$ છે અને નવી ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} LI_2^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{2} LI_2^2}{\frac{1}{2} LI_1^2} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2$.
$I_2 = \frac{I_1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{I_1 / 2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$E_2 = \frac{E_1}{4}$.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સર્કિટ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તણખા થતા અટકાવવા માટે આ ઉર્જા કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થવી જોઈએ.
કેપેસિટર દ્વારા સંગ્રહિત ઉર્જા $W = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = \frac{LI^2}{V^2} = L\left(\frac{I}{V}\right)^2$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય વિદ્યુતચાલક બળ (emf) નું સૂત્ર $e = B_{H} l v$ છે.
આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $l = 2500 \ m$
તારની ઝડપ $v = 10 \ m/s$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_{H} = 2 \times 10^{-5} \ T$
તારનો અવરોધ $R = 25 \ \Omega$
પ્રેરિત emf ની ગણતરી:
$e = (2 \times 10^{-5} \ T) \times (2500 \ m) \times (10 \ m/s) = 0.5 \ V$
હવે,ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ની ગણતરી:
$I = e / R = 0.5 \ V / 25 \ \Omega = 0.02 \ A$
તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $0.02 \ A$ છે.

(D) કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ફરતા $\ell$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$
આપેલ કિંમતો:
$B = 0.2 \times 10^{-4} \ T$
$\omega = 5 \ rad/s$
$\ell = 1 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-4}) \times 5 \times (1)^2$
$e = 0.5 \times 10^{-4} \ V$
$e = 50 \times 10^{-6} \ V = 50 \ \mu V$

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = B \ell v$
જ્યાં:
$B = 1.2 \, Wb \cdot m^{-2}$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$\ell = 0.6 \, m$ (વાહકની લંબાઈ)
$v = 10 \, ms^{-1}$ (વાહકની ઝડપ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = 1.2 \times 0.6 \times 10$
$E = 7.2 \, V$
તેથી, વાહકમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $7.2 \, V$ છે।

(B) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જેમ કે બહારના લૂપમાં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે અને વધે છે,તેથી અંદરના લૂપમાંથી પસાર થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ (સમતલની અંદરની તરફ) વધે છે.
આ અંદરની તરફના ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,અંદરના લૂપે બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું પડે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,બહારની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,અંદરના લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.

(A) જ્યારે કોઈ તાર ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $\ell$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે જમીન પર પહોંચતી વખતે તેનો વેગ $v$ એ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2g\ell$ દ્વારા મળે છે. અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,$v = \sqrt{2g\ell}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરતા $L$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય પ્રેરિત emf (electromotive force) $E = BLv$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,$v$ ની કિંમત emf ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $E = BL \sqrt{2g\ell}$ મળે છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,બંધ પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા એવી દિશામાં વહે છે કે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવને કોઈલ તરફ લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
આ ફ્લક્સના વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,કોઈલે ચુંબકની સામેની બાજુએ ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તવું પડે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જે સપાટી ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે તેમાં પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
તેથી,કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.

(D) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ હોવાથી, $B = \frac{\phi}{A}$ થાય.
$B$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\phi}{A} = \frac{\mu_0 NI}{L}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $NIA = \frac{\phi L}{\mu_0}$.
અહીં $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \, Wb$, $L = 0.6 \, m$, અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7}}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $4 \pi \approx 12.56$ થાય.
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{0.942 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{9.42}{12.56} \approx 0.75 \, Am^2$.

(B) ગતિ કરતા તારમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $e = 0.5 \, T \times 1 \, m \times 2 \, m/s = 1 \, V$.
તારને અચળ ઝડપે ગતિશીલ રાખવા માટે કરવામાં આવતા કાર્યનો દર એ અવરોધ $R$ માં વ્યય થતા પાવર જેટલો હોય છે।
પાવર $P = \frac{e^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(1 \, V)^2}{6 \, \Omega} = \frac{1}{6} \, W$.

