GSEB 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જે બેકી અને અવિભાજ્ય બંને હોય. એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
દરેક પાસા માટે,$2$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
પાસા ફેંકવાની ક્રિયાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને પાસા પર $2$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પૂર્ણાંક $x, y \in Z$ માટે શરત $|x - y| < 1$ નો અર્થ છે કે $|x - y| = 0$,કારણ કે બે પૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા અઋણ પૂર્ણાંક હોય છે.
આમ,$|x - y| = 0 \implies x = y$.
તેથી,$S = \{(x, x) : x \in Z\}$,જે $Z$ પરનો તદેવ સંબંધ છે.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in Z$ માટે,$|x - x| = 0 < 1$,તેથી $(x, x) \in S$. આમ,$S$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(x, y) \in S$,તો $x = y$,જેનો અર્થ છે કે $y = x$,તેથી $(y, x) \in S$. આમ,$S$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in S$ અને $(y, z) \in S$,તો $x = y$ અને $y = z$,જેનો અર્થ છે કે $x = z$,તેથી $(x, z) \in S$. આમ,$S$ પરંપરિત છે.
આમ,$S$ એ સામ્ય સંબંધ છે.

(C) વિધેય $f: A \to A$ એક-એક ત્યારે જ કહેવાય જો પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહપ્રદેશમાં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ માટે,તે ગણ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $n!$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે,તેથી $n = 5$.
એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $f: N \times N \rightarrow N$ વિધેય $f(m, n) = mn$ માટે:
$1$. એક-એક ચકાસણી:
ધારો કે $f(1, 4) = 1 \times 4 = 4$ અને $f(2, 2) = 2 \times 2 = 4$.
અહીં $f(1, 4) = f(2, 2)$ છે પરંતુ $(1, 4) \neq (2, 2)$,તેથી વિધેય એક-એક નથી. એટલે કે તે અનેક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી:
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,પ્રત્યેક $n \in N$ માટે,એવું $(m, k) \in N \times N$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ કે જેથી $f(m, k) = mk = n$.
કોઈપણ $n \in N$ માટે,આપણે હંમેશા $(1, n) \in N \times N$ પસંદ કરી શકીએ છીએ જેથી $f(1, n) = 1 \times n = n$.
આમ,સહ-પ્રદેશ $N$ ના દરેક ઘટક $n$ માટે પ્રદેશ $N \times N$ માં ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ $(1, n)$ મળે છે. તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય અનેક-એક અને વ્યાપ્ત છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$.
$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\theta = \sin^{-1} \frac{3}{5} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ થાય.
ધારો કે $\alpha = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,તો $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,તેથી $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ થાય.
આમ,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$.
આપેલ પદ $\cot \left( \frac{2019 \pi}{2} - \theta \right)$ છે.
$\frac{2019 \pi}{2} = 1009 \pi + \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cot \left( 1009 \pi + \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta$ થાય.
$\theta = \tan^{-1} \frac{17}{6}$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{17}{6}$ મળે.

(A) આપણે પ્રતિવિધેયો માટેનું પ્રમાણિત નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $|x| \geq 1$ માટે $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
તે જ રીતે,$|x| \geq 1$ માટે,$\cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ નિત્યસમોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x + \cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \tan^{-1} x$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેનો વિસ્તાર વિવૃત અંતરાલ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે.
આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે $\tan^{-1}(0) = 0$ થાય છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \frac{\pi}{2}$ અને જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to -\frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આલેખ સતત વધતું વિધેય છે અને $y = \frac{\pi}{2}$ તથા $y = -\frac{\pi}{2}$ પર સમક્ષિતિજ અનંતસ્પર્શકો ધરાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો આલેખ $f(x) = \tan^{-1} x$ વિધેયને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આપણે સરવાળો $S = \sum_{i=0}^2 \cot^{-1}(-(i+1))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$S = \cot^{-1}(-1) + \cot^{-1}(-2) + \cot^{-1}(-3)$.
