GSEB 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ગણ $A$ પરનો સંબંધ $R$ એ સામ્ય સંબંધ કહેવાય જો તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોય.
$1$. સ્વવાચક: દરેક $a \in A$ માટે,$(a, a) \in R$. અહીં,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ છે,તેથી તે સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં બધા ઘટકો $(a, a)$ સ્વરૂપના હોવાથી,તેમની અદલાબદલી કરવાથી સમાન જોડ મળે છે,તેથી તે સંમિત છે.
$3$. પરંપરિત: જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. આ સંબંધ માટે,આ શરતનું પાલન થાય છે કારણ કે અહીં કોઈ અલગ $(a, b)$ અને $(b, c)$ જોડો નથી જે અલગ $(a, c)$ ની માંગ કરે.
આમ,$R$ ત્રણેય ગુણધર્મોનું પાલન કરે છે,તેથી તે સામ્ય સંબંધ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.
પ્રથમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})$ શોધો.
$f(x)$ ને વિધેયમાં મૂકતા: $f(f(x)) = (3 - ((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})^3)^{\frac{1}{3}}$.
સાદું રૂપ આપતા: $f(f(x)) = (3 - (3 - x^3))^{\frac{1}{3}} = (3 - 3 + x^3)^{\frac{1}{3}} = (x^3)^{\frac{1}{3}} = x$.
હવે,$f \circ (f \circ f)(x) = f(f(f(x))) = f(x)$ શોધો.
તેથી,$f \circ (f \circ f)(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.

(D) પ્રતિ-કોસાઇન વિધેય (inverse cosine function) ની મુખ્ય કિંમતની શાખા,જેને $\cos^{-1} x$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે અંતરાલ $[0, \pi]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,જો $\cos^{-1} x = y$ હોય,તો $y$ નો વિસ્તાર $0 \leq y \leq \pi$ હોવો જોઈએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. તેથી,$\cos(-680^{\circ}) = \cos(680^{\circ})$.
આપણે $680^{\circ}$ ને $720^{\circ} - 40^{\circ}$ તરીકે લખી શકીએ,જે $4\pi - 40^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos(2n\pi - \theta) = \cos(\theta)$,તેથી $\cos(680^{\circ}) = \cos(40^{\circ})$.
$\cos^{-1}(x)$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા $[0, \pi]$ છે.
આમ,$\cos^{-1}[\cos(40^{\circ})] = 40^{\circ}$.
$40^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $40 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટેનું નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $|x| \geq 1$.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\cos \left[\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x\right] = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,તેથી આ પદની કિંમત $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $y = \cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$.
તેથી $\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1} x$ ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે.
કારણ કે $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\cot\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\frac{2\pi}{3} \in (0, \pi)$,તેથી મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{2\pi}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
અહીં,સામેની બાજુ $x$ છે અને પાસેની બાજુ $1$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ થાય.
હવે,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
તેથી,$\cos (\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3})$ છે.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$.
કારણ કે $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ અને $\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ છે,
આ કિંમતો મૂકતા:
$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3}) = (\pi - \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3}$.
$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમત શાખાનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
આપેલ પદ $\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right)$ છે.
કારણ કે $\frac{7 \pi}{6}$ એ અંતરાલ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં નથી,તેથી આપણે પદનું સાદું રૂપ આપીશું.
$\sin \frac{7 \pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
હવે,$\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,તેથી કિંમત $-\frac{\pi}{6}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A^2 = A$.
આપણે $(I + A)^3 - 8A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
શ્રેણિક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$.
$I^n = I$ અને $I \times A = A$ હોવાથી,આ પદ $I + 3A + 3A^2 + A^3$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$A^2 = A$ આપેલ હોવાથી,આપણે $A^2$ ની જગ્યાએ $A$ મૂકી શકીએ:
$A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3(A) + A = I + 7A$.
હવે,$8A$ બાદ કરતા:
$(I + 7A) - 8A = I - A$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
તેથી પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A + A^{\prime} = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ અને $A^{\prime}$ નો સરવાળો કરતા:
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha + \sin \alpha & -\cos \alpha + \cos \alpha \\ \cos \alpha - \cos \alpha & \sin \alpha + \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
તેને $I$ સાથે સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આથી $2 \sin \alpha = 1$,એટલે કે $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ માટે $\alpha$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\alpha = \frac{\pi}{6}$ છે.