(C) આપેલ છે: $\phi = 5t^2 - 6t + 9$ અને $R = 20 \ \Omega$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = -\frac{d}{dt}(5t^2 - 6t + 9) = -(10t - 6)$.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળનું મૂલ્ય $|e| = |10t - 6|$ છે.
$t = 0.2 \ s$ સમયે,$|e| = |10(0.2) - 6| = |2 - 6| = |-4| = 4 \ V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{|e|}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$i = \frac{4 \ V}{20 \ \Omega} = 0.2 \ A$.

(B) $N$ આંટા ધરાવતી કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ $N\phi = LI$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\phi$ એ દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
આમ,ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{N\phi}{I}$ થાય.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}LI^2$ છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{N\phi}{I} \right) I^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $U = \frac{1}{2} N\phi I$ અથવા $U = \frac{N\phi I}{2}$ મળે છે.

(D) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (e.m.f) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{\phi_2 - \phi_1}{t}$.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 0.06 \ m^2$,આંટાની સંખ્યા $N = 600$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$,સમય $t = 0.2 \ s$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\phi_1 = BA \cos 0^{\circ} = BA$.
$90^{\circ}$ જેટલું ફેરવ્યા પછી,કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ}$ અને $\phi_2 = BA \cos 90^{\circ} = 0$.
પ્રેરિત સરેરાશ e.m.f નું મૂલ્ય:
$|e| = N \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t} = N \frac{|0 - BA|}{t} = \frac{NBA}{t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$|e| = \frac{600 \times 5 \times 10^{-5} \times 0.06}{0.2} = \frac{1.8 \times 10^{-3}}{0.2} = 9 \times 10^{-3} \ V$.

(D) ઓહ્મના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = I \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: પ્રવાહ $(I)$ = $1.5 \, mA = 1.5 \times 10^{-3} \, A$ અને અવરોધ $(R)$ = $5 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $e = (1.5 \times 10^{-3} \, A) \times (5 \, \Omega) = 7.5 \times 10^{-3} \, V$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે, એટલે કે $e = \frac{d\phi}{dt}$.
તેથી, જે દરે વાહક ચુંબકીય ફ્લક્સને કાપે છે તે $\frac{d\phi}{dt} = 7.5 \times 10^{-3} \, Wb/s$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત e.m.f. $(|e|)$ નું મૂલ્ય એ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ ના સમય $(t)$ ની સાપેક્ષમાં ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$|e| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$
આપેલ છે કે $\phi = 3t^2 + 4t + 7$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t + 7) = 6t + 4$
$t = 2 \ s$ સમયે:
$|e| = 6(2) + 4 = 12 + 4 = 16 \ V$
તેથી, પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $16 \ V$ છે.

(A) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \, T$
ભુજ $PQ$ ની લંબાઈ, $\ell = 12 \, cm = 0.12 \, m$
ભુજનો વેગ, $v = 20 \, ms^{-1}$
લૂપનો અવરોધ, $R = 2 \, \Omega$
ગતિશીલ ભુજમાં પ્રેરિત ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચે મુજબ છે:
$e = B \ell v$
$e = 0.1 \, T \times 0.12 \, m \times 20 \, ms^{-1}$
$e = 0.24 \, V$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{e}{R}$
$I = \frac{0.24 \, V}{2 \, \Omega} = 0.12 \, A$
તેથી, લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $0.12 \, A$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ આંટાની સંખ્યા $N$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને કોઈલના ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ નો ગુણાકાર છે.
$\phi = N \cdot B \cdot A = N \cdot \left( \frac{\mu_0 NI}{2R} \right) \cdot \pi R^2 = \frac{\mu_0 N^2 \pi R I}{2}$.
આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $L$ ને $L = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $L = \frac{\mu_0 N^2 \pi R}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે:
સોલેનોઈડની લંબાઈ,$\ell = 31.4 \ cm = 0.314 \ m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 10^{-3} \ m^2$
કુલ આંટાની સંખ્યા,$N = 500$
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વનું સૂત્ર:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{(4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times 10^{-3}}{0.314}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 250000 \times 10^{-3}}{0.314}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 \times 10^{-3}}{0.314}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.314}$
$L = 4 \times 10 \times 2.5 \times 10^{-5} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \ H$

