GSEB 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે સંકલન $I = \int e^x (\tan x + \tan^2 x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ યાદ કરો,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x - 1) \, dx$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$I = \int e^x ((\tan x - 1) + \sec^2 x) \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \tan x - 1$.
તો,$f'(x) = \sec^2 x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = e^x (\tan x - 1) + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin^7 x \cdot \cos^6 x$.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસો:
$f(-x) = \sin^7(-x) \cdot \cos^6(-x)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(-x) = -\sin x$ અને $\cos(-x) = \cos x$,તેથી:
$f(-x) = (-\sin x)^7 \cdot (\cos x)^6 = -\sin^7 x \cdot \cos^6 x = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય તો $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 \sin^7 x \cdot \cos^6 x \, dx = 0$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{d x}{x^2+2 x+5}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવીશું.
$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 2^2$.
હવે,સંકલન $I = \int \frac{d x}{(x+1)^2 + 2^2}$ બને છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2$ અને ચલ $(x+1)$ છે:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{1}{e^x+1} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{e^x(1 + e^{-x})} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.
ધારો કે $u = 1 + e^{-x}$. તો $du = -e^{-x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-x} dx = -du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |1 + e^{-x}| + C$.
આને આપણે આ રીતે સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$I = -\log \left| \frac{e^x + 1}{e^x} \right| + C = -(\log |e^x + 1| - \log |e^x|) + C = -\log |e^x + 1| + x + C$.
વૈકલ્પિક રીતે,$I = \int \frac{1}{e^x+1} dx = \int \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1} dx = \int (1 - \frac{e^x}{e^x+1}) dx = x - \log |e^x+1| + C$.
કારણ કે $x = \log(e^x)$,તેથી $I = \log(e^x) - \log |e^x+1| + C = \log \left| \frac{e^x}{e^x+1} \right| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સંકલન $\int \frac{1}{x + x \log x} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે પ્રથમ છેદનું અવયવીકરણ કરીએ:
$\int \frac{1}{x(1 + \log x)} \, dx$.
ધારો કે $u = 1 + \log x$.
તો,વિકલન $du = \frac{1}{x} \, dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + C$.
$u = 1 + \log x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\log |1 + \log x| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sec ^2 x} \, dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ અને $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \, dx = \int \cot^2 x \, dx$.
નિત્યસમ $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int 1 \, dx = -\cot x - x + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$ અને $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$,આપણને મળે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} \, dx$.
$I$ ના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \, dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{12}$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે: $A = \int_{0}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$.
કારણ કે $\cos x$ એ $[0, \pi/2]$ માં ધન છે અને $[\pi/2, 3\pi/2]$ માં ઋણ છે,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} -\cos x \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $[\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $-[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -(\sin(3\pi/2) - \sin(\pi/2)) = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 1 + 2 = 3$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્ર $y = x|x|$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{જો } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-1}^{1} |y| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે વિધેય $y = x|x|$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી વક્ર અને $x$-અક્ષ વચ્ચે $x=-1$ થી $x=1$ સુધીનું આવૃત ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A = \int_{-1}^{0} | -x^2 | \, dx + \int_{0}^{1} | x^2 | \, dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} + [\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્ર $y = x|x|$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
અંતરાલ $x \in [0, 1]$ હોવાથી,$x \ge 0$ થાય,તેથી $|x| = x$ મળે.
આમ,$x \in [0, 1]$ માટે વક્ર $y = x \cdot x = x^2$ બને છે.
વક્ર,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $x=1$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} |y| \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y^2}{4}$.
આપણે આ વક્ર,$Y$-અક્ષ $(x = 0)$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ પ્રદેશ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધી સીમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{3} x \, dy$ દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{y^2}{4}$ મૂકતા,આપણને $A = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$ મળે છે.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ આપેલ અંતરાલ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે:
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં,$\cos x$ ની કિંમત ઋણ હોય છે.
તેથી,$|\cos x| = -\cos x$ થાય.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -(\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}))$
$A = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$.
$y$ વડે ગુણતા ($y \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે: $x dy - y dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy = y dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$.
આનાથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = -\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $\frac{x}{y}$ પદ હોવાથી,તે $\frac{dx}{dy} = F\left(\frac{x}{y}\right)$ સ્વરૂપનું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
આવા સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = vy$ આદેશ લઈએ છીએ,જ્યાં $v$ એ $y$ નું વિધેય છે.
તેથી,સાચો આદેશ $x = vy$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \log y \, dx - x \, dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y \log y \, dx = x \, dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y \log y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y \log y}$
ધારો કે $u = \log y$,તો $du = \frac{1}{y} \, dy$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{u}$
$\log |x| = \log |u| + C_1$
$\log |x| = \log |\log y| + C_1$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $|x| = e^{C_1} |\log y|$
ધારો કે $e^{C_1} = k$,તો $x = k \log y$ અથવા $\log y = \frac{x}{k} = cx$ (જ્યાં $c = 1/k$).
તેથી,$y = e^{cx}$.

