समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ एक गुणात्मक समूह (multiplicative group) नहीं है,क्योंकि इसमें किस नियम का पालन नहीं होता है?

मान लीजिए कि $*^{\prime}$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $a *^{\prime} b = a$ और $b$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या संक्रिया $*^{\prime}$ ऊपर दिए गए अभ्यास $4$ में परिभाषित संक्रिया $*$ के समान है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

माना $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। यदि $a, b \in A$ है और $a * b$ को $ab$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $*$ संक्रिया के अंतर्गत $2$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ पर निम्नलिखित गुणन सारणी द्वारा दी गई द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। क्या $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है?
(संकेत: निम्नलिखित सारणी का उपयोग करें)

$N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $a * b = a^{3} + b^{3}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सही उत्तर चुनें।

एक समूह $(G, *)$ में,$G$ के किसी अवयव $a$ के लिए,यदि $a^{2}=e$ है,जहाँ $e$ तत्समक अवयव है,तो