AP EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना कुल दूरी $2d$ है। पहली आधी दूरी $d$ है और दूसरी आधी दूरी $d$ है।
पहली आधी दूरी $(d)$ के लिए: वेग $v_1 = 7 \,m/s$। लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{7}$।
दूसरी आधी दूरी $(d)$ के लिए: माना लिया गया कुल समय $t_2$ है। इस समय के पहले आधे भाग $(t_2/2)$ में वेग $v_2 = 14 \,m/s$ और दूसरे आधे भाग $(t_2/2)$ में वेग $v_3 = 21 \,m/s$ है।
दूरी $d = (v_2 \times \frac{t_2}{2}) + (v_3 \times \frac{t_2}{2}) = (14 \times \frac{t_2}{2}) + (21 \times \frac{t_2}{2}) = 7t_2 + 10.5t_2 = 17.5t_2$।
अतः, $t_2 = \frac{d}{17.5} = \frac{d}{35/2} = \frac{2d}{35}$।
कुल दूरी = $2d$।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{d}{7} + \frac{2d}{35} = \frac{5d + 2d}{35} = \frac{7d}{35} = \frac{d}{5}$।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \,m/s$।

(B) मान लीजिए कि पिंड $t=0$ पर बिंदु $A$ से प्रारंभिक वेग $u=0$ और एकसमान त्वरण $a$ के साथ गति शुरू करता है। $t=2 \ s$ पर,यह बिंदु $B$ पर पहुँचता है। तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} a (2)^2 = 2a$ है। $B$ पर वेग $v_B = a(2) = 2a$ है।
$t=2 \ s$ पर,पिंड अपनी दिशा उलट देता है लेकिन त्वरण $a$ उसी दिशा में रहता है (जो मंदन के रूप में कार्य करता है)। यह बिंदु $C$ पर रुक जाता है जहाँ इसका वेग $0$ हो जाता है। मान लीजिए $B$ से $C$ तक का समय $t'$ है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$0 = 2a - a(t')$,जिससे $t' = 2 \ s$ प्राप्त होता है। दूरी $BC$ का मान $s_2 = (2a)(2) - \frac{1}{2} a (2)^2 = 4a - 2a = 2a$ है।
$A$ से $C$ तक की कुल दूरी $AC = s_1 + s_2 = 2a + 2a = 4a$ है।
अब,पिंड $C$ पर विरामावस्था से शुरू होता है और एकसमान त्वरण $a$ के साथ $A$ की ओर गति करता है। मान लीजिए $AC$ दूरी तय करने में लगा समय $T$ है। $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$4a = 0 + \frac{1}{2} a T^2$,जिससे $T^2 = 8$ प्राप्त होता है,अतः $T = 2\sqrt{2} \ s$ है।
कुल समय $t_0$ बिंदु $C$ तक पहुँचने के समय और $A$ पर वापस लौटने के समय का योग है। $C$ तक पहुँचने का समय $2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ है। अतः,$t_0 = 4 + 2\sqrt{2} \ s$ है।

(C) दिया गया है, प्रक्षेपण कोण, $\theta = 60^{\circ}$ और प्रारंभिक वेग, $u = 140 \,ms^{-1}$।
वेग को दो घटकों में विभाजित किया गया है: क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 60^{\circ} = 140 \times 0.5 = 70 \,ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 60^{\circ} = 140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 70\sqrt{3} \,ms^{-1}$।
मान लीजिए $t$ समय के बाद, वेग सदिश क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। $t$ समय पर, क्षैतिज घटक $v_x = u_x = 70 \,ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u_y - gt = 70\sqrt{3} - 10t$ है।
चूंकि कोण $45^{\circ}$ है, $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$, जिसका अर्थ है $v_y = v_x$।
मान रखने पर: $70\sqrt{3} - 10t = 70$।
$10t = 70\sqrt{3} - 70$।
$t = 7(\sqrt{3} - 1) = 7(1.732 - 1) = 7(0.732) = 5.124 \,s$।

(C) दिया गया है, बंदूक और लक्ष्य के बीच की दूरी $d = 600 \,m$, गोली का वेग $v = 500 \,ms^{-1}$ है।
चूँकि गोली क्षैतिज दूरी तय करती है, लिया गया समय $t = d/v = 600/500 = 1.2 \,s$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण, गोली इस समय $t$ में $h$ ऊँचाई नीचे गिर जाएगी। गति के समीकरण $h = ut + (1/2)gt^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u = 0$ है:
$h = 0 \times (1.2) + (1/2) \times 10 \times (1.2)^2$
$h = 5 \times 1.44 = 7.2 \,m$.
अतः, ऊर्ध्वाधर गिरावट की भरपाई करने के लिए बंदूक को लक्ष्य से $7.2 \,m$ ऊँचाई पर निशाना लगाना चाहिए।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर है। वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
किसी भी समय $t$ पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ होता है।
समय $t$ पर क्षैतिज के साथ कोण $\alpha$ को $\tan \alpha = \frac{v_y}{u_x} = \frac{u \sin \theta - gt}{u \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$t_1 = 4 \ s$ पर,$\alpha = 30^{\circ}$:
$\tan 30^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(4)}{u \cos \theta} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{u \sin \theta - 40}{u \cos \theta} \implies u \cos \theta = \sqrt{3}(u \sin \theta - 40) \quad (1)$
$t_2 = 4 + 2 = 6 \ s$ पर,पत्थर क्षैतिज रूप से चल रहा है,इसलिए $\alpha = 0^{\circ}$:
$\tan 0^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(6)}{u \cos \theta} = 0 \implies u \sin \theta = 60 \ ms^{-1} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$u \cos \theta = \sqrt{3}(60 - 40) = 20 \sqrt{3} \ ms^{-1} \quad (3)$
प्रारंभिक वेग $u$ का परिमाण $\sqrt{(u \sin \theta)^2 + (u \cos \theta)^2} = \sqrt{(60)^2 + (20 \sqrt{3})^2} = \sqrt{3600 + 1200} = \sqrt{4800} = 40 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।

(A) प्रक्षेप्य गति में ऊपर जाने का समय $t_a$ का सूत्र $t_a = \frac{u \sin \theta}{g}$ होता है।
यहाँ $t_a = 1 \ s$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{u \sin \theta}{10}$,जिसका अर्थ है कि $u \sin \theta = 10 \ m/s$ है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}$ होता है।
इस सूत्र में $u \sin \theta = 10 \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$ का मान रखने पर:
$H = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$.
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $5 \ m$ है।

(C) दिया गया है: अधिकतम ऊँचाई $H = 3 \,m$,परास $R = 4 \,m$,और $g = 10 \,ms^{-2}$।
हम जानते हैं कि $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$।
$H$ और $R$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{H}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{2u^2 \sin \theta \cos \theta / g} = \frac{\sin \theta}{4 \cos \theta} = \frac{1}{4} \tan \theta$।
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} \tan \theta \Rightarrow \tan \theta = 3$।
चूँकि $\tan \theta = 3$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
$H$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 (3/\sqrt{10})^2}{2 \times 10} = \frac{u^2 \times (9/10)}{20}$।
$3 = \frac{9u^2}{200} \Rightarrow u^2 = \frac{3 \times 200}{9} = \frac{200}{3}$।
$u = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}} \,ms^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v \sin \theta = 40 \ m \ s^{-1}$ है।
उड़ान का समय $T = \frac{2 v \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \ s$ है।
वह समय जिस पर हमें वेग ज्ञात करना है,$t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ है।
वेग का क्षैतिज घटक पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है: $v_x = v \cos \theta$।
चूंकि $v \sin \theta = 40$,इसलिए $v = \frac{40}{\sin 60^{\circ}} = \frac{40}{\sqrt{3}/2} = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.19 \ m \ s^{-1}$ है।
अतः,$v_x = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \cos 60^{\circ} = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{40}{\sqrt{3}} \approx 23.09 \ m \ s^{-1}$ है।
समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y(t) = v \sin \theta - g t = 40 - (10 \times 2) = 20 \ m \ s^{-1}$ है।
समय $t$ पर वेग का परिमाण $v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y(t)^2} = \sqrt{(23.09)^2 + (20)^2} = \sqrt{533.15 + 400} = \sqrt{933.15} \approx 30.54 \ m \ s^{-1}$ है।

(D) दिया गया है कि, पहले कूद में कार द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_1 = 80 \,m$ है।
दूसरे कूद में कार द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_2 = 45 \,m$ है।
माना कार का प्रारंभिक वेग $u$ है और झुकाव कोण क्रमशः $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहले मामले के लिए: $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 80 \,m$ ... $(i)$
दूसरे मामले के लिए: $H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = 45 \,m$ ... (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$.
चूंकि कार दूसरे किनारे पर उसी बिंदु पर पहुँचती है, इसलिए दोनों कूद के लिए क्षैतिज परास $R$ समान है।
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
चूंकि $R_1 = R_2$, इसलिए $\sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sin \theta_2 \cos \theta_2$, जिसका अर्थ है $\sin 2\theta_1 = \sin 2\theta_2$। यह तब होता है यदि $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$, अर्थात $\cos \theta_1 = \sin \theta_2$।
$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$ से, हमें $\frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\sin \theta_1 = \frac{4}{5}$ और $\cos \theta_1 = \frac{3}{5}$।
$(i)$ से, $\frac{u^2}{2g} (\frac{4}{5})^2 = 80 \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 80 \times 2 \times \frac{25}{16} = 250$.
परास $d = \frac{u^2 \sin 2\theta_1}{g} = \frac{u^2}{g} (2 \sin \theta_1 \cos \theta_1) = 250 \times 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = 240 \,m$.

(C) अभिकथन $(A)$ सत्य है। प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। दिए गए प्रारंभिक वेग $u$ के लिए,परास तब अधिकतम होती है जब $\sin(2\theta)$ अधिकतम हो,अर्थात $\sin(2\theta) = 1$,जिसका अर्थ है $2\theta = 90^{\circ}$ या $\theta = 45^{\circ}$।
कारण $(R)$ असत्य है। प्रक्षेप्य की परास $R$ न केवल प्रक्षेपण कोण $\theta$ पर,बल्कि प्रारंभिक वेग $u$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर भी निर्भर करती है $(R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g})$। इसलिए,यह 'केवल' प्रक्षेपण कोण पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(D) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
यहाँ $x = 30 \,m$, $y = 20 \,m$, $\theta = 45^{\circ}$, और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है:
$20 = 30 \tan 45^{\circ} - \frac{10 \times (30)^2}{2 u^2 \cos^2 45^{\circ}}$
$20 = 30(1) - \frac{10 \times 900}{2 u^2 \times (1/2)}$
$20 = 30 - \frac{9000}{u^2}$
$\frac{9000}{u^2} = 10$
$u^2 = 900 \implies u = 30 \,m/s$
क्षैतिज परास $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} = \frac{900 \times \sin 90^{\circ}}{10} = 90 \,m$
खंभे के आधार से $s$ दूरी, कुल परास में से खंभे तक की प्रारंभिक दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है:
$s = R - 30 = 90 - 30 = 60 \,m$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रक्षेप्य गति के लिए अधिकतम परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि परास $R$,अधिकतम परास की आधी है,इसलिए $R = \frac{R_{\max}}{2} = \frac{u^2}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होता है।
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin 2\theta = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $2\theta = 30^{\circ}$,जिससे $\theta = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $t=0$ पर जहाज $A$ की स्थिति $(0, 200)$ और जहाज $B$ की स्थिति $(0, 0)$ है।
जहाज $A$ का वेग $\vec{v}_A = -20 \hat{i} \ km h^{-1}$ है।
जहाज $B$ का वेग $\vec{v}_B = 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = 20 \hat{i} + 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ है।
सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = -200 \hat{j} \ km$ है।
समय $t$ पर दूरी $d = |\vec{r}_{BA} + \vec{v}_{BA} t| = |20t \hat{i} + (10t - 200) \hat{j}|$ है।
$d^2 = (20t)^2 + (10t - 200)^2 = 500t^2 - 4000t + 40000$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी के लिए,$\frac{d(d^2)}{dt} = 1000t - 4000 = 0 \implies t = 4 \ h$।
न्यूनतम दूरी $d = \sqrt{500(4)^2 - 4000(4) + 40000} = \sqrt{32000} = 80 \sqrt{5} \ km$ है।

