GSEB 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ के लिए,कलांतर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{|X_C - X_L|}{R}$ है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$ और $R = 100 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{|X_C - X_L|}{R}$,जिसका अर्थ है कि $|X_C - X_L| = R = 100 \ \Omega$ है।
परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$ होगा।
शिखर वोल्टेज $V_m = 240 \ V$ है। अतः $rms$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{240}{\sqrt{2}} \ V$ होगा।
$rms$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{240 / \sqrt{2}}{100\sqrt{2}} = \frac{240}{100 \times 2} = \frac{240}{200} = 1.2 \ A$ प्राप्त होता है।

$(D)$ $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है।
शक्ति गुणांक को शून्य होने के लिए, प्रतिरोध $R$ का मान शून्य होना चाहिए।
श्रेणीक्रम में केवल एक प्रेरक $(L)$ और एक संधारित्र $(C)$ वाले आदर्श परिपथ में, प्रतिरोध $R = 0$ होता है।
इसलिए, शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ होता है।
अतः, सही विकल्प $(D)$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$,उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध $E = -K = U/2$ होता है।
दिया गया है कि मूल अवस्था ऊर्जा $E = -13.6 \ eV$ है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा $U = 2 \times E$ होगी।
$U = 2 \times (-13.6 \ eV) = -27.2 \ eV$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में, कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$, स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और कुल ऊर्जा $(E)$ इस प्रकार संबंधित हैं:
$K = -E$
$U = 2E$
$K = -\frac{U}{2}$
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K = x$ है।
चूंकि $K = -E$, इसलिए $x = -E$, जिसका अर्थ है कि $E = -x$।
अतः, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $-x$ है।

(C) कोणीय संवेग के लिए बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कक्षीय कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
जहाँ:
$m = 6.0 \times 10^{24} \ kg$ (पृथ्वी का द्रव्यमान)
$v = 3 \times 10^{4} \ m/s$ (कक्षीय गति)
$r = 1.5 \times 10^{11} \ m$ (कक्षीय त्रिज्या)
$h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$ (प्लांक नियतांक)
क्वांटम संख्या $n$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$n = \frac{2\pi mvr}{h}$
मान रखने पर:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6.0 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^{4}) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.625 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.625 \times 10^{-34}}$
$n \approx 25.6 \times 10^{73} = 2.56 \times 10^{74} \approx 2.6 \times 10^{74}$
अतः,क्वांटम संख्या $2.6 \times 10^{74}$ है।

(C) थॉमसन के मॉडल और रदरफोर्ड के मॉडल दोनों में, परमाणु को लगभग $10^{-10} \, m$ (या $1 \, \text{Å}$) त्रिज्या वाला एक गोला माना गया है। इसलिए, दोनों मॉडलों में परमाणु का आकार समान है। मॉडलों के बीच का अंतर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के वितरण में है, न कि परमाणु के कुल आकार में। अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_{n} = n^{2} a_{0}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_{0}$ बोहर त्रिज्या है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $r_{1} = (1)^{2} a_{0} = a_{0}$।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ है,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n=3$ है,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n=4$ है)।
इसलिए,तीसरी उत्तेजित अवस्था में त्रिज्या $r_{4} = (4)^{2} a_{0} = 16 a_{0}$ होगी।

(B) उपकरण को दी गई शक्ति $P$,$P = V I$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $I$ तारों से बहने वाली विद्युत धारा है।
इससे,धारा $I$ को $I = \frac{P}{V}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
तारों के सीमित प्रतिरोध $R_C$ के कारण तारों में व्यय होने वाली शक्ति का सूत्र $P_C = I^2 R_C$ है।
$I$ का मान शक्ति हानि के सूत्र में रखने पर,हमें $P_C = \left( \frac{P}{V} \right)^2 R_C$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यय होने वाली शक्ति $P_C = \frac{P^2 R_C}{V^2}$ है।

