JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है: मुख्य स्केल रीडिंग $(MSR)$ = $1 \,mm$, सर्कुलर स्केल रीडिंग $(CSR)$ = $42$ डिवीजन, पिच = $1 \,mm$, सर्कुलर स्केल के कुल डिवीजन $(n)$ = $100$.
सबसे पहले, स्क्रू गेज का अल्पतमांक $(LC)$ ज्ञात करें:
$LC = \frac{\text{Pitch}}{n} = \frac{1 \,mm}{100} = 0.01 \,mm$.
कुल व्यास का सूत्र है:
$\text{Diameter} = MSR + (LC \times CSR)$.
मान रखने पर:
$\text{Diameter} = 1 \,mm + (0.01 \,mm \times 42) = 1 + 0.42 = 1.42 \,mm$.
प्रश्न के अनुसार, व्यास $\frac{x}{50} \,mm$ है:
$1.42 = \frac{x}{50}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 1.42 \times 50 = 71$.

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$dQ = du + dW$.
किसी प्रक्रिया के लिए,$C dT = C_V dT + P dV$,जहाँ $C$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
$dT$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $C = C_V + P \frac{dV}{dT}$.
दिया गया अवस्था समीकरण $PV^2 = RT$ है।
नियत दाब $P$ पर $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(2V) \frac{dV}{dT} = R$.
अतः,$P \frac{dV}{dT} = \frac{R}{2}$.
इस मान को $C$ के समीकरण में रखने पर:
$C = C_V + \frac{R}{2}$.

(B) $1$. बल आघूर्ण $(\tau) = r \times F$. विमीय सूत्र: $[M^1 L^2 T^{-2}]$। अतः,$A-IV$।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र $(B) = F / (qv)$। विमीय सूत्र: $[M^1 T^{-2} A^{-1}]$। अतः,$B-III$।
$3$. चुंबकीय आघूर्ण $(M) = I \times A$। विमीय सूत्र: $[L^2 A^1]$। अतः,$C-II$।
$4$. निर्वात की पारगम्यता $(\mu_0) = [B \cdot r^2 / (I \cdot l)]$। विमीय सूत्र: $[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]$। अतः,$D-I$।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-II, D-I$ है।

(B) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति $(V_{rms})$ का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है।
चूंकि गैसें एक ही नमूने में हैं,इसलिए उनका तापमान $(T)$ समान है।
अतः,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_w}}$.
हीलियम $(He)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ की रूट मीन स्क्वायर गति का अनुपात:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{w, O_2}}{M_{w, He}}}$.
हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M_{w, He} = 4 \ g/mol)$ और ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $(M_{w, O_2} = 32 \ g/mol)$ दिया गया है:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{2\sqrt{2}}{1}$ है।

(A) $m_1$ और $m_2$ $(m_2 > m_1)$ द्रव्यमान वाले एटवुड मशीन के लिए,त्वरण $a$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
दिया गया है कि $a = \frac{g}{\sqrt{2}}$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{g}{\sqrt{2}} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = \sqrt{2} m_2 - \sqrt{2} m_1$
$m_1 + \sqrt{2} m_1 = \sqrt{2} m_2 - m_2$
$m_1(1 + \sqrt{2}) = m_2(\sqrt{2} - 1)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$

(C) किसी कण की गतिज ऊर्जा $KE$ और उसके संवेग $p$ तथा द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
चूंकि चारों कणों का संवेग $p$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(KE \propto \frac{1}{m})$।
अतः,जिस कण का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी।
द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $\frac{m}{2} < m < 2m < 4m$.
कण $A$ का द्रव्यमान सबसे कम $\frac{m}{2}$ है।
इस प्रकार,कण $A$ की गतिज ऊर्जा अधिकतम है।

(B) ट्रेन विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। यह $t$ समय में समान त्वरण के साथ $v = 80 \ km/h$ की गति प्राप्त करती है।
त्वरण के दौरान तय की गई दूरी $(d_1)$ = $\text{औसत वेग} \times \text{समय} = \frac{0 + 80}{2} \times t = 40t \ km$.
इसके बाद,यह $3t$ समय के लिए $80 \ km/h$ की स्थिर गति से चलती है।
स्थिर गति के दौरान तय की गई दूरी $(d_2)$ = $80 \times 3t = 240t \ km$.
कुल दूरी = $d_1 + d_2 = 40t + 240t = 280t \ km$.
कुल समय = $t + 3t = 4t$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{280t}{4t} = 70 \ km/h$.

(D) जब गेंद नियत वेग (सीमांत वेग) से नीचे गिरती है,तो उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर लगने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
नियत वेग की स्थिति के अनुसार,त्वरण $a = 0$ है।
इसलिए,$mg - F_B - F_v = 0$,जिसका अर्थ है $F_v = mg - F_B$.
उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है: $F_B = V \rho_0 g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूँकि आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ है,इसलिए $F_B = \frac{m}{\rho} \rho_0 g$ प्राप्त होता है।
इस मान को $F_v$ के समीकरण में रखने पर:
$F_v = mg - \frac{m}{\rho} \rho_0 g$
$F_v = mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$.

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कोणीय संवेग $L = I\omega$ नियत रहता है।
चूंकि $I = \frac{2}{5}MR^2$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ होगा।
मान रखने पर:
$\left(\frac{2}{5}MR^2\right) \frac{2\pi}{T_1} = \left(\frac{2}{5}M(\frac{3}{4}R)^2\right) \frac{2\pi}{T_2}$
$R^2 \cdot \frac{1}{T_1} = (\frac{3}{4}R)^2 \cdot \frac{1}{T_2}$
$\frac{1}{T_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{T_2}$
$T_2 = \frac{9}{16} \cdot T_1$
यहाँ $T_1 = 24$ घंटे दिया गया है:
$T_2 = \frac{9}{16} \times 24 = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ घंटे।
अतः,दिन की अवधि $13$ घंटे $30$ मिनट होगी।

(C) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,$1000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
$1000$ छोटी बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा $(E_s)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T) = 4000 \pi r^2 T$
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $(E_b)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$
$1000$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा और बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_s}{E_b} = \frac{4000 \pi r^2 T}{400 \pi r^2 T} = 10$
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{10}{x}$ है,इसलिए:
$10 = \frac{10}{x}$
अतः,$x = 1$.

(A) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम वेग $(V_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{\max} = \omega A$.
यहाँ, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
दिया गया है: $A = 0.06 \,m$ और $T = 3.14 \,s \approx \pi \,s$.
मान रखने पर:
$V_{\max} = \left(\frac{2\pi}{\pi}\right) \times 0.06 = 2 \times 0.06 = 0.12 \,m/s$.
वेग को $cm/s$ में बदलने के लिए, हम $100$ से गुणा करते हैं:
$V_{\max} = 0.12 \times 100 = 12 \,cm/s$.

(B) अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ यह दर्शाता है कि तीनों सदिश समतलीय (coplanar) हैं।
इसकी गणना घटकों के सारणिक (determinant) का उपयोग करके की जा सकती है:
$\begin{vmatrix} -x & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-x(4(3) - 3(-1)) - (-6)((-1)(3) - 3(-8)) + (-2)((-1)(-1) - 4(-8)) = 0$
$-x(12 + 3) + 6(-3 + 24) - 2(1 + 32) = 0$
$-15x + 6(21) - 2(33) = 0$
$-15x + 126 - 66 = 0$
$-15x + 60 = 0$
$15x = 60$
$x = 4$

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार:
$\Delta Q = \Delta U + W$
यहाँ,$\Delta Q = 48 \,J$,$n = 1 \,mol$,और $\Delta T = 2 \,K$ (चूंकि $2^{\circ}C$ का परिवर्तन $2 \,K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = (1) \left(\frac{3}{2} R\right) (2) = 3R$ है।
प्रथम नियम के समीकरण में मान रखने पर:
$48 = 3R + W$
$W = 48 - 3(8.3)$
$W = 48 - 24.9$
$W = 23.1 \,J$.