(A) $n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
અહીં આપેલ વિકલ સમીકરણ ચોથા ક્રમનું હોવાથી,$n$ ની કિંમત $4$ છે.
તેથી,તેના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $4$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ માં,પદ $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ એ વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ નું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આ પદને વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી આ વિકલ સમીકરણ બહુપદી સમીકરણ નથી.
આથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત અવ્યાખ્યાયિત છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P(x) dx}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $x^2$ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,$n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
જોકે,વિશિષ્ટ ઉકેલ આ સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે આપેલ પ્રારંભિક અથવા સીમા શરતોને સંતોષે છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
આમ,ચોથા ક્રમના વિકલ સમીકરણ માટે,તેના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $0$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત (derivative) ના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ માં,હાજર વિકલિતો $\frac{d^3 y}{d x^3}$,$\frac{d^2 y}{d x^2}$,અને $\frac{d y}{d x}$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,જેનો ક્રમ $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(C) ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\vec{a}$ નું માન શોધીએ:
$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
સદિશ $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ ના દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{14}}$,$n = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો પરિણામી સદિશ છે.
$\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{r}$ નું માન $|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$ છે.
$\vec{r}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ છે.
$\vec{r}$ ને સમાંતર $5$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $5\hat{r} = \frac{5}{\sqrt{14}}(3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \frac{15}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{5}{\sqrt{14}}\hat{j} - \frac{10}{\sqrt{14}}\hat{k}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
ડોટ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ અને $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$,અને ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$,તેથી આપણને મળે છે:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
બંને બાજુથી $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ બાદ કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
કારણ કે $\vec{a} \neq \vec{0}$ અને $\vec{b} \neq \vec{0}$,બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય જો અને તો જ તેઓ એકબીજાને લંબ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે એકમ સદિશોના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
વળી,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot (-\hat{j}) = -1$.
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + (-1) + 1 + 0 = 1$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ગણો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$ ગણો.
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ થાય.
તેમના માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$.
ગુણધર્મ $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\theta = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a}| = \frac{2}{3}$,$|\bar{b}| = 3$,અને $|\bar{a} \times \bar{b}| = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1 = (\frac{2}{3}) \times 3 \times \sin(\theta)$
$1 = 2 \sin(\theta)$
$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ (અથવા $30^{\circ}$) થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\bar{a} \times \bar{b}|$.
અહીં $\bar{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\bar{b} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 0 - 2 \times 2) - \hat{j}(0 \times 0 - 2 \times 1) + \hat{k}(0 \times 2 - 1 \times 1)$
$= \hat{i}(-4) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(3) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન (magnitude) $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ શોધો.
આમ,પ્રક્ષેપ $\frac{10}{\sqrt{17}}$ મળે છે.

(B) બે સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2) = 24 - 8 - 16 = 0$ ગણો.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(1, 2, -3)$ અને $B(-1, -2, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{AB} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ શોધો.
$\vec{AB} = (-1 - 1)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,$\vec{AB}$ નું માન શોધો:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
દિકકોસાઇન $\frac{x}{|\vec{AB}|}, \frac{y}{|\vec{AB}|}, \frac{z}{|\vec{AB}|}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$,$m = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$,$n = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,દિકકોસાઇન $(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ છે.

(B) પગલું $1$: સદિશ $\vec{a} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$ નું માન શોધો.
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
પગલું $2$: $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a}$ શોધો.
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}}$.
પગલું $3$: $\vec{a}$ ની દિશામાં $2 \sqrt{29}$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $2 \sqrt{29} \times \hat{a}$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ $= 2 \sqrt{29} \times \left( \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = 2(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \left| \frac{(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}} \right|$.
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} \right| = \left| \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} \right|$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, -4)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ છે,તેથી $a=3, b=2, c=-8$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-(-4)}{-8}$
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-8}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રથમ,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ અને $\frac{x-2}{p} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{a_1} = (-3, 1, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{a_2} = (p, 2, 1)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(p) + (1)(2) + (2)(1) = 0$
$-3p + 2 + 2 = 0$
$-3p + 4 = 0$
$3p = 4$
$p = \frac{4}{3}$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેમના દિક સદિશો $\vec{b_1}$ અને $\vec{b_2}$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આમ,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{6-z}{2}$ છે.
પ્રથમ,સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
ત્રીજા પદ માટે,$\frac{6-z}{2} = \frac{-(z-6)}{2} = \frac{z-6}{-2}$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-4)}{7} = \frac{z-6}{-2}$ બને છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ એ $(5, -4, 6)$ છે અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ એ $(3, 7, -2)$ છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k})$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 4y$ છે.
શરતો $x + y \leq 4$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0)$,$(4, 0)$,અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
$(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$.
$(4, 0)$ પર: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$.
$(0, 4)$ પર: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 9y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $180$ મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ખૂણાના બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(1,1)$ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(3,0)$ પર,$Z = p(3) + q(0) = 3p$.
બિંદુ $(1,1)$ પર,$Z = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
આમ,શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.

(A) ઉદ્દેશ્ય વિધેય $Z = 3x + 2y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $(12, 0)$ પર: $Z = 3(12) + 2(0) = 36 + 0 = 36$
$2$. $(4, 2)$ પર: $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$
$3$. $(1, 5)$ પર: $Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$
$4$. $(1, 10)$ પર: $Z = 3(1) + 2(10) = 3 + 20 = 23$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $36$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતાં,આપણને મળે છે: $P(B) - P(A \cap B) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
સૂત્રમાં $P(A \cap B) = P(B)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (ધારો કે $P(B) \neq 0$).

(C) આપેલ છે કે $2 P(A) = \frac{5}{13}$,તેથી $P(A) = \frac{5}{26}$.
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{5}{13}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{5} = \frac{P(A \cap B)}{5/13}$.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26}$.
$P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.