(C) અહીં આપણને શ્રેણિકો $A$ અને $B$ આપેલા છે. આપણે $A - B$ શોધવાનું છે.
$A - B = \frac{1}{\pi} \left[ \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} \right]$
અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરતા:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) - (-\cos^{-1}(\pi x)) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) - (-\tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
બંને બાજુના નિશ્ચાયકોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2\sqrt{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં શિરોબિંદુઓ $(-2, 0)$,$(0, 4)$ અને $(0, k)$ આપેલ છે અને ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{1}{2} |-2(4 - k) + 0(k - 0) + 0(0 - 4)|$
$4 = \frac{1}{2} |-8 + 2k|$
$8 = |-8 + 2k|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $-8 + 2k = 8 \implies 2k = 16 \implies k = 8$
કિસ્સો $2$: $-8 + 2k = -8 \implies 2k = 0 \implies k = 0$
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરીએ:
$\operatorname{det}(A) = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (-1)) + (-1)(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(\cos \theta + 1) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1 + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos \theta - \cos^2 \theta + 1$
$\operatorname{det}(A) = \cos^2 \theta + \cos \theta + 2$
આપેલ છે કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < \cos \theta < 1$ થાય.
ધારો કે $f(x) = x^2 + x + 2$ જ્યાં $x = \cos \theta$ છે.
કારણ કે $x \in (0, 1)$,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $(0^2 + 0 + 2, 1^2 + 1 + 2) = (2, 4)$ થશે.
આમ,$\operatorname{det}(A) \in (2, 4)$.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેનો નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$ શોધીએ છીએ.
અહીં $A = \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે,તેથી નિશ્ચાયક $|A| = (8)(1) - (-2)(-4) = 8 - 8 = 0$ થાય.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
અસામાન્ય શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
તેથી,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(A) ધારો કે $y = \cos^{-1}(\sin x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $y = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$ મળે છે.
કારણ કે $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$,તેથી $y = \frac{\pi}{2} - x$.
હવે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - x) = 0 - 1 = -1$.
આમ,વિકલિત $-1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $e^y(x+1)=1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(e^y) + \ln(x+1) = \ln(1)$.
$y + \ln(x+1) = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x+1} = 0$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
કારણ કે $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$.
આમ,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.

(A) સંકલન $I = \int x^2 e^{x^3} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = x^3$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $du = 3x^2 dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{1}{3} du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^u \cdot \frac{1}{3} du$
$I = \frac{1}{3} \int e^u du$
$I = \frac{1}{3} e^u + c$
હવે $u = x^3$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} e^{x^3} + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x$.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$.
$I$ ના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 d x$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) ધારો કે $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$.
આપણે ચકાસીએ કે વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ.
$f(-x) = \sin^5(-x) \cos^4(-x) = (-\sin x)^5 (\cos x)^4 = -\sin^5 x \cos^4 x = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+\tan^5 x) dx$.
આપણે આને ત્રણ સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x dx$.
નિશ્ચિત સંકલનનો ગુણધર્મ યાદ કરો: જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$,અને જો $f(x)$ યુગ્મ વિધેય હોય તો $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$.
$f_1(x) = x^3$ માટે,$f_1(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f_1(x)$,તેથી તે અયુગ્મ વિધેય છે. આમ,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx = 0$.
$f_2(x) = \cos x$ માટે,$f_2(-x) = \cos(-x) = \cos x = f_2(x)$,તેથી તે યુગ્મ વિધેય છે. આમ,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(1-0) = 2$.
$f_3(x) = \tan^5 x$ માટે,$f_3(-x) = \tan^5(-x) = -\tan^5 x = -f_3(x)$,તેથી તે અયુગ્મ વિધેય છે. આમ,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x dx = 0$.
તેથી,$I = 0 + 2 + 0 = 2$.

