समूह $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में $\otimes_{7}$ के अंतर्गत,$4 \otimes_{7} x = 5$ का हल क्या है?

समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ के लिए निम्नलिखित गुणन सारणी दी गई है। $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ और $2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ का मान ज्ञात कीजिए।
(सारणी ऊपर दी गई है)

यदि $Q^{+}$ पर $a * b = 10ab$ है,तो $0.01$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि योग, व्यवकलन और गुणन $R$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं, लेकिन भाग $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है। इसके अतिरिक्त, सिद्ध कीजिए कि भाग शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

दिखाइए कि $N$ पर योग संक्रिया $+$ के लिए $-a$,$a \in N$ का प्रतिलोम नहीं है और $a \neq 1$ के लिए $N$ पर गुणन संक्रिया $\times$ के लिए $\frac{1}{a}$,$a \in N$ का प्रतिलोम नहीं है।

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a \,^* \,b = a^{2} + b^{2}$ के रूप में परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?