ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{5}}$,$a = 2$,$c = 5$ અને $b$ એક પૂર્ણાંક હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

એક ટાવર સમક્ષિતિજ સમતલ પર સ્થિત છે. ટાવરના પાયામાંથી પસાર થતી રેખા પર બે બિંદુઓ આવેલા છે,જે પાયાથી $a$ અને $b$ અંતરે છે. આ બિંદુઓથી ટાવરની ટોચના ઉન્નતકોણ $\alpha$ અને $90^\circ - \alpha$ છે. જો બે બિંદુઓને જોડતી રેખા ટાવરની ટોચ પર $\theta$ ખૂણો આંતરે,તો ટાવરની ઊંચાઈ શોધો.

ધારો કે $A_1 A_2 A_3 \ldots A_9$ એ $2$ એકમ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો નવ-બાજુવાળો નિયમિત બહુકોણ છે. વિકર્ણો $A_1 A_5$ અને $A_2 A_4$ ની લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?

ત્રિકોણની બાજુઓ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin \theta, \cos \theta$ અને $\sqrt{1 + \sin \theta \cos \theta}$ છે,તો ત્રિકોણનો સૌથી મોટો ખૂણો શોધો.

ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ એ $2$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. જો ખૂણા $A, B$ અને $C$ ના $3$ દ્વિભાજકોને લંબાવીને વર્તુળને અનુક્રમે $A_1, B_1$ અને $C_1$ માં છેદવામાં આવે,તો $\left[\frac{AA_1 \cos \frac{A}{2} + BB_1 \cos \frac{B}{2} + CC_1 \cos \frac{C}{2}}{\sin A + \sin B + \sin C}\right]^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $x = \frac{n\pi}{2}$ એ સમીકરણ $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$ અને અસમતા $\left| \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right| \le \frac{3\pi}{4}$ નું સમાધાન કરે,તો: