GSEB 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $f: N \rightarrow N$ માટે $f(x) = x^3$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
$1$. એક-એક ચકાસણી: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તેથી $x_1^3 = x_2^3$. $x_1, x_2 \in N$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$. આમ,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર સહ-પ્રદેશ $(N)$ જેટલો હોવો જોઈએ. જો $y = 2 \in N$ (સહ-પ્રદેશ) લઈએ,તો એવો કોઈ $x \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $x^3 = 2$ થાય (કારણ કે $\sqrt[3]{2} \notin N$). આમ,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,આ વિધેય એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) આપેલ સંબંધ $S = \{(a, b) : a < b^2\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા માટે: શું $(a, a) \in S$ છે? એટલે કે,શું $a < a^2$ છે? જો આપણે $a = 0.5$ લઈએ,તો $0.5 < (0.5)^2 = 0.25$ થાય,જે અસત્ય છે. તેથી,તે સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા માટે: શું $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ છે? ધારો કે $(1, 2) \in S$ કારણ કે $1 < 2^2 = 4$ સત્ય છે. પરંતુ $(2, 1) \notin S$ કારણ કે $2 < 1^2 = 1$ અસત્ય છે. તેથી,તે સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા માટે: શું $(a, b) \in S$ અને $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ છે? ધારો કે $(3, 2) \in S$ $(3 < 4)$ અને $(2, 1.5) \in S$ $(2 < 2.25)$. પરંતુ $(3, 1.5) \notin S$ કારણ કે $3 < (1.5)^2 = 2.25$ અસત્ય છે. તેથી,તે પરંપરિત નથી.
આમ,આ સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત કે પરંપરિત નથી,તેથી તે સામ્ય સંબંધ નથી.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sin^{-1} \left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ છે,તેથી પદાવલિ $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) શ્રેણિક $X$ અને $Y$ માટે સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ $X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
$(2)$ $X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરીશું:
$(X + Y) + (X - Y) = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,જે $3 \times 1$ શ્રેણિક છે. તેથી,$A$ એ $1 \times 3$ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$,જે $1 \times 3$ શ્રેણિક છે. તેથી,$B$ એ $3 \times 1$ શ્રેણિક છે.
આપણે $(BA)^{\prime}$ શોધવાનું છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(BA)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime}$.
અહીં $A^{\prime}$ એ $3 \times 1$ છે અને $B^{\prime}$ એ $1 \times 3$ છે.
તેથી,$A^{\prime} B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 8 & 6 & 4 \\ 12 & 9 & 6 \end{bmatrix}$.
આ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જે એક ચોરસ શ્રેણિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A| = ad - bc$ અને $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14$ શોધો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને એડજોઈન્ટ (adj) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
આ જવાબ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(k, 0), (4, 0)$ અને $(0, 2)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $= 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |k(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$.
$4 = \frac{1}{2} |-2k + 8|$.
$8 = |-2k + 8|$.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
કિસ્સો $1$: $-2k + 8 = 8 \implies -2k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: $-2k + 8 = -8 \implies -2k = -16 \implies k = 8$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
હવે,પ્રથમ હાર $R_1$ માંથી $(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં હાર $R_1$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $x = a(1 - \cos \theta)$ અને $y = a(\theta + \sin \theta)$.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a(1 + \cos \theta)}{a \sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = \cot \frac{\theta}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x$ માટેનું ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ આ મુજબ છે:
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x)$
વિકલન માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(ax)$ નું વિકલન $a \cos(ax)$ થાય છે:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત હોવા માટે,લક્ષ $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ થવું જોઈએ.
અહીં $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$. જ્યારે $x \to \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $h \to 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,તેથી લક્ષ $\frac{k}{2}$ મળે છે.
આને $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ સાથે સરખાવતા,$\frac{k}{2} = \frac{1}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.

