GSEB 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) વિધેય $f(x) = \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિધેયને $\sqrt{2}$ વડે ગુણી અને ભાગીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$f(x) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$
$f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$
કારણ કે સાઈન વિધેય $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ થશે.

(D) ધારો કે વક્ર $x^2=2y$ પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે. $x^2=2y$ હોવાથી,$y = \frac{x^2}{2}$ મળે.
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(x, \frac{x^2}{2})$ છે.
બિંદુ $P(x, \frac{x^2}{2})$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $D$ એ $D^2 = (x-0)^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $f(x) = D^2 = x^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2 = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = x^3 - 8x = x(x^2 - 8) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x^2 = 8$ મળે,એટલે કે $x = \pm 2\sqrt{2}$.
$x=0$ માટે,$y=0$,$D^2 = 25$,$D=5$.
$x^2=8$ માટે,$y = \frac{8}{2} = 4$. તેથી $D^2 = 8 + (4-5)^2 = 8 + 1 = 9$,એટલે કે $D=3$.
$3 < 5$ હોવાથી,સૌથી નજીકનું બિંદુ $(2\sqrt{2}, 4)$ અથવા $(-2\sqrt{2}, 4)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(2\sqrt{2}, 4)$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે।
તેથી,$a = 2$ અને $b = 3$ મળે।
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે।
કિંમતો મૂકતા,$A = \pi \times 2 \times 3 = 6 \pi$ મળે।
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(B) આપેલ છે: $P(A)=0.5$,$P(A \cup B)=0.6$,અને $P(B)=K$.
જ્યારે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય,ત્યારે તેમની છેદ ઘટનાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5K$ થાય છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 0.5 + K - 0.5K$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0.6 = 0.5 + 0.5K$.
બંને બાજુથી $0.5$ બાદ કરતા: $0.1 = 0.5K$.
$K$ ની કિંમત શોધતા: $K = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$.

(C) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરની બેકી સંખ્યા $2, 4,$ અથવા $6$ હોઈ શકે છે.
તેથી,દરેક પાસા માટે $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
બંને પાસા પર બેકી સંખ્યા આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(A) પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x)$.
આપેલ છે કે $y = 4x + 3$.
હવે,$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં મેળવો:
$y - 3 = 4x$
$x = \frac{y - 3}{4}$.
આથી $f^{-1}(y) = x$ હોવાથી,$f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{4}$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{4}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $f$ એક-એક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
જો $x_1$ અયુગ્મ અને $x_2$ યુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2-1$,તેથી $x_2 - x_1 = 2$. $x_1$ અયુગ્મ હોવાથી $x_1+1$ યુગ્મ થાય અને $x_2$ યુગ્મ હોવાથી $x_2-1$ અયુગ્મ થાય. આ $f(x_1) = f(x_2)$ સાથે વિરોધાભાસ છે.
જો બંને અયુગ્મ હોય,તો $x_1+1 = x_2+1 \implies x_1 = x_2$.
જો બંને યુગ્મ હોય,તો $x_1-1 = x_2-1 \implies x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
$f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
કોઈપણ $y \in N$ માટે,જો $y$ અયુગ્મ હોય,તો આપણે $x = y+1$ (જે યુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(y+1) = (y+1)-1 = y$.
જો $y$ યુગ્મ હોય,તો આપણે $x = y-1$ (જે અયુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(y-1) = (y-1)+1 = y$.
દરેક $y \in N$ માટે,એવો $x \in N$ મળે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(B) $1$. સ્વવાચક: જો દરેક $a \in \mathbb{R}$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે $a < a$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(b, a) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. જો $a < b$ હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $b < a$. ઉદાહરણ તરીકે,$1 < 2$ સત્ય છે,પરંતુ $2 < 1$ અસત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય અને તેના પરથી $(a, c) \in R$ મળે,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. જો $a < b$ અને $b < c$ હોય,તો અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ $a < c$ થાય. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક અને સંમિત નથી.

