${ }^{15} P_8 = A + 8 \cdot { }^{14} P_7 \Rightarrow A = $

$9$ गेंदों को $9$ बक्सों में रखा जाना है। यदि $5$ गेंदें $3$ छोटे बक्सों में नहीं आ सकती हैं,तो प्रत्येक बक्से में एक गेंद रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$1, 2, 3, 4$ और $5$ अंकों का उपयोग करके कितनी $3$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से अपनी कुर्सी चुनती हैं और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से चयन करते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

$1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ अंकों का उपयोग करके $7$ अंकों की संख्या बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि विषम अंक हमेशा विषम स्थानों पर हों।

$5$ लड़कियों और $3$ लड़कों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो लड़के एक साथ न हों?