(D) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W_s = mg_s = 300 \,N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g_s \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है, जहाँ $g_s$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ गहराई $d = R/4$ दी गई है, इसलिए:
$g_d = g_s \left(1 - \frac{R/4}{R}\right)$
$g_d = g_s \left(1 - \frac{1}{4}\right)$
$g_d = g_s \left(\frac{3}{4}\right)$
$d$ गहराई पर वस्तु का भार $W_d = mg_d$ होगा।
$g_d$ का मान रखने पर:
$W_d = m \times \left(\frac{3}{4} g_s\right)$
$W_d = \frac{3}{4} \times (mg_s)$
चूँकि $mg_s = 300 \,N$, इसलिए:
$W_d = \frac{3}{4} \times 300 \,N = 225 \,N$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 800 \,kg$, त्रिज्या $r = 300 \,m$, बैंकिंग कोण $\theta = 30^{\circ}$, स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
घर्षण के साथ बैंकिंग सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति का सूत्र है:
$V_{\max} = \sqrt{rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$
मान रखने पर:
$V_{\max} = \sqrt{300 \times 10 \times \left[ \frac{\tan 30^{\circ} + 0.2}{1 - 0.2 \times \tan 30^{\circ}} \right]}$
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$:
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.577 + 0.2}{1 - 0.2 \times 0.577} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.777}{0.8846} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times 0.8783} \approx \sqrt{2635} \approx 51.33 \,m/s$
अतः, अधिकतम गति $V_{\max} \approx 51.4 \,m/s$ है।

(D) एक गैर-दृढ़ द्विपरमाणुक अणु के लिए, स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ में $3$ स्थानांतरण, $2$ घूर्णन और $2$ कंपन विधाएं शामिल होती हैं।
अतः, $f = 3 + 2 + 2 = 7$ है।
एक अणु की ऊर्जा $U = \frac{f}{2} K_B T$ द्वारा दी जाती है।
$f = 7$ प्रतिस्थापित करने पर, एक अणु की ऊर्जा $U = \frac{7}{2} K_B T$ प्राप्त होती है।
ऐसे $10$ अणुओं के लिए, कुल ऊर्जा $E = 10 \times \frac{7}{2} K_B T = 35 K_B T$ होगी।

(B) $\text{वस्तु और जंजीर से बनी प्रणाली संतुलन में है।}$
$\text{शाखा पर कार्य करने वाला कुल नीचे की ओर बल,वस्तु के भार और जंजीर के भार का योग है।}$
$\text{वस्तु का भार},W_b = 200 \,N$.
$\text{जंजीर का भार},W_c = m \times g = 10 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 100 \,N$.
$\text{चूंकि प्रणाली संतुलन में है,इसलिए जंजीर में उस बिंदु पर तनाव } T \text{ जहां वह शाखा से जुड़ी है,कुल भार को संतुलित करता है।}$
$T = W_b + W_c = 200 \,N + 100 \,N = 300 \,N$.
$\text{अतः,शाखा जंजीर को } 300 \,N \text{ के बल से खींचती है।}$

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
इससे,हम लिख सकते हैं $P = \sqrt{2mK}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 36 K_i$ है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = \sqrt{2mK_i}$ है और अंतिम संवेग $P_f = \sqrt{2mK_f} = \sqrt{2m(36K_i)} = 6\sqrt{2mK_i} = 6P_i$ है।
संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{P_f - P_i}{P_i} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{6P_i - P_i}{P_i} \times 100 \% = \frac{5P_i}{P_i} \times 100 \% = 500 \%$।

(A) साबुन के बुलबुले में दो द्रव-वायु सतहें होती हैं: एक अंदर की ओर और एक बाहर की ओर।
एकल गोलाकार सतह के लिए,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2 S}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए कुल अतिरिक्त दबाव $\Delta P = 2 \times \left( \frac{2 S}{R} \right)$ होता है।
अतः,साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव बाहर के दबाव से $\Delta P = \frac{4 S}{R}$ अधिक होता है।

(C) शून्य त्रुटि $0.04 \text{ mm} = 0.004 \text{ cm}$ दी गई है। चूंकि वर्नियर स्केल का शून्य बाईं ओर खिसकता है,इसलिए शून्य त्रुटि ऋणात्मक है।
शून्य त्रुटि का सूत्र है: $\text{Zero Error} = -(\text{n} \times \text{Least Count})$,जहाँ $n$ संपाती भाग है।
दिया गया है $50 \text{ VSD} = 49 \text{ MSD}$,इसलिए अल्पतमांक $(LC)$ = $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 1 \text{ MSD} - \frac{49}{50} \text{ MSD} = \frac{1}{50} \text{ MSD}$.
मान लीजिए $1 \text{ MSD} = x \text{ cm}$ है। तो $LC = \frac{x}{50} \text{ cm}$.
$4^{\text{था}}$ भाग संपाती है,इसलिए शून्य त्रुटि $4 \times LC = 4 \times \frac{x}{50} = 0.004 \text{ cm}$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{4x}{50} = 0.004 \implies 4x = 0.2 \implies x = 0.05 \text{ cm}$.
$1 \text{ cm}$ में मुख्य स्केल भागों की संख्या $N = \frac{1 \text{ cm}}{x} = \frac{1}{0.05} = 20$ है।

(C) ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $\Delta Q = mS \Delta T$ है,जहाँ $S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
अतः,$S = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$।
इसकी विमाएँ $[S] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M][K]} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
अतः,कथन $(I)$ सही है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
अतः,$R = \frac{PV}{nT}$।
इसकी विमाएँ $[R] = \frac{[ML^{-1} T^{-2}][L^3]}{[mol][K]} = [ML^2 T^{-2} mol^{-1} K^{-1}]$ हैं।
दिए गए कथन से तुलना करने पर,कथन $(II)$ गलत है।

(A) माना टावर की ऊँचाई $h$ है और प्रारंभिक गति $u$ है। नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,गति का समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ है।
ऊपर की ओर फेंकने के लिए,प्रारंभिक वेग $-u$ है: $h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_1^2 - ut_1 - h = 0$। $t_1$ के लिए हल करने पर (धनात्मक मूल लेने पर): $t_1 = \frac{u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$।
नीचे की ओर फेंकने के लिए,प्रारंभिक वेग $+u$ है: $h = ut_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_2^2 + ut_2 - h = 0$। $t_2$ के लिए हल करने पर (धनात्मक मूल लेने पर): $t_2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$।
यदि वस्तु को गिराया जाता है,तो $u = 0$,इसलिए $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
$t_1$ और $t_2$ का गुणा करने पर: $t_1 t_2 = \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} + u}{g}\right) \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} - u}{g}\right) = \frac{(u^2 + 2gh) - u^2}{g^2} = \frac{2gh}{g^2} = \frac{2h}{g} = t^2$।
अतः,$t = \sqrt{t_1 t_2}$।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x^2 = 1 + t^2$.
$t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2x \frac{dx}{dt} = 2t$,जो सरल होकर $x v = t$ हो जाता है,जहाँ $v$ वेग है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x v = t$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dv}{dt} + v \frac{dx}{dt} = 1$.
चूँकि $\frac{dv}{dt} = a$ (त्वरण) और $\frac{dx}{dt} = v$,हमें $x a + v^2 = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $v = \frac{t}{x}$ रखने पर: $x a + (\frac{t}{x})^2 = 1$.
$x a = 1 - \frac{t^2}{x^2} = \frac{x^2 - t^2}{x^2}$.
मूल समीकरण से $x^2 - t^2 = 1$ होने के कारण,हमें $x a = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
इसे $x^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।

(D) $2 \,m$ भुजा की लंबाई वाले एक समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से प्रत्येक भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,m$ है。
त्रिभुज के तल के लंबवत और केंद्रक से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ है。
चूंकि सभी द्रव्यमान केंद्रक से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए $I = (m_1 + m_2 + m_3) r^2$ होगा。
मान रखने पर: $I = (2 + 4 + 6) \times (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$I = 12 \times \frac{1}{3} = 4 \,kg \,m^2$.

