JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) समय के फलन के रूप में स्थिति निर्देशांक दिए गए हैं:
$x = 2 + 4t$
$y = 3t + 8t^2$
सबसे पहले,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करें:
$v_x = \frac{dx}{dt} = 4$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 3 + 16t$
इसके बाद,वेग के घटकों का अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करें:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 16$
चूंकि त्वरण के घटक अचर हैं ($a_x = 0$ और $a_y = 16$),कण की गति समान रूप से त्वरित है।
पथ निर्धारित करने के लिए,पहले समीकरण से $t$ को $x$ के पदों में लिखें:
$t = \frac{x - 2}{4}$
इस मान को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$y = 3\left(\frac{x - 2}{4}\right) + 8\left(\frac{x - 2}{4}\right)^2$
चूंकि यह समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ के रूप में है,यह एक परवलयाकार पथ को दर्शाता है।
अतः,कण की गति परवलयाकार पथ के अनुदिश समान रूप से त्वरित है।

(B) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है: $W = S \times \Delta A$.
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
दिया गया है: $S = 40 \ dyne/cm$,$W = 36960 \ erg$,और प्रारंभिक व्यास $d_1 = 7 \ cm$,इसलिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 3.5 \ cm = \frac{7}{2} \ cm$.
मान रखने पर: $36960 = 40 \times 8 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - (3.5)^2)$.
$36960 = 320 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$36960 = \frac{7040}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$r_2^2 - 12.25 = \frac{36960 \times 7}{7040} = 36.75$.
$r_2^2 = 36.75 + 12.25 = 49$.
$r_2 = 7 \ cm$.

(D) मान लीजिए कि स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $\ell$ है और स्प्रिंग नियतांक $K$ है। स्प्रिंग में तनाव $T = K(L - \ell)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ खिंची हुई लंबाई है।
पहली स्थिति के लिए: $3 = K(a - \ell)$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए: $2 = K(b - \ell)$ --- $(2)$
हमें लंबाई $L' = (3a - 2b)$ के लिए तनाव $T'$ ज्ञात करना है।
$T' = K(L' - \ell) = K(3a - 2b - \ell)$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $T' = K[3(a - \ell) - 2(b - \ell)]$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T' = 3[K(a - \ell)] - 2[K(b - \ell)]$
$T' = 3(3) - 2(2)$
$T' = 9 - 4 = 5 \,N$.

(A) माना छोटे बल का परिमाण $|\vec{F}_1| = F$ है।
तब बड़े बल का परिमाण $|\vec{F}_2| = 3F$ है।
परिणामी बल $\vec{F}_R$ का परिमाण बड़े बल के बराबर है,इसलिए $|\vec{F}_R| = 3F$ है।
परिणामी परिमाण का सूत्र $F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ दोनों बलों के बीच का कोण है।
मान रखने पर: $(3F)^2 = F^2 + (3F)^2 + 2(F)(3F) \cos \theta$.
$9F^2 = F^2 + 9F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$9F^2 = 10F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$-F^2 = 6F^2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{6}$.
इसे $\cos \theta = \frac{1}{n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,$|n| = |-6| = 6$।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में कमी स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$mgh = K.E._{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = \frac{v}{R}$ और $I = Mk^2$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$
$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$
अतः,$h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
ठोस गोले के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$,इसलिए $h_1 \propto (1 + \frac{2}{5}) = \frac{7}{5}$.
खोखले बेलन के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = 1$,इसलिए $h_2 \propto (1 + 1) = 2$.
इसलिए,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{7/5}{2} = \frac{7}{10}$.
दिया गया है कि $\frac{h_1}{h_2} = \frac{n}{10}$,इसलिए $n = 7$.

(B) $CH_4$ अणु एक बहुपरमाणुक अरेखीय (non-linear) अणु है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में किसी भी अणु के लिए,स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि $(f_t)$ हमेशा $3$ होती है,जो $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप होती है।
एक अरेखीय बहुपरमाणुक अणु के लिए,घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि $(f_r)$ भी $3$ होती है,जो जड़त्व के तीन मुख्य अक्षों के परितः घूर्णन के अनुरूप होती है।
अतः,$CH_4$ के लिए,$f_t = 3$ और $f_r = 3$ है।

(B) साइकिल चालक बिंदु $P$ से बिंदु $S$ तक परिधि के अनुदिश गति करता है।
चूंकि पथ वृत्ताकार है, बिंदु $P, O, S$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ $O$ वृत्त का केंद्र है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $P$ और अंतिम बिंदु $S$ के बीच की सीधी रेखा की दूरी है।
$\triangle POS$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, विस्थापन $d$ इस प्रकार है:
$d = \sqrt{OP^2 + OS^2}$
त्रिज्या $R = 2 \,km$ दी गई है, इसलिए $OP = OS = R = 2 \,km$ है।
$d = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$R$ का मान रखने पर:
$d = 2\sqrt{2} \,km = \sqrt{4 \times 2} \,km = \sqrt{8} \,km$.

(A) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह के लिए जो पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर परिक्रमा कर रहा है,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{(R+h)}$
$\Rightarrow \frac{GM}{(R+h)} = v^2 \quad \dots(1)$
चूँकि $v = (R+h)\omega = (R+h)\frac{2\pi}{T}$,इसलिए $v^2 = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2} \quad \dots(2)$
साथ ही,पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2 \quad \dots(3)$
$(2)$ और $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{gR^2}{(R+h)} = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2}$
$\Rightarrow (R+h)^3 = \frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$
$\Rightarrow R+h = \left(\frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$
$\Rightarrow h = \left(\frac{T^2 R^2 g}{4\pi^2}\right)^{1/3} - R$

(C) कथन $I$ सही है क्योंकि संपर्क कोण ठोस और द्रव की सतहों की प्रकृति के साथ-साथ अणुओं के बीच ससंजक (cohesive) और आसंजक (adhesive) बलों पर निर्भर करता है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि केशनली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ होता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केशनली की आंतरिक त्रिज्या है। चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$,इसलिए द्रव का ऊपर चढ़ना नली की त्रिज्या पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(B) बिंदु $A$ से $B$ तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय $(WET)$ लागू करने पर:
$W_{mg} = K_{B} - K_{A}$
चूंकि पथ घर्षण रहित है,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$mg \times h = \frac{1}{2} mv_{B}^2 - 0$
ज्यामिति से,पिंड द्वारा $A$ से $B$ तक तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = R \sin(45^{\circ}) + R = \frac{R}{\sqrt{2}} + R$ है।
मान रखने पर:
$mg \times R \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \right) = \frac{1}{2} mv_{B}^2$
$gR \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2} v_{B}^2$
$v_{B}^2 = 2gR \left( \frac{1 + 1.4}{1.4} \right) = 2 \times 10 \times 14 \times \left( \frac{2.4}{1.4} \right)$
$v_{B}^2 = 20 \times 10 \times 2.4 = 480$
$v_{B} = \sqrt{480} \approx 21.9 \ m/s$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) जब कोई वस्तु झुके हुए तल पर फिसलने की स्थिति में होती है,तो झुकाव के कोण को विश्राम कोण $(\theta)$ कहा जाता है।
इस स्थिति में,तल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक सीमांत घर्षण बल $(f_L)$ द्वारा संतुलित होता है:
$mg \sin \theta = f_L$
साथ ही,अभिलंब बल $(N)$ गुरुत्वाकर्षण के लंबवत घटक द्वारा संतुलित होता है:
$N = mg \cos \theta$
चूंकि $f_L = \mu_s N$,जहां $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है:
$mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$
$\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\mu_s = \tan 45^{\circ} = 1$
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $1$ है।

(B) सरल आवर्त दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा $(T.E.)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$T.E. = \frac{1}{2} k A^2$
जहाँ $k$ स्प्रिंग का बल नियतांक है और $A$ दोलन का आयाम है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा केवल बल नियतांक $k$ और आयाम $A$ पर निर्भर करती है।
यह दोलन करने वाले कण के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।
चूंकि आयाम $A$ समान रहता है और बल नियतांक $k$ (जो स्प्रिंग के गुणों पर निर्भर करता है) अपरिवर्तित रहता है,इसलिए निकाय की कुल ऊर्जा $E$ ही रहेगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1$,$T_i = T$,और $V_f = 2V_i$ दिया गया है।
रुद्धोष्म संबंध $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$ है।
मान रखने पर: $T V^{\gamma-1} = T_f (2V)^{\gamma-1}$।
$T_f = T \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2-1} = T \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{T}{\sqrt{2}}$।
अब,कार्य के सूत्र में $T_f$ का मान रखने पर:
$W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R T (1 - 1/\sqrt{2})}{1/2} = 2RT \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = RT \left(\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\right) = RT(2 - \sqrt{2})$।

(C) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$LHS$ की विमाएँ $RHS$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$LHS$ की विमा = $[T^2]$
$RHS$ की विमा = $\frac{[L]^3}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M]} = \frac{[L^3]}{[L^3 T^{-2}]} = [T^2]$
चूँकि $LHS$ और $RHS$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(D) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
यहाँ $h = 2R$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left(1 + \frac{2R}{R}\right)^{-2} = g(1 + 2)^{-2} = g(3)^{-2} = \frac{g}{9}$।
चूँकि $g = 10 \,ms^{-2}$ है,प्रभावी त्वरण $g' = \frac{10}{9} \,ms^{-2}$ होगा।
$m = 90 \,kg$ द्रव्यमान वाले पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल:
$F = m \times g' = 90 \times \frac{10}{9} = 100 \,N$।

(A) दिया गया है,विस्थापन समीकरण $x = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \ m$ है।
आवर्तकाल $T = 3.14 \ s$ है। हम जानते हैं कि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,$3.14 = \frac{2 \times 3.14}{\omega}$,जिससे $\omega = 2 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\right]$.
$v = 10 \omega \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 0$ पर,वेग $v = 10 \times 2 \times \cos \left(0 + \frac{\pi}{3}\right)$ होगा।
$v = 20 \times \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$.

