AP EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है,स्रोत की आवृत्ति,$f_s = 5 \text{ kHz}$।
ट्रेन $A$ में बैठे यात्री के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $f_A = 5.5 \text{ kHz}$ है।
स्थिर स्रोत की ओर गति कर रहे प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करने पर: $f_A = f_s \left( \frac{v + v_A}{v} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
$5.5 = 5 \left( 1 + \frac{v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ --- $(i)$
ट्रेन $B$ में बैठे यात्री के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $f_B = 6 \text{ kHz}$ है।
इसी प्रकार,$f_B = f_s \left( \frac{v + v_B}{v} \right)$।
$6 = 5 \left( 1 + \frac{v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$।
अतः,ट्रेन $B$ की गति और ट्रेन $A$ की गति का अनुपात $2$ है।

(C) दिया गया है, स्प्रिंग का आयाम, $A = 50 \,cm = 0.5 \,m$.
ध्वनि स्रोत का द्रव्यमान, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
ध्वनि की गति, $v = 340 \,ms^{-1}$.
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई अधिकतम आवृत्ति $n_{\max} = n_{\min} + 0.125 n_{\min} = 1.125 n_{\min}$ है।
गतिमान स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n_{\max} = \frac{n_0 v}{v - v_{s\max}} \quad (i)$
$n_{\min} = \frac{n_0 v}{v + v_{s\max}} \quad (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_{s\max}}{v - v_{s\max}} = 1.125$
$v + v_{s\max} = 1.125(v - v_{s\max})$
$v + v_{s\max} = 1.125v - 1.125v_{s\max}$
$2.125 v_{s\max} = 0.125v$
$v_{s\max} = \frac{0.125 \times 340}{2.125} = \frac{42.5}{2.125} = 20 \,ms^{-1}$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए, $v_{s\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
$20 = 0.5 \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$40 = \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$1600 = \frac{k}{0.1}$
$k = 160 \,N m^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $(c)$ है।

(B) मान लीजिए कि ट्रेन की स्थिति $T$,क्रॉसिंग $C$ और प्रेक्षक $O$ है। दूरी $TC = 288 \ m$ और $CO = 384 \ m$ है। दूरी $TO = \sqrt{288^2 + 384^2} = \sqrt{82944 + 147456} = \sqrt{230400} = 480 \ m$ है।
ट्रेन और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर ट्रेन के वेग का घटक प्रेक्षक की ओर बढ़ते स्रोत का प्रभावी वेग है।
मान लीजिए $v_s$ ट्रेन का वेग है $(120 \ km/h = 120 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{100}{3} \ m/s)$।
कोण $\theta$ ट्रैक और रेखा $TO$ के बीच है। ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{TC}{TO} = \frac{288}{480} = \frac{3}{5} = 0.6$ है।
प्रेक्षक की ओर स्रोत का वेग $u = v_s \cos \theta = \frac{100}{3} \times 0.6 = 20 \ m/s$ है।
स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ते स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f' = f \left( \frac{v}{v - u} \right)$
जहाँ $f = 576 \ Hz$,$v = 340 \ m/s$,और $u = 20 \ m/s$ है।
$f' = 576 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 576 \left( \frac{340}{320} \right) = 576 \times 1.0625 = 612 \ Hz$.

