GSEB 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = x^2 + 4x + 5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીત અથવા વિકલનનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
રીત $1$: પૂર્ણવર્ગની રીત
$f(x) = x^2 + 4x + 4 + 1$
$f(x) = (x + 2)^2 + 1$
બધા $x \in R$ માટે $(x + 2)^2 \ge 0$ હોવાથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 1 = 1$ થાય છે.
રીત $2$: વિકલનની રીત
$f'(x) = 2x + 4$
$f'(x) = 0$ લેતા,$2x + 4 = 0$,તેથી $x = -2$.
$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}(x)$ એ સાઈન વિધેય $f(x) = \sin(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે.
સાઈન વિધેય માટે,તેનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રતિવિધેયનો પ્રદેશ એ મૂળ વિધેયના વિસ્તાર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\sin^{-1}(x)$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec ^2(\theta) = 1 + \tan ^2(\theta)$ અને $\operatorname{cosec}^2(\theta) = 1 + \cot ^2(\theta)$.
ધારો કે $\theta_1 = \tan ^{-1} 3$,તો $\tan(\theta_1) = 3$.
ધારો કે $\theta_2 = \cot ^{-1} 3$,તો $\cot(\theta_2) = 3$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$10 + 10 = 20$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(x)$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ પદ $\sin^{-1}\left(\sin \frac{5\pi}{3}\right)$ છે.
પ્રથમ,સાઈન વિધેયની અંદરના ખૂણાને સરળ બનાવો:
$\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta)$,તેથી:
$\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
હવે,આ કિંમતને પદમાં પાછી મૂકો:
$\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,તેથી કિંમત $-\frac{\pi}{3}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in [-1, 1]$ માટે,નિત્યસમ $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ સાચું છે.
આપેલ પદાવલિ $\cos \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$ છે.
ધારો કે $x = -\frac{1}{4}$. કારણ કે $x \in [-1, 1]$,આપણે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,તેથી અંતિમ જવાબ $0$ છે.

(C) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{rr}\sin 35^{\circ} & -\cos 35^{\circ} \\ \sin 55^{\circ} & \cos 55^{\circ}\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આપેલ શ્રેણિક પર આ લાગુ પાડતા:
$= (\sin 35^{\circ})(\cos 55^{\circ}) - (-\cos 35^{\circ})(\sin 55^{\circ})$
$= \sin 35^{\circ} \cos 55^{\circ} + \cos 35^{\circ} \sin 55^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 35^{\circ}$ અને $B = 55^{\circ}$ છે:
$= \sin(35^{\circ} + 55^{\circ})$
$= \sin(90^{\circ})$
$= 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = at^2$ અને $y = 2at$ છે.
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2at) = 2a$.
પ્રાચલિત વિકલન માટે શૃંખલાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at}$.
અહીં $t \neq 0$ અને $a \neq 0$ હોવાથી,પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $u = \tan^{-1} x$ અને $v = \cot^{-1} x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in R$ માટે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,$u + v = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $u = \frac{\pi}{2} - v$.
હવે,$u$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (\frac{\pi}{2} - v) = 0 - 1 = -1$.
આમ,$\tan^{-1} x$ નું $\cot^{-1} x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $-1$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$.
તેથી,$\log_5 x^2 = \frac{\ln x^2}{\ln 5} = \frac{2 \ln x}{\ln 5}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{2 \ln x}{\ln 5} \right) = \frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$,આપણને મળે છે:
$\frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x \ln 5}$.
કારણ કે $\ln 5 = \log 5$,પરિણામ $\frac{2}{x \log 5}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$.
ધારો કે $f(x) = \tan \frac{x}{2}$,તો $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
આમ,સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x \tan \frac{x}{2} + c$ થાય છે.