(C) द्रव्यमान के संतुलन के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में,तार में तनाव $T$ के ऊर्ध्वाधर घटक द्रव्यमान के भार को संतुलित करते हैं:
$2T \sin \theta = mg$
यहाँ $m = 2 \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,और $\theta = \frac{1}{100} \text{ rad}$ दिया गया है। छोटे कोण सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ का उपयोग करने पर:
$2T \theta = 20$
$T = \frac{10}{\theta} = \frac{10}{1/100} = 1000 \text{ N}$
तार की मूल लंबाई $2L = 2 \text{ m}$ है,इसलिए $L = 1 \text{ m}$।
तार की नई लंबाई $2 \sqrt{L^2 + x^2}$ है,जहाँ $x = L \tan \theta \approx L \theta$।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ इस प्रकार है:
$\Delta L = 2 \sqrt{L^2 + x^2} - 2L = 2L \left( \sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1 \right) \approx 2L \left( 1 + \frac{\tan^2 \theta}{2} - 1 \right) = L \tan^2 \theta \approx L \theta^2$
$\Delta L = 1 \times (1/100)^2 = 10^{-4} \text{ m}$
यंग मापांक $Y = \frac{T/A}{\Delta L / (2L)}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times 10^{11} = \frac{1000 / A}{10^{-4} / 2}$
$2 \times 10^{11} = \frac{2000}{A \times 10^{-4}}$
$A = \frac{2000}{2 \times 10^{11} \times 10^{-4}} = \frac{1000}{10^7} = 10^{-4} \text{ m}^2$
अतः,$A$ का मान $1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।

(A) खुली ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है, $v$ ध्वनि का वेग है और $L$ पाइप की लंबाई है।
पहली पाइप के लिए: $L_1 = 0.6 \,m$, $n_1 = 6$.
$f_1 = \frac{6 \times 333}{2 \times 0.6} = \frac{1998}{1.2} = 1665 \,Hz$.
दूसरी पाइप के लिए: $L_2 = 0.9 \,m$, $n_2 = 5$.
$f_2 = \frac{5 \times 333}{2 \times 0.9} = \frac{1665}{1.8} = 925 \,Hz$.
आवृत्तियों का अंतर $\Delta f = |f_1 - f_2| = |1665 - 925| = 740 \,Hz$ है।

(A) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $KE$ और उसके रैखिक संवेग $P$ तथा द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध $KE = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा समान है, इसलिए $P^2 = 2m(KE)$, जिसका अर्थ है $P = \sqrt{2m(KE)}$.
यहाँ $2$ और $KE$ स्थिरांक हैं, इसलिए रैखिक संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $P \propto \sqrt{m}$.
दिए गए द्रव्यमान $m_A = 400 \,g = 0.4 \,kg$, $m_B = 1.2 \,kg$ और $m_C = 1.6 \,kg$ हैं।
उनके संवेग का अनुपात $P_A : P_B : P_C = \sqrt{m_A} : \sqrt{m_B} : \sqrt{m_C}$ होगा।
मान रखने पर: $P_A : P_B : P_C = \sqrt{0.4} : \sqrt{1.2} : \sqrt{1.6}$.
सरल बनाने के लिए $\sqrt{10}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{4} : \sqrt{12} : \sqrt{16} = 2 : 2\sqrt{3} : 4$.
$2$ से भाग देने पर, हमें $1 : \sqrt{3} : 2$ प्राप्त होता है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)_{\text{mono}} = \frac{3}{2}R$ होती है।
दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)_{\text{dia}} = \frac{5}{2}R$ होती है।
स्थिर आयतन पर इन गैसों की विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{(C_v)_{\text{mono}}}{(C_v)_{\text{dia}}} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}$.

(A) $a \times 10^b$ के रूप में व्यक्त किसी संख्या की परिमाण की कोटि (order of magnitude) $a$ के मान द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि $1 \leq a \leq 5$ है,तो परिमाण की कोटि $b$ है।
यदि $5 < a < 10$ है,तो परिमाण की कोटि $b + 1$ है।
अतः,जब $a \leq 5$ होता है,तो $b$ परिमाण की कोटि होती है।

(C) सेकंड की सुई की लंबाई $r_s = 75 \ cm = 0.75 \ m$ है। मिनट की सुई की लंबाई $r_m = 60 \ cm = 0.60 \ m$ है।
$30$ मिनट में,सेकंड की सुई $30$ पूर्ण चक्कर लगाती है। सेकंड की सुई की नोक द्वारा तय की गई दूरी $d_s = 30 \times (2 \pi r_s) = 30 \times 2 \times 3.14 \times 0.75 = 141.3 \ m$ है।
$30$ मिनट में,मिनट की सुई $0.5$ चक्कर (आधा वृत्त) पूरा करती है। मिनट की सुई की नोक द्वारा तय की गई दूरी $d_m = 0.5 \times (2 \pi r_m) = \pi r_m = 3.14 \times 0.60 = 1.884 \ m$ है।
दूरी में अंतर $x = d_s - d_m = 141.3 - 1.884 = 139.416 \ m$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$x \approx 139.4 \ m$ प्राप्त होता है।

(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = 49000 \frac{M}{\ell}$ है।
$Y$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $M = 500 \text{ g}$,$\Delta M = 5 \text{ g}$,$\ell = 2 \text{ cm}$,और $\Delta \ell = 0.02 \text{ cm}$ हैं।
इन मानों को सापेक्ष त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{5}{500} + \frac{0.02}{2}$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.01 + 0.01 = 0.02$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए:
$\% \text{ error} = \frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2 \%$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदुओं $a$ और $d$ को जोड़ने वाले रुद्धोष्म पथ के लिए:
$T_a V_a^{\gamma-1} = T_d V_d^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_d}{T_a}$
बिंदुओं $b$ और $c$ को जोड़ने वाले रुद्धोष्म पथ के लिए:
$T_b V_b^{\gamma-1} = T_c V_c^{\gamma-1}$
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_c}{T_b}$
चूंकि बिंदु $a$ और $b$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_a = T_b$ है। इसी प्रकार,बिंदु $d$ और $c$ एक ही समतापी वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_d = T_c$ है।
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$\frac{T_d}{T_a} = \frac{T_c}{T_b}$
अतः,$\left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1}$
इससे हमें प्राप्त होता है $\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$।

(C) वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए ग्रह के लिए,कोणीय संवेग $L = mvr = m(r\omega)r = mr^2\left(\frac{2\pi}{T}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{L}{m} = \frac{2\pi r^2}{T}$,जिसका अर्थ है $\frac{T}{r^2} = \frac{2\pi m}{L}$.
ग्रह $A$ के लिए: $\frac{T_A}{r_1^2} = \frac{2\pi m_1}{L}$.
ग्रह $B$ के लिए: $\frac{T_B}{r_2^2} = \frac{2\pi m_2}{3L}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_A}{T_B} \cdot \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2} \cdot 3 \implies \frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
केप्लर के तीसरे नियम के अनुसार,$T^2 \propto r^3$,इसलिए $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$,जिसका अर्थ है $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{-1/3} = 3 \frac{m_1}{m_2} \implies \frac{T_A}{T_B} = \left(3 \frac{m_1}{m_2}\right)^{-3} = \frac{1}{27} \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^3$.

(B) बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह वाले तरल के लिए,दाब ऊर्जा,प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा और प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के अनुदिश नियत रहता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $P + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{नियतांक}$।
यहाँ,$P$ दाब है,$\rho$ तरल का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ ऊँचाई है और $v$ तरल का वेग है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$,समय अंतराल $\Delta t = 0.1 \ s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
बल का परिमाण $|F| = 30 \ N$ है।

(B) चूंकि कण शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
इसलिए,दोनों भागों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $|P_A| = |P_B|$,जिसका अर्थ है $m_A v_A = m_B v_B$।
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_B}{K_A} = \frac{P_B^2 / 2m_B}{P_A^2 / 2m_A}$ है।
चूंकि $|P_A| = |P_B|$,यह सरल होकर $\frac{K_B}{K_A} = \frac{2m_A}{2m_B} = \frac{m_A}{m_B}$ हो जाता है।

(D) दिया गया है: $9 \,MSD = 10 \,VSD$.
द्रव्यमान $= 8.635 \,g$.
अल्पतमांक $(LC)$ $= 1 \,MSD - 1 \,VSD = 1 \,MSD - 0.9 \,MSD = 0.1 \,MSD$.
चूंकि $1 \,MSD = 1 \,mm = 0.1 \,cm$, इसलिए $LC = 0.1 \times 0.1 \,cm = 0.01 \,cm$.
व्यास $= MSR + (VSR \times LC) = 2.0 \,cm + (2 \times 0.01 \,cm) = 2.02 \,cm$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.01 \,cm$.
आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (1.01)^3 \approx 4.318 \,cm^3$.
घनत्व $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{8.635}{4.318} \approx 1.9997 \,g/cm^3 \approx 2.0 \,g/cm^3$.

