theta in (0, pi /3) का एक मान,जिसके लिए left| | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $	heta \in (0, \frac{\pi}{3})$.मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 	heta & \sin^2 	heta & 4 \cos 6	het

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{9}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $	heta \in (0, \frac{\pi}{3})$.मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 	heta & \sin^2 	heta & 4 \cos 6	heta \ \cos^2 	heta & 1 + \sin^2 	heta & 4 \cos 6	heta \ \cos^2 	heta & \sin^2 	heta & 1 + 4 \cos 6	heta \end{array} ight| = 0$.पंक्ति संक्रियाओं $R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_1$ को लागू करने पर:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 	heta & \sin^2 	heta & 4 \cos 6	heta \ -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 \end{array} ight| = 0$.स्तंभ संक्रिया $C_1 	o C_1 + C_2$ को लागू करने पर:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 	heta + \sin^2 	heta & \sin^2 	heta & 4 \cos 6	heta \ 0 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 \end{array} ight| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \sin^2 	heta & 4 \cos 6	heta \ 0 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 \end{array} ight| = 0$.प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$2(1 - 0) - 0 + (-1)(0 - 4 \cos 6	heta) = 0$.$2 + 4 \cos 6	heta = 0$.$4 \cos 6	heta = -2 \Rightarrow \cos 6	heta = -\frac{1}{2}$.चूंकि $	heta \in (0, \frac{\pi}{3})$,इसलिए $6	heta \in (0, 2\pi)$.$\cos 6	heta = -\frac{1}{2} \Rightarrow 6	heta = \frac{2\pi}{3}$ या $6	heta = \frac{4\pi}{3}$.$	heta = \frac{\pi}{9}$ या $	heta = \frac{2\pi}{9}$.विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$	heta = \frac{\pi}{9}$ सही मान है।

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सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|=a^{3}$

यदि $a, b, c$ धनात्मक पूर्णांक हैं,तो सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \\ ab & b^2 + x & bc \\ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ किससे विभाज्य है?

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