(A) પાસપાસેની કોઈલમાં પ્રેરિત emf $e$ નું સૂત્ર $e = M \frac{dI}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે $I = 10 \sin(100 \pi t)$, તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર:
$\frac{dI}{dt} = 10 \times 100 \pi \cos(100 \pi t) = 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
આ કિંમત emf ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e = M \times 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
પ્રેરિત emf $e_0$ નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(100 \pi t) = 1$ હોય, તેથી $e_0 = 1000 \pi M$.
આપેલ છે કે $e_0 = 5 \pi \text{ V}$, તેથી $1000 \pi M = 5 \pi$.
$M$ માટે ગણતરી કરતા: $M = \frac{5 \pi}{1000 \pi} = 0.005 \text{ H} = 5 \text{ mH}$.

(D) $n$ આંટા ધરાવતી કોઈલ માટે કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળણ (flux linkage) $N\phi_{total} = L I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$\phi_{total}$ એ એક આંટા દીઠ ફ્લક્સ છે,$L$ એ આત્મપ્રેરકત્વ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
અહીં આપેલ છે કે એક આંટા દીઠ ફ્લક્સ $\phi$ છે અને આંટાની સંખ્યા $n$ છે,તેથી કુલ ફ્લક્સ સાંકળણ $n\phi$ થશે.
તેથી,સંબંધ $n\phi = LI$ થાય.
$\phi$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $\phi = \frac{LI}{n}$ મળે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા મોટા ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R \gg r$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot (\pi r^{2})$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \cdot (\pi r^{2})$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_{0} \pi r^{2}}{2R}$.
અહીં $\mu_{0}$,$\pi$ અને $2$ અચળાંક હોવાથી,$M \propto \frac{r^{2}}{R}$ થાય છે.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વીજભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કણો સમાન હોવાથી,ધારો કે $q_1 = q_2 = q$. શરૂઆતમાં અંતર $r_1 = Y$ છે,તેથી $F_1 = k \frac{q^2}{Y^2} = F$.
જ્યારે અંતર અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $r_2 = \frac{Y}{2}$ થાય છે.
નવું બળ $F_2 = k \frac{q^2}{(Y/2)^2} = k \frac{q^2}{Y^2 / 4} = 4 \left( k \frac{q^2}{Y^2} \right)$ મળે છે.
$F_1 = F$ કિંમત મૂકતા,આપણને $F_2 = 4F$ મળે છે.

(D) પોલિથીન પરનો વીજભાર $q = 4 \times 10^{-7} \ C$ છે.
વીજભારના ક્વોન્ટમીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ વીજભાર $q = Ne$ થાય,જ્યાં $N$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e$ એ મૂળભૂત વીજભાર છે.
અહીં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ આપેલ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $N = \frac{q}{e}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{4 \times 10^{-7}}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$N = \frac{4}{1.6} \times 10^{-7 - (-19)} = 2.5 \times 10^{12}$.
આમ,સ્થાનાંતરિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2.5 \times 10^{12}$ છે.

(B) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે $+q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. વિદ્યુતભાર $Q$ મધ્યમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,તેથી દરેક $+q$ વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર $r/2$ છે.
બે $+q$ વિદ્યુતભારોને કારણે મધ્યમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તે પહેલેથી જ સંતુલનમાં છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈ એક $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બીજા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે એક $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ (અપાકર્ષી) છે.
કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે આ $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{(r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2}$ છે.
સંતુલન માટે,$F_1 + F_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F_1 = -F_2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = -\left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2} \right)$.
$q^2 = -4qQ$.
$Q = -\frac{q}{4}$.