(B) प्रारंभिक वेग $u = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$.
अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$ (क्योंकि बस रुक जाती है)।
समय $t = 4 \,s$.
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके, हम त्वरण ज्ञात करते हैं:
$0 = 20 + a(4) \Rightarrow 4a = -20 \Rightarrow a = -5 \,m/s^2$.
बस द्वारा तय की गई दूरी $s$ को गति के दूसरे समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$s = (20)(4) + \frac{1}{2}(-5)(4)^2$
$s = 80 - \frac{1}{2}(5)(16)$
$s = 80 - 40 = 40 \,m$.

(D) द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta X_{\text{COM}} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2}$.
चूंकि द्रव्यमान केंद्र को अपनी मूल स्थिति में रहना चाहिए,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का कुल विस्थापन शून्य है,अर्थात $\Delta X_{\text{COM}} = 0$.
मान लीजिए $m_1$ का विस्थापन $\Delta x_1 = +2 \text{ cm}$ (द्रव्यमान केंद्र की ओर) है और $m_2$ का विस्थापन $\Delta x_2 = -x$ (द्रव्यमान केंद्र की ओर) है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0 = \frac{3 \times 2 + 2 \times (-x)}{3 + 2}$
$0 = \frac{6 - 2x}{5}$
$6 - 2x = 0$
$2x = 6$
$x = 3 \text{ cm}$.
अतः,$m_2$ द्रव्यमान के कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $3 \text{ cm}$ की दूरी तक विस्थापित करना चाहिए।

(B) नली के तल पर लगने वाला कुल बल $F$,वायुमंडलीय दबाव के कारण बल और पारे के स्तंभ के वजन के कारण बल का योग है।
$F = (P_0 + \rho gh) A$
यहाँ,क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2} \,m)^2 = \frac{22}{7} \times 4 \times 10^{-4} \,m^2 \approx 1.257 \times 10^{-3} \,m^2$.
वायुमंडलीय दबाव के कारण बल $F_{atm} = P_0 A = 10^5 \times 1.257 \times 10^{-3} = 125.7 \,N$.
पारे के स्तंभ के कारण बल $F_{Hg} = \rho gh A = (1.36 \times 10^4) \times 10 \times (30 \times 10^{-2}) \times (1.257 \times 10^{-3}) = 13600 \times 10 \times 0.3 \times 1.257 \times 10^{-3} \approx 51.3 \,N$.
कुल बल $F = 125.7 + 51.3 = 177 \,N$.

(B) ऊर्जा घनत्व $u$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ की विमा $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
इसलिए,$uG$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^0 L^2 T^{-4}]$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{uG}$ की विमा $[L^1 T^{-2}]$ प्राप्त होती है।
यह विमा $[L T^{-2}]$ त्वरण की विमा है।
प्रति इकाई द्रव्यमान बल $F/m = ma/m = a$ द्वारा दिया जाता है,जिसकी विमा $[L T^{-2}]$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने या नीचे गिरने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ द्वारा दी जाती है।
यदि संपर्क कोण $\theta = 0^{\circ}$ है,तो $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊँचाई $h = \frac{2T}{\rho gr}$ प्राप्त होती है,जो शून्य नहीं है। अतः,द्रव को केशिका में ऊपर चढ़ना चाहिए। इसलिए,कथन-$I$ गलत है।
संपर्क कोण $\theta$ ठोस सतह,द्रव और आसपास के माध्यम (गैस/वाष्प) की प्रकृति पर निर्भर करता है। अतः,यह संबंधित पदार्थों का एक गुण है। इसलिए,कथन-$II$ सही है।
निष्कर्ष: कथन-$I$ गलत है और कथन-$II$ सही है।

(A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P})$ और $\vec{B} = (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R}$ इन दो सदिशों का योग है:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P}) + (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\vec{R} = 2 \vec{Q} + 2 \vec{Q} + 2 \vec{P} - 2 \vec{P} = 4 \vec{Q}$.
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R} = 4 \vec{Q}$,सदिश $\vec{Q}$ का एक धनात्मक स्थिरांक $(4)$ के साथ गुणनफल है,इसलिए सदिश $\vec{R}$ उसी दिशा में है जिस दिशा में $\vec{Q}$ है।
अतः,सदिश $\vec{Q}$ और परिणामी सदिश $\vec{R}$ के बीच का कोण $0^{\circ}$ है।

(C) गैस अणुओं की टक्कर आवृत्ति $Z$ संबंध $Z \propto n \sigma v_{avg}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है,$\sigma$ टक्कर क्रॉस-सेक्शन है,और $v_{avg}$ औसत गति है।
एक बंद कक्ष में,संख्या घनत्व $n$ और टक्कर क्रॉस-सेक्शन $\sigma$ स्थिर रहते हैं।
औसत गति $v_{avg}$ निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
इसलिए,टक्कर आवृत्ति $Z \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{Z_2}{Z_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,$Z_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} Z$।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले खोखले गोले के लिए,इसके व्यास अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{3} MR^2$ है।
चूंकि $I = Mk^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $k_1$ के लिए $k_1^2 = \frac{2}{3} R^2$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $4R$ लंबाई वाले ठोस बेलन के लिए,अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके निकाला जाता है।
बेलन के लिए $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{12} M(4R)^2 + \frac{1}{4} MR^2 + M(2R)^2 = \frac{16}{12} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 + 4MR^2 = (\frac{4}{3} + \frac{1}{4} + 4) MR^2 = \frac{67}{12} MR^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$k_2^2 = \frac{67}{12} R^2$ है।
अनुपात $\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{2/3}{67/12}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{67}} = \sqrt{\frac{8}{67}}$ है।
इस प्रकार,$x = 67$ है।

(A) सूर्य ($M$ द्रव्यमान) के चारों ओर $a$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए ग्रह के लिए:
$1$. गतिज ऊर्जा $(KE)$: कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$ है। अतः,$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}$। यह $(2)$ से मेल खाता है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $(PE)$: निकाय की स्थितिज ऊर्जा $PE = -\frac{GMm}{a}$ है। यह $(1)$ से मेल खाता है।
$3$. कुल यांत्रिक ऊर्जा $(TE)$: $TE = KE + PE = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$। यह $(4)$ से मेल खाता है।
$4$. ग्रह की सतह पर पलायन ऊर्जा: सतह पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा आवश्यक है,जो $\frac{GM_p m}{r}$ है। इकाई द्रव्यमान वस्तु के लिए $(m=1)$,यह $\frac{GM_p}{r}$ है। यह $(3)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A) - II, (B) - I, (C) - IV, (D) - III$ है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 5 \, kg + 25 \, kg = 30 \, kg$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $W = Mg = 30 \times 9.8 = 294 \, N$ है।
माना $N$ फर्श द्वारा निकाय पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल है। नीचे की ओर गति के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$Mg - N = Ma$
मान रखने पर:
$294 - N = 30 \times 0.1$
$294 - N = 3$
$N = 294 - 3 = 291 \, N$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार, निकाय द्वारा फर्श पर लगाया गया क्रिया बल अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ के बराबर होता है, जो $291 \, N$ है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ होता है।
अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell (R+h)^2}{GM}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+h)$.
ऊँचाई $h_1 = R$ के लिए,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (2R)$.
ऊँचाई $h_2 = 2R$ के लिए,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (R+2R) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{GM}} (3R)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2R}{3R} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$3T_1 = 2T_2$.