(A) $\int \sqrt{x^2+4x+1} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,પહેલા વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ બનાવો:
$x^2+4x+1 = (x^2+4x+4) - 3 = (x+2)^2 - (\sqrt{3})^2$.
હવે સંકલન $\int \sqrt{(x+2)^2 - (\sqrt{3})^2} \, dx$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{t^2-a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x+2$ અને $a = \sqrt{3}$ છે:
$= \frac{x+2}{2} \sqrt{(x+2)^2 - 3} - \frac{3}{2} \log |(x+2) + \sqrt{(x+2)^2 - 3}| + C$.
$= \frac{x+2}{2} \sqrt{x^2+4x+1} - \frac{3}{2} \log |x+2 + \sqrt{x^2+4x+1}| + C$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^{ax} \sin(bx+c) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [a \sin(bx+c) - b \cos(bx+c)] + C$.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,અને અચળ પદ $-5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\int e^{3x} \sin(4x-5) dx = \frac{e^{3x}}{3^2 + 4^2} [3 \sin(4x-5) - 4 \cos(4x-5)] + C$.
$= \frac{e^{3x}}{9 + 16} [3 \sin(4x-5) - 4 \cos(4x-5)] + C$.
$= \frac{e^{3x}}{25} [3 \sin(4x-5) - 4 \cos(4x-5)] + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે $I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
હવે સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} dx$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x - \frac{3}{2}$ અને $a = \frac{1}{2}$:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + C$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદને મૂળ સ્વરૂપમાં લાવતા:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે નિશ્ચિત સંકલન $I = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin x$ નું પ્રતિ-વિકલન $-\cos x$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$I = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$I = -(\cos \pi - \cos 0)$
$I = -(-1 - 1)$
$I = -(-2)$
$I = 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{(x^4+x)^{\frac{1}{4}}}{x^5} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે કૌંસની અંદરના પદમાંથી $x^4$ સામાન્ય કાઢીશું:
$I = \int \frac{(x^4(1+\frac{1}{x^3}))^{\frac{1}{4}}}{x^5} dx$
$I = \int \frac{x(1+\frac{1}{x^3})^{\frac{1}{4}}}{x^5} dx = \int \frac{(1+\frac{1}{x^3})^{\frac{1}{4}}}{x^4} dx$
ધારો કે $u = 1 + \frac{1}{x^3}$. તો $du = -\frac{3}{x^4} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^4} = -\frac{1}{3} du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int u^{\frac{1}{4}} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{4}} du$
$I = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$
$I = -\frac{4}{15} (1+\frac{1}{x^3})^{\frac{5}{4}} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$.
ઘનમૂળની અંદરના પદમાંથી $x^3$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x^3(\frac{1}{x^2}-1))^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{x(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^3} dx$.
ધારો કે $u = \frac{1}{x^2} - 1$. તેથી $du = -\frac{2}{x^3} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{x^3} = -\frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x = \frac{1}{3}$,ત્યારે $u = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = 9 - 1 = 8$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $u = \frac{1}{1^2} - 1 = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_8^0 u^{\frac{1}{3}} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int_0^8 u^{\frac{1}{3}} du$.
$I = \frac{1}{2} [\frac{u^{\frac{4}{3}}}{4/3}]_0^8 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} [u^{\frac{4}{3}}]_0^8 = \frac{3}{8} (8^{\frac{4}{3}} - 0) = \frac{3}{8} (16) = 6$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $I = \frac{1}{2} \int_2^3 \frac{2x}{x^2+1} dx$.
આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = x^2+1$.
તેથી $du = 2x dx$ થાય.
જ્યારે $x=2$,ત્યારે $u = 2^2+1 = 5$.
જ્યારે $x=3$,ત્યારે $u = 3^2+1 = 10$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int_5^{10} \frac{1}{u} du$
$I = \frac{1}{2} [\log |u|]_5^{10}$
$I = \frac{1}{2} (\log 10 - \log 5)$
$I = \frac{1}{2} \log \left(\frac{10}{5}\right)$
$I = \frac{1}{2} \log (2)$.

(C) ધારો કે $I = \int \tan ^8 x \sec ^4 x \, dx$.
આપણે $\sec ^4 x$ ને $\sec ^2 x \cdot \sec ^2 x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \, dx$.
કારણ કે $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$,તેથી:
$I = \int \tan ^8 x (1 + \tan ^2 x) \sec ^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec ^2 x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int u^8 (1 + u^2) \, du = \int (u^8 + u^{10}) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$I = \frac{u^9}{9} + \frac{u^{11}}{11} + c$.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{\tan ^9 x}{9} + \frac{\tan ^{11} x}{11} + c$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
પ્રથમ,સંકલ્યને ફરીથી લખો: $\frac{x^2+1}{(x+1)^2} = \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)+2}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
તો $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
આમ,સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c = \left( \frac{x-1}{x+1} \right) e^x + c$ થાય છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 = 36$ છે।
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
આ સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે।
તેથી, $a = 3$ અને $b = 2$ મળે।
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$A = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi$ ચોરસ એકમ।

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબ એ રેખા $x = a = 3$ છે.
પરવલય અને તેના નાભિલંબ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{12x} \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = 2 \times \sqrt{12} \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx = 2 \times 2\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3}$.
$A = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \times 3\sqrt{3} = 8 \times 3 = 24$ ચોરસ એકમ.