(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,'$d$' અંતરે રહેલા બે '$q$' વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{d^2}$
આયનો ધન હોવાથી,દરેક આયન પરનો વિદ્યુતભાર '$n$' ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવવાને કારણે છે,તેથી $q = ne$.
$q = ne$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(ne)^2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{n^2 e^2}{d^2}$
હવે,'$n$' માટે ઉકેલતા:
$n^2 = \frac{F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d^2}{e^2}$
$n = \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 F d^2}{e^2}}$

(A) શરૂઆતના વિદ્યુતભારો $q_1 = 3 \mu C$ અને $q_2 = 8 \mu C$ છે. કુલંબના નિયમ મુજબ તેમની વચ્ચેનું બળ: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 40 \ N$.
જ્યારે દરેક પર $-5 \mu C$ નો વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 3 \mu C - 5 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$
નવું બળ $F'$ છે:
$F' = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(3)}{r^2} = -6k \frac{1}{r^2}$
નવા બળને શરૂઆતના બળ વડે ભાગતા:
$\frac{F'}{40} = \frac{k \frac{(-2)(3)}{r^2}}{k \frac{(3)(8)}{r^2}} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$
$F' = 40 \times (-\frac{1}{4}) = -10 \ N$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર $q$ મૂલ્યના ત્રણ વિદ્યુતભારો છે।
કોઈપણ એક શિરોબિંદુ પરના વિદ્યુતભારનો વિચાર કરો। તે બાકીના બે વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બે અપાકર્ષી બળો અનુભવે છે, જેનું મૂલ્ય $F$ છે।
આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે (સમબાજુ ત્રિકોણનો અંતઃકોણ)।
પરિણામી બળ $R$ સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
અહીં $F_1 = F$, $F_2 = F$, અને $\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$ હોવાથી:
$R = \sqrt{2 F^2 + 2 F^2 (0.5)} = \sqrt{2 F^2 + F^2} = \sqrt{3 F^2} = \sqrt{3} F$.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ ની બનેલી હોય છે,જે $2\ell$ અંતરે અલગ થયેલા હોય છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં,ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE$ એ ક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_- = -qE$ એ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -P \cdot E = -PE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ $P$ એ ક્ષેત્રની દિશામાં હોય,ત્યારે ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થાય છે.
આમ,$U = -PE \cos(0^{\circ}) = -PE$,જે શક્ય ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે (સ્થાયી સંતુલન).

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2 k \lambda}{r} \sin \alpha$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2\alpha$ એ ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલો કુલ ખૂણો છે.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,આંતરેલો કુલ ખૂણો $180^{\circ}$ છે,તેથી $2\alpha = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ અને $\alpha = 90^{\circ}$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{2 (\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}) \lambda}{r} \sin(90^{\circ})$
કારણ કે $\sin(90^{\circ}) = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન બળની દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,$L$ અંતર કાપવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times L = qEL$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2} mv^2 = qEL$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = \frac{2qEL}{m}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$.

(B) વિદ્યુતભારીત ગોળાના કેન્દ્રથી '$r$' અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ કુલંબના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \quad (1)$
'$r$' ત્રિજ્યા અને સમાન કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા '$\rho$' ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $q$ નીચે મુજબ છે:
$q = \rho \times \text{કદ} = \rho \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$q$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$

(B) જ્યારે ગોળાઓને ધાતુના તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
ધારો કે નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $r_2 = 4r_1$ છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1}{r_1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_2}{r_2}$.
તેથી,$\frac{q_2}{q_1} = \frac{r_2}{r_1} = 4$.
ગોળાની સપાટીની નજીકનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{q_2}{q_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right) \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{r_1}{r_2}$.
$r_2 = 4r_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{E_2}{E_1} = \frac{r_1}{4r_1} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,મોટા ગોળાની નજીકનું વિદ્યુતક્ષેત્ર નાના ગોળાની નજીકના વિદ્યુતક્ષેત્ર કરતાં ચોથા ભાગનું છે.

(A) $1$. સ્થિત વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે વાહક કવચના કેન્દ્ર પર $-q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે તે માટે કવચની આંતરિક સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર $+q$ પ્રેરિત થાય છે.
$2$. હવે કવચની આંતરિક સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે. આંતરિક સપાટી પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{inner} = \frac{q}{4 \pi r_1^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ હોવાથી અને આંતરિક સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણ માટે બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{outer} = Q - q$ હોવો જોઈએ.
$4$. બાહ્ય સપાટી પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{outer} = \frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$. તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\frac{q}{4 \pi r_1^2}$ અને $\frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ છે.