(B) दिया गया है: पुलिस कार का वेग, $v_{s_1} = 22 \,ms^{-1}$.
हवा में ध्वनि की गति, $v = 330 \,ms^{-1}$.
पुलिस कार के हॉर्न की आवृत्ति, $f_1 = 176 \,Hz$.
स्थिर सायरन की आवृत्ति, $f_2 = 165 \,Hz$.
मान लीजिए मोटरसाइकिल सवार का वेग $v_0$ है。
पुलिस कार से मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f_1^{\prime}$ (स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है, प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है):
$f_1^{\prime} = \left( \frac{v - v_0}{v - v_{s_1}} \right) f_1 = \left( \frac{330 - v_0}{330 - 22} \right) \times 176 = \left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176$
स्थिर सायरन से मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f_2^{\prime}$ (स्रोत स्थिर है, प्रेक्षक स्रोत की ओर बढ़ रहा है):
$f_2^{\prime} = \left( \frac{v + v_0}{v} \right) f_2 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
चूंकि बीट्स की संख्या शून्य है, इसलिए $f_1^{\prime} = f_2^{\prime}$:
$\left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
$\left( 330 - v_0 \right) \times \frac{176}{308} = \left( 330 + v_0 \right) \times \frac{165}{330}$
$\left( 330 - v_0 \right) \times 0.5714 = \left( 330 + v_0 \right) \times 0.5$
$188.56 - 0.5714 v_0 = 165 + 0.5 v_0$
$23.56 = 1.0714 v_0$
$v_0 = 22 \,ms^{-1}$
अतः, मोटरसाइकिल की गति $22 \,ms^{-1}$ है। सही विकल्प $(b)$ है।

(B) माना नली की लंबाई $L$ है।
खुले ऑर्गन पाइप के लिए मूल आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{V}{2L}$
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $60 \%$ भाग पानी में डूबा रहे,तो पानी की सतह के ऊपर बचा हुआ वायु स्तंभ का भाग एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करता है (एक सिरे पर पानी की सतह द्वारा बंद)।
इस वायु स्तंभ की लंबाई है:
$l' = (100 \% - 60 \%) L = 40 \% L = 0.4L = \frac{2L}{5}$
बंद ऑर्गन पाइप के लिए मूल आवृत्ति का सूत्र है:
$f' = \frac{V}{4l'}$
$l'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = \frac{V}{4(\frac{2L}{5})} = \frac{5V}{8L}$
इसे $f$ के पदों में फिर से लिखने पर:
$f' = \frac{5}{4} \left( \frac{V}{2L} \right) = \frac{5}{4} f$

(C) अनुनाद नली में वायु स्तंभ की आवृत्ति ध्वनि की गति के समानुपाती होती है,जो परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(v \propto \sqrt{T})$।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
$T_1 = 273 + 51 = 324 \ K$ पर,वायु स्तंभ की आवृत्ति $n_1 = n + 3$ है।
$T_2 = 273 + 16 = 289 \ K$ पर,वायु स्तंभ की आवृत्ति $n_2 = n - 3$ है।
संबंध $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n+3}{n-3} = \sqrt{\frac{324}{289}} = \frac{18}{17}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $17(n + 3) = 18(n - 3)$।
$17n + 51 = 18n - 54$।
$n = 51 + 54 = 105 \ Hz$।

(A) किसी निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,उसकी स्थितिज ऊर्जा $U$ और गतिज ऊर्जा $KE$ का योग होती है। अर्थात,$E = U + KE$.
दिया गया है,$E = 2 \ J$ और $m = 1 \ kg$.
अधिकतम चाल ज्ञात करने के लिए,हमें अधिकतम गतिज ऊर्जा की आवश्यकता है,जो तब प्राप्त होती है जब स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
$U(x) = \frac{x^2}{2} - x$.
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dU}{dx} = 0$ रखते हैं:
$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2} - x) = x - 1 = 0 \implies x = 1 \ m$.
$U_{\min} = U(1) = \frac{1^2}{2} - 1 = -0.5 \ J$.
चूंकि $E = U + KE$,इसलिए $KE_{\max} = E - U_{\min} = 2 - (-0.5) = 2.5 \ J$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करने पर:
$2.5 = \frac{1}{2}(1)v^2 \implies v^2 = 5 \implies v = \sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(B) माना कुल ऊँचाई $H = 30 \ m$ है और जिस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ की दोगुनी है,वहाँ पिंड का वेग $v$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,किसी भी बिंदु पर कुल ऊर्जा प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$m g H = PE + KE$
दिया गया है कि $PE = 2 \times KE$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$m g H = 2 \times KE + KE = 3 \times KE$
चूँकि $KE = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए:
$m g H = 3 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$g H = \frac{3}{2} v^2$
$v^2 = \frac{2}{3} g H$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ और $H = 30 \ m$ का मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2}{3} \times 10 \times 30$
$v^2 = 2 \times 10 \times 10 = 200$
$v = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$