(D) समानांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए,तुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \sum \frac{\varepsilon_i}{r_i} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} + \frac{\varepsilon_3}{r_3}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \frac{1.2}{0.1} + \frac{1.4}{0.2} + \frac{1.5}{0.3}$
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = 12 + 7 + 5$
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = 24 \ V \Omega^{-1}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\rho = \frac{RA}{l}$.
दिए गए मान: $R = 5 \ \Omega$,$l = 15 \ m$,और $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\rho = \frac{5 \times 6 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = \frac{30 \times 10^{-7}}{15}$
$\rho = 2 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(A) $V_A - V_C$ ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $A$ से बिंदु $B$ होते हुए बिंदु $C$ तक चलते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करते हुए,विद्युत धारा $I = 3 \ A$,$4 \ \Omega$ के प्रतिरोध से होकर $B$ की ओर बहती है।
विभव पतन सूत्र $V_B = V_A - I R + E$ का उपयोग करते हुए,$A$ से $B$ तक जाने पर:
$V_B = V_A - (3 \ A)(4 \ \Omega) + 5 \ V = V_A - 12 + 5 = V_A - 7$।
अब,$B$ से $C$ तक $3 \ V$ की बैटरी और $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध से होकर जाने पर,विद्युत धारा $I = 3 \ A$,$B$ से $C$ की ओर बहती है:
$V_C = V_B - E - I R = V_B - 3 - (3 \ A)(10 \ \Omega) = V_B - 3 - 30 = V_B - 33$।
$V_C$ के समीकरण में $V_B = V_A - 7$ रखने पर:
$V_C = (V_A - 7) - 33 = V_A - 40$।
अतः,$V_A - V_C = 40 \ V$।

(A) बैटरी से ली जाने वाली अधिकतम धारा $(I_{\max})$ तब प्राप्त होती है जब बाहरी प्रतिरोध शून्य हो (शॉर्ट सर्किट स्थिति)।
परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$।
अधिकतम धारा के लिए,$R = 0$,इसलिए $I_{\max} = \frac{\varepsilon}{r}$।
दिया गया है: $\varepsilon = 12 \ V$ और $r = 0.6 \ \Omega$।
$I_{\max} = \frac{12}{0.6} = \frac{120}{6} = 20 \ A$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
सिलिकॉन एक अर्धचालक (semiconductor) है।
अर्धचालकों में,तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या घनत्व में तेजी से वृद्धि होती है।
यद्यपि तापमान के साथ विश्रांति काल (relaxation time) कम हो जाता है,लेकिन आवेश वाहकों की संख्या घनत्व में वृद्धि प्रभावी होती है,जिसके परिणामस्वरूप तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता कम हो जाती है।
इसके विपरीत,तांबा,एल्युमीनियम जैसी धातुओं और नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं में तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता बढ़ती है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
चालकता $(\sigma)$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति, उसके तापमान और दबाव पर निर्भर करती है।
यह चालक के भौतिक आयामों, जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए, जब तार को खींचा जाता है, तो उसका प्रतिरोध बदल जाता है, लेकिन उसकी चालकता समान रहती है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $f$ आवृत्ति है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध के अनुसार,$E = mc^2$ होता है।
ऊर्जा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $mc^2 = hf$।
चूँकि संवेग $p = mc$ होता है,हम लिख सकते हैं कि $mc^2 = (mc)c = pc = hf$।
अतः,संवेग $p = \frac{hf}{c}$ है।

(D) देहली आवृत्ति $\nu_0$ कार्य फलन $\Phi$ से समीकरण $\Phi = h\nu_0$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
जस्ता,मैग्नीशियम और कैडमियम जैसी धातुओं का कार्य फलन उच्च होता है,जिसका अर्थ है कि उनकी देहली आवृत्ति विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र में स्थित होती है।
सोडियम एक क्षार धातु है जिसका कार्य फलन बहुत कम (लगभग $2.3 \ eV$ से $2.7 \ eV$) होता है।
इस कम कार्य फलन के कारण,सोडियम की देहली आवृत्ति दृश्य प्रकाश क्षेत्र में आती है,न कि पराबैंगनी क्षेत्र में।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
चाल $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v = \frac{h}{m \lambda}$.
दिए गए मान:
$h = 6.625 \times 10^{-34} \,J \,s$
$m = 1.0 \times 10^{-9} \,kg$
$\lambda = 3 \times 10^{-25} \,m$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{(1.0 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-25})}$
$v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{3.0 \times 10^{-34}}$
$v = 2.2083... \,m \,s^{-1} \approx 2.2 \,m \,s^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\text{max}})$ और स्टॉपिंग पोटेंशियल (कट-ऑफ वोल्टेज,$V_0$) के बीच का संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$K_{\text{max}} = e V_0$
यह दिया गया है कि कट-ऑफ वोल्टेज $V_0 = 1.5 \ V$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$K_{\text{max}} = e \times 1.5 \ V$
$K_{\text{max}} = 1.5 \ eV$
अतः,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.5 \ eV$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \phi_0$, जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है。
चूंकि $K_{max} = eV_s$ (जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V_s$ निरोधी विभव है), इसलिए $eV_s = h\nu - \phi_0$ होता है。
निरोधी विभव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर, $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$ प्राप्त होता है。
जैसे-जैसे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है, पद $\frac{h}{e}\nu$ बढ़ता है, जिससे निरोधी विभव $V_s$ में वृद्धि होती है。
प्रकाश-विद्युत धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है, न कि उसकी आवृत्ति पर, बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो।

