GSEB 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં લખતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$.
અહીં,$a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$ છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ ચોરસ એકમ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
$x \in [-1, 1]$ માટે,$\cos^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
જેহেতু $\cos^{-1} x$ એ $[0, \pi]$ અંતરાલની તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે,તેથી નિરપેક્ષ મૂલ્ય $\left|\cos^{-1} x\right|$ પણ $[0, \pi]$ અંતરાલની તમામ કિંમતો ધારણ કરશે કારણ કે $[0, \pi]$ માંની તમામ કિંમતો અ-ઋણ છે.
તેથી,$\left|\cos^{-1} x\right|$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે.
આને $\tan ^{-1}(2) + \tan ^{-1}(3)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$ હોવાથી,આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\pi + \tan ^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{5}{-5}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\pi + \tan ^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણને સમીકરણ $3 \cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \pi$ આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 \cos ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) = \pi$
$2 \cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$2 \cos ^{-1} x = \pi - \frac{\pi}{2}$
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$x = \cos(\frac{\pi}{4})$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
અહીં,ધારો કે $x = -\frac{1}{7}$ છે.
કારણ કે $-\frac{1}{7} \in [-1, 1]$ છે,તેથી આપણે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ થાય છે,તેથી અંતિમ જવાબ $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan ^{-1}(1-x), \tan ^{-1} x$ અને $\tan ^{-1}(1+x)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1-x) + \tan ^{-1}(1+x)$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{(1-x) + (1+x)}{1 - (1-x)(1+x)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{1 - (1-x^2)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right)$.
સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2}{x^2}$.
$x^3 = 1 - x^2$.
આમ,$x^3 = 1 - x^2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)+\sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $y \in [-1, 1]$.
તેથી,$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
કારણ કે $\sec ^{-1}(z) = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$,તેથી $\cos ^{-1} \left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,$\frac{x}{5} = \frac{4}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$.
ધારો કે $\alpha = \tan ^{-1} 2$,તો $\tan \alpha = 2$.
ધારો કે $\beta = \cot ^{-1} 3$,તો $\cot \beta = 3$.
પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક કહેવાય જો $A^T = -A$ હોય.
વિસંમિત શ્રેણિક માટે,મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $a = 0$.
વધુમાં,તમામ $i, j$ માટે $A_{ij} = -A_{ji}$ શરતનું પાલન થવું જોઈએ.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$A_{12} = 2$ અને $A_{21} = b$,તેથી $b = -2$.
$A_{13} = -3$ અને $A_{31} = c$,તેથી $c = -(-3) = 3$.
$A_{23} = 4$ અને $A_{32} = -4$,જે $4 = -(-4)$ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$a = 0$,$b = -2$,અને $c = 3$.
સરવાળો કરતા: $a+b+c = 0 + (-2) + 3 = 1$.

(C) આપેલ શ્રેણિકો $A$ નો ક્રમ $1 \times 3$,$B$ નો ક્રમ $3 \times 3$ અને $C$ નો ક્રમ $3 \times 1$ છે.
પ્રથમ,$AB$ નો ગુણાકાર શોધો. $AB$ નો ક્રમ $(1 \times 3) \times (3 \times 3) = 1 \times 3$ થશે.
ત્યારબાદ,$(AB) \cdot C$ નો ગુણાકાર શોધો. $(AB) \cdot C$ નો ક્રમ $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = 1 \times 1$ થશે.
આમ,પરિણામી શ્રેણિક $1 \times 1$ ક્રમનો છે,જેનો અર્થ છે કે $m = 1$ અને $n = 1$.
તેથી,$m = n$.

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $|A| = ad - bc$ અને $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(4) - (-3)(5) = 8 + 15 = 23$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{23} & \frac{3}{23} \\ -\frac{5}{23} & \frac{2}{23} \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & 0 & bc^2 \\ a^2c & b^2c & 0\end{array}\right|$.
$R_1$ માંથી $a$,$R_2$ માંથી $b$ અને $R_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & b^2 & c^2 \\ a^2 & 0 & c^2 \\ a^2 & b^2 & 0\end{array}\right|$.
હવે,$C_1$ માંથી $a$,$C_2$ માંથી $b$ અને $C_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (abc)(abc) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = (abc)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (abc)^2 [0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0)] = (abc)^2 [0 + 1 + 1] = 2(abc)^2$.
$m(abc)^k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 2$ અને $k = 2$ મળે છે.
તેથી,$m+k = 2+2 = 4$.