(B) मान लीजिए आदमी का द्रव्यमान $m$ है। तो लड़के का द्रव्यमान $m_b = \frac{m}{2}$ होगा।
मान लीजिए आदमी की प्रारंभिक गति $v_m$ है और लड़के की गति $v_b$ है।
प्रश्न के अनुसार,आदमी की गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} m v_m^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_b v_b^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} v_b^2) = \frac{1}{8} m v_b^2$.
सरल करने पर,$v_m^2 = \frac{1}{4} v_b^2$,जिससे $v_m = \frac{v_b}{2}$ प्राप्त होता है।
जब आदमी अपनी गति $1 \,ms^{-1}$ बढ़ाता है,तो उसकी नई गति $v_m' = v_m + 1 = \frac{v_b}{2} + 1$ हो जाती है।
अब,उसकी गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा के बराबर है:
$\frac{1}{2} m (\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{2}) v_b^2$.
दोनों पक्षों को $\frac{m}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $(\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{v_b^2}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{v_b}{2} + 1 = \frac{v_b}{\sqrt{2}}$.
$1 = v_b (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = v_b (\frac{2 - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}})$.
$v_b = \frac{2\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{2} = 2\sqrt{2} + 2 = 2(\sqrt{2} + 1) \,ms^{-1}$.

(C) दिया गया है:
कुएं की गहराई,$d = 30 \,m$
प्रति मिनट पानी का आयतन,$V = 1800 \,L = 1800 \times 10^{-3} \,m^3 = 1.8 \,m^3$
प्रति मिनट पानी का द्रव्यमान,$m = \rho \times V = 1000 \,kg/m^3 \times 1.8 \,m^3 = 1800 \,kg$
पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 30 \,cm^2 = 30 \times 10^{-4} \,m^2$
समय,$t = 60 \,s$
पानी के जेट का वेग,$v = \frac{V}{A \times t} = \frac{1.8}{30 \times 10^{-4} \times 60} = \frac{1.8}{0.18} = 10 \,m/s$
इंजन द्वारा किया गया कुल कार्य स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है:
$W = mgd + \frac{1}{2}mv^2$
$W = (1800 \times 10 \times 30) + (\frac{1}{2} \times 1800 \times 10^2)$
$W = 540000 + 90000 = 630000 \,J$
इंजन की शक्ति,$P = \frac{W}{t} = \frac{630000}{60} = 10500 \,W$
$P = 10.5 \,kW$

(B) कुएं की कुल गहराई $6 \ m + 14 \ m = 20 \ m$ है। मान लीजिए कि ऊपरी सतह से $x$ दूरी पर एक छोटा आयतन अवयव $dx$ है। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \rho dV = \rho \pi r^2 dx$ है।
इस अवयव को ऊपर तक उठाने के लिए आवश्यक स्थितिज ऊर्जा $dU = dm \cdot g \cdot x = \rho \pi r^2 g x dx$ है।
कुल कार्य $W$ ज्ञात करने के लिए $x = 6 \ m$ से $x = 20 \ m$ तक समाकलन करने पर:
$W = \int_{6}^{20} \rho \pi r^2 g x dx = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{6}^{20} = \rho \pi r^2 g \left( \frac{400 - 36}{2} \right) = \rho \pi r^2 g (182)$.
दिया है $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$r = 2.5 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$:
$W = 10^3 \times 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 \times 182 = 35.71 \times 10^6 \ J$.
शक्ति $P = 10 \ HP = 10 \times 746 \ W = 7460 \ W$.
समय $t = \frac{W}{P} = \frac{35.71 \times 10^6}{7460} \approx 4787 \ s$.
मिनट में बदलने पर: $t = \frac{4787}{60} \approx 79.78 \ min \approx 80 \ min$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है: शक्ति $P = 7 \,W$, द्रव्यमान $m = 15 \,kg$, प्रारंभिक वेग $v_i = 3 \,ms^{-1}$, और अंतिम वेग $v_f = 5 \,ms^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 15 \times (5^2 - 3^2) = \frac{1}{2} \times 15 \times (25 - 9) = \frac{1}{2} \times 15 \times 16 = 120 \,J$.
चूंकि शक्ति स्थिर है, $P = \frac{W}{t}$, इसलिए लिया गया समय $t = \frac{W}{P} = \frac{120}{7} \,s$ है।
गति के समीकरण $v_f = v_i + at$ का उपयोग करके, हम त्वरण $a$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{5 - 3}{120/7} = \frac{2 \times 7}{120} = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} \,ms^{-2}$।
अब, गति के समीकरण $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ का उपयोग करके, दूरी $s$ है:
$s = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{25 - 9}{2 \times (7/60)} = \frac{16 \times 60}{14} = \frac{8 \times 60}{7} = \frac{480}{7} \approx 68.57 \,m$।
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक के अनुसार, दूरी $70 \,m$ है।