(C) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल का एक सूक्ष्म खंड मानिए।
इस सूक्ष्म खंड का द्रव्यमान $dm = \rho A dx$ है।
इस सूक्ष्म खंड पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) x \omega^2 = (\rho A dx) x \omega^2$ है।
छड़ पर कुल अभिकेंद्री बल $F$,$x = 0$ से $x = l$ तक $dF$ का समाकलन है:
$F = \int_0^l \rho A \omega^2 x dx = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{\rho A \omega^2 l^2}{2}$.
प्रति इकाई क्षेत्रफल पर अभिकेंद्री बल $\frac{F}{A} = \frac{\rho \omega^2 l^2}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।

(B) अवमंदित दोलन में,समय $t$ पर आयाम $a$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = a_0 e^{-bt}$
जहाँ $a_0$ प्रारंभिक आयाम है और $b$ अवमंदन स्थिरांक है।
दिया गया है कि $1$ मिनट ($t = 1$ मिनट) में आयाम आधा हो जाता है:
$\frac{a_0}{2} = a_0 e^{-b(1)}$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$
हमें $3$ मिनट ($t = 3$ मिनट) बाद आयाम ज्ञात करना है,जो $\frac{a_0}{x}$ दिया गया है:
$\frac{a_0}{x} = a_0 e^{-b(3)}$
$\frac{1}{x} = (e^{-b})^3$
$e^{-b} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{x} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
अतः,$x = 8$.

(C) दिया गया है:
अधिकतम संपीड़न (आयाम $A$) $= 2 x_0$
ब्लॉक की दूसरी दीवार से दूरी $= x_0$
ब्लॉक का द्रव्यमान $= m$
चूंकि ब्लॉक को चरम स्थिति से छोड़ा जाता है,समय के फलन के रूप में इसका विस्थापन $x(t)$ इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$x(t) = A \cos(\omega t)$
जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ कोणीय आवृत्ति है।
साम्यावस्था को $x = 0$ मानते हुए,ब्लॉक शुरू में $x = -2 x_0$ (संपीड़ित स्थिति) पर है। जब यह दूसरी दीवार की ओर बढ़ता है,तो यह साम्यावस्था से गुजरता है और $x = +x_0$ पर दीवार से टकराता है।
समीकरण में $x = x_0$ और $A = 2 x_0$ रखने पर:
$x_0 = 2 x_0 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,हमें मिलता है:
$\omega t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3 \omega} = \frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$
गति का पुनः मूल्यांकन करने पर: ब्लॉक $x = -2 x_0$ से शुरू होकर $x = +x_0$ तक जाता है। $x = -2 x_0$ से $x = 0$ तक जाने में लगा समय $T/4$ है। $x = 0$ से $x = x_0$ तक जाने में लगा समय $\sin(\omega t) = \frac{x_0}{2 x_0} = \frac{1}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{6 \omega}$।
कुल समय $t = \frac{T}{4} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{\pi}{2 \omega} + \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{4 \pi}{6 \omega} = \frac{2 \pi}{3 \omega} = \frac{2 \pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$।

(D) दिया गया है: लटके हुए पिंड का द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,टकराने वाले पिंड का द्रव्यमान $m = 0.5 \,kg$,टकराने वाले पिंड का वेग $v = 3 \,ms^{-1}$,और आवृत्ति $f = \frac{10}{\pi} \,Hz$.
टक्कर के बाद,निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m = 1 + 0.5 = 1.5 \,kg$ होगा।
दोलन आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M_{total}}}$ है।
स्प्रिंग नियतांक $k$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $k = (2\pi f)^2 M_{total} = (2\pi \times \frac{10}{\pi})^2 \times 1.5 = (20)^2 \times 1.5 = 400 \times 1.5 = 600 \,Nm^{-1}$।
टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $m v = (M + m) v'$,जहाँ $v'$ टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान का वेग है।
$0.5 \times 3 = 1.5 \times v' \Rightarrow 1.5 = 1.5 v' \Rightarrow v' = 1 \,ms^{-1}$।
आयाम $A$ और अधिकतम वेग $v'$ के बीच संबंध $v' = A \omega$ है,जहाँ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{10}{\pi} = 20 \,rad/s$।
$A = \frac{v'}{\omega} = \frac{1}{20} \,m = 0.05 \,m = 5 \,cm$।
अतः,आयाम $5 \,cm$ है और स्प्रिंग नियतांक $600 \,Nm^{-1}$ है।

(C) $S.H.M.$ में,विस्थापन $x = A \sin \omega t$ है।
वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ और त्वरण $a = -\omega^2 x$ है।
$A$. वेग माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर अधिकतम होता है,इसलिए $A-II$ है।
$B$. गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है। $K.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ के लिए,$x = \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है। इसलिए $B-III$ है।
$C$. स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है। $P.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ के लिए,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ प्राप्त होता है। इसलिए $C-IV$ है।
$D$. त्वरण चरम स्थिति $(x = A)$ पर अधिकतम होता है,इसलिए $D-I$ है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(A) चित्र में दर्शाया गया विस्थापन-समय ग्राफ एक ज्या तरंग (sine wave) है, इसलिए विस्थापन का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
ग्राफ से, आयाम $A = 1 \,cm$ और आवर्तकाल $T = 8 \,s$ है।
अतः, कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ है।
विस्थापन का समीकरण $x = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ है।
सरल आवर्त गति में त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ होता है।
$t = \frac{4}{3} \,s$ पर मान रखने पर:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times \frac{4}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{32} \pi^2 \,cm \,s^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए कि जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है तो आवर्तकाल $T_1$ है, और जब लिफ्ट समान त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है तो आवर्तकाल $T_2$ है।
ऊपर की ओर गति करते समय प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g + a$ है, और नीचे की ओर गति करते समय $g'' = g - a$ है।
आवर्तकाल इस प्रकार हैं:
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ $(i)$
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$ $(ii)$
दिए गए अनुपात $T_1 : T_2 = 1 : 2$ के अनुसार:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g-a}{g+a}} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{g-a}{g+a} = \frac{1}{4}$
$4(g - a) = g + a$
$4g - 4a = g + a$
$3g = 5a$
$a = \frac{3g}{5} = \frac{3 \times 10}{5} = 6 \,ms^{-2}$

(B) बिंदु $A$ और $B$ $SHM$ की चरम स्थितियाँ हैं क्योंकि इन बिंदुओं पर वेग शून्य है।
चरम स्थितियों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $L = b - a$ है।
$SHM$ का आयाम $A_{amp}$ चरम स्थितियों के बीच की दूरी का आधा होता है:
$A_{amp} = \frac{b - a}{2}$
संतुलन स्थिति (माध्य स्थिति) $A$ और $B$ के मध्य बिंदु पर है,जो $O$ से $\frac{a + b}{2}$ की दूरी पर है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर $SHM$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A_{amp}^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ और $B$ के बीच के मध्य बिंदु पर,कण माध्य स्थिति पर होता है,इसलिए विस्थापन $x = 0$ है।
अतः,मध्य बिंदु पर वेग अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A_{amp}$ होता है।
दिया गया है कि $v_{max} = v$,इसलिए $v = \omega \left(\frac{b - a}{2}\right)$।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{2v}{b - a}$
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\left(\frac{2v}{b - a}\right)} = \frac{\pi(b - a)}{v}$

(B) दिया गया है: हथौड़े का द्रव्यमान $M = 200 \ kg$,स्टील ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,हथौड़े का वेग $v = 8 \ ms^{-1}$,और स्टील की विशिष्ट ऊष्मा धारिता $s = 460 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$।
हथौड़े की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} M v^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $KE = \frac{1}{2} \times 200 \times 8^2 = 100 \times 64 = 6400 \ J$।
इस ऊर्जा का केवल $23 \%$ भाग स्टील ब्लॉक को गर्म करने के लिए उपयोग किया जाता है।
ऊष्मीय ऊर्जा $H = 6400 \ J \text{ का } 23 \% = \frac{23}{100} \times 6400 = 1472 \ J$।
ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मा $H = m s \Delta T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta T$ तापमान में वृद्धि है।
$\Delta T = \frac{H}{m s} = \frac{1472}{0.2 \times 460} = \frac{1472}{92} = 16 \ K$।
अतः,ब्लॉक के तापमान में वृद्धि $16 \ K$ है।

(D) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
तापमान का अंतर,$\Delta T = 80^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 80 \text{ K}$
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान,$m = 20 \text{ g}$
लिया गया समय,$t = 5 \text{ min} = 300 \text{ s}$
बर्फ की गुप्त ऊष्मा,$L = 80 \text{ cal/g} = 80 \times 4.184 \text{ J/g} = 334.72 \text{ J/g}$
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा,$Q = m \times L = 20 \text{ g} \times 334.72 \text{ J/g} = 6694.4 \text{ J}$
ऊष्मा प्रवाह की दर,$H = \frac{Q}{t} = \frac{6694.4 \text{ J}}{300 \text{ s}} \approx 22.314 \text{ W}$
ऊष्मीय चालन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$H = \frac{k A \Delta T}{l}$
$22.314 = \frac{k \times (2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 80 \text{ K}}{0.1 \text{ m}}$
$22.314 = k \times 0.224$
$k = \frac{22.314}{0.224} \approx 99.61 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में,$k \approx 100 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$.

(D) यह प्रणाली श्रृंखला में तीन परतों से बनी है: कांच, हवा और कांच। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R = \frac{l}{kA}$ है।
दिया गया है: $l_1 = l_3 = 1 \,cm = 0.01 \,m$, $l_2 = 5 \,cm = 0.05 \,m$, $A = 2.6 \,m^2$, $k_{glass} = 0.8 \,Wm^{-1} K^{-1}$, $k_{air} = 0.08 \,Wm^{-1} K^{-1}$।
$R_1 = R_3 = \frac{0.01}{0.8 \times 2.6} = \frac{0.01}{2.08} \approx 0.0048 \,K/W$।
$R_2 = \frac{0.05}{0.08 \times 2.6} = \frac{0.05}{0.208} \approx 0.2404 \,K/W$।
$R_{eq} = 2 \times \left(\frac{0.01}{2.08}\right) + \frac{0.05}{0.208} = \frac{0.02}{2.08} + \frac{0.5}{2.08} = \frac{0.52}{2.08} = 0.25 \,K/W$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{18 - (-2)}{0.25} = \frac{20}{0.25} = 80 \,W$।

(C) चालन द्वारा घन की दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_0)}{x}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 6a^2 = 6 \times (60 \text{ cm})^2 = 21600 \text{ cm}^2$.
मोटाई $x = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
ऊष्मीय चालकता $k = 4 \times 10^{-4} \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} {}^{\circ}\text{C}^{-1}$.
तापमान का अंतर $\Delta T = 1000^{\circ}\text{C}$.
ऊष्मा प्रवाह दर को $SI$ इकाइयों (वाट) में बदलने के लिए,हम $4.184 \text{ J/cal}$ से गुणा करते हैं:
$P = \frac{k A \Delta T}{x} \times 4.184 = \frac{4 \times 10^{-4} \times 21600 \times 1000}{0.1} \times 4.184 \text{ W}$.
$P = 86400 \times 4.184 = 361497.6 \text{ W}$.
चूंकि $P = V^2/R$,इसलिए $R = V^2/P = (400)^2 / 361497.6 = 160000 / 361497.6 \approx 0.4426 \Omega$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,प्रतिरोध $0.441 \Omega$ है।