(C) $A = \{1, 2, 3\}$ પરના સંબંધ $R$ માટે,જો તે $(1, 2)$ ધરાવતો સામ્ય સંબંધ હોય,તો તેણે સ્વવાચકતા,સંમિતતા અને પરંપરિતતાનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
સ્વવાચક હોવાથી,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
તેમાં $(1, 2)$ છે અને તે સંમિત હોવાથી,$(2, 1) \in R$.
હવે આપણી પાસે $R_0 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ છે. આ એક સામ્ય સંબંધ છે.
સામ્યતા જાળવી રાખીને વધુ ઘટકો ઉમેરવા માટે,આપણે $A$ ના વિભાજનો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ. $R_0$ ને અનુરૂપ વિભાજન $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ છે.
$A$ નું બીજું એકમાત્ર વિભાજન જેમાં ઉપગણ $\{1, 2\}$ હોય તે સાર્વત્રિક વિભાજન $\{\{1, 2, 3\}\}$ છે.
વિભાજન $\{\{1, 2, 3\}\}$ ને અનુરૂપ સામ્ય સંબંધ એ સાર્વત્રિક સંબંધ $A \times A$ છે,જેમાં $(1, 2)$ નો સમાવેશ થાય છે.
આમ,આવા $2$ સામ્ય સંબંધો છે: $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ અને $A \times A$.

(C) આપેલ છે કે $f: N \rightarrow N$ એ $f(x) = x^6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. એક-એક માટે તપાસ:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$ જ્યાં $x_1, x_2 \in N$.
તેથી $x_1^6 = x_2^6$.
$x_1, x_2 \in N$ હોવાથી (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ધન હોય છે),આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત માટે તપાસ:
વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો તેનો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $(N)$ જેટલો હોય.
$f(x) = x^6$ માટે,વિસ્તાર ${1^6, 2^6, 3^6, \dots} = {1, 64, 729, \dots}$ છે.
અહીં વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ $N$ જેટલો નથી (દા.ત.,$2 \in N$ છે પરંતુ કોઈ એવું $x \in N$ નથી કે જેથી $x^6 = 2$),તેથી $f$ એ વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) આપેલ ગણ $A = \{a, b, c\}$ અને સંબંધ $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,$(a, a), (b, b), (c, c)$ એ $R$ માં હોવા જોઈએ. આ બધા ઘટકો હાજર હોવાથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, b) \in R$ અને $(b, a) \in R$ છે,અને $(a, a) \in R$ છે. તેમજ $(b, a) \in R$ અને $(a, b) \in R$ છે,અને $(b, b) \in R$ છે. બધી શરતો સંતોષાય છે,તેથી $R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[0, \pi]$ છે અને $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
પ્રથમ,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\frac{13 \pi}{6} = 2 \pi + \frac{\pi}{6}$,તેથી $\cos \frac{13 \pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.
હવે,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$,તેથી $\tan \frac{7 \pi}{6} = \tan \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $x = \sec \theta$. કારણ કે $x > 1$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ મળે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$ થાય.
$\theta = \sec ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને સાદું સ્વરૂપ $\sec ^{-1} x$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$.
તેથી,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
કર્ણ $\sqrt{(\text{સામેની બાજુ})^2 + (\text{પાસેની બાજુ})^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થાય.
હવે,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
તેથી,$\sin (\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે અને $\sec^{-1} x$ માટે $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ છે.
પ્રથમ,$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો:
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,તેથી $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ થાય.
આમ,$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
ત્યારબાદ,$\sec^{-1}(-2)$ ની કિંમત શોધો:
કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$,તેથી $\sec(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$ થાય.
આમ,$\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$.
છેલ્લે,પદાવલિની ગણતરી કરો:
$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{3} = -\pi$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થશે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આમ,$\cos(\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રતિ-કોસાઇન વિધેય (inverse cosine function) ની મુખ્ય કિંમતની શાખા,જેને $\cos^{-1} x$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે અંતરાલ $[0, \pi]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,જો $\cos^{-1} x = y$ હોય,તો $y$ નો વિસ્તાર $0 \leq y \leq \pi$ હોવો જોઈએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
આપેલ પદ $\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6})$ છે.