(A) माना कि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। प्लेट का कुल क्षेत्रफल $A = (3 \times 2) - (1 \times 1) = 5 \text{ units}^2$ है। दिया गया द्रव्यमान $M = 10 \ kg$ है,इसलिए $\sigma = \frac{10}{5} = 2 \ kg/\text{unit}^2$ है।
हम प्लेट को $3 \times 2$ के एक बड़े आयत (द्रव्यमान $M_{total} = 3 \times 2 \times 2 = 12 \ kg$) में से $1 \times 1$ के एक छोटे वर्ग (द्रव्यमान $m_{cut} = 1 \times 1 \times 2 = 2 \ kg$) को घटाकर मान सकते हैं।
बड़े आयत का द्रव्यमान केंद्र $(1.5, 1.0)$ पर है।
काटे गए वर्ग का द्रव्यमान केंद्र $(1.5, 1.5)$ पर है।
माना कि शेष प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $(x, y)$ है। आघूर्ण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$M_{total} X_{CM} = M_{plate} x + m_{cut} x_{cut} \Rightarrow 12(1.5) = 10(x) + 2(1.5)$
$18 = 10x + 3 \Rightarrow 10x = 15 \Rightarrow x = 1.5$.
$M_{total} Y_{CM} = M_{plate} y + m_{cut} y_{cut} \Rightarrow 12(1.0) = 10(y) + 2(1.5)$
$12 = 10y + 3 \Rightarrow 10y = 9 \Rightarrow y = 0.9$.
अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9}$ है।
$\frac{n}{9}$ से तुलना करने पर,हमें $n = 15$ प्राप्त होता है।

(B) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4S}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है।
यह दबाव द्रव स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव द्वारा संतुलित होता है: $\Delta P = \rho g h$.
दोनों को बराबर करने पर: $\rho g h = \frac{4S}{R}$.
दिया गया है: $\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,m \,s^{-2}$, $h = 0.04 \,cm = 4 \times 10^{-4} \,m$, और $S = 0.28 \,N \,m^{-1}$.
मान रखने पर: $(8 \times 10^3) \times 10 \times (4 \times 10^{-4}) = \frac{4 \times 0.28}{R}$.
$32 = \frac{1.12}{R}$.
$R = \frac{1.12}{32} \,m = 0.035 \,m = 3.5 \,cm$.
व्यास $D = 2R = 2 \times 3.5 \,cm = 7 \,cm$.

(C) बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है।
सातवें ओवरटोन $(n=7)$ के लिए,$f_{c} = (2 \times 7 + 1) \frac{v}{4\ell} = \frac{15v}{4\ell}$ है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है।
सातवें ओवरटोन $(n=7)$ के लिए,$f_{o} = (7 + 1) \frac{v}{2\ell} = \frac{8v}{2\ell} = \frac{4v}{\ell} = \frac{16v}{4\ell}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{15v/4\ell}{16v/4\ell} = \frac{15}{16}$ है।
दिया गया अनुपात $\left(\frac{a-1}{a}\right) = \frac{15}{16}$ है,पदों की तुलना करने पर हमें $a = 16$ प्राप्त होता है।

(D) माना सदिश $\overrightarrow{OP}$,$x$-अक्ष की दिशा में है,$\overrightarrow{OP} = A \hat{i}$.
सदिश $\overrightarrow{OQ}$,$\overrightarrow{OP}$ से $90^\circ$ पर है,इसलिए $\overrightarrow{OQ} = A \hat{j}$.
सदिश $\overrightarrow{OR}$,$x$-अक्ष के नीचे $45^\circ$ पर है,इसलिए $\overrightarrow{OR} = A \cos(45^\circ) \hat{i} - A \sin(45^\circ) \hat{j} = \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{j}$.
परिणामी सदिश $\vec{R} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = (A + \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (A - \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{j}$.
परिणामी का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{(A + \frac{A}{\sqrt{2}})^2 + (A - \frac{A}{\sqrt{2}})^2}$.
$|\vec{R}| = \sqrt{A^2(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + A^2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = A \sqrt{(1 + \frac{1}{2} + \sqrt{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \sqrt{2})} = A \sqrt{1 + 0.5 + 1 + 0.5} = A \sqrt{3}$.
$A \sqrt{3}$ की तुलना $A \sqrt{x}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) माना ब्लॉक को $h = L \sin(30^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$ की ऊँचाई से मुक्त किया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta KE = 0$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_g = mgh = 5 \times 10 \times 5 = 250 \text{ J}$.
क्षैतिज सतह पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_f = -\mu mg(d + x) = -0.5 \times 5 \times 10 \times (2 + x) = -25(2 + x) = -50 - 25x$.
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य: $W_s = -\frac{1}{2} kx^2 = -\frac{1}{2} \times 100 \times x^2 = -50x^2$.
कुल कार्य को शून्य के बराबर रखने पर: $250 - 50 - 25x - 50x^2 = 0$.
$200 - 25x - 50x^2 = 0$.
$25$ से विभाजित करने पर: $8 - x - 2x^2 = 0$,या $2x^2 + x - 8 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-8)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $x > 0$,$x = \frac{-1 + 8.06}{4} \approx 1.76 \text{ m}$।

(B) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u$,सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं और आयतन की विमाएँ $[L^3]$ हैं।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व की विमाएँ $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ होती हैं।
अतः,$\varepsilon_0 E^2$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।

(B) समतल प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 2 \cos 2 \pi (330 t - x) \ m$ है।
समतल प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos (\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर:
$y = 2 \cos (2 \pi \times 330 t - 2 \pi x)$
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \times 330 \ rad/s$ है।
हम जानते हैं कि $\omega = 2 \pi f$,जहाँ $f$ तरंग की आवृत्ति है।
$\omega$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2 \pi f = 2 \pi \times 330$
$f = 330 \ Hz$.
अतः,तरंग की आवृत्ति $330 \ Hz$ है।

(C) केंद्रीय अक्ष के परितः पहली डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$ है।
जब $M/2$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली दूसरी डिस्क को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (M/2) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$,जिसका अर्थ है $I_1 \omega = I_2 \omega_2$।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2} MR^2) \omega = (\frac{3}{4} MR^2) \omega_2$।
नए कोणीय वेग $\omega_2$ के लिए हल करने पर: $\omega_2 = \frac{1/2}{3/4} \omega = \frac{2}{3} \omega$।

(D) माना $V_w$ पानी में डूबे बर्फ का आयतन है और $V_k$ केरोसिन तेल में डूबे बर्फ का आयतन है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार, बर्फ के टुकड़े का भार दोनों तरल पदार्थों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
बर्फ का भार $= (V_w + V_k) \rho_{ice} g$
उत्प्लावन बल $= V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
दोनों को बराबर करने पर: $(V_w + V_k) \rho_{ice} g = V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
$\rho_w g$ से भाग देने पर (जहाँ $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
$(V_w + V_k) \times 0.9 = V_w \times 1 + V_k \times 0.8$
$0.9 V_w + 0.9 V_k = V_w + 0.8 V_k$
$0.9 V_k - 0.8 V_k = V_w - 0.9 V_w$
$0.1 V_k = 0.1 V_w$
अतः, $V_w / V_k = 1 / 1$ या $1: 1$।

(D) गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ आणविक व्यास है। चूँकि $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$,इसलिए कथन $(I)$ सही है।
गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ (एक-परमाणुक गैस के लिए) द्वारा दी जाती है। चूँकि $KE_{avg} \propto T$,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा परम ताप के सीधे समानुपाती होती है। अतः,कथन $(II)$ भी सही है।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं।

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ कक्षाओं की त्रिज्याएँ $R_A = 4R$ और $R_B = R$ दी गई हैं।
चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होता है।
दिया गया है कि $v_A = 3v$,इसलिए $\frac{3v}{v_B} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_B = 2 \times 3v = 6v$ होगा।

(B) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि परास और अधिकतम ऊँचाई बराबर हैं,इसलिए $R = H$ रखने पर:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $u^2/g$ को हटाने पर:
$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\sin \theta \neq 0$):
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(4)$.

(B) स्क्रू गेज का अल्पतमांक $(LC)$ इस प्रकार है: $LC = \frac{\text{पिच}}{\text{कुल वृत्ताकार पैमाने के भाग}} = \frac{1 \,mm}{100} = 0.01 \,mm$.
शून्य त्रुटि धनात्मक है क्योंकि वृत्ताकार पैमाने का शून्य संदर्भ रेखा के नीचे है: $\text{शून्य त्रुटि} = +5 \times LC = +5 \times 0.01 \,mm = +0.05 \,mm$.
प्रेक्षित पाठ्यांक है: $\text{प्रेक्षित पाठ्यांक} = \text{मुख्य पैमाना पाठ्यांक} + (\text{वृत्ताकार पैमाना पाठ्यांक} \times LC) = 4 \,mm + (60 \times 0.01 \,mm) = 4.60 \,mm$.
सही व्यास है: $\text{व्यास} = \text{प्रेक्षित पाठ्यांक} - \text{शून्य त्रुटि} = 4.60 \,mm - 0.05 \,mm = 4.55 \,mm$.