(A) ऊष्मा चालकों के श्रेणी संयोजन में,ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ प्रत्येक छड़ से समान रहती है।
$H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{l}$
चूंकि $A$ और $l$ तीनों छड़ों के लिए समान हैं,इसलिए ऊष्मा धारा $H$,$k \Delta T$ के समानुपाती है।
मान लीजिए $H$ स्थिर ऊष्मा धारा है। तब:
$H = \frac{(2K)A(100 - T_1)}{l} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l} = \frac{(K/2)A(T_2 - 0)}{l}$
सभी भागों से $\frac{KA}{l}$ को हटाने पर:
$2(100 - T_1) = (T_1 - T_2) = 0.5 T_2$
दूसरे और तीसरे भाग से:
$T_1 - T_2 = 0.5 T_2 \Rightarrow T_1 = 1.5 T_2 = \frac{3}{2} T_2$
पहले और दूसरे भाग से:
$2(100 - T_1) = T_1 - T_2$
$200 - 2T_1 = T_1 - T_2$
$200 = 3T_1 - T_2$
समीकरण में $T_1 = \frac{3}{2} T_2$ रखने पर:
$200 = 3(\frac{3}{2} T_2) - T_2$
$200 = \frac{9}{2} T_2 - T_2 = \frac{7}{2} T_2$
$T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$
अब,$T_1$ ज्ञात करें:
$T_1 = \frac{3}{2} (\frac{400}{7}) = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$
अतः,तापमान $T_1 = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$ और $T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$ हैं।

(B) विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$.
यहाँ $dQ = -mc dT$,जहाँ $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ और $A = 4 \pi r^2$ है।
अतः,$-mc \frac{dT}{dt} = \sigma A T^4$ ($T_0 = 0 \ K$ लेने पर)।
समय $t$ के लिए समाकलन करने पर: $t = -\frac{mc}{\sigma A} \int_{200}^{100} T^{-4} dT$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $t = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) C}{\sigma (4 \pi r^2)} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{T^3} \right]_{100}^{200}$।
इस गणना से अंतिम उत्तर $\frac{1}{48} \frac{r \rho C}{\sigma} \mu s$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $(b)$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है। यह व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$-\frac{dT}{dt} = k'(T - T_0)$
जहाँ $k' = \frac{k}{ms}$ एक स्थिरांक है,$T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
इस अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित और समाकलित करने पर:
$\int \frac{dT}{T - T_0} = -\int k' dt$
$\ln(T - T_0) = -k't + C$
$T - T_0 = e^{-k't + C} = Ae^{-k't}$
$T = T_0 + Ae^{-k't}$
यह समीकरण समय $t$ के बढ़ने के साथ परिवेश के तापमान $T_0$ की ओर तापमान $T$ के घातीय क्षय को दर्शाता है। $t = 0$ पर,$T$ अधिकतम है,और जैसे-जैसे $t \to \infty$,$T \to T_0$ होता है। जो ग्राफ इस घातीय क्षय को दर्शाता है,वह ग्राफ $(b)$ है।

(C) दिया गया है कि गोले $P$ का वजन गोले $Q$ के वजन का $8$ गुना है। अर्थात,$m_P = 8 m_Q$.
स्टीफन के नियम के अनुसार,किसी वस्तु से ऊष्मा विकिरण की दर $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A T^4$ ... $(i)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ उत्सर्जन क्षमता है,$\sigma$ स्टीफन नियतांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।
साथ ही,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ ... (ii) है,जहाँ $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $mc \frac{dT}{dt} = e \sigma A T^4 \implies \frac{dT}{dt} = \frac{e \sigma A T^4}{mc}$.
चूंकि गोले समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए $c$ और $e$ स्थिर हैं। गोले के लिए,$m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r \propto m^{1/3}$.
सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2 \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$.
अतः,ठंडा होने की दर $\frac{dT}{dt} \propto \frac{A}{m} \propto \frac{m^{2/3}}{m} = m^{-1/3}$.
इसलिए,$\frac{(\frac{dT}{dt})_Q}{(\frac{dT}{dt})_P} = (\frac{m_P}{m_Q})^{1/3} = (\frac{8 m_Q}{m_Q})^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$.

(D) दिया गया है, गोलीय दर्पण की फोकस दूरी $f = 150 \,cm$ है। स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 12 \times 10^{-6} \,^{\circ}C^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि वक्रता त्रिज्या $R$ और फोकस दूरी $f$ के बीच संबंध $f = R/2$ होता है। इसलिए, फोकस दूरी में परिवर्तन $\Delta f$ और त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R$ के बीच संबंध $\Delta f = \Delta R / 2$ है।
रेखीय प्रसार गुणांक की परिभाषा है: $\alpha = \frac{\Delta R}{R \Delta T}$.
$\Delta R = 2 \Delta f$ और $R = 2f$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\alpha = \frac{2 \Delta f}{(2f) \Delta T} = \frac{\Delta f}{f \Delta T}$.
अतः, $\Delta f = f \alpha \Delta T$.
अंतिम फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार होगी: $f' = f + \Delta f = f(1 + \alpha \Delta T)$.
मान रखने पर: $f' = 150(1 + 12 \times 10^{-6} \times 200)$.
$f' = 150(1 + 2400 \times 10^{-6}) = 150(1 + 0.0024) = 150(1.0024)$.
$f' = 150.36 \,cm$.

(C) दिया गया है: $0^{\circ} C$ पर लकड़ी का घनत्व,$\rho_w = 880 \ kg \ m^{-3}$.
$0^{\circ} C$ पर बेंजीन का घनत्व,$\rho_b = 900 \ kg \ m^{-3}$.
लकड़ी का आयतन प्रसार गुणांक,$\gamma_w = 1.2 \times 10^{-3} \ ^{\circ}C^{-1}$.
बेंजीन का आयतन प्रसार गुणांक,$\gamma_b = 1.5 \times 10^{-3} \ ^{\circ}C^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान,$T_1 = 0^{\circ} C$.
मान लीजिए $T_2$ वह तापमान है जिस पर लकड़ी डूब जाती है और $\Delta T = T_2 - T_1$.
लकड़ी तब डूबती है जब उसका घनत्व $T_2$ तापमान पर बेंजीन के घनत्व के बराबर हो जाता है।
$T$ तापमान पर घनत्व का सूत्र: $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta T}$.
घनत्वों की तुलना करने पर: $\frac{\rho_w}{1 + \gamma_w \Delta T} = \frac{\rho_b}{1 + \gamma_b \Delta T}$.
मान रखने पर: $\frac{880}{1 + 1.2 \times 10^{-3} \Delta T} = \frac{900}{1 + 1.5 \times 10^{-3} \Delta T}$.
$880(1 + 1.5 \times 10^{-3} \Delta T) = 900(1 + 1.2 \times 10^{-3} \Delta T)$.
$880 + 1.32 \Delta T = 900 + 1.08 \Delta T$.
$(1.32 - 1.08) \Delta T = 900 - 880$.
$0.24 \Delta T = 20$.
$\Delta T = \frac{20}{0.24} \approx 83.3^{\circ} C$.
अतः,$T_2 = 83.3^{\circ} C$.

(B) जब किसी धातु की प्लेट को गर्म किया जाता है,तो उसमें ऊष्मीय प्रसार होता है,जिसका अर्थ है कि उसके सभी आयाम मूल लंबाई के अनुपात में बढ़ जाते हैं।
यह वस्तु के फोटोग्राफिक विस्तार के समान है।
दिए गए चित्र में,अंतराल $x$ और $y$ अनिवार्य रूप से धातु की प्लेटों की सीमाओं द्वारा परिभाषित खाली स्थान हैं।
जैसे-जैसे प्लेटें गर्म होने पर फैलती हैं,प्लेटों का पदार्थ उस स्थान में चला जाता है जो पहले अंतराल द्वारा कब्जा कर लिया गया था।
चूंकि पूरी प्लेट समान रूप से फैलती है,इसलिए $x$ और $y$ अंतराल को परिभाषित करने वाली सीमाएं एक-दूसरे के करीब आ जाती हैं।
इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अंतराल $x$ और $y$ के आयाम कम हो जाएंगे।

(B) दिया गया है: छड़ की लंबाई $L = 10 \ m$,तापमान में वृद्धि $\Delta T = 40^{\circ} C$,और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} {}^{\circ} C^{-1}$।
ऊष्मीय प्रसार के कारण लंबाई में परिवर्तन:
$\Delta L = L \alpha \Delta T = 10 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 40 = 0.01 \ m = 1 \ cm$.
छड़ की नई कुल लंबाई $L' = L + \Delta L = 10 + 0.01 = 10.01 \ m$.
जब छड़ मुड़ती है,तो यह मूल लंबाई को आधार मानकर एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। छड़ का मध्य बिंदु $x$ दूरी तक ऊपर उठता है। छड़ के दो आधे भाग $5 \ m$ आधार और $x$ ऊंचाई वाले दो समकोण त्रिभुजों के कर्ण बनाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$x^2 + 5^2 = (L'/2)^2$
$x^2 + 25 = (10.01 / 2)^2 = (5.005)^2$
$x^2 = 25.050025 - 25 = 0.050025$
$x = \sqrt{0.050025} \approx 0.2236 \ m = 22.36 \ cm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$, इसलिए $\Delta Q = W_{net} = 5 \,J$ है।
चक्र में किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 5 \,J$ है।
$V-P$ ग्राफ से (ध्यान दें: $y$-अक्ष पर $V$ और $x$-अक्ष पर $P$ है):
प्रक्रिया $A \rightarrow B$: यह एक स्थिर दाब प्रक्रिया $(P = 10 \,N/m^2)$ है जहाँ आयतन $1 \,m^3$ से बढ़कर $2 \,m^3$ हो जाता है। कार्य $W_{AB} = P \Delta V = 10 \times (2 - 1) = 10 \,J$ है।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$: यह एक स्थिर आयतन प्रक्रिया $(V = 2 \,m^3)$ है। कार्य $W_{BC} = 0 \,J$ है।
इन मानों को कुल कार्य के समीकरण में रखने पर:
$10 \,J + 0 \,J + W_{CA} = 5 \,J$
$W_{CA} = 5 - 10 = -5 \,J$ प्राप्त होता है।
अतः, प्रक्रिया $C \rightarrow A$ के दौरान किए गए कार्य का परिमाण $|W_{CA}| = |-5 \,J| = 5 \,J$ है।

(D) दिया गया संबंध $V = k T^{2/3}$ है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = RT$ ($1 \ mole$ के लिए),इसलिए $P = \frac{RT}{V}$।
किया गया कार्य $W = \int P \ dV = \int \frac{RT}{V} \ dV$ द्वारा दिया जाता है।
$V = k T^{2/3}$ से,तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dV = k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT$।
$V$ और $dV$ का मान कार्य के समाकलन में रखने पर:
$W = \int \frac{RT}{k T^{2/3}} \cdot (k \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3} \ dT) = \int R \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \ dT = \int \frac{2}{3} R \ dT$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 60 \ K$ दिया गया है,इसलिए किया गया कार्य:
$W = \frac{2}{3} R \int_{T_1}^{T_2} dT = \frac{2}{3} R \Delta T = \frac{2}{3} R (60) = 40 R$।

