GSEB 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસીએ:
$A$: $(2, 4)$ માટે,$b = 4$. $4 > 6$ સત્ય નથી,તેથી $(2, 4) \notin R$.
$B$: $(8, 7)$ માટે,$a = 8$ અને $b = 7$. અહીં $a = b - 2$ એટલે $8 = 7 - 2$,જે $8 = 5$ થાય (ખોટું).
$C$: $(3, 8)$ માટે,$a = 3$ અને $b = 8$. અહીં $a = b - 2$ એટલે $3 = 8 - 2$,જે $3 = 6$ થાય (ખોટું).
$D$: $(6, 8)$ માટે,$a = 6$ અને $b = 8$. અહીં $b > 6$ એટલે $8 > 6$ (સાચું),અને $a = b - 2$ એટલે $6 = 8 - 2$,જે $6 = 6$ થાય (સાચું).
આમ,$(6, 8) \in R$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = (3 - x^5)^{\frac{1}{5}}$ છે.
$(f \circ f)(x)$ શોધવા માટે,આપણે $f(f(x))$ ની ગણતરી કરીશું.
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})$.
વિધેયની વ્યાખ્યામાં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(f \circ f)(x) = (3 - ((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5)^{\frac{1}{5}}$.
અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા: $((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5 = 3 - x^5$.
તેથી,$(f \circ f)(x) = (3 - (3 - x^5))^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (3 - 3 + x^5)^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (x^5)^{\frac{1}{5}} = x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $\sin ^{-1} x = \theta$,તો $x = \sin \theta$. જ્યાં $x \in [-1, 1]$,તેથી $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $1-x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = \cos(2\theta)$.
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1-x = 1 - 2x^2$ મળે છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા $2x^2 - x = 0$,એટલે કે $x(2x-1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
$x = 0$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(1) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. આ ઉકેલ છે.
$x = \frac{1}{2}$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(1-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}$.
તેથી,માત્ર $x = 0$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $y \in [-1, 1]$ માટે $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{4}{5}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
ધારો કે $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \theta$,તો $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
વળી,આપણે ગુણધર્મ $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3})$.
કારણ કે $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$,તેથી $\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}$.
છેદ સમાન કરતા:
$\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $x = \sec \theta$. કારણ કે $x > 1$,આપણી પાસે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ મળે છે.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$.
$\theta = \sec ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને પરિણામ $\sec ^{-1} x$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A^2 = A$.
આપણે $(I + A)^3 - 7A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$.
કારણ કે $I^n = I$ અને $IA = AI = A$,આપણી પાસે છે:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$.
$A^2 = A$ આપેલ હોવાથી,$A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A + A = I + 7A$.
હવે,$7A$ બાદ કરતા:
$(I + A)^3 - 7A = (I + 7A) - 7A = I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^T = A$ અને $B^T = B$ થાય.
ધારો કે શ્રેણિક $X = AB - BA$ છે.
$X$ સંમિત છે કે વિસંમિત તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધીએ:
$X^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$.
ગુણધર્મ $(PQ)^T = Q^T P^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X^T = B^T A^T - A^T B^T$.
$A^T = A$ અને $B^T = B$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$X^T = BA - AB = -(AB - BA) = -X$.
$X^T = -X$ હોવાથી,શ્રેણિક $AB - BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(D) $3 \times 3$ શ્રેણિકમાં કુલ $3 \times 3 = 9$ ઘટકો હોય છે.
દરેક ઘટકને $2$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે (કાં તો $2$ અથવા $9$).
અહીં $9$ સ્થાનો છે અને દરેક સ્થાન માટે $2$ વિકલ્પો છે,તેથી આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2^9$ દ્વારા મળે છે.
$2^9$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $2^9 = 512$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) નો ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$
અહીં આપેલ છે કે શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3 \times 3$ છે,તેથી $n = 3$.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) નિશ્ચાયક $A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 13 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 7 & 11 \end{vmatrix}$ આપેલ છે.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ નિશ્ચાયકનો ઉપનિશ્ચાયક છે.
$1$. ઘટક $13$ $(a_{13})$ માટે: $p = C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (1)(21 - 0) = 21$.
$2$. ઘટક $5$ $(a_{23})$ માટે: $q = C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(7 - 12) = (-1)(-5) = 5$.
$3$. ઘટક $11$ $(a_{33})$ માટે: $r = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0 - 6) = -6$.
હવે,$p + 3q + 6r$ ની ગણતરી કરીએ:
$p + 3q + 6r = 21 + 3(5) + 6(-6)$
$= 21 + 15 - 36$
$= 36 - 36 = 0$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ $f(\frac{\pi}{2})$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(\frac{\pi}{2}) = 3$.
આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$. જેમ $x \to \frac{\pi}{2}$,તેમ $h \to 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
કારણ કે $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,તેથી લક્ષ $\frac{k}{2}$ મળે છે.
લક્ષને વિધેયની કિંમત સાથે સરખાવતા: $\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$.

(B) આપેલ છે કે $x = a(\theta + \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$.
હવે,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y = 5 \cos x - 3 \sin x$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x - 3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x$.
$-1$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -(5 \cos x - 3 \sin x)$.
કારણ કે $y = 5 \cos x - 3 \sin x$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $f(x) = [x(x-1) + 1]^{\frac{1}{3}}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
ધારો કે $g(x) = x(x-1) + 1 = x^2 - x + 1$.
તેથી $f(x) = [g(x)]^{\frac{1}{3}}$.
$f'(x) = \frac{1}{3} [g(x)]^{-\frac{2}{3}} \cdot g'(x) = \frac{1}{3} [x^2 - x + 1]^{-\frac{2}{3}} (2x - 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2x - 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2}$.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(0) = [0(0-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(1) = [1(1-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4} + 1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.
કિંમતો $1$,$1$,અને $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $1$ છે.

(D) સંકલન $I = \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પહેલા પદાવલિને સરળ બનાવીએ:
$I = \int \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}} = \int \frac{e^x dx}{(e^x)^2 + 1}$.
ધારો કે $u = e^x$. તો $du = e^x dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{du}{u^2 + 1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1}(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \tan^{-1}(e^x) + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,
$I = \int_0^1 x(1-x)^n dx$
$I = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$
$I = \int_0^1 (1-x)x^n dx$
$I = \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$
હવે,પદવાર સંકલન કરતા:
$I = [\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2}]_0^1$
$I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$
$I = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)}$
$I = \frac{1}{n^2 + 3n + 2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_a^b x f(x) d x$.
ગુણધર્મ $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_a^b (a+b-x) f(a+b-x) d x$.
કારણ કે $f(a+b-x) = f(x)$,આ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$I = \int_a^b (a+b-x) f(x) d x$.
$I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - \int_a^b x f(x) d x$.
$I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - I$.
$2I = (a+b) \int_a^b f(x) d x$.
$I = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સંકલન $\int \sqrt{x^2-8 x+7} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7 = (x-4)^2 - 3^2$.
હવે સંકલન $\int \sqrt{(x-4)^2 - 3^2} \, dx$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log \left|t + \sqrt{t^2 - a^2}\right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x-4$ અને $a = 3$ છે:
$= \frac{x-4}{2} \sqrt{(x-4)^2 - 3^2} - \frac{3^2}{2} \log \left|(x-4) + \sqrt{(x-4)^2 - 3^2}\right| + C$
$= \frac{x-4}{2} \sqrt{x^2-8x+7} - \frac{9}{2} \log \left|x-4 + \sqrt{x^2-8x+7}\right| + C$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે સંકલન $I = \int \frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3} d x$ ની કિંમત શોધવી છે.
અંશને $(x-1-2)$ તરીકે ફરીથી લખો:
$I = \int \frac{(x-1-2) e^x}{(x-1)^3} d x$
$I = \int \left( \frac{x-1}{(x-1)^3} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
પ્રમાણિત સંકલન સ્વરૂપ $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ યાદ કરો.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$.
તો $f'(x) = -2(x-1)^{-3} = -\frac{2}{(x-1)^3}$ થાય.
કારણ કે સંકલ્ય $e^x [f(x) + f'(x)]$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી સંકલન $e^x f(x) + C$ થશે.
તેથી,$I = \frac{e^x}{(x-1)^2} + C$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x-1$ અને $a = 1$ છે:
$I = \sin^{-1}(\frac{x-1}{1}) + C = \sin^{-1}(x-1) + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સંકલન $I = \int \frac{1}{x+x \log x} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાંથી $x$ સામાન્ય કાઢીશું:
$I = \int \frac{1}{x(1+\log x)} dx$
ધારો કે $u = 1+\log x$. તો,તેનું વિકલન $du = \frac{1}{x} dx$ થશે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u} du$
$I = \log |u| + C$
હવે $u = 1+\log x$ પાછું મૂકતા:
$I = \log |1+\log x| + C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a = 4$ અને $b = 3$ થાય.
ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ એ વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવતો ઉકેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ પણ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. આપેલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણમાં $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ પદ છે,જે વિકલિતનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
કારણ કે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$ મળે છે.
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|\cos \theta|$ એ $0 \leq |\cos \theta| \leq 1$ નું પાલન કરે છે.
$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (જે અ-ઋણ છે) વડે ગુણતા,આપણને $0 \leq |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ મળે છે.