(D) संधारित्र में विस्थापन धारा $(I_d)$, परिपथ में बहने वाली चालन धारा $(I_c)$ के बराबर होती है।
धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$
दिया गया है:
$V_{max} = 40 \, V$
$f = 4 \, kHz = 4 \times 10^3 \, Hz$
$C = 12 \, \mu F = 12 \times 10^{-6} \, F$
$X_C$ की गणना करने पर:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 4 \times 10^3 \times 12 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{8 \pi \times 12 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.3016} \approx 3.317 \, \Omega$
अधिकतम धारा $(I_{max})$ है:
$I_{max} = \frac{V_{max}}{X_C} = \frac{40}{3.317} \approx 12.06 \, A$
अतः, अधिकतम विस्थापन धारा लगभग $12 \, A$ है।

(A) फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ \text{m}$,$D = 200 \ \text{cm} = 2 \ \text{m}$,और $d = 0.3 \ \text{mm} = 3 \times 10^{-4} \ \text{m}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \ \text{m}$ प्राप्त होता है।
$n$-वें उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे उच्चिष्ठ $(n=3)$ के लिए,$y_3 = 3 \times \left( \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \right) \ \text{m} = 10 \times 10^{-3} \ \text{m} = 10 \ \text{mm}$।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $R = 1 \, \Omega$, $\rho = 2 \times 10^{-6} \, \Omega m$, और $A = 10 \, mm^2 = 10^{-5} \, m^2$ दिया गया है。
इन मानों को रखने पर: $1 = \frac{2 \times 10^{-6} \times \ell}{10^{-5}} \Rightarrow 1 = 0.2 \times \ell \Rightarrow \ell = 5 \, m$.
तार को हवा में लटकाए रखने के लिए, चुंबकीय बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $F_m = F_g$.
$Bi\ell = mg$.
यहाँ $i = 2 \, A$, $m = 0.5 \, kg$, $g = 10 \, m/s^2$, और $\ell = 5 \, m$ है。
$B \times 2 \times 5 = 0.5 \times 10$.
$10B = 5$.
$B = 0.5 \, T = 5 \times 10^{-1} \, T$.
अतः, $B$ का परिमाण $5$ है。

(C) प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,संधारित्र के विभवांतर $V$ के समानुपाती होता है $(E = V/d)$।
यह दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र अपने प्रारंभिक मान का एक तिहाई हो जाता है,इसलिए विभवांतर भी एक तिहाई हो जाता है: $V = V_0 / 3$।
संधारित्र के निरावेशन (discharging) का समीकरण $V = V_0 e^{-t/\tau}$ है,जहाँ $\tau = RC$ समय नियतांक है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V_0 / 3 = V_0 e^{-t/\tau} \Rightarrow 1/3 = e^{-t/\tau}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(3) = t/\tau$।
दिया है $\ln(3) = 1.1$,$t = 6.6 \times 10^{-6} \ s$,और $C = 1.5 \times 10^{-6} \ F$।
$1.1 = (6.6 \times 10^{-6}) / (R \times 1.5 \times 10^{-6})$।
$1.1 = 6.6 / (1.5 \times R)$।
$R = 6.6 / (1.5 \times 1.1) = 6.6 / 1.65 = 4 \ \Omega$।

(C) नाभिकीय अभिक्रिया: $3 \, _2^4\text{He} \longrightarrow _6^{12}\text{C} + Q$ है।
तीन हीलियम नाभिकों का द्रव्यमान $3 \times 4.002603 \text{ u} = 12.007809 \text{ u}$ है।
एक कार्बन नाभिक का द्रव्यमान $12.000000 \text{ u}$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना: $\Delta m = (3 \times m_{\text{He}}) - m_{\text{C}} = 12.007809 \text{ u} - 12.000000 \text{ u} = 0.007809 \text{ u}$ है।
मुक्त ऊर्जा $Q$ का मान: $Q = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u}$ है।
$Q = 0.007809 \times 931 \text{ MeV} \approx 7.270179 \text{ MeV}$ है।
इसे $10^{-2} \text{ MeV}$ के रूप में व्यक्त करने पर,हमें $727.0179 \times 10^{-2} \text{ MeV} \approx 727 \times 10^{-2} \text{ MeV}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $L = 1 \text{ H}$,$C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R = 300 \Omega$,$V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$.
$1$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
$2$. $RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$.
$3$. प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \times 1 = 100 \Omega$.
$4$. धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
$5$. प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{300^2 + (100 - 500)^2} = \sqrt{300^2 + (-400)^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.
$6$. $RMS$ धारा $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{50}{500} = 0.1 \text{ A}$.
$7$. संधारित्र के सिरों पर $RMS$ विभवांतर $V_C = I_{\text{rms}} \times X_C = 0.1 \times 500 = 50 \text{ V}$.

(A) गैल्वेनोमीटर में धारा $I = K \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ फिगर ऑफ मेरिट है।
परिपथ से,धारा $I = \frac{E}{G+R}$ है,जहाँ $E = 2 \text{ V}$ स्रोत का emf है,$G$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है और $R$ बाह्य प्रतिरोध है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $K \theta = \frac{E}{G+R} \Rightarrow \frac{1}{\theta} = \frac{G+R}{E} = \frac{1}{E} R + \frac{G}{E}$.
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m = \frac{1}{E}$ प्राप्त होती है।
ग्राफ से,ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{6 - 2} = \frac{1}{4} \text{ } \Omega^{-1}$.
चूँकि $m = \frac{K}{E}$,इसलिए $\frac{K}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow K = 0.5 \text{ A/division}$.
$K$ को $10^{-1}$ के रूप में व्यक्त करने पर,हमें $K = 5 \times 10^{-1} \text{ A/division}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समानांतर संयोजन में,सभी संधारित्रों पर विभवांतर $V$ समान होता है। तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = (25 + 30 + 45) \mu F = 100 \mu F$ है।
संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C_p V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.5 \ J$ है।
श्रेणी संयोजन में,तुल्य धारिता $C_s$ को $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{25} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} = \frac{18 + 15 + 10}{450} = \frac{43}{450} \mu F^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$C_s = \frac{450}{43} \mu F$ है।
श्रेणी क्रम में संचित ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} C_s V^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-2} = \frac{4.5}{86} \ J$ है।
दिया गया है $E' = \frac{9}{x} E$,इसलिए $\frac{4.5}{86} = \frac{9}{x} \times 0.5$ है।
$\frac{4.5}{86} = \frac{4.5}{x} \implies x = 86$.

(A) कॉशी के समीकरण के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर इस प्रकार निर्भर करता है: $\mu(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$
चूंकि $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{violet}}$,लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक सबसे कम और बैंगनी प्रकाश के लिए सबसे अधिक होता है।
पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
चूंकि $\mu_{\text{red}} < \mu_{\text{yellow}} < \mu_{\text{violet}}$,लाल प्रकाश के लिए विचलन सबसे कम और बैंगनी प्रकाश के लिए सबसे अधिक होता है।
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ भी सत्य है क्योंकि एक विक्षेपी माध्यम का अपवर्तनांक तरंगदैर्ध्य के साथ बदलता है,जो विक्षेपण का मूल कारण है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi_0$ पदार्थ का कार्य फलन है।
चूंकि स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_0$ को सबसे अधिक ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभव के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $eV_0 = KE_{\max}$ होता है।
अतः,$V_0 = \frac{KE_{\max}}{e} = \frac{h\nu - \phi_0}{e}$.
$1$. $V_0$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ पर निर्भर करता है (विकल्प $B$ सत्य है)।
$2$. $V_0$ कार्य फलन $\phi_0$ पर निर्भर करता है,जो उत्सर्जक पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है (विकल्प $A$ सत्य है)।
$3$. $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा का $1/e$ गुना है (विकल्प $D$ सत्य है)।
$4$. $V_0$ आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि तीव्रता केवल उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को प्रभावित करती है,उनकी व्यक्तिगत गतिज ऊर्जा को नहीं (विकल्प $C$ असत्य है)।

(A) इलेक्ट्रॉन को नाभिक के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $F_{C} = F_{e}$।
अभिकेंद्री बल $F_{C} = \frac{mv^2}{r}$ और कूलम्ब के नियम $F_{e} = \frac{kZe^2}{r^2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{kZe^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $mr^2$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $m^2v^2r^2 = mkZe^2r$।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ है,हम लिख सकते हैं: $L^2 = mkZe^2r$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $L = \sqrt{mkZe^2r}$।
चूंकि $m$,$k$,$Z$,और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए कोणीय संवेग त्रिज्या के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $L \propto \sqrt{r}$।

(C) सबसे पहले,गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $i_g$ की गणना करें।
दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर (प्रतिरोध $R_g = 100 \ \Omega$) $10 \ V$ मापने के लिए $400 \ \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में है:
$i_g = \frac{V}{R_g + R_{series}} = \frac{10}{100 + 400} = \frac{10}{500} = 20 \times 10^{-3} \ A$.
गैल्वेनोमीटर को $I = 10 \ A$ तक पढ़ने वाले एमीटर में बदलने के लिए,समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
शंट के लिए शर्त $i_g R_g = (I - i_g) S$ है।
मान रखने पर:
$20 \times 10^{-3} \times 100 = (10 - 20 \times 10^{-3}) S$.
चूंकि $20 \times 10^{-3} = 0.02 \ A$,इसलिए:
$2 = (10 - 0.02) S = 9.98 S$.
$S = \frac{2}{9.98} \approx 0.2004 \ \Omega$.
$x \times 10^{-2} \ \Omega$ के रूप में,$S \approx 20 \times 10^{-2} \ \Omega$.
अतः,$x = 20$.