(A) प्रारंभिक अवस्था: $T$ तापमान पर द्वि-परमाणुक गैस के $4$ मोल। आंतरिक ऊर्जा $U_i = 4 \times \frac{5}{2} RT = 10 RT$ है।
अंतिम अवस्था: विघटन के बाद,$2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस शेष रहती है,और $2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस $4$ मोल एक-परमाणुक गैस में विघटित हो जाती है (क्योंकि $1$ मोल $X_2$ से $2$ मोल $X$ प्राप्त होते हैं)।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_f = (2 \times \frac{5}{2} RT) + (4 \times \frac{3}{2} RT) = 5 RT + 6 RT = 11 RT$ है।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए दी गई ऊष्मा $Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होती है।
$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रत्येक स्थिति के लिए दक्षता की गणना:
$(A)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 300 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$ ($iii$ से मेल खाता है)
$(B)$ $T_1 = 500 \text{ K}, T_2 = 350 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{350}{500} = 1 - 0.7 = 0.3$ ($ii$ से मेल खाता है)
$(C)$ $T_1 = 800 \text{ K}, T_2 = 400 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$ ($iv$ से मेल खाता है)
$(D)$ $T_1 = 450 \text{ K}, T_2 = 360 \text{ K} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{360}{450} = 1 - 0.8 = 0.2$ ($i$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-iii, B-ii, C-iv, D-i$ है।

(B) स्रोत तापमान $T_1$ और सिंक तापमान $T_2$ के बीच कार्य करने वाले कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = (1 - \frac{T_2}{T_1}) \times 100$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\eta_1 = 40 \% = 0.4$ और $T_1 = 500 \ K$ है।
$0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \implies \frac{T_2}{500} = 0.6 \implies T_2 = 300 \ K$।
दूसरी स्थिति के लिए,हम समान सिंक तापमान $T_2 = 300 \ K$ के साथ $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ चाहते हैं।
$0.6 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 1 - 0.6 = 0.4$।
$T_1' = \frac{300}{0.4} = 750 \ K$।
अतः,आवश्यक स्रोत तापमान $750 \ K$ है।

(B) कार्नोट ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों ऊष्मा इंजनों $X$ और $Y$ की दक्षता समान है, अतः $\eta_X = \eta_Y$.
इंजन $X$ के लिए, स्रोत का तापमान $900 \,K$ है और सिंक का तापमान $T \,K$ है। अतः, $\eta_X = 1 - \frac{T}{900}$.
इंजन $Y$ के लिए, स्रोत का तापमान $T \,K$ है और सिंक का तापमान $400 \,K$ है। अतः, $\eta_Y = 1 - \frac{400}{T}$.
दक्षताओं की तुलना करने पर:
$1 - \frac{T}{900} = 1 - \frac{400}{T}$
$\frac{T}{900} = \frac{400}{T}$
$T^2 = 900 \times 400$
$T^2 = 360000$
$T = \sqrt{360000} = 600 \,K$.
अतः, तापमान $T$ का मान $600 \,K$ है।

(C) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 5$, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \, K$ ($STP$ पर), अंतिम तापमान $T_2 = 673 \, K$, गैस नियतांक $R = 8.3 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$, और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ का सूत्र है: $\Delta U = n C_v \Delta T$।
चूंकि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$, समीकरण में मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (T_2 - T_1)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{1.4 - 1} \right) \times (673 - 273)$।
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.3}{0.4} \right) \times 400$।
$\Delta U = 5 \times 8.3 \times 1000$।
$\Delta U = 41500 \, J = 41.5 \, kJ$।
अतः, आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $41.5 \, kJ$ है।

(C) स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा का सूत्र $Q = n C_v \Delta T$ है।
यहाँ,$n$ मोलों की संख्या है,$C_v$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{35}{32} \ mol$.
ऑक्सीजन एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ है।
अतः,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
मान रखने पर: $Q = \left( \frac{35}{32} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times 80$.
$Q = \frac{35}{32} \times 5 \times 8.3 \times 40$.
$Q = 35 \times 5 \times 8.3 \times 1.25 = 1815.625 \ J$.
$Q \approx 1.81 \ kJ$.

(C) दिया गया ग्राफ एक $P-T$ आरेख है। एक चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख में घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। $P-T$ आरेख के लिए हम $PV = nRT$ संबंध का उपयोग कर सकते हैं।
आदर्श गैस के लिए, प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \int P dV$ है।
आदर्श गैस समीकरण से, $V = \frac{nRT}{P}$, इसलिए $dV = \frac{nR}{P} dT - \frac{nRT}{P^2} dP$।
दिए गए $P-T$ आरेख में, प्रक्रियाएँ $AB$ और $CD$ समआयतनिक (isochoric) हैं (क्योंकि वे मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं पर स्थित हैं, $P \propto T \implies V = \text{स्थिर}$), और प्रक्रियाएँ $BC$ और $DA$ समदाबी (isobaric) हैं (क्योंकि $P$ स्थिर है)।
समआयतनिक प्रक्रियाओं ($AB$ और $CD$) में किया गया कार्य $0$ है।
समदाबी प्रक्रियाओं में किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T$ है।
प्रक्रिया $BC$ के लिए (समदाबी, $P_B$ पर): $W_{BC} = nR(T_C - T_B) = 3R(2400 - 800) = 3R(1600) = 4800R$।
प्रक्रिया $DA$ के लिए (समदाबी, $P_A$ पर): $W_{DA} = nR(T_A - T_D) = 3R(400 - 1200) = 3R(-800) = -2400R$।
कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 0 + 4800R + 0 - 2400R = 2400R$।

(C) सही कथन $1$ और $4$ हैं।
$1$. समतापीय प्रक्रिया के लिए, $pV = \text{स्थिरांक}$। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ प्राप्त होता है, जो ढाल $\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$ देता है। यह सही है।
$2$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $pV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$। $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ प्राप्त होता है, जो ढाल $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ देता है। अतः, कथन $2$ गलत है।
$3$. समआयतनिक प्रक्रिया में, आयतन $V$ स्थिर रहता है, इसलिए $dV = 0$। ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, और ढाल $\frac{dp}{dV}$ अपरिभाषित (या $\infty$) है। अतः, कथन $3$ गलत है।
$4$. समदाबी प्रक्रिया में, दबाव $p$ स्थिर रहता है, इसलिए $dp = 0$। ग्राफ आयतन अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है, और ढाल $\frac{dp}{dV} = 0$ है। यह सही है।

(C) निर्वात की पारगम्यता को $\mu_0 \propto e^a m^b c^c h^d$ या $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$ ...$(i)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$\mu_0 = [M L T^{-2} A^{-2}]$
$e = [A T]$
$m = [M]$
$c = [L T^{-1}]$
$h = [M L^2 T^{-1}]$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M]^{b+d} [L]^{c+2d} [T]^{a-c-d} [A]^a$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$a = -2$
$b + d = 1$
$c + 2d = 1$
$a - c - d = -2$
$a = -2$ को $a - c - d = -2$ में रखने पर $-2 - c - d = -2$ प्राप्त होता है,अतः $c + d = 0$,जिसका अर्थ है $c = -d$.
$c = -d$ को $c + 2d = 1$ में रखने पर $-d + 2d = 1$ प्राप्त होता है,अतः $d = 1$.
इसके बाद $c = -1$ और $b = 1 - d = 1 - 1 = 0$.
अतः,$\mu_0 = k e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = k \frac{h}{c e^2}$.
इसलिए,$\mu_0$ को $\frac{h}{c e^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(D) ऊष्मीय चालकता गुणांक $[k]$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]$ है।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $[G]$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{[k]}{[G]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} K^{-1}]}{[M^{-1} L^3 T^{-2}]} = [M^{1-(-1)} L^{1-3} T^{-3-(-2)} K^{-1}] = [M^2 L^{-2} T^{-1} K^{-1}]$.
इसकी तुलना दिए गए विमीय सूत्र $[M^{2a} L^{4b} T^{2c} K^d]$ से करने पर:
$2a = 2 \implies a = 1$
$4b = -2 \implies b = -\frac{1}{2}$
$2c = -1 \implies c = -\frac{1}{2}$
$d = -1$
अब,आवश्यक व्यंजक की गणना करने पर: $\frac{a+b}{c+b} - d = \frac{1 + (-1/2)}{-1/2 + (-1/2)} - (-1) = \frac{1/2}{-1} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

(C) मान लीजिए कि अवलोकन बिंदु से भूकंप के केंद्र की दूरी $d$ है।
$S$-तरंग की गति, $v_S = 4.5 \,km/s$.
$P$-तरंग की गति, $v_P = 8.0 \,km/s$.
चूंकि दोनों तरंगों के लिए दूरी $d$ समान है, इसलिए $d = v_P t_P = v_S t_S$.
अतः, $8.0 t_P = 4.5 t_S$, जिससे $t_P = \frac{4.5}{8.0} t_S \quad \dots (i)$ प्राप्त होता है।
पहली $P$-तरंग पहली $S$-तरंग से $3.5 \,min$ पहले पहुँचती है, इसलिए $t_S - t_P = 3.5 \,min = 3.5 \times 60 \,s = 210 \,s \quad \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$t_S - \frac{4.5}{8.0} t_S = 210$
$\frac{8.0 t_S - 4.5 t_S}{8.0} = 210$
$\frac{3.5 t_S}{8.0} = 210$
$t_S = \frac{210 \times 8.0}{3.5} = 480 \,s$.
अब, दूरी $d = v_S t_S = 4.5 \,km/s \times 480 \,s = 2160 \,km$।

(B) $A \rightarrow$ अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।
$B \rightarrow$ अनुदैर्ध्य तरंग में, माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं।
$C \rightarrow$ विस्पंद (Beats) समान दिशा में यात्रा करने वाली थोड़ी अलग आवृत्तियों वाली दो तरंगों के अध्यारोपण के कारण उत्पन्न होने वाली घटना है।
$D \rightarrow$ अप्रगामी तरंगें (Stationary waves) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण के कारण उत्पन्न होती हैं।
अतः, सही मिलान $A-(ii), B-(i), C-(iv), D-(iii)$ है, जो विकल्प $(B)$ के अनुरूप है।

$(A)$ $\text{दिया गया है: } n_0 = 140 \,Hz, T_0 = 27^{\circ} C = 300 \,K, \text{और } T_1 = 57.75^{\circ} C = 330.75 \,K$.
$\text{चूंकि ऑर्गन पाइप की आवृत्ति ध्वनि की गति के समानुपाती होती है } (n \propto v), \text{और ध्वनि की गति परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है } (v \propto \sqrt{T}), \text{इसलिए } n \propto \sqrt{T} \text{ होता है।}
\text{अतः, } \frac{n_1}{n_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_0}}.
\text{मान रखने पर: } \frac{n_1}{140} = \sqrt{\frac{330.75}{300}} = \sqrt{1.1025} = 1.05.
\text{इस प्रकार, } n_1 = 140 \times 1.05 = 147 \,Hz.
\text{प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: } n_1 - n_0 = 147 \,Hz - 140 \,Hz = 7 \,Hz.
\text{अतः, सही विकल्प } A \text{ है।}$

(B) दिया गया है:
स्रोतों की आवृत्ति $f_A = f_B = 680 \,Hz$ है।
ध्वनि की गति $v_s = 340 \,ms^{-1}$ है।
श्रोता का वेग $v$ है।
बीट आवृत्ति $n = 10 \,Hz$ है।
जैसे ही श्रोता $A$ से $B$ की ओर बढ़ता है, वह $B$ के करीब जा रहा है और $A$ से दूर जा रहा है।
$A$ से प्राप्त आभासी आवृत्ति $f'_A = f_A \left( \frac{v_s - v}{v_s} \right)$ है।
$B$ से प्राप्त आभासी आवृत्ति $f'_B = f_B \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right)$ है।
बीट आवृत्ति $n = f'_B - f'_A$ है।
$10 = 680 \left( \frac{340 + v}{340} \right) - 680 \left( \frac{340 - v}{340} \right)$.
$10 = \frac{680}{340} (340 + v - 340 + v)$.
$10 = 2 (2v)$.
$10 = 4v$.
$v = \frac{10}{4} = 2.5 \,ms^{-1}$.