ગુણધર્મ $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ (જ્યાં $x > 0$) નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\pi - \cot^{-1}(1)) + (\pi - \cot^{-1}(2)) + (\pi - \cot^{-1}(3))$
$S = 3\pi - (\cot^{-1}(1) + \cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3))$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3)$ માટે,આપણે $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3) = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$S = 3\pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = 3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,જો બે શ્રેણિકો $X$ અને $Y$ એકબીજાના વ્યસ્ત હોય,તો તેમનો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક $I$ થવો જોઈએ.
તેથી,$XY = I$ અને $YX = I$.
આમ,$XY = YX = I$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (0)(0)+(0)(0)+(3)(3) & (0)(0)+(0)(3)+(3)(0) & (0)(3)+(0)(0)+(3)(0) \\ (0)(0)+(3)(0)+(0)(3) & (0)(0)+(3)(3)+(0)(0) & (0)(3)+(3)(0)+(0)(0) \\ (3)(0)+(0)(0)+(0)(3) & (3)(0)+(0)(3)+(0)(0) & (3)(3)+(0)(0)+(0)(0) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 9I_3$.
આમ,સાચું વિધાન $A^2 = 9I_3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$A^2 - 5A$ શોધો:
$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$.
આને $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $kI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -7$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 \times 1 - 2 \times 1) - 3(2 \times 1 - 2 \times 5) + 4(2 \times 1 - 1 \times 5)$
$|A| = 1(1 - 2) - 3(2 - 10) + 4(2 - 5)$
$|A| = 1(-1) - 3(-8) + 4(-3)$
$|A| = -1 + 24 - 12 = 11$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\text{adj } A| = (11)^2 = 121$.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ છે.
ઘટક $2020$ એ $a_{12}$ (પ્રથમ હાર,દ્વિતીય સ્તંભ) ના સ્થાને છે.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{12}$ એ પ્રથમ હાર અને દ્વિતીય સ્તંભને દૂર કરીને મેળવેલ $2 \times 2$ નિશ્ચાયક છે:
$M_{12} = \begin{vmatrix} 2022 & 2024 \\ 2025 & 2027 \end{vmatrix} = (2022 \times 2027) - (2024 \times 2025)$.
ગણતરી કરતા:
$M_{12} = 4098594 - 4098600 = -6$.
સહઅવયવ $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \times (-6) = 6$.
ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવનો સરવાળો $M_{12} + C_{12} = -6 + 6 = 0$ થાય.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે હારની પ્રક્રિયાઓ કરીએ છીએ.
$R_1 \to R_1 - R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
પ્રથમ હાર નીચે મુજબ બને છે:
$(x+y+z^2) - z^2 - (x+y) = 0$
$(x^2+y+z) - x^2 - (y+z) = 0$
$(x+y^2+z) - y^2 - (x+z) = 0$
કારણ કે પ્રથમ હારના તમામ ઘટકો $0$ છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta = 0$ થાય છે.

(D) સૌ પ્રથમ,પ્રથમ હારમાં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમત શોધો:
$\cos 3\pi = -1$
$\sin 5\pi = 0$
$\tan 7\pi = 0$
હવે,આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકો:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 1\end{array}\right|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| - 0 + 0$
$\Delta = -1 \times (1 \times 1 - 0 \times 0) = -1 \times 1 = -1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(y) = 2 \ln(x+3) + 3 \ln(x+4) + 4 \ln(x+5)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x+4} + \frac{4}{x+5}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x+4} + \frac{4}{x+5} \right)$.
આ સરવાળાને $\sum_{i=2}^4 \frac{i}{x+i+1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$i=2$ માટે: $\frac{2}{x+2+1} = \frac{2}{x+3}$.
$i=3$ માટે: $\frac{3}{x+3+1} = \frac{3}{x+4}$.
$i=4$ માટે: $\frac{4}{x+4+1} = \frac{4}{x+5}$.
