int frac{1}{x^{2}left(x^{4}+1right)^{3 / 4}} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{dx}{x^{2}(x^{4}+1)^{3/4}} $ है। कोष्ठक से $ x^{4} $ बाहर निकालने पर: $ I = \int \frac{dx}{x^{2}[x^{4}(1 + \frac{1

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$ -\frac{\left(1+x^{4}\right)^{1 / 4}}{x}+C $

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(A) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{dx}{x^{2}(x^{4}+1)^{3/4}} $ है। कोष्ठक से $ x^{4} $ बाहर निकालने पर: $ I = \int \frac{dx}{x^{2}[x^{4}(1 + \frac{1}{x^{4}})]^{3/4}} $. व्यंजक को सरल करने पर: $ I = \int \frac{dx}{x^{2} \cdot x^{3}(1 + x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{x^{-5}}{(1 + x^{-4})^{3/4}} dx $. माना $ 1 + x^{-4} = t^{4} $. दोनों पक्षों का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$ -4x^{-5} dx = 4t^{3} dt $,जिसका अर्थ है $ x^{-5} dx = -t^{3} dt $. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $ I = \int \frac{-t^{3} dt}{t^{3}} = -\int dt = -t + C $. $ t = (1 + x^{-4})^{1/4} $ वापस रखने पर: $ I = -(1 + x^{-4})^{1/4} + C = -(\frac{x^{4}+1}{x^{4}})^{1/4} + C = -\frac{(1+x^{4})^{1/4}}{x} + C $.

$ \int \frac{1}{x^{2}\left(x^{4}+1\right)^{3 / 4}} dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt, n=1, 2, 3, \ldots$. तो

$\int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx = A \log(4x^2+4x+5) + B \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{2}\right) + c$,तो $A+B=$

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx = x \tan \left(\frac{x}{2}\right) + p \log \left|\sec \left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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