(A) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है,जो $W = mgh$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ ऊर्ध्वाधर विस्थापन है।
दोनों मामलों में,द्रव्यमान $m = 50 \ kg$ और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = 20 \ m$ समान हैं।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है,इसलिए इसके विरुद्ध किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम ऊर्ध्वाधर स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
इसलिए,स्थिति-$1$ में किया गया कार्य $W_1 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ है।
स्थिति-$2$ में किया गया कार्य भी $W_2 = mgh = 50 \times g \times 20 = 1000g \ J$ है।
किए गए कार्य का अनुपात $W_1 : W_2 = 1000g : 1000g = 1: 1$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिए गए मान $4.62 \,s, 4.632 \,s, 4.6 \,s$ और $4.64 \,s$ हैं।
माध्य ज्ञात करने के लिए,पहले हम योग करते हैं: $4.62 + 4.632 + 4.6 + 4.64 = 18.492 \,s$.
योग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थानों वाले माप में हैं। यहाँ,$4.6 \,s$ में दशमलव के बाद केवल एक अंक है।
इसलिए,योग को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर: $18.5 \,s$ प्राप्त होता है।
अब,माध्य की गणना करते हैं: $\text{Mean} = \frac{18.5}{4} = 4.625 \,s$.
अंत में,भाग के लिए सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या सबसे कम सार्थक अंकों वाले माप के बराबर होनी चाहिए। यहाँ $4.6 \,s$ में दो सार्थक अंक हैं।
इसलिए,$4.625 \,s$ को दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $4.6 \,s$ प्राप्त होता है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta U = 0$, अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ किए गए कार्य $W$ के बराबर है, जो $P-V$ वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है।
$P-V$ वक्र एक वृत्त है जिसका दाब अक्ष पर व्यास $d_P = (340 - 60) \,kPa = 280 \,kPa = 280 \times 10^3 \,Pa$ है और आयतन अक्ष पर व्यास $d_V = (340 - 60) \,cc = 280 \,cm^3 = 280 \times 10^{-6} \,m^3$ है।
त्रिज्याएं $r_P = 140 \times 10^3 \,Pa$ और $r_V = 140 \times 10^{-6} \,m^3$ हैं।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \times r_P \times r_V$ है।
$W = \pi \times (140 \times 10^3 \,Pa) \times (140 \times 10^{-6} \,m^3) = \pi \times 140 \times 140 \times 10^{-3} \,J = \pi \times 19.6 \,J \approx 3.14159 \times 19.6 \,J \approx 61.575 \,J \approx 61.6 \,J$।

(D) माना कि निकाय का कुल द्रव्यमान $M = M_1 + M_2 + M_3 = 4 \ kg + 6 \ kg + 10 \ kg = 20 \ kg$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला कुल बल $W = Mg = 20 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 200 \ N$ है।
निकाय $a = 2 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर: $T_1 - Mg = Ma$.
मान रखने पर: $T_1 - 200 = 20 \times 2$.
$T_1 - 200 = 40$.
$T_1 = 240 \ N$.

(A) मान लीजिए $\rho$ घनत्व है,$\sigma$ ब्रेकिंग स्ट्रेस है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ तार की लंबाई है।
तार के टूटने की स्थिति में,उसके अपने वजन के कारण तार के ऊपरी सिरे पर लगने वाला प्रतिबल (स्ट्रेस) ब्रेकिंग स्ट्रेस के बराबर होता है।
तार का वजन $W = mg = (\rho A L) g'$ है।
यहाँ,$g'$ ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण है,जो $g' = \frac{g}{3} = \frac{10}{3} \ m/s^2$ द्वारा दिया गया है।
ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma = \frac{W}{A} = \frac{\rho A L g'}{A} = \rho L g'$ है।
$L$ के लिए हल करने पर,$L = \frac{\sigma}{\rho g'}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\sigma = 1.2 \times 10^8 \ N/m^2$,$\rho = 6 \times 10^4 \ kg/m^3$,और $g' = \frac{10}{3} \ m/s^2$.
$L = \frac{1.2 \times 10^8}{6 \times 10^4 \times (10/3)} = \frac{1.2 \times 10^8 \times 3}{6 \times 10^4 \times 10} = \frac{3.6 \times 10^8}{6 \times 10^5} = 0.6 \times 10^3 = 600 \ m$.

(B) $n^{th}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,$u = 0$,इसलिए $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$.
$n=10$ के लिए,$S_{10} = \frac{a}{2}(2(10)-1) = \frac{19a}{2}$.
$n-1=9$ के लिए,$S_{9} = \frac{a}{2}(2(9)-1) = \frac{17a}{2}$.
अनुपात $\frac{S_{n-1}}{S_n} = \frac{17a/2}{19a/2} = \frac{17}{19}$ है।
दिया गया है कि अनुपात $1 - \frac{2}{x}$ है,इसलिए $1 - \frac{2}{x} = \frac{17}{19}$.
इसका अर्थ है $\frac{2}{x} = 1 - \frac{17}{19} = \frac{2}{19}$.
अतः,$x = 19$.

(A) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ को दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,माध्य मुक्त पथ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
जहाँ:
$n$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
$d$ अणु का व्यास है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ है।

(A) दिया गया रैखिक संवेग $\vec{P}(t) = \cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}$ है।
बल $\vec{F}$ संवेग के परिवर्तन की दर है: $\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}$.
$\vec{F} = \frac{d}{dt} [\cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}] = -k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}$ और $\vec{P}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) का उपयोग करते हैं: $\vec{F} \cdot \vec{P} = |\vec{F}| |\vec{P}| \cos \theta$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = (-k \sin(kt))(\cos(kt)) + (-k \cos(kt))(-\sin(kt))$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = -k \sin(kt) \cos(kt) + k \sin(kt) \cos(kt) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $R = 9 \,m$.
आदमी $3$ मिनट में $120$ चक्कर पूरे करता है।
सबसे पहले,कोणीय वेग $\omega$ की गणना करें:
$\omega = \frac{120 \text{ चक्कर}}{3 \text{ मिनट}} = \frac{120 \times 2\pi \text{ रेडियन}}{3 \times 60 \text{ सेकंड}} = \frac{240\pi}{180} = \frac{4\pi}{3} \,rad/s$.
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \omega^2 R$ है।
मान रखने पर: $a_c = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{16\pi^2}{9} \times 9 = 16\pi^2 \,m/s^2$.

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
पद $(V-b)$ में,चूँकि $V$ आयतन है,इसलिए $b$ की विमा $V$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$[b] = [L^3]$.
पद $(P + \frac{a}{V^2})$ में,$\frac{a}{V^2}$ की विमा दाब $P$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$.
इसलिए,$[a] = [P] \times [V^2] = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [M L^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [M L^5 T^{-2}]$.
अब,हमें $ab^{-1} = \frac{a}{b}$ का विमीय सूत्र ज्ञात करना है।
$\frac{[a]}{[b]} = \frac{[M L^5 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^2 T^{-2}]$.

(C) दिया गया है कि शक्ति $P$ स्थिर है।
चूंकि $P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$,इसलिए $m \cdot v \cdot \frac{dv}{dt} = P$ है।
समय के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int m \cdot v \cdot dv = \int P \cdot dt$।
इससे $\frac{1}{2} m v^2 = P \cdot t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $v^2 \propto t$,या $v \propto t^{1/2}$।
चूंकि वेग $v = \frac{ds}{dt}$ है,इसलिए $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/2}$ होगा।
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $s = \int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2}$।
अतः,विस्थापन $s \propto t^{3/2}$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,जिसे हम $P = k T^3$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $P T^{-3} = \text{constant}$।
इसे मानक रुद्धोष्म संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए संबंध को $n$ घात तक बढ़ाते हैं ताकि $T$ का घातांक समान हो जाए:
$(P T^{-3})^n = P^n T^{-3n} = \text{constant}$।
$P^{1-\gamma} T^{\gamma}$ और $P^n T^{-3n}$ से $T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = -3n$ और $1-\gamma = n$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में $n = 1-\gamma$ रखने पर: $\gamma = -3(1-\gamma) = -3 + 3\gamma$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2\gamma = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\gamma = \frac{3}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{C_p}{C_V} = \gamma = \frac{3}{2}$ है।

(C) सूची-$I$ में दी गई परिभाषाएँ सूची-$II$ की निम्नलिखित भौतिक अवधारणाओं के अनुरूप हैं:
$(A)$ एक बल जो इकाई क्षेत्रफल वाले एक प्रत्यास्थ पिंड को उसकी मूल अवस्था में वापस लाता है,वह $\text{Stress} = \frac{F_{\text{restoring}}}{A}$ की परिभाषा है। यदि $A = 1$ है,तो $\text{Stress} = F_{\text{restoring}}$। अतः,$(A)-(III)$।
$(B)$ किसी पिंड के विपरीत फलकों के समानांतर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बल आयतन को बदले बिना आकार में परिवर्तन करते हैं,जो $\text{Shear modulus}$ से संबंधित है। अतः,$(B)-(IV)$।
$(C)$ प्रति इकाई क्षेत्रफल सतह पर हर जगह लंबवत कार्य करने वाले बल,जो हर जगह समान होते हैं,आयतन प्रतिबल (volumetric stress) उत्पन्न करते हैं,जो $\text{Bulk modulus}$ से संबंधित है। अतः,$(C)-(I)$।
$(D)$ विपरीत फलकों के लंबवत कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बल लंबाई में परिवर्तन करते हैं,जो $\text{Young's modulus}$ से संबंधित है। अतः,$(D)-(II)$।
अतः,सही मिलान $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(II)$ है।

(C) दिया गया है कि $20$ वर्नियर स्केल विभाजन $(VSD)$, मुख्य स्केल के $19$ विभाजनों $(MSD)$ के साथ संपाती हैं।
अतः, $1 \,VSD = \frac{19}{20} \,MSD$.
वर्नियर कैलिपर्स का अल्पतमांक $(L.C.)$ इस प्रकार परिभाषित है: $L.C. = 1 \,MSD - 1 \,VSD$.
दिया गया है $L.C. = 0.1 \,mm$.
मान रखने पर: $0.1 \,mm = 1 \,MSD - \frac{19}{20} \,MSD$.
$0.1 \,mm = (1 - \frac{19}{20}) \,MSD$.
$0.1 \,mm = \frac{1}{20} \,MSD$.
$1 \,MSD = 0.1 \,mm \times 20 = 2 \,mm$.