(D)
जब एक विद्युत द्विध्रुव को असमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो दोनों आवेशों ($+q$ और $-q$) पर अलग-अलग परिमाण के बल कार्य करते हैं क्योंकि उनकी स्थिति पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता भिन्न होती है।
मान लीजिए $+q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E_1$ है और $-q$ की स्थिति पर $E_2$ है।
$+q$ पर बल $F_1 = qE_1$ है और $-q$ पर बल $F_2 = -qE_2$ है।
नेट बल $F_{net} = q(E_1 - E_2)$ है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{P}$,$\vec{E}$ के समानांतर है,इसलिए धनात्मक आवेश ऋणात्मक आवेश की तुलना में उच्च क्षेत्र तीव्रता वाले क्षेत्र में होता है।
अतः,नेट बल बढ़ते हुए विद्युत क्षेत्र की दिशा में कार्य करता है।

(B) वस्तु पर प्रोटॉन का आवेश $q_p = n_p e = 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^7 \ C$ है।
वस्तु पर इलेक्ट्रॉन का आवेश $q_e = -n_e e = -10^{24} \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = -1.6 \times 10^5 \ C$ है।
वस्तु पर कुल आवेश $Q$ प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के आवेशों का योग है:
$Q = q_p + q_e = (1.6 \times 10^7) - (1.6 \times 10^5) \ C$.
$Q = (160 \times 10^5) - (1.6 \times 10^5) \ C$.
$Q = 158.4 \times 10^5 \ C = 1.584 \times 10^7 \ C$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $Q \approx 1.58 \times 10^7 \ C$ प्राप्त होता है।

(A) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ परिबद्ध आवेश है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता $(8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{N}^{-1} \text{m}^{-2})$ है।
दिया गया है $\phi = 1.9 \times 10^5 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$।
आवेश ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $q = \phi \varepsilon_0$।
मान रखने पर: $q = (1.9 \times 10^5) \times (8.854 \times 10^{-12})$।
$q = 16.8226 \times 10^{-7} \text{ C}$।
$q \approx 1.68 \times 10^{-6} \text{ C} = 1.68 \mu \text{C}$।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान लेने पर,$q \approx 2.0 \mu \text{C}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के शीर्ष $A, B, C$ और $D$ हैं। $A, B, C$ पर स्थित आवेश $D$ पर स्थित आवेश पर बल लगाते हैं।
$1$. $A$ पर स्थित आवेश के कारण बल $(F_{DA})$: यह बल $DA$ की दिशा में (ऊपर की ओर) कार्य करता है,जिसका परिमाण $F_{DA} = \frac{k q^2}{a^2}$ है।
$2$. $C$ पर स्थित आवेश के कारण बल $(F_{DC})$: यह बल $DC$ की दिशा में (बाईं ओर) कार्य करता है,जिसका परिमाण $F_{DC} = \frac{k q^2}{a^2}$ है।
$3$. $B$ पर स्थित आवेश के कारण बल $(F_{DB})$: $B$ और $D$ के बीच की दूरी वर्ग का विकर्ण है,जो $\sqrt{2}a$ है। यह बल विकर्ण $BD$ की दिशा में (बाहर की ओर) कार्य करता है,जिसका परिमाण $F_{DB} = \frac{k q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$ है।
$F_{DA}$ और $F_{DC}$ का परिणामी बल $F_{AC} = \sqrt{F_{DA}^2 + F_{DC}^2} = \sqrt{\left(\frac{k q^2}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{k q^2}{a^2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2} k q^2}{a^2}$ है। यह परिणामी बल विकर्ण $BD$ की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि $F_{AC}$ और $F_{DB}$ एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल बल $F_{net} = F_{AC} + F_{DB} = \frac{\sqrt{2} k q^2}{a^2} + \frac{k q^2}{2a^2} = \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \frac{k q^2}{a^2}$ होगा।