તેથી,વિકલન $y \sum_{i=2}^4 \left( \frac{i}{x+i+1} \right)$ છે,જે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ છે કે $y = \log_e(\log_e x)$.
સૌ પ્રથમ,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x \log_e x} = (x \log_e x)^{-1}$.
હવે,ઘાતનો નિયમ અને ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -1(x \log_e x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log_e x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log_e x)^2} \cdot [1 \cdot \log_e x + x \cdot \frac{1}{x}] = -\frac{\log_e x + 1}{x^2 (\log_e x)^2}$.
કારણ કે $\log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{\log_e(ex)}{x^2 (\log_e x)^2}$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = a$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવા જોઈએ.
ચોક્કસ રીતે,$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$.
આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} cx + 1, & x \leq 3 \\ dx + 3, & x > 3 \end{cases}$.
$x = 3$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 3^-} (cx + 1) = 3c + 1$.
$x = 3$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 3^+} (dx + 3) = 3d + 3$.
કારણ કે $f$ એ $x = 3$ આગળ સતત છે,તેથી $3c + 1 = 3d + 3$.
પદોને ગોઠવતા: $3c - 3d = 3 - 1$.
$3(c - d) = 2$.
$c - d = \frac{2}{3}$.
આપણે $d - c$ શોધવાનું છે,તેથી $d - c = -(c - d) = -\frac{2}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ મેળવીએ છીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 = \frac{1}{x^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
આપણે દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 2 > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = -1$ માટે,$f''(-1) = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$ છે.

(D) $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ માટે,આપણી પાસે $\sin x < 0$ છે.
તેથી,$f(x) = |\sin x| = -\sin x$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન શોધીએ: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$.
અંતરાલ $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ માં,$\cos x$ ધન છે (કારણ કે તે ચોથા ચરણમાં છે).
આમ,$f'(x) = -\cos x < 0$ દરેક $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ માટે.
વિકલન ચુસ્તપણે ઋણ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ આપેલ અંતરાલ પર ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \cdot dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે $x = \sin \theta$ આદેશ લઈએ.
તેથી,$dx = \cos \theta \cdot d\theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos \theta \cdot d\theta}{\sin^2 \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \int \frac{\cos \theta \cdot d\theta}{\sin^2 \theta \cdot \cos \theta} = \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \cdot d\theta = \int \csc^2 \theta \cdot d\theta$.
$\csc^2 \theta$ નું સંકલન $-\cot \theta + C$ થાય છે.
કારણ કે $x = \sin \theta$,તેથી $\sin \theta = x$.
ત્યારે $\cos \theta = \sqrt{1-x^2}$,તેથી $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
આમ,$I = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int x^2 \sqrt{8-x^6} \, dx$.
$u = x^3$ આદેશ લેતા,$du = 3x^2 \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$.
તેથી સંકલન $I = \frac{1}{3} \int \sqrt{8-u^2} \, du$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2-u^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{u}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a^2 = 8$ (તેથી $a = 2\sqrt{2}$):
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{8-u^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \left(\frac{u}{2\sqrt{2}}\right) \right] + C$.
$u = x^3$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{2} \sqrt{8-x^6} + 4 \sin^{-1} \left(\frac{x^3}{2\sqrt{2}}\right) \right] + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \cos 2x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = \cos 2x$ અને $v = e^x$ લો.
$I = \cos 2x \cdot e^x - \int (-2 \sin 2x) \cdot e^x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx$.
ફરીથી $\int e^x \sin 2x \, dx$ માટે $u = \sin 2x$ અને $v = e^x$ લઈને ખંડશઃ સંકલન કરતા:
$\int e^x \sin 2x \, dx = \sin 2x \cdot e^x - \int (2 \cos 2x) \cdot e^x \, dx = e^x \sin 2x - 2I$.
આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = e^x \cos 2x + 2(e^x \sin 2x - 2I) = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4I$.
$5I = e^x(\cos 2x + 2 \sin 2x)$.
$I = \frac{e^x}{5}(\cos 2x + 2 \sin 2x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y dx - x dy = 2y^2 dy$.
બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા (જ્યાં $y \neq 0$): $\frac{y dx - x dy}{y^2} = 2 dy$.
ભાગાકારના વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $d\left(\frac{x}{y}\right) = 2 dy$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int d\left(\frac{x}{y}\right) = \int 2 dy$.
આથી $\frac{x}{y} = 2y + C$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણને $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = e^{\ln|y|^{-1}} = \frac{1}{y}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^3+\left(y^{\prime \prime}\right)^4+\left(y^{\prime}\right)^4+y=7$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $y^{\prime \prime \prime}$ છે,જેની કક્ષા $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાતાંક.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $y^{\prime \prime \prime}$ છે અને તેનો ઘાતાંક $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $3$ અને $3$ છે.

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$,જે $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$ આપે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\ln|y| = \ln|x^2| + C$,અથવા $y = kx^2$ મળે છે,જ્યાં $k = e^C$.
વક્ર બિંદુ $(3, -4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ: $-4 = k(3)^2$,જેનો અર્થ છે $-4 = 9k$,તેથી $k = -\frac{4}{9}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = -\frac{4}{9}x^2$ છે,જેને $4x^2 + 9y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} - y = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $x \frac{dy}{dx} = y$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
આનાથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|cx|$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ છે.
આપણે તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^2} + \frac{y}{1+x^2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \left(\frac{1}{1+x^2}\right)y = \frac{x}{1+x^2}$ મળે છે.
આ સુરેખ વિકલ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{x}{1+x^2}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = y \tan x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \tan x \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx$.
આથી મળે: $\ln |y| = \ln |\sec x| + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|y| = e^{\ln |\sec x| + C} = e^C \cdot |\sec x|$.
ધારો કે $e^C = k$,તેથી $y = k \sec x$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = k \sec(0) \implies 1 = k(1) \implies k = 1$.
$k = 1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને વિશિષ્ટ ઉકેલ મળે છે: $y = \sec x$.

(C) ધારો કે $\vec{u} = (a, 2)$ અને $\vec{v} = (a, -2)$.
આપેલ છે કે $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$ છે.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(a) + (2)(-2) = a^2 - 4$.
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + (-2)^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $a^2 - 4 = \sqrt{a^2 + 4} \cdot \sqrt{a^2 + 4} \cdot \cos(\frac{\pi}{3})$.
$a^2 - 4 = (a^2 + 4) \cdot \frac{1}{2}$.
$2(a^2 - 4) = a^2 + 4$.
$2a^2 - 8 = a^2 + 4$.
$a^2 = 12$.
$a = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(D) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ જેની પાસપાસેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}|$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |2((-1)(-1) - (1)(1)) - 1((3)(-1) - (1)(-1)) + 1((3)(1) - (-1)(-1))|$
$V = |2(1 - 1) - 1(-3 + 1) + 1(3 - 1)|$
$V = |2(0) - 1(-2) + 1(2)|$
$V = |0 + 2 + 2| = |4| = 4$
આમ,ઘનફળ $4$ ઘન એકમ છે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (2)(2) + (-1)(2) = -1 + 4 - 2 = 1$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું મૂલ્ય $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ શોધો.
આમ,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $1/3$ ન હોવાથી,જો $\vec{b}$ નું મૂલ્ય $\sqrt{6}$ લેવામાં આવે તો જવાબ $1/\sqrt{6}$ મળે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો ગણાય.

(C) આપણે સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
આ સૂત્ર $(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x}$ માટે લાગુ પાડતા:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{x} - (\vec{x} \cdot \vec{x})\vec{y}$.
આપેલ છે કે $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$,તેથી $\vec{y} \cdot \vec{x} = 0$.
વળી,$|\vec{x}| = 1$,તેથી $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 = 1^2 = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (0)\vec{x} - (1)\vec{y} = -\vec{y}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$.