(C) સંકલન $I = \int (x^2 + 3x + 2) e^x dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u dv = uv - \int v du$.
ધારો કે $u = x^2 + 3x + 2$ અને $dv = e^x dx$.
તેથી $du = (2x + 3) dx$ અને $v = e^x$ મળે.
$I = (x^2 + 3x + 2) e^x - \int (2x + 3) e^x dx$.
હવે,$\int (2x + 3) e^x dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u_1 = 2x + 3$ અને $dv_1 = e^x dx$.
તેથી $du_1 = 2 dx$ અને $v_1 = e^x$ મળે.
$\int (2x + 3) e^x dx = (2x + 3) e^x - \int 2 e^x dx = (2x + 3) e^x - 2e^x = (2x + 1) e^x$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = (x^2 + 3x + 2) e^x - (2x + 1) e^x + C$.
$I = (x^2 + 3x + 2 - 2x - 1) e^x + C$.
$I = (x^2 + x + 1) e^x + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^\pi \sin^2(\pi - x) \cos^3(\pi - x) \, dx$.
કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \sin^2 x (-\cos x)^3 \, dx = -\int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx$.
આમ,$I = -I$,જેનો અર્થ છે કે $2I = 0$,તેથી $I = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $2x \frac{dy}{dx} = y$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$.
આથી મળે છે: $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$.
શરત $y(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(2) = \frac{1}{2} \ln(1) + C \implies C = \ln(2)$.
$C$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\ln(y) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(2) = \ln(2\sqrt{x})$.
આમ,$y = 2\sqrt{x}$,જેનો અર્થ છે $y^2 = 4x$.
સમીકરણ $y^2 = 4ax$ એ પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{\log x} = x$,તેથી સંકલ્યકારક અવયવ $x$ મળે છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right)^{1/3}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.
સૌથી વધુ વિકલનનો ક્રમ $2$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
વળી,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$,તેથી $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = \sin^2 \theta$.
હવે,પદાવલિ $\left|\frac{\bar{a} \cdot \bar{a}}{\bar{a} \cdot \bar{b}} \cdot \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{\bar{b} \cdot \bar{b}}\right| = \left|\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{1}\right| = 1$.
આમ,કુલ પદાવલિ $1 + \sin^2 \theta$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1 - \cos 2\theta$ છે.

(A) $m \angle A$ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\vec{AB} = B - A = (2 - 3, 3 - (-1)) = (-1, 4)$.
$\vec{AC} = C - A = (5 - 3, 1 - (-1)) = (2, 2)$.
બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(2) + (4)(2) = -2 + 8 = 6$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\cos A = \frac{6}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{34}}$.
તેથી,$m \angle A = \cos^{-1} \frac{3}{\sqrt{34}}$.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{b} = \hat{i}$ છે.
$\vec{a}$ નો $\hat{i}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\vec{a} \cdot \hat{i} = (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{i} = -1$ થાય.
પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય (magnitude) એ અદિશ પ્રક્ષેપનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
મૂલ્ય $= |-1| = 1$.

(B) $\vec{x} = (2, 3, \sqrt{3})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{x}$ શોધવા માટે,આપણે $\hat{x} = \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,માન $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2}$ ની ગણતરી કરો.
$|\vec{x}| = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4$.
હવે,$\vec{x}$ ના દરેક ઘટકને માન $4$ વડે ભાગો:
$\hat{x} = \left(\frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બે રેખાઓ જેના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ $\frac{x-5}{7}=\frac{y-5}{k}=\frac{z-2}{1}$ અને $\frac{x}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{3}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(7, k, 1)$ છે અને બીજી રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી:
$(7)(1) + (k)(2) + (1)(3) = 0$
$7 + 2k + 3 = 0$
$10 + 2k = 0$
$2k = -10$
$k = -5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) જો હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળતું હોય,તો આ બે બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલા બિંદુઓ $(15, 15)$ અને $(5, 25)$ છે.
$z(15, 15) = z(5, 25)$ લેતા:
$p(15) + q(15) = p(5) + q(25)$
$15p + 15q = 5p + 25q$
$15p - 5p = 25q - 15q$
$10p = 10q$
$p = q$
આમ,શરત $p = q$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{x=0}^{4} P(x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{4} C \binom{4}{x} = 1$.
$C \sum_{x=0}^{4} \binom{4}{x} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ થાય છે.
$n = 4$ માટે,$\sum_{x=0}^{4} \binom{4}{x} = 2^4 = 16$.
તેથી,$C \times 16 = 1$.
$C = \frac{1}{16}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,વિચરણનું સૂત્ર $Var(X) = n \times p \times q$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
અહીં $n = 5$ અને $p = 0.30$ આપેલ છે.
તેથી $q = 1 - 0.30 = 0.70$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Var(X) = 5 \times 0.30 \times 0.70$
$Var(X) = 1.5 \times 0.70 = 1.05$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે બે ઘટનાઓના યોગગણનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 0.4 + p - (0.4 \cdot p)$.
$0.6 = 0.4 + p - 0.4p$.
$0.6 - 0.4 = p(1 - 0.4)$.
$0.2 = 0.6p$.
$p = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ માટે,$P(A) + P(A^{\prime}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$.
આને શરતી સંભાવના $P(A \mid B^{\prime})$ પર લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$P(A \mid B^{\prime}) = 1 - P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$.
આ શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મ પરથી આવે છે જ્યાં સમાન શરત હેઠળ પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.