GSEB 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम फलन को $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$f(x) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)$
$f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$
चूंकि साइन फलन $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ होगा।

(D) माना वक्र $x^2=2y$ पर बिंदु $P(x, y)$ है। चूँकि $x^2=2y$,इसलिए $y = \frac{x^2}{2}$ है।
अतः,बिंदु $P$ $(x, \frac{x^2}{2})$ है।
बिंदु $P(x, \frac{x^2}{2})$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D$ का वर्ग $D^2 = (x-0)^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2$ है।
माना $f(x) = D^2 = x^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2 = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = x^3 - 8x = x(x^2 - 8) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x^2 = 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \pm 2\sqrt{2}$।
$x=0$ के लिए,$y=0$,$D^2 = 25$,$D=5$ है।
$x^2=8$ के लिए,$y = \frac{8}{2} = 4$ है। तब $D^2 = 8 + (4-5)^2 = 8 + 1 = 9$,अर्थात $D=3$ है।
चूँकि $3 < 5$,निकटतम बिंदु $(2\sqrt{2}, 4)$ या $(-2\sqrt{2}, 4)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही बिंदु $(2\sqrt{2}, 4)$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
अतः,$a = 2$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,$A = \pi \times 2 \times 3 = 6 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है: $P(A)=0.5$,$P(A \cup B)=0.6$,और $P(B)=K$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5K$ होगी।
प्रायिकता के योग के नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.6 = 0.5 + K - 0.5K$।
समीकरण को सरल करने पर: $0.6 = 0.5 + 0.5K$।
दोनों पक्षों से $0.5$ घटाने पर: $0.1 = 0.5K$।
$K$ का मान ज्ञात करने पर: $K = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$।

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
पासे पर सम संख्या $2, 4,$ या $6$ हो सकती है।
अतः,प्रत्येक पासे के लिए $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
दोनों पासों पर सम संख्या आने के अनुकूल परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(A) प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$.
दिया गया है $y = 4x + 3$.
अब,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y - 3 = 4x$
$x = \frac{y - 3}{4}$.
चूंकि $f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है,तो $x_1+1 = x_2-1$,अतः $x_2 - x_1 = 2$। चूँकि $x_1$ विषम है,$x_1+1$ सम है। चूँकि $x_2$ सम है,$x_2-1$ विषम है। यह $f(x_1) = f(x_2)$ का विरोधाभास करता है।
यदि दोनों विषम हैं,तो $x_1+1 = x_2+1 \implies x_1 = x_2$।
यदि दोनों सम हैं,तो $x_1-1 = x_2-1 \implies x_1 = x_2$।
अतः,$f$ एकैकी है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है:
किसी भी $y \in N$ के लिए,यदि $y$ विषम है,तो हम $x = y+1$ (जो सम है) चुन सकते हैं,तब $f(y+1) = (y+1)-1 = y$।
यदि $y$ सम है,तो हम $x = y-1$ (जो विषम है) चुन सकते हैं,तब $f(y-1) = (y-1)+1 = y$।
चूँकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद है कि $f(x) = y$,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(B) $1$. स्वतुल्य: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए $a < a$ असत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यदि $a < b$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $b < a$ होगा। उदाहरण के लिए,$1 < 2$ सत्य है,लेकिन $2 < 1$ असत्य है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। यदि $a < b$ और $b < c$ है,तो असमिका के गुणधर्म के अनुसार $a < c$ होगा। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य और सममित नहीं है।

(C) $A = \{1, 2, 3\}$ पर एक संबंध $R$ के लिए,यदि वह $(1, 2)$ युक्त एक तुल्यता संबंध है,तो उसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
स्वतुल्य होने के कारण,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
चूंकि इसमें $(1, 2)$ है और यह सममित है,इसलिए $(2, 1) \in R$.
अब हमारे पास $R_0 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ है। यह एक तुल्यता संबंध है।
तुल्यता बनाए रखते हुए अधिक तत्वों को जोड़ने के लिए,हमें $A$ के विभाजनों पर विचार करना होगा। $R_0$ के अनुरूप विभाजन $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ है।
$A$ का एकमात्र अन्य विभाजन जिसमें उपसमुच्चय $\{1, 2\}$ शामिल है,वह तुच्छ विभाजन $\{\{1, 2, 3\}\}$ है।
विभाजन $\{\{1, 2, 3\}\}$ के अनुरूप तुल्यता संबंध सार्वत्रिक संबंध $A \times A$ है,जिसमें $(1, 2)$ शामिल है।
अतः,ऐसे $2$ तुल्यता संबंध हैं: $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ और $A \times A$।