(A) जब कोई प्रेक्षक ध्वनि के स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति बढ़ जाती है।
डॉप्लर प्रभाव का सामान्य सूत्र $f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ है।
चूंकि स्रोत स्थिर है,इसलिए $v_s = 0$ है।
दिया गया है कि प्रेक्षक की चाल $v_0 = \frac{v}{5}$ है,अतः आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ होगी:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f \left( \frac{1.2v}{v} \right) = 1.2 f$.
ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य केवल स्रोत और माध्यम पर निर्भर करती है। चूंकि स्रोत स्थिर है और माध्यम में कोई परिवर्तन नहीं है,इसलिए प्रेक्षक तक पहुँचने वाली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ही रहेगी।
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $1.2 f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।

(D) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{2 I}{\epsilon_0 c}}$.
दिए गए मान हैं: $I = 53.1 \ W \ m^{-2}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 53.1}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{106.2}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{4 \times 10^4} = 200 \ N \ C^{-1}$.

(C) $A \rightarrow (iii)$: विद्युत के लिए गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
$B \rightarrow (i)$: चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,अर्थात $\oint B \cdot dA = 0$।
$C \rightarrow (ii)$: फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल है,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi_B}{dt}$।
$D \rightarrow (iv)$: एम्पीयर-मैक्सवेल नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र का रेखा समाकल $\oint B \cdot dl = \mu_0(i_c + i_d)$ होता है,जहाँ $i_c$ चालन धारा है और $i_d$ विस्थापन धारा है।

(C) दिया गया है:
प्लेटों की त्रिज्या, $r = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$
प्लेटों के बीच की दूरी, $d = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$
विभवांतर के परिवर्तन की दर, $\frac{dV}{dt} = 5 \times 10^6 \,Vs^{-1}$
निर्वात की विद्युतशीलता, $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$
प्लेटों का क्षेत्रफल, $A = \pi r^2 = \pi \times (2 \times 10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4} \,m^2$
विस्थापन धारा $I_d$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 A \frac{dE}{dt}$
चूंकि $E = \frac{V}{d}$, इसलिए $\frac{dE}{dt} = \frac{1}{d} \frac{dV}{dt}$
अतः, $I_d = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{dV}{dt}$
मान रखने पर:
$I_d = (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{4\pi \times 10^{-4}}{10^{-4}} \times (5 \times 10^6)$
$I_d = 8.85 \times 10^{-12} \times 4\pi \times 5 \times 10^6$
$I_d = 8.85 \times 20\pi \times 10^{-6} \,A$
$I_d \approx 8.85 \times 62.83 \times 10^{-6} \,A$
$I_d \approx 556 \times 10^{-6} \,A = 0.556 \,mA$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए आवेश $q_A = +100 \mu C$,$q_B = -100 \mu C$,और $q_C = +100 \mu C$ हैं। भुजा की लंबाई $r = 4 \text{ m}$ है।
$1$. $A$ के कारण $C$ पर बल $(F_{CA})$: यह एक प्रतिकर्षण बल है जो $A$ से दूर $AC$ रेखा पर कार्य करता है। इसका परिमाण $F = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6})^2}{4^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{16} = \frac{90}{16} = 5.625 \text{ N}$ है।
$2$. $B$ के कारण $C$ पर बल $(F_{CB})$: यह एक आकर्षण बल है जो $B$ की दिशा में कार्य करता है। आवेश और दूरी समान होने के कारण इसका परिमाण भी $F = 5.625 \text{ N}$ है।
$3$. परिणामी बल: $F_{CA}$ और $F_{CB}$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है (चूंकि समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $AC$ के विस्तारित भाग और $CB$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है)। परिणामी बल $F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(120^{\circ})} = \sqrt{2F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2} = F = 5.625 \text{ N}$ है।
$4$. दिशा: चूंकि दोनों बलों के परिमाण समान हैं,इसलिए परिणामी बल उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। $F_{CA}$ और $F_{CB}$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है। परिणामी बल $F_{CA}$ (जो $AC$ की दिशा में है) के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,$AC$ के साथ कोण $60^{\circ}$ है।

(A) किसी भी निकाय पर आवेश को आवेश की मूल इकाई,यानी एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश के पूर्णांक गुणज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस घटना को विद्युत आवेश का क्वांटीकरण कहा जाता है।
इसे $q = \pm ne$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
आवेश को क्वांटीकृत कहा जाता है क्योंकि यह किसी भी मनमाने मान के बजाय केवल विविक्त (discrete) मान ही ले सकता है। उदाहरण के लिए,एक कण पर $+10e$ या $-6e$ का आवेश हो सकता है,लेकिन $3.57e$ का आवेश नहीं हो सकता है।
उपरोक्त चर्चा से यह स्पष्ट है कि विद्युत आवेश क्वांटीकृत होता है,जिसका अर्थ है कि आवेश केवल एक इलेक्ट्रॉन के आवेश के पूर्णांक गुणज के रूप में ही मौजूद हो सकता है। इसलिए,इलेक्ट्रॉन का आधा आवेश अस्तित्व में नहीं हो सकता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(A) मान लीजिए धागे की लंबाई $l$ है। संतुलन में,प्रत्येक गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $mg$ और स्थिरवैद्युत बल $F_e$ हैं। ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$,जहाँ $\theta$ धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है।
हवा में,धागों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$। गोलों के बीच की दूरी $r = 2l \sin 45^{\circ} = l\sqrt{2}$ है।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2 mg} \Rightarrow 1 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l^2) mg} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = 2mg$ (समीकरण $1$)।
द्रव में,धागों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\theta' = 30^{\circ}$। प्रभावी भार $m'g = V(d - \rho_{liquid})g = V(d - \frac{2}{3}d)g = \frac{mg}{3}$ है। स्थिरवैद्युत बल $F_e' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q^2}{r'^2}$ है,जहाँ $r' = 2l \sin 30^{\circ} = l$ है।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e'}{m'g} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r l^2 (mg/3)} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ की तुलना करने पर: $2mg = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r \Rightarrow \epsilon_r = 6\sqrt{3}$।

(C) प्रारंभ में,दोनों गोलों पर आवेश $q$ है। उनके बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k q^2}{r^2}$
जब एक गोले से दूसरे गोले में $10 \%$ इलेक्ट्रॉन स्थानांतरित किए जाते हैं,तो इलेक्ट्रॉन खोने वाले गोले पर आवेश $q + 0.1q = 1.1q$ हो जाता है,और इलेक्ट्रॉन प्राप्त करने वाले गोले पर आवेश $q - 0.1q = 0.9q$ हो जाता है।
नया बल $F^{\prime}$ इस प्रकार है:
$F^{\prime} = \frac{k(1.1q)(0.9q)}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 \frac{k q^2}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 F$

(D) प्रश्न के अनुसार,तीन आवेशित कणों को एक समकोण त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों पर रखा गया है,जहाँ $Q_A = +15 \ \mu C$,$Q_B = +12 \ \mu C$,और $Q_C = -20 \ \mu C$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,आवेश $A$ के कारण आवेश $B$ पर लगने वाला बल:
$F_{AB} = \frac{k |Q_A Q_B|}{r_{AB}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (15 \times 10^{-6}) \times (12 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 180 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1800 \ N$.
चूंकि $Q_A$ और $Q_B$ दोनों धनात्मक हैं,यह बल प्रतिकर्षण बल है।
आवेश $C$ के कारण आवेश $B$ पर लगने वाला बल:
$F_{BC} = \frac{k |Q_B Q_C|}{r_{BC}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (20 \times 10^{-6})}{(4 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 240 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-4}} = 1350 \ N$.
चूंकि $Q_B$ धनात्मक है और $Q_C$ ऋणात्मक है,यह बल आकर्षण बल है।
$F_{AB}$ और $F_{BC}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए परिणामी बल:
$F_B = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{(1800)^2 + (1350)^2} = \sqrt{3240000 + 1822500} = \sqrt{5062500} = 2250 \ N$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है,पहले कण पर आवेश $Q_1 = +3.72 \mu C$ और दूसरे कण पर आवेश $Q_2 = +1.86 \mu C$ है।
उनके बीच प्रारंभिक स्थिर-विद्युत बल $F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{k}{R^2} (3.72 \times 1.86) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (6.9192 \times 10^{-12}) \ N$ है।
यदि $Q_1$ का $20 \%$ भाग $Q_2$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$Q_1^{\prime} = Q_1 - 0.20 Q_1 = 0.80 Q_1 = 0.80 \times 3.72 = 2.976 \mu C$.
$Q_2^{\prime} = Q_2 + 0.20 Q_1 = 1.86 + (0.20 \times 3.72) = 1.86 + 0.744 = 2.604 \mu C$.
नया स्थिर-विद्युत बल $F_2 = \frac{k Q_1^{\prime} Q_2^{\prime}}{R^2} = \frac{k}{R^2} (2.976 \times 2.604) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (7.749504 \times 10^{-12}) \ N$ है।
बल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{F_2 - F_1}{F_1} \times 100 = \frac{7.749504 - 6.9192}{6.9192} \times 100 = \frac{0.830304}{6.9192} \times 100 \approx 12 \%$.
अतः,बल में $12 \%$ की वृद्धि होती है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) हवा में द्विध्रुव की अक्ष पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{axis}} = \frac{2kP}{r^3}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $E_{\text{axis}} = 4 \text{ NC}^{-1}$,इसलिए $4 = \frac{2kP}{r^3}$,जिसका अर्थ है $\frac{kP}{r^3} = 2$ (समीकरण $i$)।
$K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{eq}} = \frac{1}{K} \frac{kP}{r_1^3}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r_1 = 2r$ और $K = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $E_{\text{eq}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{kP}{8r^3} = \frac{1}{32} \cdot \frac{kP}{r^3}$।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,$\frac{kP}{r^3} = 2$,इसलिए $E_{\text{eq}} = \frac{1}{32} \times 2 = \frac{1}{16} \text{ NC}^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) आनत तल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ नीचे की ओर,घर्षण बल $f = \mu N$ ऊपर की ओर और विद्युत बल का घटक $qE \cos 30^{\circ}$ ऊपर की ओर हैं।
सबसे पहले,हम ब्लॉक पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ज्ञात करते हैं:
$N = mg \cos 30^{\circ} + qE \sin 30^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (0.01 \times 100 \times \frac{1}{2}) = 5\sqrt{3} + 0.5 \approx 8.66 + 0.5 = 9.16 \ N$
आनत तल के अनुदिश कुल बल $F_{net}$ है:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} - \mu N - qE \cos 30^{\circ}$
$F_{net} = (1 \times 10 \times 0.5) - 0.2 \times (9.16) - (0.01 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F_{net} = 5 - 1.832 - 0.866 = 2.302 \ N$
चूंकि $F_{net} = ma$ और $m = 1 \ kg$,इसलिए त्वरण $a = 2.302 \ ms^{-2} \approx 2.3 \ ms^{-2}$.