(C) माना $m = 0.1 \,kg$, $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$, $\theta = 30^{\circ}$, और $s_2 = 1 \,m$ (क्षैतिज दूरी)।
क्षैतिज समतल पर, मंदन $a_2 = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-2}$ है।
$v^2 = u^2 - 2a_2s_2$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $v=0$ (रुक जाती है), हमें $0 = u^2 - 2(2)(1)$ प्राप्त होता है, इसलिए $u^2 = 4$, या $u = 2 \,ms^{-1}$। यह नत समतल के निचले सिरे पर वेग है।
नत समतल पर, नेट त्वरण $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 10(\sin 30^{\circ} - 0.2 \cos 30^{\circ}) = 10(0.5 - 0.2 \times 0.866) = 10(0.5 - 0.1732) = 3.268 \,ms^{-2}$ है।
$v^2 = u_0^2 + 2a_1s_1$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u_0=0$ और $v=2 \,ms^{-1}$, हमें $4 = 2(3.268)s_1$ प्राप्त होता है, इसलिए $s_1 = 4 / 6.536 \approx 0.612 \,m$।
नत समतल पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_1 = -f_1 s_1 = -(\mu mg \cos 30^{\circ}) s_1 = -(0.2 \times 0.1 \times 10 \times 0.866) \times 0.612 \approx -0.106 \,J$ है।
क्षैतिज समतल पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_2 = -f_2 s_2 = -(\mu mg) s_2 = -(0.2 \times 0.1 \times 10) \times 1 = -0.2 \,J$ है।
घर्षण द्वारा किया गया कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = -0.106 - 0.2 = -0.306 \,J$ है। इसका परिमाण $0.306 \,J$ है।

(D) दिया गया बल $F = K \left[ \frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{i} + \frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \hat{j} \right]$ है।
ध्रुवीय निर्देशांकों में,$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$,जहाँ $r = \sqrt{x^2+y^2}$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = K \left[ \frac{r \cos \theta}{r^3} \hat{i} + \frac{r \sin \theta}{r^3} \hat{j} \right] = \frac{K}{r^2} (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$ प्राप्त होता है।
यह बल एक केंद्रीय बल है जो त्रिज्यीय दिशा में कार्य करता है,अर्थात $F = \frac{K}{r^2} \hat{r}$।
केंद्रीय बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int F \cdot dr = \int \frac{K}{r^2} dr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है,इसलिए मूल बिंदु से दूरी $r$ स्थिर $(r = a)$ रहती है।
वृत्ताकार पथ के लिए,विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ हमेशा त्रिज्यीय बल सदिश $\vec{F}$ के लंबवत होता है।
इसलिए,पथ के प्रत्येक बिंदु पर अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ होता है।
अतः,कुल कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$ होगा।

(C) परिवर्ती बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{x_i}^{x_f} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{F} = -5x^4 \hat{i}$ और $d\vec{r} = dx \hat{i}$ दिया गया है,अतः किया गया कार्य:
$W = \int_{2}^{-2} (-5x^4) dx$
$W = -5 \int_{2}^{-2} x^4 dx$
$W = -5 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{2}^{-2}$
$W = -[x^5]_{2}^{-2}$
$W = -[(-2)^5 - (2)^5]$
$W = -[-32 - 32]$
$W = -[-64] = 64 \text{ J}$.