અહીં $\vec{d_1} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(0 - 1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
રેખા $1$: $\frac{2x-5}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
પ્રથમ રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખતા:
$\frac{2(x - 5/2)}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1} \implies \frac{x - 5/2}{k/2} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (k/2, -5, 1)$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_2} = (1, 2, 3)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય:
$(k/2)(1) + (-5)(2) + (1)(3) = 0$.
$k/2 - 10 + 3 = 0$.
$k/2 - 7 = 0$.
$k/2 = 7$.
$k = 14$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$.
રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ ના પ્રમાણમાં હોય,તેથી $(a, b, c) = (1, 0, 0)$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-0}{0}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ $(LP)$ સમસ્યામાં,ઉદ્દેશ્ય વિધેય એ $Z = ax + by$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે. આ તે વિધેય છે જેને અમુક મર્યાદાઓને આધીન રહીને મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બનાવવાનું હોય છે. તેથી,તે અનુકૂલન (optimize) કરવા માટેનું વિધેય છે.

(B) $Z = px + qy$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલા બિંદુઓ $(3, 3)$ અને $(1, 5)$ છે.
$Z(3, 3) = p(3) + q(3) = 3p + 3q$.
$Z(1, 5) = p(1) + q(5) = p + 5q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p + 3q = p + 5q$.
$3p - p = 5q - 3q$.
$2p = 2q$.
$p = q$.
તેથી,શરત $p = q$ છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x - 20y + 30$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) - 20(0) + 30 = 30$
$2$. $A(10,0)$ પર: $Z = 10(10) - 20(0) + 30 = 100 + 30 = 130$
$3$. $B(0,20)$ પર: $Z = 10(0) - 20(20) + 30 = -400 + 30 = -370$
$4$. $C(15,15)$ પર: $Z = 10(15) - 20(15) + 30 = 150 - 300 + 30 = -120$
આ કિંમતો $(30, 130, -370, -120)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-370$ છે જે શિરોબિંદુ $B(0,20)$ પર મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 2x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. બિંદુ $A (20, 10)$ પર: $Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$.
$2$. બિંદુ $B (18, 12)$ પર: $Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$.
$3$. બિંદુ $C (12, 12)$ પર: $Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$.
કિંમતો $70$,$72$,અને $60$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $72$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ (feasible solution) એટલે એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ જે $LP$ સમસ્યાના તમામ આપેલા અવરોધોને એકસાથે સંતોષે છે,જેમાં અન-ઋણતા (non-negativity) ના અવરોધોનો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $P(E)=0.8$,$P(F)=0.5$,અને $P(F \mid E)=0.4$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(F \mid E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}$.
કિંમતો મૂકતા,$0.4 = \frac{P(E \cap F)}{0.8}$.
તેથી,$P(E \cap F) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$.
હવે,આપણે $P(E \mid F)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$P(E \mid F) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{5}$ છે.
સફળતાની સંભાવના (વિદ્યાર્થી ગાયક છે) $p = \frac{1}{5}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના (વિદ્યાર્થી ગાયક નથી) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે $x = 4$ વિદ્યાર્થીઓ ગાયક હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(\frac{4}{5}\right)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times \left(\frac{1}{5}\right)^4 \times \frac{4}{5}$.
$P(X = 4) = 5 \times \frac{1}{5^4} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5^4} = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
આમ,$\sum_{x=1}^{4} P(x) = 1$.
આપેલ છે કે $P(x) = \frac{c}{3} \binom{4}{x}$,તેથી:
$\frac{c}{3} [\binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4}] = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} = 2^n$.
તેથી,$\binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 2^4 = 16$.
કારણ કે $\binom{4}{0} = 1$,તેથી $\binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 16 - 1 = 15$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{c}{3} \times 15 = 1$.
$5c = 1$.
$c = \frac{1}{5}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
આપણે બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
સ્વતંત્ર ઘટનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
અહીં $P(A \cup B) = 0.5$ અને $P(A) = 0.2$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$0.5 = 0.2 + P(B) - 0.2 \cdot P(B)$.
$0.5 - 0.2 = P(B)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.