(C) दिया गया है कि $f: N \rightarrow N$,$f(x) = x^6$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ जहाँ $x_1, x_2 \in N$.
अतः $x_1^6 = x_2^6$.
चूँकि $x_1, x_2 \in N$ (प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं),हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत $(N)$ के बराबर हो।
$f(x) = x^6$ के लिए,परिसर ${1^6, 2^6, 3^6, \dots} = {1, 64, 729, \dots}$ है।
यहाँ परिसर सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (उदाहरण के लिए,$2 \in N$ है लेकिन कोई भी $x \in N$ ऐसा नहीं है कि $x^6 = 2$),इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ और संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a), (b, b), (c, c)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूंकि ये सभी मौजूद हैं,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ है,और $(a, a) \in R$ है। साथ ही $(b, a) \in R$ और $(a, b) \in R$ है,और $(b, b) \in R$ है। सभी शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए $R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है और $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
सबसे पहले,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)$ पर विचार करें।
चूंकि $\frac{13 \pi}{6} = 2 \pi + \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\cos \frac{13 \pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।
अब,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)$ पर विचार करें।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\tan \frac{7 \pi}{6} = \tan \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\tan ^{-1}\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $x = \sec \theta$ है। चूँकि $x > 1$,इसलिए $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$ होगा।
$\theta = \sec ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें सरलतम रूप $\sec ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\tan^{-1} x = \theta$ है।
तब,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$ होगा।
एक समकोण त्रिभुज में,सम्मुख भुजा $x$ है और आसन्न भुजा $1$ है।
कर्ण $\sqrt{(\text{सम्मुख भुजा})^2 + (\text{आसन्न भुजा})^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ होगा।
अब,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
अतः,$\sin (\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ है।
सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है और $\sec^{-1} x$ के लिए $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ है।
सबसे पहले,$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ होता है।
अतः,$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$।
इसके बाद,$\sec^{-1}(-2)$ का मान ज्ञात करें:
चूंकि $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$,इसलिए $\sec(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$ होता है।
अतः,$\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$।
अंत में,व्यंजक की गणना करें:
$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{3} = -\pi$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना कि $\theta = \tan^{-1} x$.
तब,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
एक समकोण त्रिभुज में,सम्मुख भुजा $x$ है और आसन्न भुजा $1$ है।
कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ होगा।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
अतः,$\cos(\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
सही विकल्प $C$ है।

(D) प्रति-कोसाइन फलन (inverse cosine function) की मुख्य मान शाखा,जिसे $\cos^{-1} x$ द्वारा दर्शाया जाता है,अंतराल $[0, \pi]$ के रूप में परिभाषित है।
इसलिए,यदि $\cos^{-1} x = y$ है,तो $y$ का परिसर $0 \leq y \leq \pi$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
दिया गया व्यंजक $\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6})$ है।
सबसे पहले,कोण $\frac{31 \pi}{6}$ को सरल करें:
$\frac{31 \pi}{6} = \frac{30 \pi + \pi}{6} = 5 \pi + \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\tan(n \pi + \theta) = \tan \theta$,इसलिए $\tan(5 \pi + \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{\pi}{6}$ होता है।
अतः,$\tan ^{-1}(\tan \frac{31 \pi}{6}) = \tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{6})$.
चूंकि $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,इसलिए इसका मान $\frac{\pi}{6}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin ^{-1}(-x) = -\sin ^{-1}(x)$ होता है।
इसलिए,$\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$।
हम यह भी जानते हैं कि $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 0$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ समान कोटि के विषम-सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = -A$ और $B^{\prime} = -B$ है।
आव्यूह के गुणनफल के परिवर्त (transpose) के गुण का उपयोग करते हुए,$(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ होता है।
$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(AB)^{\prime} = (-B)(-A)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(AB)^{\prime} = BA$।