(A) दिया गया है:
ब्लॉक $1$ का द्रव्यमान, $m_1 = 0.36 \,kg$
ब्लॉक $2$ का द्रव्यमान, $m_2 = 0.72 \,kg$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$
समय, $t = 1 \,s$
निकाय का त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \,m/s^2$
डोरी में तनाव $T$:
$T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \,N$
$t = 1 \,s$ में ब्लॉक $m_1$ का विस्थापन $s$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \,m$
ब्लॉक $m_1$ पर डोरी द्वारा किया गया कार्य:
$W = T \times s \times \cos(0^\circ) = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \,J$

(C) ऊपर की गति के लिए,आवश्यक बल $F_{\text{up}} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
नीचे की गति के लिए,फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_{\text{down}} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_{\text{up}} = 2 F_{\text{down}}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$,जो $\mu = \frac{1}{3} \tan \theta$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $\theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\mu = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) कॉमन एमिटर सर्किट के आउटपुट लूप के लिए,किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$15 \text{ V} - I_C \times (2 \text{ k}\Omega) - V_{CE} = 0$
दिया गया है $V_{CE} = 7 \text{ V}$,इसलिए:
$15 - I_C \times 2000 - 7 = 0$
$8 = I_C \times 2000$
$I_C = \frac{8}{2000} \text{ A} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$
अब,करंट गेन संबंध $\beta = \frac{I_C}{I_B}$ का उपयोग करने पर:
$100 = \frac{4 \text{ mA}}{I_B}$
$I_B = \frac{4 \text{ mA}}{100} = 0.04 \text{ mA}$

(A) दिया गया है कि तीन एम्पलीफायरों के वोल्टेज गेन $A_1 = 10, A_2 = 20$ और $A_3 = 30$ हैं।
इनपुट सिग्नल का शिखर मान $V_i = 1 mV = 10^{-3} \,V$ है।
जब एम्पलीफायर श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं, तो कुल वोल्टेज गेन $A$ व्यक्तिगत गेन का गुणनफल होता है:
$A = A_1 \times A_2 \times A_3 = 10 \times 20 \times 30 = 6000$.
आउटपुट वोल्टेज $V_0$ और इनपुट वोल्टेज $V_i$ के बीच का संबंध $A = \frac{V_0}{V_i}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, आउटपुट वोल्टेज का शिखर मान $V_0 = A \times V_i = 6000 \times 10^{-3} \,V = 6 \,V$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $OR$ गेट का आउटपुट $P = A + B$ है। दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $P = 1 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $NAND$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{A \cdot B}$ है। दिया गया है कि $A = 1$ और $B = 1$,इसलिए $Q = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$Y_1$ एक $AND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $P$ और $Q$ हैं। अतः,$Y_1 = P \cdot Q = 1 \cdot 0 = 0$ है।
$Y_2$ एक $OR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $P$ और $Q$ हैं। अतः,$Y_2 = P + Q = 1 + 0 = 1$ है।
इसलिए,$Y_1 = 0$ और $Y_2 = 1$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(C)$ है।