પ્રથમ,ખૂણા $\frac{31 \pi}{6}$ ને સરળ બનાવો:
$\frac{31 \pi}{6} = \frac{30 \pi + \pi}{6} = 5 \pi + \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\tan(n \pi + \theta) = \tan \theta$,તેથી $\tan(5 \pi + \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{\pi}{6}$ થાય.
તેથી,$\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6}) = \tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{6})$.
કારણ કે $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,તેથી કિંમત $\frac{\pi}{6}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$ થાય છે.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = -A$ અને $B^{\prime} = -B$ થાય.
ગુણાકારના પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$.
$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(AB)^{\prime} = (-B)(-A)$ મળે છે.
તેથી,$(AB)^{\prime} = BA$.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $A^2 = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & \alpha \beta - \beta \alpha \\ \gamma \alpha - \alpha \gamma & \beta \gamma + \alpha^2 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix}$
$A^2 = I$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$\alpha^2 + \beta \gamma = 1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$1 - \alpha^2 - \beta \gamma = 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સામાન્ય રીતે,શ્રેણિકનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી. સમાન ક્રમના બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણાકાર $AB$ એ $BA$ ને સમાન હોય તે જરૂરી નથી. તેથી,$AB \neq BA$ એ શ્રેણિક ગુણાકારના સામાન્ય ગુણધર્મને દર્શાવતું સાચું વિધાન છે.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $p \times q$ છે.
તો $B^{\prime}$ નો ક્રમ $q \times p$ થાય.
$AB^{\prime}$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $B^{\prime}$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
આથી,$n = q$.
$B^{\prime}A$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$B^{\prime}$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $A$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
આથી,$p = m$.
તેથી,શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $m \times n$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ શોધો.
હવે,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 2^2 A$ ગણો.
તે જ રીતે,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 (A^2) = 2^2 (2A) = 2^3 A$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,આપણે કહી શકીએ કે $A^n = 2^{n-1} A$.
તેથી,$n = 10$ માટે,$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = A$ અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપણે $(I + A)^2 - 3A$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
$(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$IA = AI = A$ અને $I^2 = I$ હોવાથી:
$(I + A)^2 = I + A + A + A^2$
$(I + A)^2 = I + 2A + A^2$
હવે $A^2 = A$ મૂકતા:
$(I + A)^2 = I + 2A + A = I + 3A$
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I + A)^2 - 3A = (I + 3A) - 3A$
$(I + A)^2 - 3A = I$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શ્રેણિક $A$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે,જેને $I_2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
શ્રેણિક $B$ એ $3 \times 2$ શ્રેણિક છે.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $2$ છે અને $B$ માં હારની સંખ્યા $3$ છે.
$2 \neq 3$ હોવાથી,શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$AB$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) $3 \times 2$ ક્રમના શ્રેણિકમાં કુલ $3 \times 2 = 6$ ઘટકો હોય છે.
દરેક ઘટકને $2$ રીતે ભરી શકાય છે (અથવા $1$ અથવા $2$).
અહીં $6$ સ્વતંત્ર સ્થાનો ભરવાના હોવાથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2^6$ થશે.
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ કક્ષાના શ્રેણિકો છે,તેથી $n=3$.
આપણે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $|kA| = k^n |A|$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
વળી,$|AB| = |A| |B|$.
તેથી,$|3AB| = 3^3 |AB| = 27 |A| |B|$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $|3AB| = 27 \times 5 \times 3$.
$|3AB| = 27 \times 15 = 405$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
જેহেতু $A$ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે,તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ તેના વિકર્ણ ઘટકોના વ્યસ્ત દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $(A^{-1})^2 = A^{-1} \times A^{-1}$ શોધવાની જરૂર છે:
$(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{16} \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(2, -6)$,$(5, 4)$ અને $(k, 4)$ છે અને $\text{Area} = 35$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - (-6)) + k(-6 - 4)|$
$70 = |2(0) + 5(10) + k(-10)|$
$70 = |50 - 10k|$
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
$1) 50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$
$2) 50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$
આમ,$k$ ની કિંમતો $12$ અને $-2$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,$A$ અને તેના વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ નો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક $I$ થાય છે.