(A) जैसे-जैसे वाहन चलता है,हवा के साथ घर्षण के कारण उसकी बॉडी पर स्थिर आवेश (static charge) विकसित हो जाता है। यह संचित आवेश चिंगारी का कारण बन सकता है,जो ज्वलनशील पदार्थ ले जाने वाले वाहनों के लिए खतरनाक है। धातु की जंजीरों का उपयोग जमीन के साथ एक संवाहक पथ प्रदान करने के लिए किया जाता है,जिससे अतिरिक्त आवेश सुरक्षित रूप से जमीन में चला जाता है और दहन का खतरा टल जाता है।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में $q$ आवेश पर कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत बल $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान $q$ आवेश पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
अतः,सही निरूपण $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ और $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।

(C) $AC$ परिपथ में प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_{L} = I X_{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $X_{L}$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
प्रेरणिक प्रतिघात को $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए मान $V_{L} = 31.4 \,V$,$L = 10 \,mH = 10 \times 10^{-3} \,H$,और $f = 50 \,Hz$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$31.4 = I \times (2 \times 3.14 \times 50 \times 10 \times 10^{-3})$
$31.4 = I \times (314 \times 10 \times 10^{-3})$
$31.4 = I \times 3.14$
$I = \frac{31.4}{3.14} = 10 \,A$.
अतः,परिपथ में धारा $10 \,A$ है।

(B) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट,एक $AND$ गेट और एक अंतिम $OR$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। तीसरा इनपुट $1$ पर स्थिर है।
पहले $OR$ गेट का आउटपुट $(A + B)$ है।
$AND$ गेट का आउटपुट $(B \cdot 1) = B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो आउटपुट का $OR$ ऑपरेशन है:
$Y = (A + B) + B$
बूलियन बीजगणित के नियमों का उपयोग करते हुए,विशेष रूप से आइडेंपोटेंट नियम $(B + B = B)$,हम व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$Y = A + (B + B) = A + B$
हम आउटपुट $Y$ को $0$ प्राप्त करना चाहते हैं। $OR$ गेट के लिए,आउटपुट $0$ केवल तभी होता है जब सभी इनपुट $0$ हों।
इसलिए,$A + B = 0$ का अर्थ है $A = 0$ और $B = 0$।
अतः,आउटपुट $0$ तब होता है जब $A = 0$ और $B = 0$ हो।

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य सीमा के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है:
$1$. अवरक्त (Infrared) विकिरण की तरंगदैर्ध्य $1 \, mm$ से $700 \, nm$ (या $10^{-3} \, m$ से $7 \times 10^{-7} \, m$) के बीच होती है। अतः,$(A)-(iii)$।
$2$. पराबैंगनी (Ultraviolet) विकिरण की तरंगदैर्ध्य $400 \, nm$ से $1 \, nm$ के बीच होती है। अतः,$(B)-(ii)$।
$3$. $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य $1 \, nm$ से $10^{-3} \, nm$ के बीच होती है। अतः,$(C)-(iv)$।
$4$. गामा किरणों की तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है,जो सामान्यतः $ < 10^{-3} \, nm$ होती है। अतः,$(D)-(i)$।
अतः,सही मिलान $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(i)$ है।

(B) प्रति सेकंड व्यय होने वाली ऊष्मा प्रतिरोधक द्वारा खपत की गई शक्ति $P$ है,जिसे $P = I^2 R = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $5 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होगा।
अतः,व्यय हुई शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2 / R_1}{V^2 / R_2} = \frac{R_2}{R_1}$ होगा।
मान $R_1 = 5 \Omega$ और $R_2 = 10 \Omega$ रखने पर,हमें $\frac{P_1}{P_2} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $2: 1$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = m/\ell)$.
$n$ का मान रखने पर, हमें $B = \mu_0 (m/\ell) i$ प्राप्त होता है।
$m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = (B \times \ell) / (\mu_0 \times i)$.
दिए गए मान: $B = 6.28 \times 10^{-3} \,T$, $\ell = 0.5 \,m$, $i = 5 \,A$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \approx 12.56 \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
इन मानों को रखने पर: $m = (6.28 \times 10^{-3} \times 0.5) / (12.56 \times 10^{-7} \times 5)$.
$m = (3.14 \times 10^{-3}) / (62.8 \times 10^{-7}) = (3.14 \times 10^{-3}) / (6.28 \times 10^{-6}) = 0.5 \times 10^3 = 500$.
अतः, $m$ का मान $500$ है.

(B) लायमन श्रेणी के लिए, सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ $n = \infty$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप होती है।
फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda_0 = 915 \text{ Å}$।
बामर श्रेणी के लिए, सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $(\lambda_1)$ $n = 3$ से $n = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप होती है।
फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_1} = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \text{ eV} \times \frac{5}{36}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_0} = \frac{13.6}{13.6 \times \frac{5}{36}} = \frac{36}{5}$।
$\lambda_1 = \lambda_0 \times \frac{36}{5} = 915 \times \frac{36}{5} = 183 \times 36 = 6588 \text{ Å}$।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग के लिए, $n$-वें कोटि के निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$ होता है।
अतः, केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$-वें निम्निष्ठ की दूरी $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$, $a = 0.20 \,mm = 0.20 \times 10^{-3} \,m$, $D = 100 \,cm = 1.0 \,m$, और $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$y_1 = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9} \times 1.0}{0.20 \times 10^{-3}} \,m$
$y_1 = \frac{550}{0.20} \times 10^{-6} \,m$
$y_1 = 2750 \times 10^{-6} \,m = 275 \times 10^{-5} \,m$ है।
इसे $x \times 10^{-5} \,m$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 275$ प्राप्त होता है।

(C) द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु $p$ पर विद्युत क्षेत्र $E_P = \frac{2Kp}{r^3} = E$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव के केंद्र से $2r$ दूरी पर स्थित निरक्षीय बिंदु $R$ पर विद्युत क्षेत्र $E_R = \frac{Kp}{(2r)^3} = \frac{Kp}{8r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$Kp = \frac{Er^3}{2}$ को $E_R$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E_R = \frac{1}{8r^3} \cdot \frac{Er^3}{2} = \frac{E}{16}$.
इसकी तुलना $\frac{E}{x}$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R = 20 \Omega$ है। इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित किया गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $r = \frac{20 \Omega}{10} = 2 \Omega$ है।
दो भागों को समानांतर में जोड़ा जाता है। ऐसे एक समानांतर युग्म का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{r \times r}{r + r} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \Omega$ है।
चूंकि कुल $10$ भाग थे,और हमने उन्हें युग्मों में उपयोग किया है,इसलिए हमारे पास ऐसे $5$ समानांतर युग्म हैं।
इन $5$ युग्मों को फिर श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है। कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 5 \times R_p = 5 \times 1 \Omega = 5 \Omega$ है।

(B) दिया गया है कि प्रेरक में धारा $I = (3t + 8) \ A$ है।
प्रेरक में प्रेरित emf $\varepsilon$ का सूत्र $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ है।
प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ है।
दिया गया है $|\varepsilon| = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$।
सबसे पहले,धारा के परिवर्तन की दर ज्ञात करें: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(3t + 8) = 3 \ A/s$।
अब,मानों को सूत्र में रखें: $12 \ mV = L \times 3 \ A/s$।
$L = \frac{12 \ mV}{3 \ A/s} = 4 \ mH$।
अतः,प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व $4 \ mH$ है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्घ्य के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
न्यूनतम तरंगदैर्घ्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ पर होता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
इसलिए,$\lambda_L = \frac{1}{R}$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
इसलिए,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
बामर श्रेणी की न्यूनतम तरंगदैर्घ्य और लाइमन श्रेणी की न्यूनतम तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{4/R}{1/R} = 4: 1$ है।

