यदि e^{f(x)}=frac{10+x}{10-x}, x in(-10,10) औ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ प्राप्त होता है।

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$0.5$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}ight)$ प्राप्त होता है।हमें संबंध $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}ight)$ दिया गया है।दाहिनी ओर $f(x)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}ight) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} ight)$$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} ight)$$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} ight)$$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} ight)$$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} ight)$$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} ight) = 2f(x)$।इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $f(x) = k \cdot 2f(x)$।चूंकि $x \in (-10, 10)$ के लिए $f(x) 
eq 0$,इसलिए $1 = 2k$,जिसका अर्थ है कि $k = 0.5$।

यदि $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}, x \in(-10,10)$ और $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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