(B) गतिज घर्षण बल $f_k$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f_k = \mu_k N$
जहाँ $\mu_k$ गतिज घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
क्षैतिज सतह पर रखे बक्से के लिए, अभिलंब बल $N$ बक्से के भार $mg$ के बराबर होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \,kg$
गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$
अभिलंब बल की गणना:
$N = mg = 50 \times 9.8 = 490 \,N$
गतिज घर्षण बल की गणना:
$f_k = 0.3 \times 490 = 147 \,N$

(D) उपग्रह का समय अंतराल $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हमें प्राप्त होता है $T \propto \sqrt{\frac{r^3}{M}}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2} \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/2}$.
यहाँ,$T_1 = 6 \text{ घंटे}$,$T_2 = 24 \text{ घंटे}$ (पृथ्वी की भू-स्थिर कक्षा के लिए)।
$M_1 = \frac{M_e}{4}$ और $M_2 = M_e$.
$r_2 = 4.2 \times 10^4 \text{ km}$.
मान रखने पर: $\frac{6}{24} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \left(\frac{M_e}{M_e/4}\right)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times (4)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times 2$.
$\frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$\frac{1}{4} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$r_1 = \frac{4.2 \times 10^4}{4} = 1.05 \times 10^4 \text{ km}$.

(D) सोनोमीटर तार के लिए,मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $L$ अनुनादी लंबाई है।
चूँकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ स्थिर रहती है।
अतः,$f_0 L = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
दिया गया है $f_1 = 400 \ Hz$,$L_1 = 90 \ cm$,और $f_2 = 600 \ Hz$.
मान रखने पर: $400 \times 90 = 600 \times L_2$.
$L_2 = \frac{400 \times 90}{600} = \frac{36000}{600} = 60 \ cm$.

(A) बिना फिसले लुढ़कते हुए एक खोखले गोले के लिए,इसकी सममिति की धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} mR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$ है।
चूंकि $v = R\omega$,इसलिए $K_{total} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) \omega^2 + \frac{1}{2} m(R\omega)^2 = \frac{1}{3} mR^2 \omega^2 + \frac{1}{2} mR^2 \omega^2 = (\frac{2+3}{6}) mR^2 \omega^2 = \frac{5}{6} mR^2 \omega^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{3} mR^2 \omega^2}{\frac{5}{6} mR^2 \omega^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ है।
इसे $\frac{x}{5}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) पास्कल के नियम के अनुसार, किसी परिबद्ध तरल पर लगाया गया दाब तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से संचरित होता है।
इसलिए, संतुलन के लिए दोनों भुजाओं पर दाब समान होना चाहिए:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
यहाँ, $F_1$ मोटी भुजा पर बल है, $A_1$ मोटी भुजा का क्षेत्रफल है, $F_2 = 10 \,N$ पतली भुजा पर बल है, और $A_2$ पतली भुजा का क्षेत्रफल है।
मोटी भुजा का व्यास $D_1 = 14 \,cm$ है, इसलिए इसकी त्रिज्या $r_1 = 7 \,cm$ है।
पतली भुजा का व्यास $D_2 = 1.4 \,cm$ है, इसलिए इसकी त्रिज्या $r_2 = 0.7 \,cm$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{F_1}{\pi (7)^2} = \frac{10}{\pi (0.7)^2}$
$F_1 = 10 \times \frac{49}{0.49}$
$F_1 = 10 \times 100 = 1000 \,N$.

(D) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
यह मानते हुए कि प्रक्षेप्य कोण $\theta$ स्थिर रहता है, अधिकतम ऊँचाई प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है: $H_{\max} \propto u^2$.
इसलिए, नई अधिकतम ऊँचाई $(H_{2\max})$ और प्रारंभिक अधिकतम ऊँचाई $(H_{1\max})$ का अनुपात $\frac{H_{2\max}}{H_{1\max}} = \frac{u_2^2}{u_1^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $H_{1\max} = 64 \,m$ और नया प्रारंभिक वेग $u_2 = \frac{u_1}{2}$ दिया गया है, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{H_{2\max}}{64} = \frac{(u_1 / 2)^2}{u_1^2} = \frac{u_1^2 / 4}{u_1^2} = \frac{1}{4}$.
$H_{2\max}$ के लिए हल करने पर, हमें $H_{2\max} = \frac{64}{4} = 16 \,m$ प्राप्त होता है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2}$।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है: द्रव्यमान में त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \% = -1 \%$ और समय में त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \% = 2 \%$।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम निरपेक्ष मान लेते हैं: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |\frac{\Delta m}{m} \%| + 2 |\frac{\Delta T}{T} \%|$।
मान रखने पर: $\left( \frac{\Delta k}{k} \right) \% = |-1 \%| + 2(2 \%) = 1 \% + 4 \% = 5 \%$।

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^2 = \frac{1}{2} m (100)^2 = 5000 m \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_{f} = \frac{1}{2} m v_{f}^2 = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800 m \ J$.
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि $= \frac{K_{i} - K_{f}}{K_{i}} \times 100$.
$= \frac{5000 m - 800 m}{5000 m} \times 100$.
$= \frac{4200}{5000} \times 100 = 84 \%$.

(B) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_E}}$ है।
पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए,आवश्यक गतिज ऊर्जा $K$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
$K = \frac{GMm}{R_E}$.
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_E^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $GM = gR_E^2$.
$GM$ का मान गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर:
$K = \frac{(gR_E^2)m}{R_E} = mgR_E$.
अतः,आवश्यक गतिज ऊर्जा $mgR_E$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे घन $C_1$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q_1 = 2Q$ है। अतः,$C_1$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = \frac{2Q}{\epsilon_0}$ है।
बड़े घन $C_2$ के लिए,इसके अंदर का कुल परिबद्ध आवेश $q_2 = 2Q + 3Q = 5Q$ है। अतः,$C_2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = \frac{5Q}{\epsilon_0}$ है।
$C_1$ और $C_2$ से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स का अनुपात $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{2Q/\epsilon_0}{5Q/\epsilon_0} = \frac{2}{5}$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं,इसलिए उनसे कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $4 \ \Omega$,$2 \ \Omega$ (गैल्वेनोमीटर),और $6 \ \Omega$।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4 + 2 + 6 = 12 \ \Omega$।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$ है।
मान लीजिए नोड्स $A$ (बाएं),$B$ (ऊपर),$C$ (नीचे),और $D$ (दाएं) हैं। $C_1$ के सिरों पर विभवांतर नोड्स $A$ और $C$ के बीच का विभवांतर है। $C_2$ के सिरों पर विभवांतर नोड्स $B$ और $D$ के बीच का विभवांतर है।
$A$ पर विभव = $6 \ V$,$D$ पर विभव = $0 \ V$।
$B$ पर विभव = $V_A - I \times 4 \ \Omega = 6 - 0.5 \times 4 = 4 \ V$।
$C$ पर विभव = $V_B - I \times 2 \ \Omega = 4 - 0.5 \times 2 = 3 \ V$।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $(V_{C1})$ = $V_A - V_C = 6 - 3 = 3 \ V$।
$C_2$ के सिरों पर विभवांतर $(V_{C2})$ = $V_B - V_D = 4 - 0 = 4 \ V$।
आवेश $q_1 = C_1 \times V_{C1} = 4 \ \mu F \times 3 \ V = 12 \ \mu C$।
आवेश $q_2 = C_2 \times V_{C2} = 6 \ \mu F \times 4 \ V = 24 \ \mu C$।
अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{12 \ \mu C}{24 \ \mu C} = \frac{1}{2}$।

(A) प्रथम स्थिति में,बाएं गैप में प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ है और दाएं गैप में अज्ञात प्रतिरोध $X$ है। संतुलन लंबाई $\ell_1 = 40 \ cm$ है।
मीटर-ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{\ell_1} = \frac{X}{100 - \ell_1} \Rightarrow \frac{2}{40} = \frac{X}{60} \Rightarrow X = 3 \ \Omega$.
दूसरी स्थिति में,अज्ञात प्रतिरोध $X$ को $2 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है। नया तुल्य प्रतिरोध $X^{\prime}$ है:
$X^{\prime} = \frac{X \times 2}{X + 2} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$.
माना नई संतुलन लंबाई $\ell_2$ है।
$\frac{2}{\ell_2} = \frac{1.2}{100 - \ell_2} \Rightarrow 2(100 - \ell_2) = 1.2\ell_2 \Rightarrow 200 - 2\ell_2 = 1.2\ell_2 \Rightarrow 3.2\ell_2 = 200 \Rightarrow \ell_2 = \frac{200}{3.2} = 62.5 \ cm$.
संतुलन लंबाई में परिवर्तन $|\ell_2 - \ell_1| = |62.5 - 40| = 22.5 \ cm$ है।