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है कि $A^2 = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & \alpha \beta - \beta \alpha \\ \gamma \alpha - \alpha \gamma & \beta \gamma + \alpha^2 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix}$
चूंकि $A^2 = I$,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta \gamma & 0 \\ 0 & \alpha^2 + \beta \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
अवयवों की तुलना करने पर,$\alpha^2 + \beta \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$1 - \alpha^2 - \beta \gamma = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सामान्यतः,आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होता है। समान क्रम के दो वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,गुणनफल $AB$ का $BA$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है। अतः,$AB \neq BA$ आव्यूह गुणन के सामान्य गुण को दर्शाने वाला सही कथन है।

(A) माना आव्यूह $B$ की कोटि $p \times q$ है।
तब $B^{\prime}$ की कोटि $q \times p$ होगी।
$AB^{\prime}$ के परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B^{\prime}$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$n = q$।
$B^{\prime}A$ के परिभाषित होने के लिए,$B^{\prime}$ में स्तंभों की संख्या $A$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$p = m$।
इसलिए,आव्यूह $B$ की कोटि $m \times n$ है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ की गणना करें।
अब,$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 2^2 A$ निकालें।
इसी प्रकार,$A^4 = A^3 \times A = (2^2 A) \times A = 2^2 (A^2) = 2^2 (2A) = 2^3 A$ होगा।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम सामान्यीकृत कर सकते हैं कि $A^n = 2^{n-1} A$ है।
अतः,$n = 10$ के लिए,$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$ होगा।

(C) दिया गया है कि $A^2 = A$ और $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
हमें व्यंजक $(I + A)^2 - 3A$ का मान ज्ञात करना है।
$(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2$ गुणधर्म का उपयोग करके विस्तार करने पर:
चूंकि $IA = AI = A$ और $I^2 = I$,इसलिए:
$(I + A)^2 = I + A + A + A^2$
$(I + A)^2 = I + 2A + A^2$
अब $A^2 = A$ रखने पर:
$(I + A)^2 = I + 2A + A = I + 3A$
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$(I + A)^2 - 3A = (I + 3A) - 3A$
$(I + A)^2 - 3A = I$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आव्यूह $A$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है,जिसे $I_2$ के रूप में दर्शाया जाता है।
आव्यूह $B$ एक $3 \times 2$ आव्यूह है।
गुणनफल $AB$ को परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ,$A$ में स्तंभों की संख्या $2$ है और $B$ में पंक्तियों की संख्या $3$ है।
चूँकि $2 \neq 3$,इसलिए आव्यूह गुणन $AB$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$AB$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) $3 \times 2$ क्रम के एक आव्यूह में कुल $3 \times 2 = 6$ प्रविष्टियाँ होती हैं।
प्रत्येक प्रविष्टि को $2$ तरीकों से भरा जा सकता है (या तो $1$ या $2$)।
चूंकि भरने के लिए $6$ स्वतंत्र स्थान हैं,इसलिए ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2^6$ होगी।
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ $3 \times 3$ क्रम के आव्यूह हैं,इसलिए $n=3$ है।
हम सारणिक का गुणधर्म जानते हैं: $|kA| = k^n |A|$,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
साथ ही,$|AB| = |A| |B|$ होता है।
इसलिए,$|3AB| = 3^3 |AB| = 27 |A| |B|$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $|3AB| = 27 \times 5 \times 3$।
$|3AB| = 27 \times 15 = 405$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसका व्युत्क्रम $A^{-1}$ इसके विकर्ण तत्वों के व्युत्क्रम द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$।
अब,हमें $(A^{-1})^2 = A^{-1} \times A^{-1}$ ज्ञात करना है:
$(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{16} \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(2, -6)$,$(5, 4)$ और $(k, 4)$ हैं और $\text{Area} = 35$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$35 = \frac{1}{2} |2(4 - 4) + 5(4 - (-6)) + k(-6 - 4)|$
$70 = |2(0) + 5(10) + k(-10)|$
$70 = |50 - 10k|$
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
$1) 50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$
$2) 50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$
अतः,$k$ के मान $12$ और $-2$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$A$ और उसके प्रतिलोम $A^{-1}$ का गुणनफल तत्समक आव्यूह $I$ होता है।
$A \cdot A^{-1} = I$
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I)$
गुणधर्म $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ का उपयोग करने पर:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I)$
चूंकि तत्समक आव्यूह के लिए $\det(I) = 1$ होता है,इसलिए:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$
अतः,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$।

