अवकल समीकरण y frac{dy}{dx} + x = c क्या दर्शा | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = c$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = (c - x) \, dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने

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वृत्तों का एक परिवार जिनके केंद्र $x$-अक्ष पर हैं

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = c$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = (c - x) \, dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int (c - x) \, dx$। इससे $\frac{y^2}{2} = cx - \frac{x^2}{2} + k$ प्राप्त होता है,जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है। $2$ से गुणा करने पर,$y^2 = 2cx - x^2 + 2k$,जो $x^2 - 2cx + y^2 = 2k$ में सरल हो जाता है। $x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2 - 2cx + c^2) + y^2 = 2k + c^2$। अतः,$(x - c)^2 + y^2 = R^2$,जहाँ $R^2 = 2k + c^2$ है। यह उन वृत्तों के परिवार का समीकरण है जिनके केंद्र $(c, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं।

अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = c$ क्या दर्शाता है?

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मान लीजिए $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0$,$y(0)=0$ है। तो $x=2$ पर,$y^{\prime \prime}+y+1$ का मान ज्ञात कीजिए:

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,जहाँ $x \in (-a, a)$,अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ (जहाँ $y \neq 0$) का हल है।

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