(B) दक्षता $(\eta)$ आउटपुट पावर और इनपुट पावर का अनुपात है: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$.
दिया गया है: इनपुट पावर $P_{in} = 4 \ kW = 4000 \ W$, दक्षता $\eta = 80\% = 0.8$, सेकेंडरी वोल्टेज $V_S = 240 \ V$.
आउटपुट पावर $P_{out} = V_S \times I_S$ है।
दक्षता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $0.8 = \frac{V_S \times I_S}{P_{in}}$.
मान रखने पर: $0.8 = \frac{240 \times I_S}{4000}$.
$I_S = \frac{0.8 \times 4000}{240} = \frac{3200}{240}$.
$I_S = 13.33 \ A$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में कॉइल पर लगने वाला टॉर्क $\tau = BINA \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ कॉइल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है। रेडियल चुंबकीय क्षेत्र में,$\phi = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin 90^{\circ} = 1$ होता है।
सस्पेंशन तार द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन टॉर्क (restoring torque) $\tau = C \theta$ है,जहाँ $C$ मरोड़ नियतांक है और $\theta$ विक्षेप है।
दोनों टॉर्क को बराबर करने पर: $C \theta = BINA$.
दिए गए मान: $N = 100$,$A = 2.0 \,cm^2 = 2.0 \times 10^{-4} \,m^2$,$B = 0.01 \,T$,$I = 10 \,mA = 10 \times 10^{-3} \,A$,और $\theta = 0.05 \,rad$.
$C$ के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$C = \frac{BINA}{\theta} = \frac{0.01 \times 10 \times 10^{-3} \times 100 \times 2.0 \times 10^{-4}}{0.05}$
$C = \frac{0.01 \times 0.01 \times 100 \times 2.0 \times 10^{-4}}{0.05} = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.05} = 40 \times 10^{-6} = 4 \times 10^{-5} \,N-m/rad$.
इसे $x \times 10^{-5} \,N-m/rad$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu = R c Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
$n=2$ से $n=1$ संक्रमण के लिए:
$\nu_1 = K \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = K \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = K \left( \frac{3}{4} \right) = 3 \times 10^{15} \,Hz$.
$n=3$ से $n=1$ संक्रमण के लिए:
$\nu_2 = K \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = K \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = K \left( \frac{8}{9} \right)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{K(8/9)}{K(3/4)} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.
अतः, $\nu_2 = \frac{32}{27} \times 3 \times 10^{15} \,Hz = \frac{32}{9} \times 10^{15} \,Hz$.
इसकी तुलना $\frac{x}{9} \times 10^{15} \,Hz$ से करने पर, हमें $X = 32$ प्राप्त होता है।

(B) स्थायी अवस्था (steady state) में,संधारित्र एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,धारा $I_2 = 0 \ A$ है।
चूंकि संधारित्र शाखा ओपन है,इसलिए धारा $I_1$ प्रतिरोध $R_1$ से होकर और फिर प्रतिरोध $R_3$ से होकर प्रवाहित होती है। अतः,$I_1 = I_3$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_3 = 4 \ \Omega + 6 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \ V}{10 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c$ प्रतिरोध $R_3$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर है क्योंकि वे संधारित्र शाखा के साथ समानांतर में हैं (स्थायी अवस्था में $R_2$ पर कोई विभवांतर नहीं होता है)।
$V_c = I_3 \times R_3 = 1 \ A \times 6 \ \Omega = 6 \ V$.
संधारित्र में संचित आवेश $q = C \times V_c = 10 \ \mu F \times 6 \ V = 60 \ \mu C$ है।

(C) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NAB \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = NAB\omega \sin(\omega t)$ है।
उत्पन्न अधिकतम वोल्टेज $\varepsilon_{\max} = NAB\omega$ है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 200$
क्षेत्रफल $A = 0.20 \ m^2$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.01 \ T$
आवृत्ति $f = 0.5 \ rev/s$,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi(0.5) = \pi \ rad/s$.
मान रखने पर:
$\varepsilon_{\max} = 200 \times 0.20 \times 0.01 \times \pi$
$\varepsilon_{\max} = 40 \times 0.01 \times \pi = 0.4\pi = \frac{4\pi}{10} = \frac{2\pi}{5} \ V$.
इसकी तुलना $\frac{2\pi}{\beta}$ से करने पर,हमें $\beta = 5$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक स्लिट के कारण पर्दे पर प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
पर्दे के केंद्र पर अधिकतम तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ है।
जिस बिंदु पर कलांतर $\phi$ है,वहां तीव्रता $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि तीव्रता अधिकतम तीव्रता की आधी हो जाती है,इसलिए $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$.
अतः,$2I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \implies \cos^2(\phi/2) = 1/2 \implies \cos(\phi/2) = 1/\sqrt{2}$.
इससे $\phi/2 = \pi/4$ प्राप्त होता है,इसलिए कलांतर $\phi = \pi/2$.
कलांतर,पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$\frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{\pi}{2} \implies \Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $d(y/D) = \lambda/4 \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$,$d = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$,और $D = 1.0 \ m$.
$y = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{4 \times 10^{-3}} = 1.25 \times 10^{-4} \ m = 125 \times 10^{-6} \ m$.
इसलिए,दूरी $125$ है।

(B) मान लीजिए कि धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{10 \ cm}{20 \ cm} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।
संतुलन की स्थिति में,कण पर कार्य करने वाले बल हैं: धागे में तनाव $T$,नीचे की ओर भार $mg$,और दीवार से दूर क्षैतिज दिशा में विद्युत बल $qE$।
बलों को वियोजित करने पर: $T \sin \theta = qE$ और $T \cos \theta = mg$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$।
दिया गया है $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,$E = 2 \times 10^4 \ N/C$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$।
$\tan 30^{\circ} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-3} \times 10} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-2}} = q \times 10^6$।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = q \times 10^6 \implies q = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^{-6} \ C = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \mu C$।
$\frac{1}{\sqrt{x}} \ \mu C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) एक लंबी धारावाही परिनालिका के अंदर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ एकसमान होता है और परिनालिका के अक्ष की दिशा में होता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को अक्ष के अनुदिश वेग $\vec{v}$ के साथ प्रक्षेपित किया जाता है,तो वेग सदिश $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर होता है (अर्थात,$\vec{v} \parallel \vec{B}$)।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय बल $\vec{F} = qvB \sin \theta$ है। यहाँ $\vec{v}$ और $\vec{B}$ समानांतर हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ है,अतः $\sin \theta = 0$ होता है।
इसलिए,चुंबकीय बल $\vec{F} = 0$ होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर कोई नेट बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए यह परिनालिका के अक्ष के अनुदिश अपने प्रारंभिक एकसमान वेग से गति करना जारी रखेगा।

(D) दिया गया विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = \hat{i} 40 \cos \omega(t - \frac{z}{c})$ है।
यहाँ,विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ $+x$ अक्ष की दिशा में है।
तरंग $+z$ दिशा में संचरित हो रही है (जैसा कि $(t - z/c)$ पद द्वारा दर्शाया गया है)।
विद्युतचुंबकीय तरंग में,संचरण की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को $+y$ अक्ष $(\hat{j})$ की दिशा में होना चाहिए।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण विद्युत क्षेत्र से $B_0 = \frac{E_0}{c}$ के संबंध द्वारा संबंधित है।
यहाँ $E_0 = 40 \text{ N/C}$ दिया गया है,इसलिए $B_0 = \frac{40}{c} \text{ T}$ होगा।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = \hat{j} \frac{40}{c} \cos \omega(t - \frac{z}{c}) \text{ T}$ है।

(D) नाभिकीय विखंडन अभिक्रिया में,समीकरण के दोनों ओर कुल द्रव्यमान संख्या $(A)$ और कुल परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण होना चाहिए।
अभिक्रिया के लिए: ${ }_{92}^{235} U + { }_{0}^{1} n \rightarrow { }_{56}^{144} Ba + { }_{36}^{89} Kr + x{ }_{0}^{1} n$
द्रव्यमान संख्या का संतुलन जाँचने पर:
$235 + 1 = 144 + 89 + x$
$236 = 233 + x$
$x = 3$
परमाणु क्रमांक का संतुलन जाँचने पर:
$92 + 0 = 56 + 36 + 0$
$92 = 92$
चूंकि दोनों संतुलित हैं,इसलिए सही अभिक्रिया ${ }_{92}^{235} U + { }_{0}^{1} n \rightarrow { }_{56}^{144} Ba + { }_{36}^{89} Kr + 3{ }_{0}^{1} n$ है।

(B) लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ है,जिसे $f^{-1} = v^{-1} - u^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-f^{-2} df = -v^{-2} dv - u^{-2} du$.
$-1$ से गुणा करने पर:
$\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
त्रुटियों $du$ और $dv$ के लिए अल्पतमांक $\Delta u$ और $\Delta v$ रखने पर,फोकस दूरी में त्रुटि $\Delta f$ होगी:
$\Delta f = f^2 \left[ \frac{\Delta u}{u^2} + \frac{\Delta v}{v^2} \right]$.