(A) વિધેય $f(x) = 10 - 6x - 2x^2$ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(10 - 6x - 2x^2) = -6 - 4x$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$-6 - 4x > 0$
$-4x > 6$
$-4$ વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$x < -\frac{6}{4}$
$x < -\frac{3}{2}$.
આમ,વિધેય $(-\infty, -\frac{3}{2})$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સંકલન $I = \int \sqrt{3-2x-x^2} \, dx$ ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ બનાવો:
$3-2x-x^2 = 4 - (x^2+2x+1) = 2^2 - (x+1)^2$.
હવે,સંકલન $I = \int \sqrt{2^2 - (x+1)^2} \, dx$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x+1$ અને $a = 2$:
$I = \frac{x+1}{2} \sqrt{2^2 - (x+1)^2} + \frac{2^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{3-2x-x^2} + 2 \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે સંકલન $I = \int \log x^2 \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ મુજબ,$\log x^2 = 2 \log x$.
તેથી,$I = \int 2 \log x \, dx = 2 \int \log x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log x \, dx = x \log x - x + C_1$.
તેથી,$I = 2(x \log x - x) + C = 2x \log x - 2x + C$.
આને આપણે $2x(\log x - 1) = 2x(\log x - \log e) = 2x \log \left(\frac{x}{e}\right) + C$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}}$.
આપણે $\sqrt{\cot x} = \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$ લખી શકીએ,તેથી $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,આપણને મળે છે:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) સંકલન $I = \int_0^1 \sin^{-1} x \, dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીશું: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = [x \sin^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી કરતા: $[1 \cdot \sin^{-1}(1) - 0 \cdot \sin^{-1}(0)] = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $t = 1 - x^2$,તેથી $dt = -2x \, dx$ અથવા $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$.
જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=1, t=0$.
$-\int_1^0 \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \int_0^1 t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_0^1 = -\frac{1}{2} [2] = -1$.
આમ,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y^2}{4}$.
પ્રદેશ $Y$-અક્ષ $(x = 0)$,વક્ર $x = \frac{y^2}{4}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -\frac{\pi}{2}$ થી $x = \pi$ સુધી વિધેય $y = \cos x$ ના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\cos x| \, dx$.
$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x \ge 0$ અને $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ માટે $\cos x \le 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} -\cos x \, dx = [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -(\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}) = -(0 - 1) = 1$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 + 1 = 3$ ચોરસ એકમ.

(D) વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ એ વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવતો ઉકેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ પણ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
તેથી,કોઈપણ ક્રમના વિકલ સમીકરણ માટે,જેમાં ચોથા ક્રમનું વિકલ સમીકરણ પણ આવી જાય છે,તેના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $0$ હોય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$.
બંને બાજુ $\tan x \tan y$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = C_1$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $v = \tan y$,તો $dv = \sec^2 y \, dy$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{u} \, du + \int \frac{1}{v} \, dv = C_1$.
$\ln|u| + \ln|v| = C_1$.
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C_1$.
ગુણધર્મ $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln|\tan x \tan y| = C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$|\tan x \tan y| = e^{C_1}$.
ધારો કે $e^{C_1} = c$,તેથી $\tan x \tan y = c$.

(D) વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ માં,પદ $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ એ વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ નું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આ પદને વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું ન હોવાથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{a}-\vec{b}$ એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{a}-\vec{b}| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $1^2 = 1^2 + 1^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$.
$1 = 1 + 1 - 2(1)(1) \cos \theta$.
$1 = 2 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$ ગણો.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{0}{|\vec{b}|} = 0$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણને આપેલ છે કે સદિશ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = 1$ છે અને સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = 2$ છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ આપેલ છે.
બે સદિશોના અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$1 = (1)(2) \cos \theta$
$1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $60^{\circ}$) થાય.

(A) પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો શોધો: $\vec{a} + \vec{b} = (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (2-1) \hat{i} + (-1+1) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
ત્યારબાદ,પરિણામી સદિશનું માન શોધો: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$\vec{a} + \vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.
$\sqrt{2}$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,તે સદિશો સમરેખ હોવા જોઈએ.
તેથી,$(2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 27 \hat{k}) = k (\hat{i} + \lambda \hat{j} + \mu \hat{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2 = k \implies k = 2$
$6 = k \lambda \implies 6 = 2 \lambda \implies \lambda = 3$
$27 = k \mu \implies 27 = 2 \mu \implies \mu = \frac{27}{2}$
તેથી,$\lambda + \mu = 3 + \frac{27}{2} = \frac{6 + 27}{2} = \frac{33}{2}$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(1,1)$ પર મળે તે માટે,આ બંને બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$(3,0)$ આગળ: $Z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ આગળ: $Z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
$Z_1$ અને $Z_2$ ને સરખાવતા:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
આમ,બંને બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે તે માટેની શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(A) કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગગણની સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
જ્યારે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય,ત્યારે $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને પૂરક ઘટનાઓ $A'$ અને $B'$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકીએ છીએ:
$P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)') = 1 - P(A' \cap B')$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે,તેથી $A'$ અને $B'$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(A' \cap B') = P(A') P(B')$.
આમ,$P(A \cup B) = 1 - P(A') P(B')$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $2 P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}$.
આપેલ છે કે $P(B) = \frac{5}{13}$.
આપેલ છે કે $P(A \mid B) = \frac{2}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
તેથી,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
આપણે સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \frac{11}{26}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે બે ઘટનાઓના યોગગણ માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{2} P(B)$.
$\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = P(B) (1 - \frac{1}{2})$.
$\frac{6-5}{10} = P(B) (\frac{1}{2})$.
$\frac{1}{10} = P(B) \cdot \frac{1}{2}$.
$P(B) = \frac{2}{10} = 0.2$.