यदि x in R के लिए f(x) = sin^6 x + cos^6 x है | vedclass

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Question

(C) दिया है,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.हम इसे $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b

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$\left[\frac{1}{4}, 1\right]$

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(C) दिया है,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.हम इसे $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$ है:$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$.चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:$f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$.व्यंजक में $2 \sin^2 x \cos^2 x$ जोड़ने और घटाने पर:$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$.$4$ से गुणा और भाग करने पर:$f(x) = 1 - \frac{3}{4}(4 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - \frac{3}{4}(\sin 2x)^2$.चूँकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए:$1 - \frac{3}{4}(1) \leq f(x) \leq 1 - \frac{3}{4}(0)$.$\frac{1}{4} \leq f(x) \leq 1$.अतः,$f(x) \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.

यदि $x \in R$ के लिए $f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$ है,तो $f(x)$ किस अंतराल में स्थित है?

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