$A \cdot A^{-1} = I$
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા:
$\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I)$
ગુણધર્મ $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I)$
એકમ શ્રેણિક માટે $\det(I) = 1$ હોવાથી:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$
તેથી,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(3, 5), (2, 2)$ અને $(k, 2)$ છે અને $\text{Area} = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |3(2 - 2) + 2(2 - 5) + k(5 - 2)|$
$3 = \frac{1}{2} |3(0) + 2(-3) + k(3)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 - 6 + 3k|$
$6 = |-6 + 3k|$
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
$1) -6 + 3k = 6 \implies 3k = 12 \implies k = 4$
$2) -6 + 3k = -6 \implies 3k = 0 \implies k = 0$
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $4$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (5 \times 3) - (-2 \times 4) = 15 - (-8) = 15 + 8 = 23$ છે.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $2 \times 2$ હોવાથી,$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
તેથી,$A(\operatorname{adj} A) = |A| I = 23 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 23 I$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $|A| = 1(2 \times 1 - 3 \times 0) - 0 + 0 = 1(2) = 2$.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે.
આપણે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ) નો ગુણધર્મ વાપરીએ: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $|\operatorname{adj} A| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$ છે.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિકમાં $\theta = \frac{\pi}{6}$ મૂકીશું.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & -\sin(\frac{\pi}{6}) \\ \sin(\frac{\pi}{6}) & -\cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy = e^{x-y}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(xy) = \ln(e^{x-y})$
$\ln x + \ln y = x - y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને એક બાજુ ભેગા કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} + 1) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1+y}{y}) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \sin y$,તેથી $y = \arcsin x$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2}$ મળે.
હવે,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $u = \sin ^2 x$ અને $v = \cos ^2 x$.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin ^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$.
ત્યારબાદ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos ^2 x) = 2 \cos x (-\sin x) = -2 \sin x \cos x = -\sin(2x)$.
હવે,વિકલન મેળવો:
$\frac{du}{dv} = \frac{\sin(2x)}{-\sin(2x)} = -1$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $y = e^x$ નું વિસ્તરણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$.
તેથી,$y = e^x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ મળે છે.
કારણ કે $y = e^x$,તેથી $\frac{dy}{dx} = y$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય:
$f(\frac{\pi}{2}) = k(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (kx + 1) = k(\frac{\pi}{2}) + 1$
$3$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
સાતત્ય માટે,$LHL = RHL$:
$k(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1$
$k(\frac{\pi}{2}) = 0$
$k = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિધેય $y = f(x) = 6 - 9x - x^2$ કયા અંતરાલ પર ચુસ્ત વધતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(6 - 9x - x^2) = -9 - 2x$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$-9 - 2x > 0$.
$-2x > 9$.
$-2$ વડે ભાગતા અસમતા બદલાશે: $x < -4.5$.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(-\infty, -4.5)$ પર ચુસ્ત વધતું છે.

(D) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $C$ એ વર્તુળનો પરિઘ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ છે.
વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi \frac{dr}{dt}$.
આપેલ કિંમત $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ મૂકતા:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi (0.7) = 1.4 \pi \text{ cm/s}$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $1.4 \pi \text{ cm/s}$ ના દરે વધી રહ્યો છે.

(C) આપેલ છે કે $x = at^2$ અને $y = 2at$.
આપણે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ નો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધવાનું છે.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2at) = 2a$.
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.
આમ,સાચો જવાબ $\frac{1}{t}$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = x^2 - 6x + 10$ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 10) = 2x - 6$.
વિધેય ત્યારે વધતું વિધેય કહેવાય જ્યારે $f'(x) > 0$ હોય.
$2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.
આમ,વિધેય $(3, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સીમાંત આવકને વેચાયેલા એકમોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં કુલ આવકના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે વિકલન $R'(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R(x) = x^2 + 6x + 5$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$R'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 6x + 5) = 2x + 6$.
