अवकल समीकरण (y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x ne | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0$$dx$ से भाग देने पर ($dx 
eq 0$ मानते हुए):$y^2 - x^3 - xy \frac{dy}{dx} = 0$$xy \frac{dy}{dx}

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$y^2 - 2x^3 + cx^2 = 0$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0$$dx$ से भाग देने पर ($dx 
eq 0$ मानते हुए):$y^2 - x^3 - xy \frac{dy}{dx} = 0$$xy \frac{dy}{dx} - y^2 = -x^3$$x$ से भाग देने पर:$y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^2 = -x^2$  ......$(i)$माना $y^2 = v$,तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dv}{dx}$.समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:$\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = -x^2$$\frac{dv}{dx} - \frac{2}{x} v = -2x^2$  ......$(ii)$यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -2x^2$.समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.हल $v \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + c$ है।$v \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-2x^2) \cdot \frac{1}{x^2} dx + c$$\frac{v}{x^2} = \int -2 dx + c$$\frac{v}{x^2} = -2x + c$चूँकि $v = y^2$,इसलिए $\frac{y^2}{x^2} = -2x + c$.$y^2 = -2x^3 + cx^2$,जिसका अर्थ है $y^2 - 2x^3 + cx^2 = 0$.अतः,सही विकल्प $B$ है।

अवकल समीकरण $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)

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