(A) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
समान धनात्मक पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली दो समानांतर शीटों के लिए,शीट $1$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $(E_1)$ उससे दूर (शीटों के बीच के क्षेत्र में दाईं ओर) इंगित करता है,और शीट $2$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $(E_2)$ उससे दूर (शीटों के बीच के क्षेत्र में बाईं ओर) इंगित करता है।
दोनों शीटों के बीच के क्षेत्र में,कुल विद्युत क्षेत्र दोनों क्षेत्रों का सदिश योग है:
$E_{net} = E_1 - E_2$
चूंकि दोनों शीटों का पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ समान है,इसलिए $E_1 = E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ होगा।
अतः,$E_{net} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = 0$।
इस प्रकार,दोनों शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $+q$ आवेश है। प्रत्येक शीर्ष से केंद्रक $O$ की दूरी समान है,मान लीजिए कि यह $d$ है।
केंद्रक $O$ पर प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण समान $E = \frac{kq}{d^2}$ है।
ये विद्युत क्षेत्र सदिश $E_A$,$E_B$ और $E_C$ त्रिभुज की माध्यिकाओं के अनुदिश आवेशों से दूर की ओर निर्देशित हैं। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए ये सदिश एक-दूसरे के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर स्थित हैं।
सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार,केंद्रक पर कुल विद्युत क्षेत्र इन तीन क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$.
चूंकि सदिशों का परिमाण समान है और वे $120^{\circ}$ के कोण पर हैं,इसलिए उनका सदिश योग शून्य होता है। अतः,केंद्रक पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(B) दो गोलों के बीच प्रारंभिक कूलम्ब बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k(q)(-q)}{d^2} = -\frac{kq^2}{d^2}$
जब गोले $B$ (आवेश $-q$) से गोले $A$ (आवेश $+q$) पर $50\%$ आवेश स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित आवेश की मात्रा $\frac{q}{2}$ है।
गोलों पर नए आवेश हैं:
$q_A = q - \frac{q}{2} = \frac{q}{2}$
$q_B = -q + \frac{q}{2} = -\frac{q}{2}$
नया कूलम्ब बल $F^{\prime}$ है:
$F^{\prime} = \frac{k(q_A)(q_B)}{d^2} = \frac{k(\frac{q}{2})(-\frac{q}{2})}{d^2}$
$F^{\prime} = -\frac{kq^2}{4d^2}$
चूंकि $F = -\frac{kq^2}{d^2}$,इसलिए $F^{\prime}$ के लिए:
$F^{\prime} = \frac{F}{4}$

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई आवेश $q$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $E = \frac{F}{q}$ है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[F] = M^1 L^1 T^{-2}$ होता है।
विद्युत आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[q] = A^1 T^1$ होता है।
इन मानों को $E$ के सूत्र में रखने पर:
$[E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{M^1 L^1 T^{-2}}{A^1 T^1}$.
घातांकों को सरल करने पर:
$[E] = M^1 L^1 T^{-2-1} A^{-1} = M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि घन एक सममित बंद सतह है जिसमें $6$ समान फलक होते हैं,इसलिए फ्लक्स सभी फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अतः,घन की प्रत्येक सतह से संबद्ध फ्लक्स $\phi = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ होगा।

(A) लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
$(i)$ आयताकार लूप $abcd$ चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र में अंदर की ओर गति कर रहा है। लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को पृष्ठ से बाहर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र बनाना चाहिए। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में,यानी $adcba$ के अनुदिश बहती है।
(ii) त्रिभुजाकार लूप $abc$ चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से बाहर की ओर गति कर रहा है। लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घटता है। इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को पृष्ठ के अंदर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र बनाना चाहिए। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में,यानी $abc$ के अनुदिश बहती है।
(iii) अनियमित आकार का लूप $abcd$ चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से बाहर की ओर गति कर रहा है। लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घटता है। इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को पृष्ठ के अंदर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र बनाना चाहिए। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में,यानी $abcda$ के अनुदिश बहती है।

