2 cos ^{-1} x = sin ^{-1} left( 2 x sqrt{1 - | vedclass

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Question

(C) माना $\cos ^{-1} x = y$,तो $x = \cos y$। चूँकि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $0 \leq y \leq \pi$।दिया गया समीकरण $2y = \sin ^{-1} (2

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$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$

Vedclass · Answer

(C) माना $\cos ^{-1} x = y$,तो $x = \cos y$। चूँकि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $0 \leq y \leq \pi$।दिया गया समीकरण $2y = \sin ^{-1} (2 \cos y \sin y) = \sin ^{-1} (\sin 2y)$ है।$\sin ^{-1} (\sin 2y) = 2y$ होने के लिए,$-\frac{\pi}{2} \leq 2y \leq \frac{\pi}{2}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$।$0 \leq y \leq \pi$ और $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ को मिलाने पर,हमें $0 \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।चूँकि $y = \cos ^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos ^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर (यह ध्यान में रखते हुए कि कोसाइन $[0, \pi]$ में एक ह्रासमान फलन है),हमें $\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।अतः,$1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$,यानी $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$।

$2 \cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \left( 2 x \sqrt{1 - x^2} \right)$,$x$ के किन मानों के लिए मान्य है?

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$\sin \left( {2{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right) + \cos ({\tan ^{ - 1}}(2\sqrt 2 ))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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