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(3, 5), (2, 2)$ और $(k, 2)$ हैं और $\text{Area} = 3$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = \frac{1}{2} |3(2 - 2) + 2(2 - 5) + k(5 - 2)|$
$3 = \frac{1}{2} |3(0) + 2(-3) + k(3)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 - 6 + 3k|$
$6 = |-6 + 3k|$
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
$1) -6 + 3k = 6 \implies 3k = 12 \implies k = 4$
$2) -6 + 3k = -6 \implies 3k = 0 \implies k = 0$
अतः,$k$ के मान $0$ और $4$ हैं।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ सत्य है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$।
$A$ का सारणिक $|A| = (5 \times 3) - (-2 \times 4) = 15 - (-8) = 15 + 8 = 23$ है।
चूंकि आव्यूह $A$ की कोटि $2 \times 2$ है,इसलिए $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A(\operatorname{adj} A) = |A| I = 23 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 23 I$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $|A| = 1(2 \times 1 - 3 \times 0) - 0 + 0 = 1(2) = 2$.
आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है।
हम आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$।
मान रखने पर: $|\operatorname{adj} A| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया फलन $f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$ है।
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह में $\theta = \frac{\pi}{6}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & -\sin(\frac{\pi}{6}) \\ \sin(\frac{\pi}{6}) & -\cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix}$।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ होता है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $xy = e^{x-y}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(xy) = \ln(e^{x-y})$
$\ln x + \ln y = x - y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} + 1) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1+y}{y}) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $x = \sin y$,अतः $y = \arcsin x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $u = \sin ^2 x$ और $v = \cos ^2 x$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin ^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$।
इसके बाद,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos ^2 x) = 2 \cos x (-\sin x) = -2 \sin x \cos x = -\sin(2x)$।
अब,अवकलज ज्ञात कीजिए:
$\frac{du}{dv} = \frac{\sin(2x)}{-\sin(2x)} = -1$।

(A) दी गई श्रेणी चरघातांकी फलन $y = e^x$ का विस्तार है।
हम जानते हैं कि $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ होता है।
अतः,$y = e^x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = e^x$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = y$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान:
$f(\frac{\pi}{2}) = k(\frac{\pi}{2}) + 1$
$2$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (kx + 1) = k(\frac{\pi}{2}) + 1$
$3$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
सांतत्य के लिए,$LHL = RHL$:
$k(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1$
$k(\frac{\pi}{2}) = 0$
$k = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $y = f(x) = 6 - 9x - x^2$ किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(6 - 9x - x^2) = -9 - 2x$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,हमारे पास $f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अतः,$-9 - 2x > 0$.
$-2x > 9$.
$-2$ से भाग देने पर असमिका बदल जाएगी: $x < -4.5$.
इस प्रकार,फलन अंतराल $(-\infty, -4.5)$ पर निरंतर वर्धमान है।

(D) माना कि $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $C$ वृत्त की परिधि है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi \frac{dr}{dt}$.
दिया गया मान $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ रखने पर:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi (0.7) = 1.4 \pi \text{ cm/s}$.
अतः,वृत्त की परिधि $1.4 \pi \text{ cm/s}$ की दर से बढ़ रही है।

(C) दिया गया है कि $x = at^2$ और $y = 2at$ है।
हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना है।
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2at) = 2a$।
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$।
अतः,सही उत्तर $\frac{1}{t}$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 - 6x + 10$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 10) = 2x - 6$.
एक फलन वर्धमान होता है जब $f'(x) > 0$ हो।
$2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.
अतः,फलन $(3, \infty)$ अंतराल में वर्धमान है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) सीमांत राजस्व को बेची गई इकाइयों की संख्या के सापेक्ष कुल राजस्व में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो अवकलज $R'(x)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R(x) = x^2 + 6x + 5$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 6x + 5) = 2x + 6$.
जब $x = 20$ हो,तो सीमांत राजस्व ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज में $x = 20$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$R'(20) = 2(20) + 6 = 40 + 6 = 46$.
अतः,सीमांत राजस्व $46$ रुपये है।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$.
अब,हम इस अवकलज का मान $r = 3 \text{ cm}$ पर ज्ञात करते हैं:
$\left. \frac{dA}{dr} \right|_{r=3} = 2 \pi (3) = 6 \pi$.
अतः,$r = 3 \text{ cm}$ पर वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर उसकी त्रिज्या के सापेक्ष $6 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ है।