(B) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે ચલ પૃથક્કરણની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
પગલું $1$: $x$ અને $y$ ચલને અલગ કરો:
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$
પગલું $2$: બંને બાજુ સંકલન કરો:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$
પગલું $3$: પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1} u + c$ નો ઉપયોગ કરો:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x \log x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $1+(\frac{dy}{dx})^2=\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}$
કક્ષા અને પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળ દૂર કરીએ છીએ:
$(1+(\frac{dy}{dx})^2)^2 = \frac{d^2y}{dx^2}$
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાત $1$ છે,તેથી પરિમાણ $1$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણ અનુક્રમે $2$ અને $1$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે,બંને બાજુ $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લેતા:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}\right)^6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી કક્ષા $3$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $3$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ છે.
બંને બાજુ $(1-x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{kx}{1-x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ દ્વારા મળે છે.
$IF = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકારના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ:
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot (\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
$= (\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
કારણ કે એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ થાય છે:
$= 1 - 1 + 1 = 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,સાચો જવાબ $\cos^{-1}(1/3)$ છે,જે વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 4(-1)) - \hat{j}(3(1) - 4(1)) + \hat{k}(3(-1) - 1(1))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(-3 - 1)$
$= 5\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-4)^2}$ શોધો.
$= \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,તેમના ડોટ ગુણાકાર અને ક્રોસ ગુણાકાર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=10$,$|\vec{b}|=2$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (12)^2 = (10)^2 (2)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 100 \times 4$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 400$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 400 - 144$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 256$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{256} = 16$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 8$ છે.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 8$.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 8$.
$|\vec{x}|^2 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{x}| = 3$ (કારણ કે માન હંમેશા અ-ઋણ હોય છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{a} = 5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં $8$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $8 \hat{a} = 8 \times \left( \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}} \right) = \frac{40}{\sqrt{30}} \hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}} \hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}} \hat{k}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(2, 3, 4)$ છે,તેથી $x_1 = 2, y_1 = 3, z_1 = 4$.
રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર છે. $Y$-અક્ષના દિશા ગુણોત્તર $(0, 1, 0)$ છે.
તેથી,રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ થશે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x-2}{0} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{0}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $\frac{x+3}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+5}{-6}$ અને $\frac{x-1}{10}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{11}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (2, -3, -6)$ છે અને બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (10, -2, 11)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (-3)(-2) + (-6)(11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-2)^2 + 11^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
આમ,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(C) સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન માટે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત હોય,તો હેતુલક્ષી વિધેય $Z = ax + by$ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંને કિંમતો પ્રાપ્ત કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 4(0) + 3(0) = 0$
$2$. $(25,5)$ પર: $Z = 4(25) + 3(5) = 100 + 15 = 115$
$3$. $(16,16)$ પર: $Z = 4(16) + 3(16) = 64 + 48 = 112$
$4$. $(5,24)$ પર: $Z = 4(5) + 3(24) = 20 + 72 = 92$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $115$ છે,જે $(25,5)$ બિંદુએ મળે છે.

(A) $Z = qx + py$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે શિરોબિંદુઓ $(3,4)$ અને $(0,5)$ પર મળે તે માટે,આ બંને બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(3,4)$ પર,$Z = q(3) + p(4) = 3q + 4p$.
બિંદુ $(0,5)$ પર,$Z = q(0) + p(5) = 5p$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3q + 4p = 5p$.
બંને બાજુથી $4p$ બાદ કરતા,આપણને $3q = p$ મળે છે,એટલે કે $p = 3q$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 4(0) + 0 = 0$
$2$. $(30,0)$ પર: $Z = 4(30) + 0 = 120$
$3$. $(20,30)$ પર: $Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$
$4$. $(0,50)$ પર: $Z = 4(0) + 50 = 50$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(30,0)$ પર $120$ મળે છે.