(A) संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की प्रभावी शक्ति उनकी व्यक्तिगत शक्तियों के योग के बराबर होती है: $P_{eq} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5$.
चूंकि सभी $5$ लेंस समान हैं,इसलिए $P_{eq} = 5P$ होगा।
दिया गया है कि $P_{eq} = 25 \ D$,इसलिए $5P = 25 \ D$,जिसका अर्थ है कि $P = 5 \ D$.
शक्ति $P$ और फोकस दूरी $f$ (मीटर में) के बीच का संबंध $P = \frac{1}{f}$ है।
इसलिए,$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{5} \ m = 0.2 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर,$f = 0.2 \times 100 \ cm = 20 \ cm$.
अतः,प्रत्येक लेंस की फोकस दूरी $20 \ cm$ है।

(C) फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव आपतित प्रकाश की तीव्रता और आवृत्ति पर निर्भर करता है।
चूंकि आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य समान है,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं। अतः,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा समान होती है,जिसका अर्थ है कि दोनों तीव्रताओं के लिए निरोधी विभव (स्टॉपिंग पोटेंशियल) $(V_0)$ समान रहता है।
चूंकि तीव्रता $I_2 > I_1$ है,इसलिए प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $I_1$ की तुलना में $I_2$ के लिए अधिक है। परिणामस्वरूप,$I_2$ के लिए संतृप्ति धारा (सैचुरेशन करंट) $I_1$ की तुलना में अधिक होगी।
दिए गए चित्रों के साथ तुलना करने पर,चित्र $C$ सही ढंग से दर्शाता है कि दोनों वक्र ऋणात्मक $V$-अक्ष पर समान निरोधी विभव $(-V_0)$ से शुरू होते हैं,और $I_2$ के लिए संतृप्ति धारा $I_1$ से अधिक है।
अतः,सही चित्र $C$ है।

(D) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के लिए सूत्र $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $\ell_1$ ओपन सर्किट के लिए संतुलन लंबाई है और $\ell_2$ बाहरी प्रतिरोध $R$ के साथ संतुलन लंबाई है।
इस प्रश्न में,हमें दो अलग-अलग बाहरी प्रतिरोध $R_1 = 10 \ \Omega$ और $R_2 = 1 \ \Omega$ दिए गए हैं,जिनकी संतुलन लंबाई क्रमशः $\ell_1 = 500 \ cm$ और $\ell_2 = 400 \ cm$ है।
टर्मिनल वोल्टेज $V = \varepsilon - Ir = I R = \lambda \ell$ है,जहाँ $\lambda$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$R_1 = 10 \ \Omega$ के लिए: $V_1 = \frac{\varepsilon}{r + 10} \times 10 = \lambda \times 500 \implies \varepsilon = 50 \lambda (r + 10)$.
$R_2 = 1 \ \Omega$ के लिए: $V_2 = \frac{\varepsilon}{r + 1} \times 1 = \lambda \times 400 \implies \varepsilon = 400 \lambda (r + 1)$.
$\varepsilon$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$50 \lambda (r + 10) = 400 \lambda (r + 1)$
$r + 10 = 8(r + 1)$
$r + 10 = 8r + 8$
$7r = 2$
$r = \frac{2}{7} \approx 0.285 \ \Omega \approx 0.3 \ \Omega$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) अनंत लंबाई के आवेशित तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
$e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला स्थिर-विद्युत बल $F = eE = \frac{2 k \lambda e}{r}$ है।
इलेक्ट्रॉन के $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर घूमने के लिए,यह स्थिर-विद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_c = \frac{m v^2}{r} = \frac{2 k \lambda e}{r}$
इससे,हम वेग का वर्ग $v^2$ ज्ञात कर सकते हैं:
$v^2 = \frac{2 k \lambda e}{m}$
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $KE$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{2 k \lambda e}{m} \right) = k \lambda e$
चूंकि $k$,$\lambda$ और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE$ त्रिज्या $r$ पर निर्भर नहीं करती है। अतः,$KE$ बनाम $r$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी। इसलिए,विकल्प $(B)$ में दिखाया गया ग्राफ सही है।

(C) बाएं टर्मिनल पर विभव $V_A = -6 \text{ V}$ है और दाएं टर्मिनल पर विभव $V_B = -8 \text{ V}$ है।
$10 \Omega$ प्रतिरोध और डायोड $1$ वाली मध्य शाखा के लिए,डायोड के सिरों पर विभवांतर $V_A - V_B = -6 - (-8) = +2 \text{ V}$ है। चूंकि एनोड कैथोड की तुलना में उच्च विभव पर है,इसलिए डायोड $1$ फॉरवर्ड बायस में है और एक सुचालक तार की तरह कार्य करता है।
$5 \Omega$ प्रतिरोध और डायोड $2$ वाली निचली शाखा के लिए,डायोड के सिरों पर विभवांतर $V_B - V_A = -8 - (-6) = -2 \text{ V}$ है। चूंकि एनोड कैथोड की तुलना में निम्न विभव पर है,इसलिए डायोड $2$ रिवर्स बायस में है और एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है।
ऊपरी शाखा में $15 \Omega$ का प्रतिरोध है।
इस प्रकार,परिपथ $15 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन में बदल जाता है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{15 \times 10}{15 + 10} = \frac{150}{25} = 6 \Omega$.

(D) एक $AC$ परिपथ में, तात्क्षणिक धारा $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ और वोल्टेज $V = V_0 \sin(\omega t)$ होता है।
जब धारा शून्य होती है, तो $\sin(\omega t + \phi) = 0$, जिसका अर्थ है $\omega t + \phi = 0$ या $\pi$।
जब वोल्टेज अधिकतम होता है, तो $\sin(\omega t) = 1$, जिसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{2}$।
धारा के समीकरण में $\omega t = \frac{\pi}{2}$ रखने पर: $\sin(\frac{\pi}{2} + \phi) = 0$, जिसका अर्थ है $\cos(\phi) = 0$, इसलिए $\phi = \pm \frac{\pi}{2}$।
यह $\frac{\pi}{2}$ का कलांतर (phase difference) शुद्ध प्रेरक $(\phi = -\frac{\pi}{2})$, शुद्ध संधारित्र $(\phi = +\frac{\pi}{2})$, या $LC$ परिपथ में होता है।
अतः, विकल्प $A, B$ और $D$ सही हैं।

(A) एक अनंत समतल आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E_S = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $(0, 0, 2)$ पर,शीट से (जो $x-y$ तल,यानी $z=0$ पर है) दूरी $r_S = 2 \text{ m}$ है।
एक अनंत रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{\ell} = \frac{|\lambda_e|}{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखीय आवेश $z=4 \text{ m}$ पर है और $y$-अक्ष के समानांतर है। बिंदु $(0, 0, 2)$ है। रेखीय आवेश से बिंदु $(0, 0, 2)$ तक की लंबवत दूरी $r_{\ell} = |4 - 2| = 2 \text{ m}$ है।
दिया गया है कि $|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$.
विद्युत क्षेत्रों का अनुपात:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{|\sigma_s| / 2\epsilon_0}{|\lambda_e| / 2\pi\epsilon_0 r_{\ell}} = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0} \times \frac{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}{|\lambda_e|} = \frac{|\sigma_s| \pi r_{\ell}}{|\lambda_e|}$.
$|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$ और $r_{\ell} = 2 \text{ m}$ मान रखने पर:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{2|\lambda_e| \times \pi \times 2}{|\lambda_e|} = 4\pi$.
हमें अनुपात $\pi \sqrt{n} : 1$ दिया गया है,इसलिए $\pi \sqrt{n} = 4\pi$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{n} = 4$.
अतः,$n = 16$.

(B) $n=3$ से $n=2$ संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 1.9 \text{ eV}$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,परमाणु $v$ वेग के साथ रिकॉइल करता है,इसलिए $mv = \frac{h}{\lambda'}$,जहाँ $\lambda'$ रिकॉइल को ध्यान में रखते हुए उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य है।
ऊर्जा संतुलन समीकरण $\Delta E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{hc}{\lambda'}$ है।
$v = \frac{h}{m\lambda'}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta E = \frac{h^2}{2m\lambda'^2} + \frac{hc}{\lambda'}$ प्राप्त होता है।
$\lambda'$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda' \approx \lambda \left(1 + \frac{\Delta E}{2mc^2}\right)$ मिलता है।
तरंगदैर्ध्य में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta E}{2mc^2}$ है।
मान रखने पर: $\Delta E = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2} \approx 10^{-9}$.
चूंकि प्रश्न में प्रतिशत परिवर्तन पूछा गया है,$\% \text{ परिवर्तन} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \times 100 \approx 10^{-9} \times 10^2 = 10^{-7}$.
अतः,$n = 7$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 0.2(1 + 2x) \hat{k} \text{ T}$ है। लूप एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $L = 0.5 \text{ m}$ है। लूप $x = 2 \text{ m}$ से $x = 2.5 \text{ m}$ और $y = 2 \text{ m}$ से $y = 2.5 \text{ m}$ के बीच स्थित है।
$x$-अक्ष के समानांतर खंडों पर बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$y$-अक्ष के समानांतर खंडों के लिए,बल $\vec{F} = I \int (d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 2 \text{ m}$ पर,धारा ऋणात्मक $y$-दिशा में बहती है: $\vec{F}_1 = I L \hat{j} \times \vec{B}(x=2) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2))] \hat{j} \times \hat{k} = 0.25 \times 1 \hat{i} = 0.25 \text{ N}$ ($+x$ दिशा में)।
$x = 2.5 \text{ m}$ पर,धारा धनात्मक $y$-दिशा में बहती है: $\vec{F}_2 = I L (-\hat{j}) \times \vec{B}(x=2.5) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2.5))] (-\hat{j}) \times \hat{k} = 0.25 \times 1.2 (-\hat{i}) = -0.30 \text{ N}$ ($-x$ दिशा में)।
कुल बल $F_{\text{net}} = |F_1 - F_2| = |0.25 - 0.30| = 0.05 \text{ N} = 50 \text{ mN}$ है।

(D) दी गई धारा $i = I_{dc} + I_{ac} \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $I_{dc} = 6 \ A$ और प्रत्यावर्ती घटक का शिखर मान $I_m = \sqrt{56} \ A$ है।
मिश्रित धारा का रूट मीन स्क्वायर (rms) मान $I_{\text{rms}} = \sqrt{I_{dc}^2 + \frac{I_m^2}{2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{6^2 + \frac{(\sqrt{56})^2}{2}}$
$I_{\text{rms}} = \sqrt{36 + \frac{56}{2}}$
$I_{\text{rms}} = \sqrt{36 + 28}$
$I_{\text{rms}} = \sqrt{64}$
$I_{\text{rms}} = 8 \ A$.