(D) एक परिनालिका में संग्रहीत चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
परिनालिका के लिए,स्व-प्रेरकत्व $L = \mu_0 n^2 Al$ है और चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 nI$ है,जिसका अर्थ है $I = \frac{B}{\mu_0 n}$।
इन मानों को ऊर्जा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$U_B = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) \left( \frac{B}{\mu_0 n} \right)^2 = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) \left( \frac{B^2}{\mu_0^2 n^2} \right) = \frac{B^2 Al}{2 \mu_0}$।
प्रति इकाई आयतन चुंबकीय ऊर्जा $(u_B)$ को कुल ऊर्जा को आयतन $(V = Al)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$u_B = \frac{U_B}{V} = \frac{B^2 Al / (2 \mu_0)}{Al} = \frac{B^2}{2 \mu_0}$।

(C) दिया गया है: प्रत्येक स्पोक की लंबाई $R = 0.5 \ m$,कोणीय गति $\omega = 120 \ rev/min$,और चुंबकीय क्षेत्र $B = H_E = 0.4 \ G = 0.4 \times 10^{-4} \ T$.
सबसे पहले,कोणीय गति को $rad/s$ में बदलें:
$\omega = \frac{120 \times 2\pi}{60} = 4\pi \ rad/s$.
चुंबकीय क्षेत्र में घूमते हुए पहिये के स्पोक्स में प्रेरित emf का सूत्र है:
$\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega R^2$.
मान रखने पर:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4} \ T) \times (4\pi \ rad/s) \times (0.5 \ m)^2$.
$\varepsilon = 0.2 \times 10^{-4} \times 4\pi \times 0.25$.
$\varepsilon = 0.2 \times 10^{-4} \times \pi$.
$\varepsilon = 0.2 \times 3.14159 \times 10^{-4} \ V$.
$\varepsilon = 0.6283 \times 10^{-4} \ V = 6.283 \times 10^{-5} \ V$.
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर:
$\varepsilon = 6.283 \times 10^{-5} \times 10^3 \ mV = 6.283 \times 10^{-2} \ mV$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{\varepsilon dt}{dI}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\varepsilon$ प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है,जिसकी विमा $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}]$ होती है।
$dt$ समय अंतराल है जिसकी विमा $[T^1]$ है।
$dI$ धारा में परिवर्तन है जिसकी विमा $[A^1]$ है।
इन विमाओं को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{[M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}] \cdot [T^1]}{[A^1]}$
$L = [M^1 L^2 T^{-2} A^{-2}]$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक धारा $I_1 = 5.0 \ A$
अंतिम धारा $I_2 = 0.0 \ A$
समय अंतराल $dt = 0.1 \ s$
प्रेरित emf $\varepsilon = 200 \ V$
प्रेरक में प्रेरित emf का सूत्र है:
$\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$
स्व-प्रेरकत्व $L$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$L = -\frac{\varepsilon \cdot dt}{dI}$
जहाँ $dI = I_2 - I_1 = 0.0 - 5.0 = -5.0 \ A$ है।
मान रखने पर:
$L = -\frac{200 \times 0.1}{-5.0}$
$L = \frac{20}{5} = 4 \ H$
अतः,परिपथ का स्व-प्रेरकत्व $4.0 \ H$ है।