(A) अनंत लंबाई की आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत इकाई सदिश है जो शीट से दूर की ओर इंगित करता है।
बिंदु $P$ पर ($z=a$ और $z=2a$ के बीच):
$1$. $z=2a$ पर $+\sigma$ घनत्व वाली शीट के कारण: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (नीचे की ओर)।
$2$. $z=a$ पर $-2\sigma$ घनत्व वाली शीट के कारण: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ (शीट की ओर,यानी नीचे की ओर)।
$3$. $z=-a$ पर $-\sigma$ घनत्व वाली शीट के कारण: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$ (शीट की ओर,यानी नीचे की ओर)।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right) \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ है।
$-q$ आवेश पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F} = (-q) \vec{E}_{net} = (-q) \left(-\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}\right) = +\frac{2q\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$ होगा।

(D) इलेक्ट्रॉन को $A$ से $B$ की ओर निर्देशित एक समान विद्युत क्षेत्र में प्रक्षेपित किया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है,यह विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में,यानी प्लेट $A$ की ओर $F = q_e E$ बल का अनुभव करता है। इलेक्ट्रॉन प्लेट $B$ से न टकराए,इसके लिए उसका अधिकतम ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h_{\max}$ प्लेटों के बीच की दूरी $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = v \sin 30^{\circ} = \frac{v}{2}$ है।
त्वरण $a = \frac{q_e E}{m_e} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}} = 8 \times 10^{12} \ m \ s^{-2}$ है।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 - 2ah$ का उपयोग करते हुए,अधिकतम ऊंचाई पर $v_y = 0$:
$0 = (\frac{v}{2})^2 - 2ah_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v^2}{8a}$.
$h_{\max} = 0.04 \ m$ रखने पर:
$0.04 = \frac{v^2}{8 \times 8 \times 10^{12}}$
$v^2 = 0.04 \times 64 \times 10^{12} = 2.56 \times 10^{12}$
$v = \sqrt{2.56 \times 10^{12}} = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1} = 1600 \ km \ s^{-1}$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$, आवेश $q = 20 \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6} \text{ C}$, लंबाई $r = 0.9 \text{ m}$, विद्युत क्षेत्र $E = 100 \text{ NC}^{-1}$, और $g = 10 \text{ ms}^{-2}$।
विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेश पर लगाया गया बल $F_e = qE = 20 \times 10^{-6} \times 100 = 2 \times 10^{-3} \text{ N}$ (ऊपर की ओर)।
गेंद पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg = 10^{-3} \times 10 = 10 \times 10^{-3} \text{ N}$ (नीचे की ओर)।
नीचे की ओर लगने वाला कुल प्रभावी बल $F_{\text{eff}} = F_g - F_e = 10 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 8 \times 10^{-3} \text{ N}$।
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = \frac{F_{\text{eff}}}{m} = \frac{8 \times 10^{-3}}{10^{-3}} = 8 \text{ ms}^{-2}$।
किसी कण के ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए, निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5g_{\text{eff}}r}$ होता है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{5 \times 8 \times 0.9} = \sqrt{40 \times 0.9} = \sqrt{36} = 6 \text{ ms}^{-1}$।

(D) षट्कोण के शीर्षों पर $+Q, -Q, +Q, -Q, +Q, -Q$ आवेश स्थित हैं।
चूंकि आवेश विपरीत शीर्षों पर $(+Q, -Q)$ के जोड़े में व्यवस्थित हैं,इसलिए निकाय का कुल आवेश $0$ है।
कुल आवेश $0$ वाले निकाय के लिए,बड़ी दूरी $x$ पर विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण द्वारा निर्धारित होता है।
हालाँकि,इस विशिष्ट सममित व्यवस्था में,तीन जोड़ों के द्विध्रुव आघूर्ण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं क्योंकि वे एक-दूसरे के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर हैं।
वैकल्पिक रूप से,अक्ष पर स्थित बिंदु पर विभव $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ पर विचार करने पर,चूंकि आवेश समान और विपरीत हैं और प्रत्येक शीर्ष से अक्ष पर स्थित बिंदु तक की दूरी समान $(r = \sqrt{x^2 + a^2})$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए विभव $V = 0$ होता है।
चूंकि इस अक्ष पर विभव $V$ शून्य है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dx}$ भी शून्य होगा।

(D) माना आवेश $q_1 = 4 \mu C$ ($A$ पर),$q_2 = 3 \mu C$ ($B$ पर),और $q_3 = 5 \mu C$ ($C$ पर) हैं।
प्रारंभिक समकोण त्रिभुज $ABC$ में,भुजाएँ $AB = 4 \text{ cm}$ और $BC = 3 \text{ cm}$ हैं।
कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i$ इस प्रकार है:
$U_i = k \left( \frac{q_1 q_2}{AB} + \frac{q_2 q_3}{BC} + \frac{q_1 q_3}{AC} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \left( \frac{4 \times 3 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-2}} + \frac{3 \times 5 \times 10^{-12}}{3 \times 10^{-2}} + \frac{4 \times 5 \times 10^{-12}}{5 \times 10^{-2}} \right)$
$U_i = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} (3 + 5 + 4) = 9 \times 10^{-1} \times 12 = 10.8 \text{ J}$।
अंतिम विन्यास में,आवेश $a = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते हैं।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f$ है:
$U_f = \frac{k}{a} (q_1 q_2 + q_2 q_3 + q_1 q_3)$
$U_f = \frac{9 \times 10^9}{3 \times 10^{-2}} (4 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 5) \times 10^{-12}$
$U_f = 3 \times 10^{11} \times (12 + 15 + 20) \times 10^{-12} = 3 \times 10^{-1} \times 47 = 14.1 \text{ J}$।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 14.1 \text{ J} - 10.8 \text{ J} = 3.3 \text{ J}$।

(B) विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A$ को रेखा समाकल द्वारा दिया जाता है: $\Delta V = -\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
यहाँ $\vec{E} = x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}$ और $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ है।
$\Delta V = -\int_{(2,1,0)}^{(0,2,4)} (x \hat{i} - 2y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k})$
$\Delta V = -[\int_{2}^{0} x \ dx - \int_{1}^{2} 2y \ dy + \int_{0}^{4} z \ dz]$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_{2}^{0} x \ dx = [\frac{x^2}{2}]_{2}^{0} = 0 - 2 = -2$
$\int_{1}^{2} 2y \ dy = [y^2]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3$
$\int_{0}^{4} z \ dz = [\frac{z^2}{2}]_{0}^{4} = 8 - 0 = 8$
इन मानों को रखने पर:
$\Delta V = -[-2 - 3 + 8] = -[3] = -3 \ V$.
विभवांतर का परिमाण $|\Delta V| = 3 \ V$ है।

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ है।
बिंदु $A$ के लिए, $+q$ से दूरी $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है और $-q$ से दूरी $(x+y) = 2+3 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है।
$V_A = \frac{kq}{x} + \frac{k(-q)}{x+y} = kq \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.05} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (50 - 20) = 9 \times 10^3 \times 30 = 2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
बिंदु $B$ के लिए, $+q$ से दूरी $(x+y) = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है और $-q$ से दूरी $x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है।
$V_B = \frac{kq}{x+y} + \frac{k(-q)}{x} = kq \left( \frac{1}{0.05} - \frac{1}{0.02} \right) = (9 \times 10^9)(10^{-6}) (20 - 50) = 9 \times 10^3 \times (-30) = -2.7 \times 10^5 \text{ V}$.
विभवांतर $V_A - V_B = 2.7 \times 10^5 - (-2.7 \times 10^5) = 5.4 \times 10^5 \text{ V}$ है।

(C) $r = 0.5 \ m$ और $q = 2 \times 10^{-3} \ C$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित तीन आवेशों के निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा:
$U = 3 \times \frac{k q^2}{r} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-3})^2}{0.5} = 3 \times \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{0.5} = 216 \times 10^3 \ J$
जब एक आवेश को अन्य दो आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर ले जाया जाता है,तो नई दूरियाँ इस प्रकार हैं: दो आवेश स्थानांतरित आवेश से $0.25 \ m$ की दूरी पर हैं,और दो स्थिर आवेश एक-दूसरे से $0.5 \ m$ की दूरी पर हैं।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U'$:
$U' = \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.25} + \frac{k q^2}{0.5} = k q^2 \left( 4 + 4 + 2 \right) = 10 k q^2 = 10 \times 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6} = 360 \times 10^3 \ J$
किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) $\Delta U = U' - U = (360 - 216) \times 10^3 = 144 \times 10^3 \ J$
दिया गया पावर $P = 2 \ kW = 2000 \ W$ के लिए,लगा समय $t$:
$t = \frac{\Delta U}{P} = \frac{144 \times 10^3}{2 \times 10^3} = 72 \ s$

(D) विद्युत क्षेत्र में विभव $V = (x^2 - y^2)$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव $V$ से $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ संबंध द्वारा संबंधित है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 2x$ और $\frac{\partial V}{\partial y} = -2y$ प्राप्त होता है।
अतः, $\vec{E} = -(2x \hat{i} - 2y \hat{j}) = -2x \hat{i} + 2y \hat{j}$।
विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लिए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$ है।
$\vec{E}$ के घटकों को रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\ln y = -\ln x + C$, जो सरल होकर $\ln(xy) = C$ या $xy = \text{constant}$ हो जाता है।
यह समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों में से, विकल्प $(d)$ में आयताकार अतिपरवलय का ग्राफ दिखाया गया है।

(C) दिया गया है, समषट्भुज की भुजा की लंबाई $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$ है।
एक समषट्भुज में, प्रत्येक शीर्ष से केंद्र तक की दूरी उसकी भुजा की लंबाई के बराबर होती है। अतः, $r = 5 \times 10^{-2} \, m$ है।
प्रत्येक शीर्ष पर आवेश $q = 10 \, \mu C = 10 \times 10^{-6} \, C = 10^{-5} \, C$ है।
$r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
एक आवेश के कारण केंद्र पर विभव:
$V_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{9}{5} \times 10^6 = 1.8 \times 10^6 \, V$ है।
चूंकि षट्भुज में $6$ समान आवेश केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं, इसलिए कुल विभव $V_{\text{total}}$ होगा:
$V_{\text{total}} = 6 \times V_1 = 6 \times 1.8 \times 10^6 \, V = 10.8 \times 10^6 \, V = 1.08 \times 10^7 \, V$.