(B) यह सर्किट दो शाखाओं से बना है जो एक $NOR$ गेट में जाती हैं। प्रत्येक शाखा में एक $NAND$ गेट है और उसके बाद एक $NOT$ गेट है (जो मिलकर एक $AND$ गेट बनाते हैं)।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा का आउटपुट $Y_1$ है। ऊपरी शाखा में $A$ और $B$ इनपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है। यह एक $AND$ गेट के बराबर है। इसलिए,$Y_1 = A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$।
इसी प्रकार,निचली शाखा में $A$ और $B$ इनपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है। यह भी एक $AND$ गेट के बराबर है। इसलिए,निचली शाखा का आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 0 = 0$ है।
अब,$Y_1$ ऊपरी शाखा का आउटपुट है,इसलिए $Y_1 = 0$।
अंतिम गेट एक $NOR$ गेट है जिसके दोनों इनपुट $0$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$Y_1 = 0$ और $Y_2 = 1$।

(D) एक होल उत्पन्न करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = 50 \text{ meV} = 50 \times 10^{-3} \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8.0 \times 10^{-21} \text{ J}$ दी गई है।
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ज्ञात करने के लिए,$\lambda = \frac{hc}{E}$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{8.0 \times 10^{-21}}$
$\lambda = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{8.0 \times 10^{-21}}$
$\lambda = 2.475 \times 10^{-5} \text{ m} = 24.75 \times 10^{-6} \text{ m} = 24.75 \mu \text{m}$.
अतः,आवश्यक अधिकतम तरंगदैर्ध्य लगभग $24.8 \mu \text{m}$ है।

(C) विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम का दृश्य क्षेत्र लगभग $400 \ nm$ से $700 \ nm$ की तरंग दैर्ध्य के बीच होता है। फोटॉन की ऊर्जा $E$ को $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda = 700 \ nm = 700 \times 10^{-9} \ m$ के लिए:
$E_{\min} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{700 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.77 \ eV$.
$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$ के लिए:
$E_{\max} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{400 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.1 \ eV$.
अतः,$LED$ द्वारा दृश्य प्रकाश उत्सर्जित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा बैंड अंतराल $1.7 \ eV$ से $3.1 \ eV$ की सीमा में होता है। सही विकल्प $(c)$ है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, $n$ वें क्रम की अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
दिया गया है: $n = 5$, $\theta = 12^{\circ}$, $d = 9 \mu m = 9 \times 10^{-6} \text{ m}$।
छोटे कोण के सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में) का उपयोग करते हुए:
$\theta = 12^{\circ} = 12 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{15} \text{ rad}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$d \theta = n \lambda$
$(9 \times 10^{-6}) \times (\frac{\pi}{15}) = 5 \times \lambda$
$\lambda = \frac{9 \times 10^{-6} \times \pi}{15 \times 5} = \frac{9 \times 3.14159 \times 10^{-6}}{75} \approx 3.77 \times 10^{-7} \text{ m}$।
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda \approx 3770 Å$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सबसे निकटतम मान $3768 Å$ है।

(D) दिया गया है, अपवर्तनांक $\mu = 1.414 = \sqrt{2}$.
पूर्ण ध्रुवीकरण के लिए, आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $i_p$ है, जहाँ $\tan i_p = \mu = \sqrt{2}$.
अतः, $\sin i_p = \sqrt{\frac{2}{3}}$ और $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
स्नेल के नियम से, $\sin i_p = \mu \sin r$, इसलिए $\sin r = \frac{\sin i_p}{\mu} = \frac{\sqrt{2/3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए, $r = \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. यह $(iii)$ से मेल खाता है।
परावर्तन कोण $\theta$ आपतन कोण $i_p$ के बराबर होता है। चूंकि $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $i_p = \cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. यह $(iv)$ से मेल खाता है।
अपवर्तित किरण का विचलन कोण $\delta$ का मान $i_p - r = \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ है। यह $(ii)$ से मेल खाता है।
आपतित किरण और परावर्तित (ध्रुवित) किरण के बीच का कोण $\phi$ का मान $i_p + \theta = 2i_p = 2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ है। यह $(i)$ से मेल खाता है।
सही मिलान $A-(iv), B-(iii), C-(i), D-(ii)$ है।