(B) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$l = 1.0 \ m$
कोणीय आवृत्ति,$\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.5 \ T$
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में अपने एक सिरे के परितः घूमने वाली छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) का सूत्र है:
$\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 200 \times (1.0)^2$
$\varepsilon = 0.5 \times 100$
$\varepsilon = 50 \ V$
अतः,केंद्र और वलय के बीच उत्पन्न emf $50 \ V$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
दो कुंडलियों की प्रणाली का अन्योन्य प्रेरण $(M)$ ज्यामितीय कारकों जैसे फेरों की संख्या $(N_1, N_2)$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$, कुंडलियों के बीच की दूरी और उनके बीच के माध्यम की चुंबकीय पारगम्यता $(\mu)$ पर निर्भर करता है。
इसे संबंध $\phi_2 = M I_1$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\phi_2$ दूसरी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स है और $I_1$ पहली कुंडली में प्रवाहित धारा है。
चूँकि $M = \frac{\phi_2}{I_1}$, इसलिए $M$ का मान कुंडलियों से प्रवाहित होने वाली धारा $I_1$ के परिमाण से स्वतंत्र होता है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक धारा $I_1 = 5.0 \ A$
अंतिम धारा $I_2 = 0.0 \ A$
धारा में परिवर्तन $dI = I_2 - I_1 = 0.0 - 5.0 = -5.0 \ A$
समय अंतराल $dt = 0.1 \ s$
प्रेरित emf $\varepsilon = 100 \ V$
स्व-प्रेरकत्व के कारण प्रेरित emf का सूत्र है:
$\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$
मान रखने पर:
$100 = -L \left( \frac{-5.0}{0.1} \right)$
$100 = L \times 50$
$L = \frac{100}{50} = 2 \ H$
अतः,परिपथ का स्व-प्रेरकत्व $2 \ H$ है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरित $EMF$ का परिमाण लेने पर:
$|\varepsilon| = \left| \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 5) \right|$
$|\varepsilon| = 6t + 2$
समय $t = 2 \text{ s}$ पर,प्रेरित $EMF$:
$|\varepsilon| = 6(2) + 2 = 14 \text{ V}$
ओम के नियम के अनुसार प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ है।
यहाँ $R = 14 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए:
$I = \frac{14 \text{ V}}{14 \ \Omega} = 1 \text{ A}$.

(B) $LASIK$ (लेजर-असिस्टेड इन सीटू केराटोमिलेसिस) नेत्र सर्जरी में,कॉर्निया को नया आकार देने के लिए एक एक्साइमर लेजर का उपयोग किया जाता है। यह लेजर $193 \ nm$ की तरंग दैर्ध्य पर $Ultraviolet$ (अल्ट्रावायलेट) विकिरण उत्सर्जित करता है। यह उच्च-ऊर्जा विकिरण कॉर्नियल ऊतकों में आणविक बंधनों को तोड़ने में सक्षम है,जिससे आसपास के क्षेत्रों को थर्मल क्षति पहुँचाए बिना ऊतकों को सटीक रूप से हटाया जा सकता है।

(C) क्रिकेट मैच में उपयोग की जाने वाली स्पीड गन डॉपलर प्रभाव के सिद्धांत पर काम करती है। यह गतिशील गेंद की ओर विद्युत चुम्बकीय तरंगें,विशेष रूप से माइक्रोवेव उत्सर्जित करती है। जब ये तरंगें गेंद से टकराकर परावर्तित होती हैं,तो गेंद की गति के कारण उनकी आवृत्ति बदल जाती है। इस आवृत्ति परिवर्तन को मापकर,स्पीड गन गेंद के वेग की गणना करती है। इसलिए,इस उद्देश्य के लिए माइक्रोवेव का उपयोग किया जाता है।

(D) एम्पीयर-मैक्सवेल नियम,एम्पीयर के नियम का एक संशोधित रूप है जो विस्थापन धारा (displacement current) को ध्यान में रखता है।
इसका गणितीय समीकरण इस प्रकार है:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} i_{c} + \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$
जहाँ:
- $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ चुंबकीय क्षेत्र का रेखीय समाकल है।
- $i_{c}$ चालन धारा (conduction current) है।
- $\varepsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$ विस्थापन धारा $(i_{d})$ है।
- $\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।
- $\varepsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) एक आदर्श समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,हम मानते हैं कि प्लेटें अनंत विस्तार की हैं,जिसके परिणामस्वरूप उनके बीच एक समान विद्युत क्षेत्र होता है।
हालाँकि,सीमित प्लेट आयामों वाले वास्तविक संधारित्रों के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं किनारों के पास पूरी तरह से समानांतर नहीं रहती हैं।
इसके बजाय,वे प्लेटों के किनारों पर बाहर की ओर मुड़ जाती हैं।
इस घटना को फ्रिंजिंग ऑफ द फील्ड (Fringing of the field) के रूप में जाना जाता है।

(A) दिया गया है:
धारिता $C = 12 \text{ pF} = 12 \times 10^{-12} \text{ F}$
विभवांतर $V = 50 \text{ V}$
संधारित्र में संचित स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} C V^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \text{ F}) \times (50 \text{ V})^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 15000 \times 10^{-12} \text{ J}$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ J}$
$U = 1.5 \times 10^{-8} \text{ J}$
अतः,संचित ऊर्जा $1.5 \times 10^{-8} \text{ J}$ है।