(B) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં શિરોબિંદુઓ $A(8, 2)$,$B(k, 4)$ અને $C(6, 7)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $= 13$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$13 = \frac{1}{2} |8(4 - 7) + k(7 - 2) + 6(2 - 4)|$
$26 = |8(-3) + 5k + 6(-2)|$
$26 = |-24 + 5k - 12|$
$26 = |5k - 36|$
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $5k - 36 = 26 \implies 5k = 62 \implies k = 12.4$
કિસ્સો $2$: $5k - 36 = -26 \implies 5k = 10 \implies k = 2$
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,સાચી કિંમત $k = 2$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \sin \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{5 \pi}{18} - \cos \frac{2 \pi}{9} \sin \frac{5 \pi}{18}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$D = \sin \left( \frac{2 \pi}{9} - \frac{5 \pi}{18} \right)$.
અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $18$ મેળવો:
$\frac{2 \pi}{9} = \frac{4 \pi}{18}$.
તેથી,$D = \sin \left( \frac{4 \pi}{18} - \frac{5 \pi}{18} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{18} \right)$.
કારણ કે $\sin(-\theta) = -\sin \theta$,આપણને $D = -\sin \frac{\pi}{18}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = at^2$ અને $y = 2at$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2at$
$\frac{dy}{dt} = 2a$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} = t^{-1}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2}$ શોધો:
$y_2 = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$
$y_2 = \frac{d}{dt}(t^{-1}) \cdot \frac{1}{2at}$
$y_2 = (-t^{-2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \tan^{-1} x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$.
આને $(1 + x^2) y_1 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [(1 + x^2) y_1] = \frac{d}{dx} (1)$.
$(1 + x^2) y_2 + y_1 (2x) = 0$.
તેથી,$(1 + x^2) y_2 = -2x y_1$.