(A) मान लीजिए कि बैटरी से कुल धारा $I$ है। एक घन का फलक विकर्ण (बिंदु $a$ और $c$) के बीच समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{3}{4}R$ होता है। दिया गया है $R = 2 \Omega$,इसलिए $R_{eq} = \frac{3}{4} \times 2 = 1.5 \Omega$ है।
कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{1.5} = 4 \text{ A}$ है।
समरूपता के अनुसार,बिंदु $a$ पर धारा $I$ तीन पथों में विभाजित होती है: $ab$,$ad$,और $ah$। चूंकि $a$ और $c$ बैटरी से जुड़े हैं,इसलिए धारा के पथ सममित हैं। $ab$ और $ad$ से गुजरने वाली धारा $I_1 = I/3 = 4/3 \text{ A}$ है। $ah$ से गुजरने वाली धारा $I_2 = I/3 = 4/3 \text{ A}$ है।
बिंदु $h$ पर,धारा $I_2$ दो भागों $he$ और $hg$ में विभाजित हो जाती है। समरूपता से,$I_{he} = I_{hg} = I_2/2 = (4/3)/2 = 2/3 \text{ A}$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $e$ पर,धारा $I_{he}$ पहुँचती है और $ef$ तथा $ed$ में विभाजित हो जाती है। समरूपता से,$ef$ से गुजरने वाली धारा $I_{ef} = I_{he}/2 = (2/3)/2 = 1/3 \text{ A}$ है।
$e$ और $f$ के बीच विभवांतर $V_{ef} = I_{ef} \times R = (1/3) \times 2 = 2/3 \text{ V} \approx 0.67 \text{ V}$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $1 \text{ V}$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के ओवरलैप होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए: $y_{n_1} = y_{n_2}$।
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ फ्रिंज के क्रम हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n_1 (450 \ nm) = n_2 (650 \ nm)$।
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{650}{450} = \frac{13}{9}$।
चूंकि $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए न्यूनतम मान $n_1 = 13$ और $n_2 = 9$ हैं।
अतः,$\lambda_2$ द्वारा उत्पन्न फ्रिंज का न्यूनतम क्रम $n = 9$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
सबसे स्थिर संतुलन स्थिति में,कोण $\theta = 0^{\circ}$ है,इसलिए $U_i = -mB \cos 0^{\circ} = -mB$।
सबसे अस्थिर संतुलन स्थिति में,कोण $\theta = 180^{\circ}$ है,इसलिए $U_f = -mB \cos 180^{\circ} = +mB$।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i$।
$W = mB - (-mB) = 2mB$।
यहाँ $m = 0.5 \text{ A m}^2$ और $B = 8 \times 10^{-2} \text{ T}$ दिया गया है।
$W = 2 \times 0.5 \times 8 \times 10^{-2} = 1 \times 8 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \text{ J}$।

(A) $p$-$n$ जंक्शन डायोड के डायनेमिक प्रतिरोध को मापने के लिए,डायोड को फॉरवर्ड बायस्ड स्थिति में होना चाहिए।
फॉरवर्ड बायस्ड सर्किट में,डायोड का $p$-टर्मिनल (एनोड) वोल्टेज स्रोत के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा होता है,और $n$-टर्मिनल (कैथोड) ऋणात्मक टर्मिनल (या ग्राउंड) से जुड़ा होता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर:
- विकल्प $A$ में,डायोड $D_4$ फॉरवर्ड बायस्ड है क्योंकि बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-साइड से जुड़ा है।
- विकल्प $B$ में,डायोड $D_2$ रिवर्स बायस्ड है।
- विकल्प $C$ में,डायोड $D_3$ फॉरवर्ड बायस्ड है,लेकिन यह एक कैपेसिटर से जुड़ा है,जो $DC$ करंट को रोकता है।
- विकल्प $D$ में,डायोड $D_1$ रिवर्स बायस्ड है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया सर्किट डायनेमिक प्रतिरोध को मापने के लिए सही फॉरवर्ड बायस्ड कॉन्फ़िगरेशन को दर्शाता है।

(C) तरंगदैर्ध्य के बढ़ते क्रम में विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम इस प्रकार है:
गामा किरणें < एक्स-रे < पराबैंगनी किरणें < दृश्य प्रकाश < अवरक्त तरंगें < सूक्ष्म तरंगें < रेडियो तरंगें।
दी गई तरंगदैर्ध्य:
गामा किरणें: $\lambda_1$
एक्स-रे: $\lambda_2$
अवरक्त तरंगें: $\lambda_3$
सूक्ष्म तरंगें: $\lambda_4$
इनकी तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_4$ है।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_4$ है।

(D) इस परिपथ में इनपुट $A$ और $B$ से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $AND$ गेट लगा है।
$1$. $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. $AND$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$।
$3$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$ होता है।
$4$. इसलिए,व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ हो जाता है,जो कि $NOR$ गेट का बूलियन व्यंजक है।
अतः,यह परिपथ एक $NOR$ गेट को दर्शाता है।

(A) स्लिट से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $I \propto w$.
यह दिया गया है कि एक स्लिट की चौड़ाई दूसरी की तुलना में $4$ गुना है,इसलिए तीव्रताओं को $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ मान लेते हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$ है।

(D) एक शुद्ध धारिता परिपथ में,धारा $I$,वोल्टेज $V$ से $90^{\circ}$ आगे (lead) होती है। अतः,$A$ का मिलान $I$ से होता है।
एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,वोल्टेज $V$,धारा $I$ से $90^{\circ}$ आगे होता है। अतः,$B$ का मिलान $IV$ से होता है।
अनुनाद पर $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$,धारिता प्रतिघात $X_C$ $(X_L = X_C)$ के बराबर होता है,जिससे परिपथ शुद्ध प्रतिरोधी बन जाता है। एक शुद्ध प्रतिरोधी परिपथ में,वोल्टेज $V$ और धारा $I$ समान कला (in phase) में होते हैं। अतः,$C$ का मिलान $II$ से होता है।
सामान्य $LCR$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज $V$,धारा $I$ से कला कोण $\theta$ पर आगे या पीछे होता है। अतः,$D$ का मिलान $III$ से होता है।
अतः,सही मिलान $A-I, B-IV, C-II, D-III$ है। सही विकल्प $(D)$ है।

(A) बल्ब का प्रतिरोध $R$ उसके रेटेड पावर $P_{rated}$ और रेटेड वोल्टेज $V_{rated}$ द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$R = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}} = \frac{(200)^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \, \Omega$
जब बल्ब को नए आपूर्ति वोल्टेज $V_{applied} = 100 \, V$ से जोड़ा जाता है, तो वास्तविक शक्ति क्षय $P_{actual}$ इस प्रकार होगा:
$P_{actual} = \frac{V_{applied}^2}{R} = \frac{(100)^2}{800} = \frac{10000}{800} = 12.5 \, W$
अतः, बल्ब का शक्ति क्षय $12.5 \, W$ है। इसलिए, विकल्प $A$ सही है.

(D) प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{n h \nu}{A}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ प्रति इकाई समय में फोटॉनों की संख्या है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है और $A$ क्षेत्रफल है।
इससे,प्रति इकाई समय में फोटॉनों की संख्या $n = \frac{IA}{h \nu}$ होती है।
यदि तीव्रता $I$ को स्थिर रखा जाए,तो आवृत्ति $\nu$ बढ़ाने पर फोटॉनों की संख्या $n$ कम हो जाती है। इसलिए,अभिकथन $A$ गलत है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h \nu - \phi$ होती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ बढ़ती है। इसलिए,कारण $R$ सही है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग (moment of momentum) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन $4^{\text{th}}$ कक्षा में है,इसलिए $n = 4$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$L = \frac{4h}{2\pi}$
$L = \frac{2h}{\pi}$
अतः,कोणीय संवेग $\frac{2h}{\pi}$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
जब आवेश $q$ को घन के एक फलक पर रखा जाता है,तो घन से गुजरने वाले फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम पहले घन के ऊपर एक समान दूसरा घन इस प्रकार रखते हैं कि आवेश $q$ अब दो घनों द्वारा निर्मित बंद गॉसियन सतह के केंद्र में आ जाए।
इस संयुक्त गॉसियन सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश दोनों घनों के बीच सममित रूप से रखा गया है,इसलिए प्रत्येक घन से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
अतः,एक घन से संबद्ध फ्लक्स $\phi = \frac{1}{2} \phi_{total} = \frac{q}{2 \epsilon_0}$ होगा।

(C) प्रारंभिक धारिता $C_0 = 12.5 \ pF$ और प्रारंभिक विभवांतर $V = 12.0 \ V$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C_0 V = 12.5 \times 10^{-12} \times 12 = 150 \times 10^{-12} \ C$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} \times 12.5 \times 10^{-12} \times (12)^2 = 900 \times 10^{-12} \ J$ है।
बैटरी को हटाने के बाद,आवेश $Q$ स्थिर रहता है। जब परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_f = \epsilon_r C_0 = 6 \times 12.5 \ pF = 75 \ pF$ हो जाती है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{Q^2}{2 \epsilon_r C_0} = \frac{U_i}{\epsilon_r} = \frac{900 \times 10^{-12}}{6} = 150 \times 10^{-12} \ J$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_i - U_f = 900 \times 10^{-12} - 150 \times 10^{-12} = 750 \times 10^{-12} \ J$ है।