(C) एक समषट्भुज में,केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी षट्भुज की भुजा की लंबाई के बराबर होती है। दी गई भुजा की लंबाई $r = 9 \ cm = 0.09 \ m$ है।
प्रत्येक शीर्ष पर आवेश $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \ C$ है।
$r$ दूरी पर स्थित एक आवेश $q$ के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V_i = \frac{kq}{r}$ होता है।
चूंकि शीर्षों पर $6$ समान आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग होगा:
$V = 6 \times \frac{kq}{r}$
मान रखने पर:
$V = 6 \times \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{0.09}$
$V = 6 \times \frac{45 \times 10^3}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 6 \times 5 \times 10^5$
$V = 30 \times 10^5 = 3 \times 10^6 \ V$.

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} CV^2$ होता है।
दिया गया है:
धारिता $C = 12 \ pF = 12 \times 10^{-12} \ F$
विभवांतर $V = 50 \ V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \ F) \times (50 \ V)^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500 \ J$
$U = 15000 \times 10^{-12} \ J$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12} \ J$
$U = 1.5 \times 10^{-8} \ J$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब एक आवेशित संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो उसकी प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जैसे-जैसे प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ कम हो जाती है।
चूंकि $Q = CV$ है,और $Q$ स्थिर है,इसलिए जैसे-जैसे $C$ कम होता है,विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ बढ़ जाएगा।
अतः,प्लेटों पर आवेश समान रहेगा।

(B) स्थिर स्थिति में,चालक के आंतरिक भाग में कोई अतिरिक्त आवेश नहीं हो सकता है। गॉस के नियम के अनुसार,यदि किसी बंद सतह के अंदर $q$ अतिरिक्त आवेश होता,तो सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = q/\epsilon_0$ होता। हालाँकि,चूंकि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए फ्लक्स भी शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि चालक के किसी भी आयतन के अंदर कुल आवेश शून्य है। इसलिए,कोई भी अतिरिक्त आवेश चालक की सतह पर ही रहना चाहिए। अतः,विकल्प $B$ गलत है।

(B) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ का केंद्र $Q$ पर स्थित है,इसलिए परिधि का प्रत्येक बिंदु आवेश $Q$ से समान दूरी $r$ पर है।
अतः,वृत्ताकार पथ पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव स्थिर रहता है।
मान लीजिए बिंदु $A$ पर विभव $V_A$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है। चूंकि दोनों बिंदु वृत्त पर हैं,इसलिए $V_A = V_B = \frac{kQ}{r}$ होगा।
आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$W = q(\frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{r}) = q(0) = 0$.
इस प्रकार,किया गया कार्य शून्य है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
जब किसी पदार्थ को उसके क्रांतिक तापमान $(T_c)$ से नीचे ठंडा किया जाता है ताकि वह सुपरकंडक्टर बन जाए,तो वह अपने भीतर से सभी चुंबकीय फ्लक्स को बाहर निकाल देता है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के इस निष्कासन को माइसनर प्रभाव (Meissner effect) कहा जाता है।
यह सुपरकंडक्टर्स का एक विशिष्ट गुण है,जो पूर्ण प्रतिचुंबकत्व को प्रदर्शित करता है जहाँ चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) $\chi = -1$ होती है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
दिक्सूचक में चुंबकीय सुई आमतौर पर एक ऐसे फेरोमैग्नेटिक पदार्थ से बनी होती है जिसे स्थायी रूप से चुंबकित किया जा सकता है।
लोडस्टोन मैग्नेटाइट खनिज का एक प्राकृतिक रूप से चुंबकित टुकड़ा है,जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से दिक्सूचक के लिए चुंबकीय सुई बनाने में किया जाता था।

(C) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = m B \sin \theta$,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ चुंबक की अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिए गए मान हैं: $\tau = 4.5 \times 10^{-2} \ J$,$B = 0.25 \ T$,और $\theta = 30^{\circ}$।
$m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{\tau}{B \sin \theta}$।
मान रखने पर: $m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए: $m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times 0.5} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.125}$।
परिणाम की गणना करने पर: $m = 36 \times 10^{-2} = 0.36 \ J \ T^{-1}$।