(C) સૌ પ્રથમ,ખૂણાને અંશમાંથી રેડિયનમાં ફેરવો: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
તેથી,$\sec(x^{\circ}) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
ધારો કે $f(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,વિકલન $f'(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan\left(\frac{\pi x}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$ થશે.
$x = 30$ માટે,$f'(30) = \sec\left(\frac{30\pi}{180}\right) \tan\left(\frac{30\pi}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $f'(30) = \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \times \frac{\pi}{180}$ મળે.
કારણ કે $\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$f'(30) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{\pi}{180} = \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{270}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 0$ માટે $f(x)$ નું લક્ષ $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = 1$.
આપણે $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x \tan kx}{x^2}$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \times 5 \right) \times \left( \frac{\tan kx}{kx} \times k \right) = 1 \times 5 \times 1 \times k = 5k$.
વિધેય સતત હોવાથી,$5k = 1$.
તેથી,$k = 1/5$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 0$ હોય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ એ $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ.
એટલે કે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
અહીં $f(0) = k$ આપેલ છે.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x \times \cos 3x}{x}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan 4x}{x} \times \cos 3x \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $4$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$\lim_{x \to 0} \left( 4 \times \frac{\tan 4x}{4x} \times \cos 3x \right)$.
લક્ષ લાગુ પાડતા: $4 \times 1 \times \cos(3 \times 0) = 4 \times 1 \times \cos(0) = 4 \times 1 \times 1 = 4$.
તેથી,$k = 4$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x \cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$.
$u = x \sin x + \cos x$ લો.
તેથી $du = (1 \cdot \sin x + x \cos x - \sin x) dx = x \cos x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $I = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$.
$u = x \sin x + \cos x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે $I = -\frac{1}{x \sin x + \cos x} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,વિકલિતને આ રીતે લખી શકાય:
$f^{\prime}(x) = \sin(3x)$.
$f(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f^{\prime}(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$f(x) = \int \sin(3x) \, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + c$.
શરત $f(0) = \frac{1}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 0$ મૂકતા:
$f(0) = -\frac{\cos(0)}{3} + c = \frac{1}{3}$.
$\cos(0) = 1$ હોવાથી:
$-\frac{1}{3} + c = \frac{1}{3}$.
$c$ માટે ઉકેલતા:
$c = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^4+5^{x-1} \cdot \log _e 5}{x^5+5^x} \cdot d x$.
આદેશ $u = x^5 + 5^x$ લો.
તેથી,વિકલન $du = (5x^4 + 5^x \cdot \log_e 5) \cdot dx$ થશે.
અહીં અંશ $x^4 + 5^{x-1} \cdot \log_e 5$ છે.
કારણ કે $5^{x-1} = \frac{5^x}{5}$,આપણે અંશને $x^4 + \frac{5^x \cdot \log_e 5}{5} = \frac{5x^4 + 5^x \cdot \log_e 5}{5} = \frac{1}{5} du$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{5} \cdot \frac{du}{u} = \frac{1}{5} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{5} \log |u| + C$.
$u = x^5 + 5^x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{5} \log |x^5 + 5^x| + C$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
પરવલયનું નાભિ $(a, 0) = (1, 0)$ છે.
નાભિલંબ એ રેખા $x = 1$ છે.
પરવલય અને નાભિલંબ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{1} y \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y^2 = 4x$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{x}$ મળે.
$A = 2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 4 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = \frac{8}{3} [1 - 0] = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[0, 2]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$
અહીં $x \in [0, 1]$ માટે $\sin(\pi x) \ge 0$ અને $x \in [1, 2]$ માટે $\sin(\pi x) \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1} = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi}$
બીજા ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx = [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{1}^{2} = \frac{1}{\pi}(\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi}(1 - (-1)) = \frac{2}{\pi}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વક્ર $y=f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,વક્ર $y = 9 - x^2$ છે અને સીમાઓ $x=0$ થી $x=3$ છે.
$x \in [0, 3]$ માટે $9 - x^2 \geq 0$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx$
$A = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$A = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - (9(0) - \frac{0^3}{3})$
$A = (27 - \frac{27}{3}) - 0$
$A = 27 - 9 = 18$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 8x$ અને રેખા $y = -x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y = -x$ ને $y^2 = 8x$ માં મૂકતા,આપણને $(-x)^2 = 8x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^2 - 8x = 0$.
આમ,$x(x - 8) = 0$,તેથી $x = 0$ અને $x = 8$.
$x = 0$ માટે,$y = 0$. $x = 8$ માટે,$y = -8$.
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(8, -8)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-8}^{0} ((-y) - (y^2/8)) dy = [-\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{24}]_{-8}^{0} = 0 - (- \frac{64}{2} - \frac{-512}{24}) = -(-32 + \frac{64}{3}) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ છે,જેને $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં,$a=4$ અને $b=3$ છે.
આકૃતિ પરથી,છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલો છે,જે $x=0$ થી $x=4$ ની વચ્ચે છે,અને રેખા $(0,3)$ અને $(4,0)$ ને જોડે છે.
$(0,3)$ અને $(4,0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ છે,જે $y = \frac{3}{4}(4-x)$ આપે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી રેખાની નીચેના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \frac{3}{4}\sqrt{16-x^2} \, dx - \int_{0}^{4} \frac{3}{4}(4-x) \, dx$.
$= \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{4}) \right]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$.
$= \frac{3}{4} [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - \frac{3}{4} [16 - 8] = 3\pi - 6 = 3(\pi-2)$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x + 2y + 8 = 0$ છે,જેને $x = -2y - 8$ તરીકે લખી શકાય.
વક્ર $x = f(y)$ અને રેખાઓ $y = c$ તથા $y = d$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$c = -3$ અને $d = -1$ છે.
તેથી,$A = \int_{-3}^{-1} |-2y - 8| \, dy$.
કારણ કે $y \in [-3, -1]$ માટે,$-2y - 8$ ની કિંમત ઋણ છે (દા.ત.,$y = -2$ માટે,$-2(-2) - 8 = -4$),તેથી $|-2y - 8| = 2y + 8$ થાય.
આમ,$A = \int_{-3}^{-1} (2y + 8) \, dy$.
સંકલન કરતા,$A = [y^2 + 8y]_{-3}^{-1}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = ((-1)^2 + 8(-1)) - ((-3)^2 + 8(-3))$.
$A = (1 - 8) - (9 - 24) = -7 - (-15) = -7 + 15 = 8$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $8$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^2$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને સંકલન ચિહ્ન દૂર કરીએ છીએ.
આપેલ છે: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)=\int y d x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 + \frac{d y}{d x} \right] = \frac{d}{d x} \left( \int y d x \right)$.
$3 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \cdot \frac{d^3 y}{d x^3} + \frac{d^2 y}{d x^2} = y$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.
જોકે,પાઠ્યપુસ્તકના સામાન્ય પ્રશ્નોમાં,જો આપણે મૂળ સમીકરણમાં રહેલા ઉચ્ચતમ વિકલનને ધ્યાનમાં લઈએ,તો ક્રમ $2$ અને ઘાત $3$ મળે છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $B$ ($2$ અને $3$) છે.