(D) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \mu_0 \mu_r$ और $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ प्राप्त होता है,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{\mu_r \varepsilon_r} = \frac{c}{v}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\mu_r \varepsilon_r = \left(\frac{c}{v}\right)^2$।
यहाँ $\mu_r = 2.0$ और $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $2.0 \times \varepsilon_r = \left(\frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8}\right)^2$।
$2.0 \times \varepsilon_r = (2)^2 = 4$।
अतः,$\varepsilon_r = \frac{4}{2} = 2$।

(B) प्रकाश की तरंग प्रकृति परावर्तन,अपवर्तन,व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाती है।
हालाँकि,प्रकाश-विद्युत प्रभाव वह घटना है जिसमें जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की सतह पर पड़ता है,तो उससे इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है। इस घटना को प्रकाश के तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है क्योंकि तरंग सिद्धांत बताता है कि प्रकाश की ऊर्जा उसकी तीव्रता पर निर्भर करती है,जबकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है।
इसलिए,प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति (फोटॉन) का प्रमाण प्रदान करता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक पतले गोलीय कोश के लिए,हम कोश पर $dq = \sigma dA$ आवेश को घेरने वाली $dA$ क्षेत्रफल की एक छोटी गॉसियन सतह पर विचार करते हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है और सतह पर एकसमान होता है,इसलिए गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E \cdot dA = \frac{\sigma \cdot dA}{\epsilon_0}$ है।
दोनों पक्षों से $dA$ को हटाने पर,हमें सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) और $D$ के बीच विभवांतर शून्य होने के लिए,व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित होना चाहिए।
सबसे पहले,प्रत्येक भुजा में समानांतर संयोजनों को सरल करें:
$1$. संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$ है।
$2$. दिए गए सरलीकृत परिपथ आरेख से: $R_{AB} = 12 \Omega$,$R_{BC} = 0.5 \Omega$,$R_{AD} = (6+x) \Omega$,और $R_{CD} = 0.5 \Omega$.
$3$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{12}{6+x} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
$4$. इसलिए,$12 = 6 + x$,जिससे $x = 6 \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) कथन-$I$: $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ द्वारा दी जाती है। अनुनाद पर,$X_L = X_C$,जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ (न्यूनतम) हो जाती है। चूंकि प्रतिबाधा न्यूनतम है,इसलिए धारा $I = \frac{V}{R}$ अधिकतम होती है। अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$: एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,धारा $I_{res} = \frac{V}{R}$ होती है। $LCR$ श्रेणी परिपथ में,धारा $I_{LCR} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ होती है। चूंकि $\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \geq R$,इसलिए $I_{LCR} \leq I_{res}$ होता है। अतः,समान वोल्टेज स्रोत के लिए शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में धारा हमेशा $LCR$ परिपथ की धारा से अधिक या उसके बराबर होती है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(B) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $AND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
इनपुट $A$ एक $NOT$ गेट से जुड़ा है,इसलिए इसका आउटपुट $\bar{A}$ है।
इनपुट $A$ और $B$ एक $AND$ गेट से जुड़े हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
ये दोनों आउटपुट फिर एक $OR$ गेट में जाते हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \bar{A} + (A \cdot B)$।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$Y = (\bar{A} + A) \cdot (\bar{A} + B)$।
चूंकि $\bar{A} + A = 1$,हमें $Y = 1 \cdot (\bar{A} + B) = \bar{A} + B$ प्राप्त होता है।
अब,$Y = \bar{A} + B$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं:
- यदि $A=0, B=0$: $Y = \bar{0} + 0 = 1 + 0 = 1$।
- यदि $A=0, B=1$: $Y = \bar{0} + 1 = 1 + 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=0$: $Y = \bar{1} + 0 = 0 + 0 = 0$।
- यदि $A=1, B=1$: $Y = \bar{1} + 1 = 0 + 1 = 1$।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ गणना की गई सत्यता सारणी से मेल खाता है।

(A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, धारा अवयव $I d\vec{l}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
दिया गया है:
$I = 10 \,A$
$d\vec{l} = \Delta x \hat{i} = 1 \,cm \cdot \hat{i} = 0.01 \,m \cdot \hat{i}$
स्थिति सदिश $\vec{r} = 0.5 \,m \cdot \hat{j}$
दूरी $r = 0.5 \,m$
मान रखने पर:
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times (0.01 \hat{i} \times 0.5 \hat{j})}{(0.5)^3}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005 \hat{k}}{0.125}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} \hat{k} = 10^{-7} \times 0.4 \hat{k} = 4 \times 10^{-8} \,T \hat{k}$
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $4 \times 10^{-8} \,T$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = h\nu - \phi$
जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है,और $\phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है कि निरोधी विभव $V_s = 0.5 V$,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_s = 0.5 eV$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0.5 eV = 2.48 eV - \phi$
कार्य फलन $\phi$ के लिए हल करने पर:
$\phi = 2.48 eV - 0.5 eV = 1.98 eV$
अतः,पदार्थ का कार्य फलन $1.98 eV$ है।

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली अनंत लंबाई की आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत इकाई सदिश है जो शीट से दूर की ओर इंगित करता है।
मान लीजिए कि शीट $x = -a$,$x = a$,और $x = 3a$ पर क्रमशः $-\sigma$,$-2\sigma$,और $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व के साथ स्थित हैं।
बिंदु $P$,$x = a$ और $x = 3a$ के बीच स्थित है।
$1$. $x = -a$ पर शीट के कारण विद्युत क्षेत्र (आवेश घनत्व $-\sigma$): क्षेत्र शीट की ओर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_1 = \frac{|-\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
$2$. $x = a$ पर शीट के कारण विद्युत क्षेत्र (आवेश घनत्व $-2\sigma$): क्षेत्र शीट की ओर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_2 = \frac{|-2\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{2\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$.
$3$. $x = 3a$ पर शीट के कारण विद्युत क्षेत्र (आवेश घनत्व $\sigma$): क्षेत्र शीट से दूर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} - \frac{\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}) \hat{i} = -\frac{2\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$ है।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\vec{E}_P| = \frac{2\sigma}{\epsilon_0}$ है।
इसकी तुलना $\frac{x \sigma}{\epsilon_0}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(D) $DC$ वोल्टेज के लिए, इंडक्टर एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है क्योंकि $DC$ के लिए $X_L = 0$ होता है।
$R = \frac{V}{I} = \frac{100 \, V}{5 \, A} = 20 \, \Omega$.
$AC$ वोल्टेज के लिए, परिपथ एक $LR$ श्रेणी परिपथ है।
दिया गया है $X_L = 20\sqrt{3} \, \Omega$ और $R = 20 \, \Omega$.
प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{20^2 + (20\sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 1200} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega$.
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \, V$ है।
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200 / \sqrt{2}}{40} = \frac{5}{\sqrt{2}} \, A$ है।
परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R$ है।
$P = \left( \frac{5}{\sqrt{2}} \right)^2 \times 20 = \frac{25}{2} \times 20 = 250 \, W$.