(A) नाभिकीय विखंडन अभिक्रिया: ${ }^{235} U \rightarrow{ }^{140} Ce+{ }^{94} Zr+n$ है।
विघटन ऊर्जा $Q$ को $Q = (m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}}) c^2$ द्वारा दिया जाता है।
अभिकारकों का द्रव्यमान $(m_{\text{reactants}})$ = $m({ }^{235} U) = 235.0439 \text{ u}$ है।
उत्पादों का द्रव्यमान $(m_{\text{products}})$ = $m({ }^{140} Ce) + m({ }^{94} Zr) + m(n) = 139.9054 \text{ u} + 93.9063 \text{ u} + 1.0086 \text{ u} = 234.8203 \text{ u}$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}} = 235.0439 \text{ u} - 234.8203 \text{ u} = 0.2236 \text{ u}$ है।
विघटन ऊर्जा $Q = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u} = 0.2236 \times 931 \text{ MeV} = 208.1716 \text{ MeV}$ है।
निकटतम पूर्णांक में,$Q \approx 208 \text{ MeV}$ है।

(B) दिया गया है:
मोटाई $t = 4 \sqrt{3} \text{ cm}$
अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$
आपतन कोण $i = \theta_c$ (क्रांतिक कोण)
$1$. क्रांतिक कोण की गणना:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta_c = 45^{\circ}$
अतः,$i = 45^{\circ}$.
$2$. पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{2} \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
$3$. पार्श्व विस्थापन $\Delta$ की गणना:
पार्श्व विस्थापन का सूत्र $\Delta = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$ है।
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}$
दिया गया है कि $\sin 15^{\circ} = 0.25 = \frac{1}{4}$ और $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot (1/4)}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2 \text{ cm}$.
अतः,पार्श्व विस्थापन $2 \text{ cm}$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में घूमने वाली छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूमने वाले खंड की लंबाई है।
यहाँ,छड़ अपने केंद्र $O$ के परितः घूमती है। छड़ के दो भाग $OA$ और $OB$,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है,एक सिरे के परितः घूमने वाली दो अलग-अलग छड़ों के रूप में कार्य करते हैं।
खंड $OA$ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_{OA} = V_O - V_A = \frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
खंड $OB$ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_{OB} = V_O - V_B = \frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र घूर्णन अक्ष के समानांतर है,इसलिए छड़ के दोनों सिरों $A$ और $B$ पर केंद्र $O$ के सापेक्ष विभव समान होता है। अतः,सिरों $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = (V_O - V_B) - (V_O - V_A) = 0 - 0 = 0 \ V$ है।

(D) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho_d \times A \times \ell$ स्थिर है,और पदार्थ समान है (समान घनत्व $\rho_d$),इसलिए आयतन $V = A \ell$ स्थिर रहता है।
अतः,$\ell = \frac{V}{A}$.
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\rho V}{A^2}$.
चूंकि $\rho$ और $V$ स्थिर हैं,$R \propto \frac{1}{A^2}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $R \propto \frac{1}{r^4}$.
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^4$.
दिया गया है कि $r_A = 2.0 \ mm$,$r_B = 4.0 \ mm$,और $R_B = 2 \ \Omega$:
$\frac{R_A}{2} = \left( \frac{4.0}{2.0} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
$R_A = 16 \times 2 = 32 \ \Omega$.

(A) एक लंबे सीधे तार द्वारा $d$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ के लिए ($I$ धारा वाले तार $1$ से $r$ दूरी पर और $2I$ धारा वाले तार $2$ से $3r$ दूरी पर):
$B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{3 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I + 2 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{5 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
बिंदु $C$ के लिए ($I$ धारा वाले तार $1$ से $3r$ दूरी पर और $2I$ धारा वाले तार $2$ से $r$ दूरी पर):
$B_C = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{2 \mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 6 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{7 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{B_A}{B_C} = \frac{5 \mu_0 I / 6 \pi r}{7 \mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{5}{7}$.
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{x}{7}$ है,इसलिए $x = 5$ प्राप्त होता है।

(D) जब प्रकाश के एक बिंदु स्रोत को उत्तल लेंस के फोकस पर रखा जाता है,तो स्रोत से निकलने वाली प्रकाश किरणें लेंस से अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
चूंकि बाहर निकलने वाली प्रकाश किरणें समानांतर हैं,वे एक विशिष्ट दिशा में यात्रा करने वाले प्रकाश पुंज का प्रतिनिधित्व करती हैं।
तरंगाग्र को उन सभी बिंदुओं के पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दोलन की समान कला (phase) में होते हैं।
समानांतर प्रकाश पुंज के लिए,तरंगाग्र प्रकाश के संचरण की दिशा के लंबवत समतल होते हैं।
इसलिए,बाहर निकलने वाले प्रकाश के तरंगाग्र का आकार समतल होता है।

(B) बल्ब तभी जलेगा जब उसके सिरों पर विभवांतर होगा। इसका मतलब है कि बल्ब का एक सिरा उच्च विभव $(1)$ पर और दूसरा सिरा निम्न विभव $(0)$ पर होना चाहिए।
मान लीजिए $X$ पहले $NOR$ गेट का आउटपुट है,$Y$ $NAND$ गेट का आउटपुट है,और $Z$ प्रतिरोधक से जुड़े अंतिम $NOR$ गेट का आउटपुट है।
$X = \overline{A+A} = \overline{A}$
$Y = \overline{B \cdot C}$
$Z = \overline{X+Y} = \overline{\overline{A} + \overline{B \cdot C}} = A \cdot (B \cdot C) = A \cdot B \cdot C$
मान लीजिए $W$ नीचे वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है: $W = \overline{D+D} = \overline{D}$.
बल्ब तब जलता है यदि $Z$ और $W$ के बीच विभवांतर $1$ हो,अर्थात $(Z=1, W=0)$ या $(Z=0, W=1)$ हो।
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $A=1, B=0, C=0, D=0$.
$Z = 1 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$W = \overline{0} = 1$
चूंकि $Z=0$ और $W=1$ है,इसलिए विभवांतर मौजूद है,अतः बल्ब जलेगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = eV_0 = hv - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = \frac{h}{e}v - \frac{\phi}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $\frac{h}{e}$ प्राप्त होती है,जो सभी पदार्थों के लिए स्थिर है। अतः,कथन-$I$ सही है।
ग्राफ से,दी गई आवृत्ति $v$ के लिए,$M_1$ के लिए निरोधी विभव $V_0$,$M_2$ की तुलना में अधिक है $(V_{0, M_1} > V_{0, M_2})$। चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए $M_1$ से उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $M_2$ से अधिक है। इसलिए,कथन-$II$ गलत है।

(A) इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच कूलम्ब बल $F_e = \frac{k e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ और $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ है।
अनुपात $\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}}$ है।
मानों की गणना करने पर: $\frac{F_e}{F_g} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{101.3 \times 10^{-69}} \approx 0.227 \times 10^{40} \approx 2.27 \times 10^{39}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिमाण की कोटि $10^{39}$ है।

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ होता है।
केबल के बाहर किसी बिंदु के लिए (बाहरी चालक की त्रिज्या से अधिक दूरी $r$ पर),एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा केंद्रीय चालक की धारा $(+I)$ और बाहरी चालक की धारा $(-I)$ का योग है।
अतः,$I_{\text{enclosed}} = I + (-I) = 0$ है।
चूँकि $I_{\text{enclosed}} = 0$ है,इसलिए केबल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र $B$ शून्य होता है।

(D) स्थिर वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन को वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F = \frac{k(Ze)(e)}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
इससे,गतिज ऊर्जा $(KE)$:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{kZe^2}{2r}$
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार है:
$U = -\frac{kZe^2}{r}$
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = KE + U = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$
$E$ और $U$ की तुलना करने पर:
$E = \frac{1}{2} \left( -\frac{kZe^2}{r} \right) = \frac{U}{2}$
अतः,$2E = U$.

(A) मान लीजिए कि $b$ त्रिज्या वाले बाहरी लूप $B$ में $i$ धारा प्रवाहित हो रही है।
लूप $B$ में धारा $i$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 i}{2b}$ होता है।
चूंकि $b >> a$ है,हम मान सकते हैं कि यह चुंबकीय क्षेत्र $a$ त्रिज्या वाले आंतरिक लूप $A$ के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
आंतरिक लूप $A$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B_{center} \cdot A_{area} = \left( \frac{\mu_0 i}{2b} \right) (\pi a^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व की परिभाषा के अनुसार,$\phi = Mi$ होता है।
फ्लक्स के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $Mi = \frac{\mu_0 i \pi a^2}{2b}$।
अतः,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\mu_0 \pi a^2}{2b}$ है।

(D) परिपथ आरेख से,प्रतिरोधक $R_2, R_3,$ और $R_4$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1+2+1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_p = 2 \Omega$.
यह समानांतर संयोजन प्रतिरोधक $R_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है। इसलिए,परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_p = 10 \Omega + 2 \Omega = 12 \Omega$.
ओम के नियम के अनुसार बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \text{ V}}{12 \Omega} = 1 \text{ A}$.