यदि धनात्मक पूर्णांकों r 1 और n 2 के लिए, | vedclass

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Question

(C) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में,$x^k$ का गुणांक $^{2n}C_k$ है,जहाँ $0 \le k \le 2n$ है।दिया गया है कि $x^{3r}$ और $x^{r+2}$ के गुणांक समान हैं,इसलिए

Vedclass · Accepted Answer

$n = 2r + 1$

Vedclass · Answer

(C) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में,$x^k$ का गुणांक $^{2n}C_k$ है,जहाँ $0 \le k \le 2n$ है।दिया गया है कि $x^{3r}$ और $x^{r+2}$ के गुणांक समान हैं,इसलिए $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$ है।गुणधर्म $^{n}C_a = ^{n}C_b$ का उपयोग करते हुए,जिसका अर्थ है $a = b$ या $a + b = n$,हमें दो स्थितियाँ मिलती हैं:स्थिति $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$। हालाँकि,यह दिया गया है कि $r > 1$,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।स्थिति $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$।अतः,सही संबंध $n = 2r + 1$ है।

यदि धनात्मक पूर्णांकों $r > 1$ और $n > 2$ के लिए,$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $x$ की $(3r)^{th}$ और $(r + 2)^{th}$ घातों के गुणांक समान हैं,तो:

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यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $C_k = {^nC_k}$ है,तो $\sum\limits_{k = 1}^n {k^3\left( {\frac{C_k}{C_{k - 1}}} \right)^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(3+ax)^{9}$ के विस्तार में $x^{2}$ और $x^{3}$ के गुणांक समान हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(a+\frac{x}{5})^{65}$ के विस्तार में $x^5$ और $x^6$ के गुणांक समान हैं,तो $(a+\frac{x}{5})^4$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

द्विपद प्रसार ${\left( \frac{4x^2}{3} - \frac{3}{2x} \right)^9}$ में $x^6$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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