(A) न्यूनतम विचलन $\delta_{\min}$ के लिए,हमारे पास $i = e$ और $r_1 = r_2 = \frac{A}{2}$ है।
यह दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{\min}$ और प्रिज्म कोण $A$ का अनुपात $1$ है,इसलिए $\frac{\delta_{\min}}{A} = 1$,जिसका अर्थ है $\delta_{\min} = A$।
हम जानते हैं कि $\delta_{\min} = 2i - A$। $\delta_{\min} = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = 2i - A$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2A = 2i$ या $i = A$ हो जाता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \times \sin i = \mu \sin r_1$।
$i = A$ और $r_1 = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $\sin A = \mu \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $A \neq 0$),हमें $2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{3}$ या $\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ}$।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $R \propto \frac{l}{r^2}$।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,$V = A \cdot l = \pi r^2 l = \text{स्थिर}$.
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r$ और लंबाई $l$ है। खींचने के बाद,नई त्रिज्या $r' = r/2$ और नई लंबाई $l'$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\pi r^2 l = \pi (r/2)^2 l'$.
$\pi r^2 l = \pi (r^2/4) l' \implies l' = 4l$।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है: $R' = \rho \frac{l'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{4l}{\pi (r/2)^2} = \rho \frac{4l}{\pi r^2 / 4} = 16 \left( \rho \frac{l}{\pi r^2} \right) = 16R$।
दिया गया है कि $R' = xR$,इसलिए $x = 16$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0 = 0.529 \mathring{A}$ है।
दिया गया है $r_n = 8.48 \mathring{A}$,इसलिए $8.48 = 0.529 \times n^2$ है।
$n^2 = \frac{8.48}{0.529} \approx 16$ है।
अतः,$n = 4$ है।
$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{E}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ मूल अवस्था की ऊर्जा $(-13.6 \text{ eV})$ है।
$n = 4$ रखने पर,हमें $E_4 = \frac{E}{4^2} = \frac{E}{16}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $E/x$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है:
$W = U_f - U_i$
स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$
प्रारंभिक स्थिति: $\vec{M}$,$\vec{B}$ की दिशा में है,इसलिए $\theta_i = 0^{\circ}$।
$U_i = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$
अंतिम स्थिति: $\vec{M}$,$\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए $\theta_f = 90^{\circ}$।
$U_f = -MB \cos 90^{\circ} = 0$
किया गया कार्य $W = 0 - (-MB) = MB$
दिया गया है: $N = 200$,$I = 100 \mu\text{A} = 100 \times 10^{-6} \text{ A}$,$A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,$B = 1 \text{ T}$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = NIA = 200 \times (100 \times 10^{-6}) \times (2.5 \times 10^{-4}) = 5 \times 10^{-6} \text{ A m}^2$।
कार्य $W = MB = (5 \times 10^{-6}) \times 1 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu\text{J}$।

(D) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा अंतर के अनुरूप होती है,जो निकटतम उच्च ऊर्जा स्तर यानी $n_2 = 4$ से संक्रमण के दौरान होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R_H \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = R_H \left[ \frac{7}{144} \right]$
$\lambda = \frac{144}{7 R_H} = \frac{144}{7 \times 1.097 \times 10^7}$
$\lambda \approx 1.876 \times 10^{-6} \ m$.

(A) $1 \text{ MSD} = \frac{1 \text{ cm}}{20} = 0.05 \text{ cm}$.
$1 \text{ VSD} = \frac{49}{50} \text{ MSD} = \frac{49}{50} \times 0.05 \text{ cm} = 0.049 \text{ cm}$.
$LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.05 - 0.049 = 0.001 \text{ cm}$.
कागज पर निशान के लिए,$L_1 = 8.45 \text{ cm} + 26 \times 0.001 \text{ cm} = 8.476 \text{ cm} = 84.76 \text{ mm}$.
स्लैब के माध्यम से देखे गए कागज पर निशान के लिए,$L_2 = 7.12 \text{ cm} + 41 \times 0.001 \text{ cm} = 7.161 \text{ cm} = 71.61 \text{ mm}$.
ऊपरी सतह पर पाउडर कण के लिए,$ZE = 4.05 \text{ cm} + 1 \times 0.001 \text{ cm} = 4.051 \text{ cm} = 40.51 \text{ mm}$.
वास्तविक $L_1 = 84.76 - 40.51 = 44.25 \text{ mm}$.
वास्तविक $L_2 = 71.61 - 40.51 = 31.10 \text{ mm}$.
चूंकि $\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}} = \frac{L_1}{L_2}$,
$\mu = \frac{44.25}{31.10} \approx 1.42$.

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
दिया गया है:
$E_0 = 600 \ V/m$
$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times (600)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-12} \times 360000 \times 3 \times 10^8$
$I = \frac{1}{2} \times 9 \times 36 \times 3 \times 10^{-12} \times 10^4 \times 10^8$
$I = \frac{1}{2} \times 972 \times 10^0$
$I = 486 \ W/m^2$

(C) होल बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा ग्राही स्तर के ऊर्जा अंतराल के बराबर होती है,$E = 6 \ eV$।
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $hc = 1242 \ eV \ nm$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$6 \ eV = \frac{1242 \ eV \ nm}{\lambda}$
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = \frac{1242}{6} \ nm$
$\lambda = 207 \ nm$।
अतः,प्रकाश की अधिकतम तरंगदैर्ध्य जो एक होल बना सकती है,वह $207 \ nm$ है।

(B) प्रारंभ में, गोलों $P$ और $S$ के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k \frac{Q^2}{r^2} = 16 \,N$.
जब गोला $R$ (अनावेशित) को गोला $P$ (आवेश $Q$) के संपर्क में लाया जाता है, तो आवेश उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है क्योंकि वे समान हैं। इस प्रकार, $P$ पर नया आवेश $Q_P' = \frac{Q+0}{2} = \frac{Q}{2}$ है। $R$ पर आवेश $\frac{Q}{2}$ हो जाता है।
इसके बाद, गोला $R$ (अब $\frac{Q}{2}$ आवेश के साथ) को गोला $S$ (आवेश $Q$) के संपर्क में लाया जाता है। कुल आवेश उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। इस प्रकार, $S$ पर नया आवेश $Q_S' = \frac{Q + Q/2}{2} = \frac{3Q/2}{2} = \frac{3Q}{4}$ है।
$P$ और $S$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F' = k \frac{Q_P' Q_S'}{r^2} = k \frac{(Q/2)(3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right)$ है।
प्रारंभिक बल $F = 16 \,N$ का मान रखने पर, हमें $F' = \frac{3}{8} \times 16 \,N = 6 \,N$ प्राप्त होता है।

(A) स्व-प्रेरकत्व के कारण कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$|E| = L \left| \frac{di}{dt} \right|$
दिया गया है:
धारा में परिवर्तन,$di = (+2 \,A) - (-2 \,A) = 4 \,A$
समय अंतराल,$dt = 0.2 \,s$
प्रेरित $emf$,$|E| = 0.1 \,V$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.1 = L \times \frac{4}{0.2}$
$L$ के लिए हल करने पर:
$L = \frac{0.1 \times 0.2}{4}$
$L = \frac{0.02}{4} \,H$
$L = 0.005 \,H$
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर:
$L = 0.005 \times 1000 \,mH = 5 \,mH$

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है: $f = +20 \,cm$, $R_1 = +15 \,cm$, $R_2 = -30 \,cm$ (उत्तल लेंस के लिए)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{-30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2+1}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{30} \right)$
$\frac{1}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{10}{20} = 0.5$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
दिया गया है:
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$
$\lambda = 300 \, nm$
$\phi = 2.13 \, eV$
मान रखने पर:
$K_{max} = \frac{1240}{300} \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 4.133 \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 2.003 \, eV$
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $K_{max} = e V_s$ है, इसलिए:
$e V_s = 2.003 \, eV$
$V_s \approx 2 \, V$

(A) बल्ब की शक्ति $P$ को $P = V \cdot I$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है $P = 110 \,W$ और $V = 220 \,V$।
मान रखने पर,$110 = 220 \times I$।
अतः,विद्युत धारा $I = \frac{110}{220} = 0.5 \,A$।
विद्युत धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = \frac{q}{t} = \frac{n \cdot e}{t}$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e$ प्राथमिक आवेश है।
हमें प्रति सेकंड इलेक्ट्रॉनों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $\frac{n}{t} = \frac{I}{e}$ है।
$I = 0.5 \,A$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ का मान रखने पर:
$\frac{n}{t} = \frac{0.5}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{5}{16} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 31.25 \times 10^{17}$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।

(A) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ एक रैखिक चुंबकीय पदार्थ के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ चुम्बकन क्षेत्र $(H)$ से स्वतंत्र होती है। अतः, ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है। यह $(III)$ के अनुरूप है।
$(B)$ धारावाही तार के लिए, अंदर का चुंबकीय क्षेत्र $(x < a)$ $B = \frac{\mu_0 i x}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $B \propto x$, ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह $(IV)$ के अनुरूप है।
$(C)$ धारावाही तार के लिए, बाहर का चुंबकीय क्षेत्र $(x > a)$ $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $B \propto \frac{1}{x}$, ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है। यह $(II)$ के अनुरूप है।
$(D)$ एक आदर्श लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है, जिसका अर्थ है कि यह केंद्र से दूरी के साथ नहीं बदलता है। अतः यह $(III)$ के अनुरूप है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु को पहले उत्तेजित स्तर पर उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा उस वोल्टेज द्वारा दी जाती है जहाँ पहला डिप देखा जाता है, जो $E = 10.2 \, eV$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $E = \frac{hc}{\lambda}$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
दिए गए मानों को रखने पर: $10.2 \, eV = \frac{1245 \, eV \cdot nm}{\lambda}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{1245}{10.2} \, nm \approx 122.06 \, nm$.
निकटतम पूर्णांक में, तरंगदैर्ध्य $122 \, nm$ है।