(D) माना $I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^4 x \, dx$ है।
हम $\sec ^4 x$ को $\sec ^2 x \cdot \sec ^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \, dx$।
चूंकि $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$,इसलिए:
$I = \int \tan ^8 x (1 + \tan ^2 x) \sec ^2 x \, dx$।
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec ^2 x \, dx$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int u^8 (1 + u^2) \, du = \int (u^8 + u^{10}) \, du$।
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^9}{9} + \frac{u^{11}}{11} + C$।
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\tan ^9 x}{9} + \frac{\tan ^{11} x}{11} + C$।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} d x = \int \tan^2 \frac{x}{2} d x$.
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\int (\sec^2 \frac{x}{2} - 1) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \int \sec^2 \frac{x}{2} d x - \int 1 d x$.
$= 2 \tan \frac{x}{2} - x + C$.

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{\pi}{3}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\frac{1}{\sqrt{\tan x}}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x}+1} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$ के रूप वाले समाकलन का मान $e^x f(x) + C$ होता है।
दिया गया समाकलन $\int e^x \cdot \sec x(1 + \tan x) \, dx$ है।
इसे $\int e^x (\sec x + \sec x \tan x) \, dx$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \sec x$ है।
तब,इसका अवकलज $f'(x) = \sec x \tan x$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x \sec x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $I = \int \frac{e^x(1+x)}{\sin^2(x \cdot e^x)} dx$ है।
$u = x \cdot e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,
$du = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) dx = e^x(1+x) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\sin^2(u)} du = \int \csc^2(u) du$।
चूंकि $\int \csc^2(u) du = -\cot(u) + C$,
अतः $I = -\cot(x \cdot e^x) + C$।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{x}{\sqrt{x+4}} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,मान लीजिए $u = x+4$। तब $du = dx$ और $x = u-4$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{u-4}{\sqrt{u}} \, du$
$I = \int (\frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{4}{\sqrt{u}}) \, du$
$I = \int (u^{1/2} - 4u^{-1/2}) \, du$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^{3/2}}{3/2} - 4 \frac{u^{1/2}}{1/2} + C$
$I = \frac{2}{3} u^{3/2} - 8 u^{1/2} + C$
$I = \frac{2}{3} u^{1/2} (u - 12) + C$
अब $u = x+4$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x+4 - 12) + C$
$I = \frac{2}{3} \sqrt{x+4} (x-8) + C$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^2} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $u = \tan ^{-1} x$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \sin(u) du$ प्राप्त होता है।
$\sin(u)$ का समाकलन $-\cos(u) + C$ होता है।
$u = \tan ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\cos (\tan ^{-1} x) + C$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\frac{d}{d x}(f(x))=4 x^3-3 x^{-4}$.
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$f(x) = \int (4 x^3-3 x^{-4}) d x$.
$f(x) = 4 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^{-3}}{-3} + C$.
$f(x) = x^4 + x^{-3} + C = x^4 + \frac{1}{x^3} + C$.
दिया गया है कि $f(2) = 0$,अतः $x=2$ रखने पर:
$f(2) = 2^4 + \frac{1}{2^3} + C = 0$.
$16 + \frac{1}{8} + C = 0$.
$C = - (16 + \frac{1}{8}) = - \frac{128+1}{8} = - \frac{129}{8}$.
अतः,$f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} - \frac{129}{8}$.

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 0$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a - x) = -f(x)$ हो।
यहाँ,$f(x) = \sin ^3 x \cos ^2 x$.
$f(2 \pi - x) = \sin ^3(2 \pi - x) \cos ^2(2 \pi - x) = (-\sin x)^3 (\cos x)^2 = -\sin ^3 x \cos ^2 x = -f(x)$.
चूंकि $f(2 \pi - x) = -f(x)$,इसलिए समाकलन का मान $0$ है।