જ્યારે $x = 20$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધવા માટે,આપણે વિકલનમાં $x = 20$ મૂકીએ છીએ:
$R'(20) = 2(20) + 6 = 40 + 6 = 46$.
આમ,સીમાંત આવક $46$ રૂપિયા છે.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ સૂત્ર $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળના બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$.
હવે,આપણે આ વિકલિતનું મૂલ્ય $r = 3 \text{ cm}$ પર શોધીએ છીએ:
$\left. \frac{dA}{dr} \right|_{r=3} = 2 \pi (3) = 6 \pi$.
આમ,$r = 3 \text{ cm}$ પર વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો તેની ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં બદલાવનો દર $6 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^4 x \, dx$.
આપણે $\sec ^4 x$ ને $\sec ^2 x \cdot \sec ^2 x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \, dx$.
કારણ કે $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$,તેથી:
$I = \int \tan ^8 x (1 + \tan ^2 x) \sec ^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec ^2 x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int u^8 (1 + u^2) \, du = \int (u^8 + u^{10}) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^9}{9} + \frac{u^{11}}{11} + C$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\tan ^9 x}{9} + \frac{\tan ^{11} x}{11} + C$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x = \int \tan^2 \frac{x}{2} d x$.
નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \int \sec^2 \frac{x}{2} d x - \int 1 d x$.
$= 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = \frac{\pi}{3}$,આપણને $a+b = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\frac{1}{\sqrt{\tan x}}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x}+1} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$ સ્વરૂપના સંકલનનું મૂલ્ય $e^x f(x) + C$ થાય છે.
આપેલ સંકલન $\int e^x \cdot \sec x(1 + \tan x) \, dx$ છે.
આને $\int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \sec x$.
તેથી,તેનું વિકલન $f'(x) = \sec x \tan x$ થાય છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x \sec x + C$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^x(1+x)}{\sin^2(x \cdot e^x)} dx$.
$u = x \cdot e^x$ આદેશ લેતા,
$du = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) dx = e^x(1+x) dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sin^2(u)} du = \int \csc^2(u) du$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \csc^2(u) du = -\cot(u) + C$,
તેથી $I = -\cot(x \cdot e^x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{x}{\sqrt{x+4}} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,ધારો કે $u = x+4$. તેથી $du = dx$ અને $x = u-4$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{u-4}{\sqrt{u}} \, du$
$I = \int (\frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{4}{\sqrt{u}}) \, du$
$I = \int (u^{1/2} - 4u^{-1/2}) \, du$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^{3/2}}{3/2} - 4 \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$
$I = \frac{2}{3} u^{3/2} - 8 u^{1/2} + C$
$I = \frac{2}{3} u^{1/2} (u - 12) + C$
હવે $u = x+4$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x+4 - 12) + C$
$I = \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x-8) + C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^2} d x$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} x$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \sin(u) du$ મળે છે.
$\sin(u)$ નું સંકલન $-\cos(u) + C$ થાય છે.
$u = \tan ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\cos (\tan ^{-1} x) + C$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{d}{d x}(f(x))=4 x^3-3 x^{-4}$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$f(x) = \int (4 x^3-3 x^{-4}) d x$.
$f(x) = 4 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^{-3}}{-3} + C$.
$f(x) = x^4 + x^{-3} + C = x^4 + \frac{1}{x^3} + C$.
આપેલ છે કે $f(2) = 0$,તેથી $x=2$ મૂકતા:
$f(2) = 2^4 + \frac{1}{2^3} + C = 0$.
$16 + \frac{1}{8} + C = 0$.
$C = - (16 + \frac{1}{8}) = - \frac{128+1}{8} = - \frac{129}{8}$.
તેથી,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $f(2a - x) = -f(x)$ હોય.
અહીં,$f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$.
$f(2 \pi - x) = \sin ^3(2 \pi - x) \cos ^2(2 \pi - x) = (-\sin x)^3 (\cos x)^2 = -\sin ^3 x \cos ^2 x = -f(x)$.
કારણ કે $f(2 \pi - x) = -f(x)$,તેથી સંકલનનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.