(C) पर्दे पर व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए,पथान्तर की शर्त इस प्रकार है:
$d \sin \theta = n \lambda$
जहाँ $d$ झिरियों के बीच की दूरी है,$\theta$ कोण है,$n$ उच्चिष्ठ का क्रम है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है कि $d = 2 \lambda$,इसलिए समीकरण बनता है:
$2 \lambda \sin \theta = n \lambda$
$2 \sin \theta = n$
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $n$ का अधिकतम मान होगा:
$n_{max} = 2 \times 1 = 2$
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-2 \le n \le 2$ हैं।
ये मान $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
अतः,व्यतिकरण उच्चिष्ठों की कुल संख्या $5$ है।

(B) $1.33$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र: $\beta = \frac{\lambda' D}{d}$,जहाँ $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ है।
अतः,$\beta = \frac{\lambda D}{\mu d}$।
दिए गए मान:
$\lambda = 6300 \ \mathring{A} = 6300 \times 10^{-10} \ m$
$D = 1.33 \ m$
$d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$
$\mu = 1.33$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10} \times 1.33}{1.33 \times 10^{-3}}$
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \ m$
$\beta = 6.3 \times 10^{-4} \ m = 0.63 \ mm$।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
सूत्र से हम देख सकते हैं कि जब $\lambda$ और $D$ स्थिर होते हैं, तो $\beta \propto \frac{1}{d}$ होता है।
दिया गया है: प्रारंभिक झिरी पृथक्करण $d_1 = 2 \text{ mm}$, प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$।
नया झिरी पृथक्करण $d_2 = 1.5 \times d_1 = 1.5 \times 2 \text{ mm} = 3 \text{ mm}$।
समानुपातिकता $\beta_1 d_1 = \beta_2 d_2$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{d_1}{d_2} = 1.2 \text{ mm} \times \frac{2 \text{ mm}}{3 \text{ mm}} = 1.2 \times \frac{2}{3} \text{ mm} = 0.4 \times 2 \text{ mm} = 0.8 \text{ mm}$।
अतः, नई फ्रिंज चौड़ाई $0.8 \text{ mm}$ होगी।

(B) यंग के डबल-स्लिट व्यतिकरण प्रयोग में, फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
$\beta_1 = 1.2 \ \text{mm}$
$d_2 = 1.5 \times d_1$
चूंकि $\beta \propto \frac{1}{d}$ (मानते हुए कि $\lambda$ और $D$ स्थिर हैं),
$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1} = 1.5$
मान रखने पर:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \ \text{mm}$
अतः, नई फ्रिंज की चौड़ाई $0.8 \ \text{mm}$ है।

(A) एक बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $d\vec{r}$ पर किया गया कार्य $W$,अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$।
जब एक बिंदु आवेश दूसरे आवेश के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ में गति करता है,तो स्थिर-विद्युत बल हमेशा त्रिज्यीय दिशा (केंद्र की ओर या केंद्र से दूर) में होता है,जबकि विस्थापन सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि त्रिज्यीय बल और स्पर्शरेखीय विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F dr \cos 90^{\circ} = 0$ होता है।
अतः,किया गया कार्य शून्य है। कथन और कारण दोनों सत्य हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(C) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$।
दिया गया है,पहले मामले में: $\frac{A}{B} = \frac{100}{D} \quad ... (1)$
जब $A$ और $B$ को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया अनुपात $\frac{B}{A} = \frac{121}{D}$ हो जाता है $\quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$\left(\frac{A}{B}\right) \times \left(\frac{B}{A}\right) = \left(\frac{100}{D}\right) \times \left(\frac{121}{D}\right)$
$1 = \frac{12100}{D^2}$
$D^2 = 12100$
$D = \sqrt{12100} = 110 \ \Omega$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट व्यतिकरण प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
प्रारंभिक स्लिट पृथक्करण $d_1 = 2 \text{ mm}$.
स्लिट पृथक्करण को पिछले मान से डेढ़ गुना बढ़ा दिया जाता है,इसलिए $d_2 = 1.5 d_1$.
चूंकि $\beta \propto \frac{1}{d}$,इसलिए $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1}$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$.
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \text{ mm}$.