(B) ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_s = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
કેન્દ્રથી $5R$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_p = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{5R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{R} - \frac{1}{5R}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{4}{5R}) = \frac{q}{5\pi\epsilon_0 R}$ થાય.
આના પરથી,વિદ્યુતભાર $q = \frac{5\pi\epsilon_0 RV}{1}$ મળે.
$r = 5R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(5R)^2} = \frac{q}{100\pi\epsilon_0 R^2}$ થાય.
$q$ ની કિંમત $V$ ના પદમાં મૂકતા: $E = \frac{1}{100\pi\epsilon_0 R^2} \cdot (5\pi\epsilon_0 RV) = \frac{5}{100} \frac{V}{R} = \frac{V}{20R}$.

(D) રિંગના કેન્દ્ર પર નાના વિદ્યુતભાર ઘટક $dq$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-રિંગ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને અર્ધ-રિંગની લંબાઈ $(L = \pi R)$ નો ગુણાકાર છે.
તેથી,$q = \sigma \cdot \pi R$.
કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ સમગ્ર અર્ધ-રિંગ પર $dV$ નું સંકલન છે:
$V = \int dV = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \int dq$.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma \pi R$ મૂકતા:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \cdot (\sigma \pi R) = \frac{\sigma}{4 \epsilon_0}$.

(D) ધારો કે ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{surface} = \frac{kQ}{r}$ છે.
કેન્દ્રથી $3r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{3r} = \frac{kQ}{3r}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = V_{surface} - V_{3r} = \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{3r} = \frac{2kQ}{3r}$.
આના પરથી,આપણને $kQ = \frac{3Vr}{2}$ મળે છે.
કેન્દ્રથી $3r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{kQ}{(3r)^2} = \frac{kQ}{9r^2}$.
$kQ$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{9r^2} \cdot \frac{3Vr}{2} = \frac{3V}{18r} = \frac{V}{6r}$.

(A) આપેલ છે કે બંને ગોલીય વાહકો સમાન સ્થિતિમાન $V$ પર છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોલીય વાહક માટે,સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી $V_1 = V_2$ હોવાથી,$\frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ની વ્યાખ્યા $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^2}$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1 / (4 \pi r_1^2)}{q_2 / (4 \pi r_2^2)} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2}$ થાય.
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}$ મળે છે.
અહીં $r_1 = 4 \ cm$ અને $r_2 = 5 \ cm$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{5}{4}$ થાય.

(A) $q$ વીજભાર અને $m$ દળ ધરાવતો કણ $V$ જેટલા વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પસાર થાય ત્યારે પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q$ વીજભાર ધરાવતા કણ $A$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_A^2 = qV$ (સમીકરણ $1$)
$4q$ વીજભાર ધરાવતા કણ $B$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_B^2 = 4qV$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{qV}{4qV} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $v_A : v_B$ એ $1:2$ થશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ સંબંધ $dV = -\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ આપણે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં આગળ વધીએ છીએ તેમ વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ સૌથી ડાબી બાજુએ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ત્રણેય બિંદુઓમાં સૌથી વધુ સ્થિતિમાન ધરાવે છે.
બિંદુ $A$ અને $C$ એ બિંદુ $B$ ની તુલનામાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં આગળ છે,તેથી તેમનું સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ કરતા ઓછું હશે.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ પર મહત્તમ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F$ સૂત્ર $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે અને પ્રોટોનને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = 5 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (5 \times 10^{11} \ NC^{-1})$
$F = 8.0 \times 10^{-8} \ N$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના બળનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-8} \ N$ છે.

(D) વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_s = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ છે.
કેન્દ્રથી $3r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 r}$ થાય.
આથી,$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{3}{2} Vr$ મળે.
$3r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (9r^2)}$ છે.
$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}$ ની કિંમત મૂકતા,$E = \frac{3Vr}{2(9r^2)} = \frac{V}{6r}$ મળે.