अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 का हल क | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $x$ से विभाजित करने पर: $\fra

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$y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $x$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$ अवकल समीकरण को $I$.$F$. $(x^2)$ से गुणा करने पर: $x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = x^3$ इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx}(y \cdot x^2) = x^3$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y \cdot x^2 = \int x^3 dx$ $y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$ $x^2$ से विभाजित करने पर: $y = \frac{x^4 + 4C}{4x^2}$ चूंकि $4C$ एक स्वैच्छिक स्थिरांक है,इसे $C$ के रूप में लिखा जा सकता है: $y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल क्या है?

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अवकल समीकरण $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,जब $x = 0$ और $y = \frac{3\pi}{4}$ है।

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