તેથી,$|\vec{a}| |\vec{b}| \geq |\vec{a} \cdot \vec{b}|$. આને કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5$ મૂકતા:
$2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$4 + 9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$38 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -38$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -19$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશોના ગુણધર્મો:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + \hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{k} \cdot \hat{k} + \hat{i} \cdot \hat{i}$
એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ હોવાથી:
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$
તેથી,$1 + 1 = 2$.
જો પ્રશ્નમાં $\hat{i} \cdot (\hat{k} \times \hat{j})$ હોય,તો $1 - 1 = 0$ મળે. વિકલ્પો જોતા સાચો જવાબ $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$ (કારણ કે તે એકમ સદિશ છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારના માનનું સૂત્ર: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin(\theta)$.
આનું સાદુરૂપ આપતા: $1 = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
તેથી,$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(A) શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ અને $C(2, 3, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \langle 0, 1, 2 \rangle$.
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \langle 1, 2, 0 \rangle$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
આ સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{p}=\vec{a}-\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = 0\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{q}=\vec{a}+\vec{b} = (1+1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = 2\hat{i}+1\hat{j}-2\hat{k}$ શોધો.
$\vec{p}$ અને $\vec{q}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(0-8) + \hat{k}(0-(-6)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}$.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{2^2+8^2+6^2}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{4+64+36}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{104}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\hat{i}+\frac{4}{\sqrt{26}}\hat{j}+\frac{3}{\sqrt{26}}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(NONE) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$,અને $\vec{c}$ ના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 2((-2)(2) - (1)(-1)) - (-1)((1)(2) - (1)(3)) + 3((1)(-1) - (-2)(3))$
$= 2(-4 + 1) + 1(2 - 3) + 3(-1 + 6)$
$= 2(-3) + 1(-1) + 3(5)$
$= -6 - 1 + 15$
$= 8$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ: $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 15$.
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 15$.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 15$.
$|\vec{x}|^2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{x}| = 4$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર: $\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{પ્રક્ષેપ સદિશ} = \frac{10}{14} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{5}{7} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{15}{7}\hat{i} - \frac{10}{7}\hat{j} + \frac{5}{7}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) રેખાનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x-1}{0}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-3}{0}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 5, 0)$ મળે છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
અહીં,$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{0^2+5^2+0^2} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$l = \frac{0}{5} = 0$,$m = \frac{5}{5} = 1$,અને $n = \frac{0}{5} = 0$.
તેથી,દિકકોસાઇન $(0, 1, 0)$ છે.

(A) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (2, 3, 6)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (10, 2, -11)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
આમ,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8000x + 12000y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 8000(0) + 12000(0) = 0$
$2$. $(20,0)$ પર: $Z = 8000(20) + 12000(0) = 160000$
$3$. $(12,6)$ પર: $Z = 8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 168000$
$4$. $(0,10)$ પર: $Z = 8000(0) + 12000(10) = 120000$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $168000$ છે,જે $(12,6)$ બિંદુ પર મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10500x + 9000y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 10500(0) + 9000(0) = 0$
$2$. $(40,0)$ પર: $Z = 10500(40) + 9000(0) = 4,20,000$
$3$. $(30,20)$ પર: $Z = 10500(30) + 9000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$
$4$. $(0,50)$ પર: $Z = 10500(0) + 9000(50) = 4,50,000$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $4,95,000$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $Z = qx + py$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે શિરોબિંદુઓ $(3,4)$ અને $(0,5)$ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$Z(3,4) = q(3) + p(4) = 3q + 4p$
$Z(0,5) = q(0) + p(5) = 5p$
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3q + 4p = 5p$
$3q = 5p - 4p$
$3q = p$
આમ,શરત $p = 3q$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(B) કુલ બલ્બની સંખ્યા = $100$.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $10$.
ખામી વગરના બલ્બની સંખ્યા = $100 - 10 = 90$.
એક બલ્બ પસંદ કરવામાં આવે ત્યારે તે ખામી વગરનો હોય તેની સંભાવના $p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$ છે.
આપણે $5$ બલ્બ પસંદ કરીએ છીએ,અને જો પસંદગી પુનરાવર્તન સાથે કરવામાં આવે (અથવા નમૂનાનું કદ વસ્તીની તુલનામાં નાનું હોય),તો $5$ બલ્બમાંથી એક પણ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના દ્વિપદી સંભાવના $P(X=0) = \left(\frac{9}{10}\right)^5$ દ્વારા મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $P(B \mid A) = 1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
અહીં $P(B \mid A) = 1$ હોવાથી,$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(A)$.
આ સમાનતા $P(A \cap B) = P(A)$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $A \subseteq B$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય તો અને તો જ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$ થાય.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ થાય.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ થાય.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ થાય.
આ કિંમતને $P(A' \cap B')$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A' \cap B') = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)]$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)] - P(B)[1 - P(A)]$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.