(B) આપણે સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y})$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (\bar{x} \cdot \bar{y})\bar{x} - (\bar{x} \cdot \bar{x})\bar{y}$.
આપેલ છે કે $\bar{x} \cdot \bar{y} = 0$ અને $|\bar{x}| = 1$,તેથી $\bar{x} \cdot \bar{x} = |\bar{x}|^2 = 1^2 = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (0)\bar{x} - (1)\bar{y} = -\bar{y}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(2, -3, 1)$ અને $(3, -4, -5)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = k$ (ધારો).
બિંદુ $(0, a, b)$ રેખા પર હોવાથી,$x = 0$ લેતા:
$\frac{0-2}{1} = k \implies k = -2$.
હવે,$k = -2$ નો ઉપયોગ કરીને $a$ અને $b$ શોધો:
$\frac{a+3}{-1} = -2 \implies a+3 = 2 \implies a = -1$.
$\frac{b-1}{-6} = -2 \implies b-1 = 12 \implies b = 13$.
તેથી,$a+b = -1 + 13 = 12$.

(C) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
રેખા $1$: $\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-1}{2}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{-3}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(2) + (-3)(1) + (2)(-3) = 4 - 3 - 6 = -5$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{17} \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{238}}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{238} = \frac{213}{238}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{213}{238}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{213}{238}}\right)$.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 300x + 190y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. બિંદુ $A(0,0)$ પર: $z = 300(0) + 190(0) = 0$
$2$. બિંદુ $B(16,0)$ પર: $z = 300(16) + 190(0) = 4800$
$3$. બિંદુ $C(8,16)$ પર: $z = 300(8) + 190(16) = 2400 + 3040 = 5440$
$4$. બિંદુ $D(0,24)$ પર: $z = 300(0) + 190(24) = 4560$
આ કિંમતો $(0, 4800, 5440, 4560)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત બિંદુ $A(0,0)$ પર $0$ મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 2y$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $A(3, 3)$ પર: $z = 3(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$
$2$. બિંદુ $B(20, 3)$ પર: $z = 3(20) + 2(3) = 60 + 6 = 66$
$3$. બિંદુ $C(20, 10)$ પર: $z = 3(20) + 2(10) = 60 + 20 = 80$
$4$. બિંદુ $D(18, 12)$ પર: $z = 3(18) + 2(12) = 54 + 24 = 78$
$5$. બિંદુ $E(12, 12)$ પર: $z = 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $15$ મળે છે.

(D) $z = px + qy$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળે તે માટે,આ બંને બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓ $(15, 25)$ અને $(0, 30)$ છે.
$(15, 25)$ પર,$z_1 = p(15) + q(25) = 15p + 25q$.
$(0, 30)$ પર,$z_2 = p(0) + q(30) = 30q$.
$z_1$ અને $z_2$ ને સરખાવતા:
$15p + 25q = 30q$
$15p = 30q - 25q$
$15p = 5q$
$\frac{p}{q} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
આમ,$p:q = 1:3$.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(B) ધારો કે $H_1$ એ પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળવાની ઘટના છે અને $H_2$ એ બીજા સિક્કા પર છાપ મળવાની ઘટના છે.
બે સિક્કા ઉછાળવાની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,પ્રથમ સિક્કાનું પરિણામ બીજા સિક્કાના પરિણામને અસર કરતું નથી.
તેથી,$P(H_2 | H_1) = P(H_2)$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $P(H_2) = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળેલી હોય ત્યારે બીજા સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A_1$ અને $A_2$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર: $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 0.2 + P(A_2) - (0.2 \times P(A_2))$.
$0.5 - 0.2 = P(A_2)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \times P(A_2)$.
$P(A_2) = 0.3 / 0.8 = 3/8$.

(C) આપેલ છે કે $P(A)=0.25, P(B)=0.55$ અને $P(A \cup B)=0.65$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ.
$0.65 = 0.25 + 0.55 - P(A \cap B)$
$0.65 = 0.80 - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 0.80 - 0.65 = 0.15$.
હવે,આપણે $P(B' \mid A)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(B' \mid A) = \frac{P(B' \cap A)}{P(A)}$.
કારણ કે $P(B' \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$,તેથી:
$P(B' \cap A) = 0.25 - 0.15 = 0.10$.
તેથી,$P(B' \mid A) = \frac{0.10}{0.25} = \frac{10}{25} = 0.4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.