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में एक छड़ चुंबक द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ चुंबक और क्षेत्र के बीच का कोण है।
मान लीजिए प्रारंभिक कोण $\theta_1$ है। तो प्रारंभिक टॉर्क $\tau_1 = MB \sin \theta_1$ $(i)$ है।
यदि कोण को दोगुना कर दिया जाए,तो नया कोण $\theta_2 = 2\theta_1$ होगा। नया टॉर्क $\tau_2 = MB \sin \theta_2 = MB \sin 2\theta_1$ (ii) होगा।
यह दिया गया है कि टॉर्क $41.4 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $\tau_2 = \tau_1 + 0.414 \tau_1 = 1.414 \tau_1$ है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,हम लिख सकते हैं कि $\tau_2 = \sqrt{2} \tau_1$ है।
$(i)$ और (ii) से $\tau_1$ और $\tau_2$ के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$MB \sin 2\theta_1 = \sqrt{2} MB \sin \theta_1$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sqrt{2} \sin \theta_1$
मान लीजिए $\sin \theta_1 \neq 0$,दोनों पक्षों को $\sin \theta_1$ से विभाजित करने पर:
$2 \cos \theta_1 = \sqrt{2}$
$\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
इसलिए,$\theta_1 = 45^{\circ}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है: कुंडली की त्रिज्या $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$,फेरों की संख्या $N = 100$,धारा $I = 0.5 \,A$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \,T$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A$ होता है,जहाँ $A = \pi R^2$ है।
$A = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$ है।
$M = 100 \times 0.5 \times 0.01 \pi = 0.5 \pi \,A \cdot m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ होता है।
यहाँ,$\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
$W = (0.5 \pi) \times 2 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$ है।
$W = \pi \times (1 - (-1)) = \pi \times 2 = 2 \pi \,J$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चित्र में दिखाए गए विन्यास में,केंद्र $C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और वृत्ताकार भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ के योग के बराबर होगा।
$1$. मैक्सवेल के दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,बिंदु $C$ पर दोनों चुंबकीय क्षेत्रों की दिशा समान और कागज के तल के ऊपर की ओर होगी।
$2$. सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ है।
$3$. वृत्ताकार भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ है।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_C = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}(1 + \pi)$ होगा।

(A) $n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i n}{2 r}$ है।
माना मूल लंबाई $L = 2 \pi r n$ है। जब तार को खींचकर लंबाई दोगुनी की जाती है,तो $L^{\prime} = 2L = 4 \pi r n$ हो जाता है।
नई त्रिज्या $r^{\prime} = r/3$ है। फेरों की नई संख्या $n^{\prime}$ के लिए $L^{\prime} = 2 \pi r^{\prime} n^{\prime} \Rightarrow 4 \pi r n = 2 \pi (r/3) n^{\prime} \Rightarrow n^{\prime} = 6n$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए,$\frac{\mu_0 i n}{2 r} = \frac{\mu_0 i^{\prime} n^{\prime}}{2 r^{\prime}}$.
$n^{\prime} = 6n$ और $r^{\prime} = r/3$ रखने पर,$\frac{i n}{r} = \frac{i^{\prime} (6n)}{r/3} \Rightarrow \frac{i n}{r} = \frac{18 i^{\prime} n}{r} \Rightarrow i^{\prime} = \frac{i}{18}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,$A L = A^{\prime} L^{\prime} \Rightarrow A L = A^{\prime} (2L) \Rightarrow A^{\prime} = A/2$.
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{L^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2L}{A/2} = 4 \rho \frac{L}{A} = 4R$ होता है।
नया emf $E^{\prime} = i^{\prime} R^{\prime} = (i/18) (4R) = \frac{2}{9} (iR) = \frac{2}{9} E$ है।

(A) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली के अक्ष पर केंद्र से $h$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2 r^3 (1 + h^2/r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 + h^2/r^2)^{-3/2}$।
द्विपद प्रमेय $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर ($h \ll r$ के लिए): $B_{\text{axis}} \approx \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 - \frac{3h^2}{2r^2})$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r}$ होता है।
अतः,$B_{\text{axis}} = B_{\text{center}} (1 - \frac{3h^2}{2r^2}) = B_{\text{center}} - \frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$।
इस प्रकार,क्षेत्र में कमी $\frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$ है,इसलिए यह $\frac{3h^2}{2r^2}$ भिन्न से छोटा है।

(C) $a = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ का मान रखने पर, $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \times 10^{-2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 \times 10^{-4} = \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = I A B \sin \theta$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के समानांतर है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है, अतः $\sin 90^\circ = 1$.
इस प्रकार, $\tau = I A B$.
दिया गया है $\tau = 2 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,Nm$ और $B = 100 \times 10^{-3} \,T = 10^{-1} \,T$.
मान रखने पर: $2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times (\sqrt{3} \times 10^{-4}) \times 10^{-1}$.
$2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times \sqrt{3} \times 10^{-5}$.
$I$ के लिए हल करने पर, हमें $I = 2 \,A$ प्राप्त होता है।

(B) $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ चाल से गति कर रहे इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ तुल्य धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $i$ को प्रति इकाई समय $T$ में प्रवाहित आवेश $e$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi} = \frac{ev}{2 \pi R}$।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $M = iA = \left( \frac{ev}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{evR}{2}$ होता है।
इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $M = \frac{e(mvr)}{2m} = \frac{eL}{2m}$ प्राप्त होता है,जहाँ $L = mvr$ इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग है।
बोर के क्वांटमीकरण सिद्धांत के अनुसार,$n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2 \pi}$ होता है।
इस मान को $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2 \pi} \right) = \left( \frac{eh}{4 \pi m} \right) n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e$,$h$,और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto n$ सिद्ध होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि तीन चुंबकीय आघूर्ण $M_A$,$M_B$ और $M_C$ हैं,जहाँ $M_A = M_B = M_C = M$ है।
सबसे पहले,हम $M_A$ और $M_B$ का परिणामी ज्ञात करते हैं,जो एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर हैं।
परिणामी $M_1$ इस प्रकार है:
$M_1 = \sqrt{M_A^2 + M_B^2 + 2 M_A M_B \cos 90^{\circ}}$
$M_1 = \sqrt{M^2 + M^2 + 0} = M \sqrt{2}$
$M_1$ की दिशा $M_A$ और $M_B$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश है,जो $M_C$ की दिशा में ही है।
अब,कुल परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_{\text{resultant}}$ है:
$M_{\text{resultant}} = M_1 + M_C$
$M_{\text{resultant}} = M \sqrt{2} + M = (\sqrt{2} + 1) M$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) $R$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ ...$(i)$
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ इस प्रकार है:
$M = i A$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ से,धारा $i$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$i = \frac{2 B R}{\mu_0}$
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A$
चूंकि लूप का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है,इसलिए $R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ प्राप्त होता है।
$R$ का मान $M$ के सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
$M = \frac{2 B A \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन होता है $(q = 0)$,इसलिए इस पर कोई चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $(F = qvB \sin \theta)$ कार्य नहीं करता है। अतः,यह वृत्ताकार पथ का अनुसरण नहीं करेगा; यह सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगा। इस प्रकार,कथन $(A)$ गलत है।
परिक्रमण काल $T$ का मान $T = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है। यह दर्शाता है कि $T \propto m$ है। अतः,कारण $(R)$ सही है।
चूंकि $(A)$ गलत है और $(R)$ सही है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन के लिए,$T_p = \frac{2\pi m_p}{eB}$.
$\alpha$-कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। अतः,$T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m_p)}{(2e)B} = 2 \left( \frac{2\pi m_p}{eB} \right) = 2T_p$.
जब प्रोटॉन का वेग $90^{\circ}$ दिशा बदलता है,तो यह अपने वृत्ताकार पथ का एक-चौथाई हिस्सा पूरा कर लेता है,जिसका अर्थ है कि बीता हुआ समय $t = \frac{T_p}{4}$ है।
इसी समय $t$ में,$\alpha$-कण $\theta_{\alpha} = \omega_{\alpha} t = \left( \frac{2\pi}{T_{\alpha}} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \left( \frac{2\pi}{2T_p} \right) \left( \frac{T_p}{4} \right) = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ का कोण तय करता है।
चूंकि कणों को विपरीत दिशाओं में प्रक्षेपित किया गया था,प्रोटॉन और $\alpha$-कण के वेग सदिशों के बीच का अंतिम कोण $45^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$
ब्लॉक पर आवेश, $q = 4 \,mC = 4 \times 10^{-3} \,C$
चुंबकीय क्षेत्र, $B = 1 \,T$
झुकाव कोण, $\theta = 45^{\circ}$
गतिमान आवेशित ब्लॉक पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = qvB$ है, जो नत समतल के लंबवत (ऊपर की ओर) कार्य करता है।
ब्लॉक सतह के साथ संपर्क तब खो देता है जब चुंबकीय बल गुरुत्वाकर्षण बल के लंबवत घटक के बराबर हो जाता है:
$F_m = mg \cos \theta$
$qvB = mg \cos \theta$
$v = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
चूंकि ब्लॉक को एक चिकने नत समतल पर विरामावस्था से छोड़ा जाता है, इसलिए इसका त्वरण $a = g \sin \theta$ है। समय $t$ पर वेग $v$ है:
$v = u + at = 0 + (g \sin \theta)t = gt \sin \theta$
$v$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$gt \sin \theta = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
$t = \frac{m \cos \theta}{qB \sin \theta} = \frac{m \cot \theta}{qB}$
मान रखने पर:
$t = \frac{0.02 \times \cot 45^{\circ}}{4 \times 10^{-3} \times 1}$
$t = \frac{0.02 \times 1}{0.004} = 5 \,s$
अतः, ब्लॉक $5 \,s$ के बाद संपर्क खो देता है।

(B) $B-H$ लूप के क्षेत्रफल की ऊर्जा,$\Delta Q = m s (\Delta \theta)$,
$\Delta \theta = \frac{10^{-2} \times 42 \times 60}{6 \times 10^3 \times 0.1 \times 10^{-3} \times 4.2} = 10^{\circ} C$.

(C) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\chi_m \propto \frac{1}{T}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = -173^{\circ} C = (-173 + 273) K = 100 K$।
प्रारंभिक प्रवृत्ति $\chi_{m1} = 1.5 \times 10^{-2}$।
अंतिम प्रवृत्ति $\chi_{m2} = 0.5 \times 10^{-2}$।
संबंध $\chi_{m1} T_1 = \chi_{m2} T_2$ का उपयोग करने पर:
$(1.5 \times 10^{-2}) \times 100 = (0.5 \times 10^{-2}) \times T_2$।
$T_2 = \frac{1.5 \times 100}{0.5} = 300 K$।
$T_2$ को सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 300 K - 273 = 27^{\circ} C$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 27^{\circ} C - (-173^{\circ} C) = 200^{\circ} C$।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के चारों ओर घूमता है,तो अभिकेंद्र बल स्थिर-विद्युत बल के बराबर होता है:
$\frac{m_e v^2}{r} = \frac{k q^2}{r^2}$
चूँकि $v = r \omega$,हम लिख सकते हैं:
$m_e r \omega^2 = \frac{k q^2}{r^2} \implies \omega^2 = \frac{k q^2}{m_e r^3}$
मान रखने पर: $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 C^{-2}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$r = 0.53 \times 10^{-10} \ m$:
$\omega = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{9.1 \times 10^{-31} \times (0.53 \times 10^{-10})^3}} \approx 4.1 \times 10^{16} \ s^{-1}$
त्रिज्यीय त्वरण $a_r$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$a_r = r \omega^2 = (0.53 \times 10^{-10}) \times (4.1 \times 10^{16})^2$
$a_r \approx 8.9 \times 10^{22} \ m \ s^{-2} \approx 9 \times 10^{22} \ m \ s^{-2}$

(C) $N^{14}$ की कुल बंधन ऊर्जा $BE(N^{14}) = 7.5 \times 14 \text{ MeV} = 105 \text{ MeV}$ है।
$N^{15}$ की कुल बंधन ऊर्जा $BE(N^{15}) = 7.7 \times 15 \text{ MeV} = 115.5 \text{ MeV}$ है।
$N^{15}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $N^{15}$ और $N^{14}$ की कुल बंधन ऊर्जाओं के बीच का अंतर है।
$E = BE(N^{15}) - BE(N^{14})$
$E = 115.5 \text{ MeV} - 105 \text{ MeV} = 10.5 \text{ MeV}$।

(B) दिया गया है कि रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $\left| \frac{dN}{dt} \right| = 2000 / s$ है।
उत्पादों का औसत जीवनकाल $\tau = 50 \text{ मिनट} = 50 \times 60 \text{ सेकंड} = 3000 \text{ सेकंड}$ है।
औसत जीवनकाल $\tau$ और क्षय नियतांक $\lambda$ के बीच का संबंध $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है,इसलिए $\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{3000} \text{ s}^{-1}$ होगा।
सक्रियता को $\left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $2000 = \left( \frac{1}{3000} \right) N$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$N = 2000 \times 3000 = 6,000,000 = 60 \times 10^5$ होगा।
अतः,रेडियोन्यूक्लाइड्स की संख्या $60 \times 10^5$ है।

(B) दिया गया है,प्रति नाभिक विखंडन मुक्त ऊर्जा,$E_0 = 188 MeV$ और द्रव्यमान,$m = 100 g$ है।
सबसे पहले,$100 g$ ${ }_{92} U^{235}$ में नाभिकों की संख्या $N$ की गणना करें:
$N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{100}{235} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.56 \times 10^{23}$ नाभिक।
इसके बाद,प्रति नाभिक मुक्त ऊर्जा को जूल में बदलें:
$E_0' = 188 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 300.8 \times 10^{-13} J$।
$N$ नाभिकों के लिए मुक्त कुल ऊर्जा $E$ है:
$E = N \times E_0' = (2.56 \times 10^{23}) \times (300.8 \times 10^{-13} J) \approx 7.71 \times 10^{12} J$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) समय $t$ के बाद अविघटित परमाणुओं की संख्या $N$ को $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $T_{1/2} = 18 \text{ min}$ है।
$20 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.8 N_0$ है।
अतः,$0.8 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{18}} = 0.8 \quad (i)$.
$80 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.2 N_0$ है।
अतः,$0.2 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{18}} = 0.2 \quad (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(1/2)^{t_1/18}}{(1/2)^{t_2/18}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1-t_2}{18}} = 4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{t_1-t_2}{18} = -2 \implies t_2 - t_1 = 36 \text{ min}$.

