GSEB 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણને સમીકરણ આપેલ છે: $4 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 \cos^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) = \frac{\pi}{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$3 \cos^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{\pi}{2}$ બાદ કરતા:
$3 \cos^{-1} x = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$\cos^{-1} x = 0$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા:
$x = \cos(0) = 1$.

(A) ધારો કે $x = \cos^{-1} \frac{1}{3} + \cos^{-1} \frac{1}{5}$ અને $y = \sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} z = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} z$.
તેથી,$x = (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3}) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - (\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - y$.
આમ,$\cos(x) = \cos(\pi - y) = -\cos(y)$.
તેથી,$\cos(x) + \cos(y) = -\cos(y) + \cos(y) = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ અને $\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right) + \cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right)$
અહીં $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13} = \frac{11\pi}{26}$,જે $\sin^{-1}$ માટે મુખ્ય કિંમત શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અને $\cos^{-1}$ માટે $[0, \pi]$ માં આવે છે,તેથી:
$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)$
$= \pi - \frac{2\pi}{13}$
$= \frac{13\pi - 2\pi}{13} = \frac{11\pi}{13}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $AB = 4I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણીએ:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(4I)$
$(A^{-1}A)B = 4A^{-1}$
કારણ કે $A^{-1}A = I$,તેથી:
$IB = 4A^{-1}$
$B = 4A^{-1}$
બંને બાજુને $4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{4}B$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોય જો $A = A^T$ થાય,જેનો અર્થ છે કે દરેક $i, j$ માટે $A_{ij} = A_{ji}$ થાય.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 2x+3 \\ x-2 & x+1 \end{bmatrix}$ માટે,સંમિતતાની શરત $A_{12} = A_{21}$ છે.
ઘટકોને સરખાવતા,આપણને $2x + 3 = x - 2$ મળે છે.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા,આપણને $x + 3 = -2$ મળે છે.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $x = -5$ મળે છે.
તેથી,$x$ ની સાચી કિંમત $-5$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} a_1+a_2 & 4 \\ 3 & a_3+a_4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3a_2 & 3a_1 \\ 3a_4 & 3a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
બાદબાકી કરતા આપણને મળે છે: $\begin{bmatrix} a_1-2a_2 & 4-3a_1 \\ 3-3a_4 & a_3-2a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) \; a_1 - 2a_2 = -6$
$2) \; 4 - 3a_1 = -a_1 \implies 4 = 2a_1 \implies a_1 = 2$
$3) \; 3 - 3a_4 = -2a_4 \implies a_4 = 3$
$4) \; a_3 - 2a_4 = 1 \implies a_3 - 2(3) = 1 \implies a_3 = 7$
સમીકરણ $(1)$ માં $a_1 = 2$ મૂકતા: $2 - 2a_2 = -6 \implies -2a_2 = -8 \implies a_2 = 4$.
હવે,સરવાળો $\sum_{i=1}^4 a_i = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2 + 4 + 7 + 3 = 16$ થાય.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 1 & a+b & b \\ 1 & a & a+b\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \times (b \times a - 0 \times 0) = ab$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 7 & 21 & 35\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકના સ્તંભોનું અવલોકન કરો:
સ્તંભ $2$ એ $C_2 = [3, 6, 21]^T$ છે અને સ્તંભ $3$ એ $C_3 = [5, 10, 35]^T$ છે.
અહીં નોંધો કે $C_3 = \frac{5}{3} C_2$ છે.
જ્યારે બે સ્તંભો પ્રમાણસર હોય,ત્યારે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $0$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,હાર $2$ એ $R_2 = [2, 6, 10]$ અને હાર $3$ એ $R_3 = [7, 21, 35]$ છે.
$R_3 = 3.5 \times R_2$ છે,જે સાબિત કરે છે કે $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય જ રહે છે.
આમ,આ સમીકરણ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in R$ માટે સાચું છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{2^x + 3^x}{4^x} = \frac{2^x}{4^x} + \frac{3^x}{4^x} = \left(\frac{2}{4}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સૂત્ર $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$ નો ઉપયોગ કરો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) + \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \log \frac{1}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^x \log \frac{3}{4}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $y = 3^{1-2 x}$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) અને સૂત્ર $\frac{d}{d x}(a^u) = a^u \cdot \log a \cdot \frac{d u}{d x}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 3$ અને $u = 1 - 2x$ છે.
પ્રથમ,ઘાતાંકનું વિકલન શોધો: $\frac{d}{d x}(1 - 2x) = -2$.
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$\frac{d}{d x}(3^{1-2 x}) = 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot \frac{d}{d x}(1 - 2x)$
$= 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot (-2)$
$= -2 \cdot 3^{1-2 x} \log 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \tan^{-1} x - x$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x - x) = \frac{1}{1+x^2} - 1$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f'(x) = \frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-x^2}{1+x^2}$
અહીં $x^2 \ge 0$ અને $1+x^2 > 0$ હોવાથી,દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) = \frac{-x^2}{1+x^2} \le 0$ થાય છે.
દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) \le 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $R$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^2 = 18x$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$
પ્રશ્ન મુજબ,$Y$-યામના બદલાવનો દર $X$-યામના બદલાવના દર કરતા બમણો છે,એટલે કે $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y(2 \frac{dx}{dt}) = 9 \frac{dx}{dt}$
કારણ કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$,આપણે $\frac{dx}{dt}$ વડે ભાગી શકીએ:
$2y = 9 \implies y = \frac{9}{2}$.
હવે,$y = \frac{9}{2}$ ની કિંમત મૂળ વક્રના સમીકરણ $y^2 = 18x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{9}{8}, \frac{9}{2}\right)$ છે.

(B) કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $s = t^3 - 6t^2 + 9t$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) = 3t^2 - 12t + 9$.
$t = 2 \ s$ સમયે વેગ શોધવા માટે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકો:
$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$
$v(2) = 3(4) - 24 + 9$
$v(2) = 12 - 24 + 9 = -3 \ m/s$.
તેથી,$t = 2 \ s$ સમયે વેગ $-3 \ m/s$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને તેના નાભિલંબ $x = a$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$A = 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} \times a^{3/2} = \frac{8}{3} a^2$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $24$ ચોરસ એકમ છે,તેથી:
$\frac{8}{3} a^2 = 24$
$a^2 = 24 \times \frac{3}{8} = 9$
$a = \pm 3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -1$ થી $x = 1$ સુધીના વિધેય $y = x^2 - x - 6$ ના માનાંકનું સંકલન છે.
પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે શું વક્ર અંતરાલ $[-1, 1]$ માં $x$-અક્ષને છેદે છે.
$y = 0$ લેતા,$x^2 - x - 6 = 0$ મળે,જેના અવયવો $(x - 3)(x + 2) = 0$ થાય છે.
શૂન્યો $x = 3$ અને $x = -2$ છે.
આ બંને કિંમતો અંતરાલ $[-1, 1]$ માં આવતી નથી,તેથી વિધેય $y = x^2 - x - 6$ આ અંતરાલમાં ચિહ્ન બદલતું નથી.
$x \in [-1, 1]$ માટે,$x^2 - x - 6$ ઋણ છે (દા.ત.,$x = 0$ માટે,$y = -6$).
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{1} |x^2 - x - 6| \, dx = \int_{-1}^{1} -(x^2 - x - 6) \, dx$ થશે.
$A = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-1}^{1}$.
$A = - \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6) \right]$.
$A = - \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 \right]$.
$A = - \left[ \frac{2}{3} - 12 \right] = - \left[ \frac{2 - 36}{3} \right] = - \left[ -\frac{34}{3} \right] = \frac{34}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{1}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
કારણ કે $\sin(\pi x)$ એ $x = 2$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{2}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$\sin(\pi x) \leq 0$ છે,તેથી $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
અંતરાલ $[2, 3]$ માં,$\sin(\pi x) \geq 0$ છે,તેથી $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.
$A = \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{2}^{3} \sin(\pi x) \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{1}^{2} + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{2}^{3}$.
$A = \frac{1}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) - \frac{1}{\pi} (\cos(3\pi) - \cos(2\pi))$.
$A = \frac{1}{\pi} (1 - (-1)) - \frac{1}{\pi} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ અંતરાલ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
અંતરાલ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ માં,$\cos x$ એ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
તેથી,$|\cos x| = -\cos x$.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -[\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})]$
$A = -[-1 - 1]$
$A = -[-2] = 2$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વક્ર $y = f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં આપેલ વક્ર $y = -2\sqrt{x}$,રેખાઓ $x = 0$ અને $x = 1$ તથા $x$-અક્ષ $(y = 0)$ માટે ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1} |-2\sqrt{x}| \, dx$
$A = \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$
$A = \frac{4}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2})$
$A = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} y \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વક્ર $y = x^2 + 2$ અને સીમાઓ $x = 1$ તથા $x = 2$ આપેલ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) \, dx$
વિધેયનું સંકલન કરતા:
$A = [\frac{x^3}{3} + 2x]_{1}^{2}$
ઉપરની અને નીચેની સીમાઓ મૂકતા:
$A = (\frac{2^3}{3} + 2(2)) - (\frac{1^3}{3} + 2(1))$
$A = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2)$
$A = (\frac{8 + 12}{3}) - (\frac{1 + 6}{3})$
$A = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{13}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $25x^2 + 16y^2 = 400$ છે।
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{25x^2}{400} + \frac{16y^2}{400} = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે છે।
તેથી,$a = 5$ અને $b = 4$।
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે।
કિંમતો મૂકતા,$A = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$ ચોરસ એકમ।