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम समीकरण द्वारा दिया गया है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
जहाँ $\frac{dN}{dt}$ विघटन की दर है,जिसे $R$ के रूप में दर्शाया गया है।
अतः,$R = -\lambda N$ (परिमाण लेने पर,$R = \lambda N$)।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R}{N} = \lambda$
चूंकि $\lambda$ (क्षय स्थिरांक) किसी दिए गए रेडियोधर्मी नमूने के लिए एक स्थिरांक है,इसलिए अनुपात $\frac{R}{N}$ समय $t$ के साथ नहीं बदलता है।
इसलिए,$\frac{R}{N}$ बनाम $t$ का ग्राफ $X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।
यह विकल्प $(D)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 138.6 \text{ दिन}$ है।
मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा है। $n$ दिनों के बाद शेष मात्रा $N = 20\% \text{ of } N_0 = \frac{20}{100} N_0 = \frac{N_0}{5}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार, $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{T_{1/2}}}$.
मान रखने पर, $\frac{N_0}{5} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$, जो सरल होकर $\frac{1}{5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{n}{138.6}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{n}{138.6} \ln \left( \frac{1}{2} \right)$
$-\ln(5) = \frac{n}{138.6} (-\ln(2))$
$\ln(5) = \frac{n}{138.6} \ln(2)$
दिया गया है कि $\ln(5) = 1.61$ और $\ln(2) \approx 0.693$, इसलिए:
$1.61 = \frac{n}{138.6} \times 0.693$
$n = \frac{1.61 \times 138.6}{0.693} = 1.61 \times 200 = 322 \text{ दिन}$.

(B) दिया गया है: उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_l = 20 \,cm$,वस्तु की दूरी $u = -10 \,cm$,अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,और चांदी वाली सतह की वक्रता त्रिज्या $R = 22 \,cm$ है।
लेंस की शक्ति $P_l = \frac{1}{f_l} = \frac{1}{20} \,cm^{-1}$ है।
चांदी वाली सतह (जो अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है) की शक्ति $P_m = -\frac{1}{f_m} = -\frac{1}{-R/2} = \frac{2}{R} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \,cm^{-1}$ है।
निकाय की समतुल्य शक्ति $P_{eq} = 2P_l + P_m = 2(\frac{1}{20}) + \frac{1}{11} = \frac{1}{10} + \frac{1}{11} = \frac{21}{110} \,cm^{-1}$ है।
समतुल्य फोकस दूरी $F = -\frac{1}{P_{eq}} = -\frac{110}{21} \,cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = -\frac{21}{110}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{21}{110} = \frac{11 - 21}{110} = -\frac{10}{110} = -\frac{1}{11}$.
अतः,$v = -11 \,cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब चांदी वाली सतह के सामने $11 \,cm$ की दूरी पर बनता है।

(D) अपवर्तन गोलाकार सतह पर होता है। मान लीजिए गोले का अपवर्तनांक $\mu$ है और हवा का $1$ है। वक्रता त्रिज्या $R = -8 \ cm$ है (क्योंकि प्रकाश गोले के अंदर से सतह की ओर जाता है,सतह वस्तु के सापेक्ष अवतल है)।
वस्तु केंद्र से $2 \ cm$ की दूरी पर है,इसलिए निकटतम सतह से इसकी दूरी $u = -(8 - 2) = -6 \ cm$ है।
प्रतिबिंब सतह से $v = -3.2 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
गोलाकार सतह के लिए अपवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
यहाँ,$\mu_1 = \mu$ (गोले के अंदर) और $\mu_2 = 1$ (बाहर हवा में)।
मान रखने पर:
$\frac{1}{-3.2} - \frac{\mu}{-6} = \frac{1 - \mu}{-8}$
$\frac{1}{-3.2} + \frac{\mu}{6} = \frac{\mu - 1}{8}$
हर को हटाने के लिए $48$ से गुणा करने पर:
$-15 + 8\mu = 6(\mu - 1)$
$-15 + 8\mu = 6\mu - 6$
$2\mu = 9$
$\mu = 1.5$ (गणना के अनुसार,सही उत्तर $1.5$ है)।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 25 \,cm$. प्रारंभिक प्रतिबिंब दूरी $v_1 = 75 \,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करके, हम प्रारंभिक वस्तु दूरी $u_1$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u_1} \Rightarrow \frac{1}{u_1} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$.
अतः, $u_1 = -37.5 \,cm$ (वस्तु लेंस के सामने $37.5 \,cm$ पर है)।
अब, पर्दे को लेंस के करीब $25 \,cm$ खिसकाया जाता है, इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $v_2 = 75 - 25 = 50 \,cm$ है।
नया प्रतिबिंब स्पष्ट प्राप्त करने के लिए, हम नई वस्तु दूरी $u_2$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$.
अतः, $u_2 = -50 \,cm$ (वस्तु लेंस के सामने $50 \,cm$ पर है)।
वस्तु की स्थिति में विस्थापन $|u_2| - |u_1| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ है।
चूंकि लेंस से वस्तु की दूरी $37.5 \,cm$ से बढ़कर $50 \,cm$ होनी चाहिए, इसलिए वस्तु को लेंस से $12.5 \,cm$ दूर खिसकाया जाना चाहिए।

(C) मान लीजिए कि लड़की की आँख जमीन से $140 \,cm$ की ऊँचाई पर बिंदु $O$ पर है। दर्पण जमीन से $85 \,cm$ से $160 \,cm$ $(85 + 75 = 160 \,cm)$ तक फैला हुआ है।
$1$. लड़की दर्पण के निचले हिस्से में देखकर अपनी आँखों के स्तर से नीचे के शरीर के हिस्से को देख सकती है। उसकी आँख से दर्पण के निचले किनारे तक की दूरी $140 - 85 = 55 \,cm$ है। परावर्तन के गुण के कारण,वह अपने शरीर पर जो सबसे निचला बिंदु देख सकती है,वह दर्पण के निचले किनारे के स्तर से $55 \,cm$ नीचे है,जो जमीन से $85 - 55 = 30 \,cm$ है।
$2$. लड़की दर्पण के ऊपरी हिस्से में देखकर अपनी आँखों के स्तर से ऊपर के शरीर के हिस्से को देख सकती है। उसकी आँख से दर्पण के ऊपरी किनारे तक की दूरी $160 - 140 = 20 \,cm$ है। परावर्तन के गुण के कारण,वह अपने शरीर पर जो सबसे ऊँचा बिंदु देख सकती है,वह दर्पण के ऊपरी किनारे के स्तर से $20 \,cm$ ऊपर है,जो $160 + 20 = 180 \,cm$ है। हालाँकि,लड़की की ऊँचाई केवल $150 \,cm$ है। इसलिए,वह अपने सिर के ऊपरी हिस्से तक $(150 \,cm)$ देख सकती है।
$3$. लड़की को दिखाई देने वाली प्रतिबिंब की कुल ऊँचाई उस सबसे निचले बिंदु $(30 \,cm)$ से सबसे ऊँचे बिंदु $(150 \,cm)$ तक की दूरी है।
दृश्य ऊँचाई = $150 \,cm - 30 \,cm = 120 \,cm$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) वस्तु पात्र के तल पर है,जिसमें $10 \,cm$ की ऊँचाई तक पानी भरा है। समतल दर्पण पानी की सतह से $7 \,cm$ ऊपर रखा गया है।
पानी-हवा के अंतरापृष्ठ पर अपवर्तन के कारण,तल पर स्थित वस्तु कम गहराई पर दिखाई देती है।
आभासी गहराई $d'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$d' = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{n} = \frac{10 \,cm}{1.33} \approx 7.52 \,cm$.
दर्पण से वस्तु की आभासी स्थिति की कुल दूरी,पानी की सतह से दर्पण की दूरी और वस्तु की आभासी गहराई का योग है:
$D = 7 \,cm + 7.52 \,cm = 14.52 \,cm$.
चूँकि एक समतल दर्पण अपने पीछे उतनी ही दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है जितनी दूरी पर वस्तु उसके सामने होती है,इसलिए दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $14.52 \,cm$ है,जो लगभग $14.5 \,cm$ है।

(A) दिया गया है,कांच की प्लेट का अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,ध्रुवण कोण $\theta_p$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध $\mu = \tan \theta_p$ है।
मान रखने पर,$\sqrt{3} = \tan \theta_p$,जिससे $\theta_p = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि किरण ध्रुवण कोण पर आपतित हो रही है,इसलिए आपतन कोण $i = \theta_p = 60^{\circ}$ होगा।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,हमारे पास $\sqrt{3} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin r}$ है।
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin r}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin r = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $r = 30^{\circ}$।
वैकल्पिक रूप से,ध्रुवण कोण पर परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,इसलिए $i + r = 90^{\circ}$। अतः,$r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।

(C) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती होता है। अतः,वक्रता त्रिज्या $R = 50 \ cm$ है।
जब दर्पण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है,तो वस्तु से प्रकाश की किरणें हवा से और फिर द्रव से होकर दर्पण तक पहुँचती हैं।
दर्पण की द्रव की सतह से दूरी $20 \ cm$ है। वस्तु दर्पण से $40 \ cm$ की दूरी पर है,जिसका अर्थ है कि यह हवा में द्रव की सतह से $40 - 20 = 20 \ cm$ की दूरी पर है।
वस्तु से प्रकाश की किरणें हवा में $20 \ cm$ चलती हैं और फिर द्रव में प्रवेश करती हैं। द्रव के अंदर से देखने पर वस्तु की आभासी गहराई $d' = d \times \mu = 20 \times \mu$ होगी।
दर्पण द्वारा देखी गई वस्तु की कुल दूरी $d_{total} = 20 + 20\mu$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती होता है,इसलिए यह कुल दूरी वक्रता त्रिज्या $R = 50 \ cm$ के बराबर होनी चाहिए।
$20 + 20\mu = 50$
$20\mu = 30$
$\mu = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक ट्रांजिस्टर में,कॉमन बेस करंट गेन $\alpha$ और कॉमन एमिटर करंट गेन $\beta$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
स्थिति $I$: जब $\alpha = \frac{20}{21}$ हो,
$\beta = \frac{20/21}{1 - 20/21} = \frac{20/21}{1/21} = 20$.
स्थिति $II$: जब $\alpha = \frac{100}{101}$ हो,
$\beta = \frac{100/101}{1 - 100/101} = \frac{100/101}{1/101} = 100$.
अतः,$\beta$ का मान $20$ और $100$ के बीच बदलता है।