Progression and Sequence Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $a = 486$ અને $b = 2/3$ ની વચ્ચે પાંચ સમગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Means) $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ છે.
પરિણામી સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા $n = 5 + 2 = 7$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T_7 = 2/3$,તેથી $486 \cdot r^{7-1} = 2/3$.
$r^6 = \frac{2}{3 \cdot 486} = \frac{2}{1458} = \frac{1}{729}$.
કારણ કે $729 = 3^6$,તેથી $r^6 = (1/3)^6$,જે આપણને $r = 1/3$ આપે છે.
ચોથું સમગુણોત્તર મધ્યક એ શ્રેણીનું પાંચમું પદ છે,$T_5 = ar^{5-1} = ar^4$.
$T_5 = 486 \cdot (1/3)^4 = 486 \cdot (1/81) = 6$.

(A) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 18x + 9 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$ થાય.
બે સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ નો ભૂમિતિ મધ્યક $(G.M.)$ $\sqrt{\alpha \beta}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$G.M. = \sqrt{9} = 3$ થાય.

(B) $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, ..., x_n$ નો ભૂમિતિ મધ્યક $(G.M.)$ $(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સંખ્યાઓ $3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ છે.
$G.M. = (3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot ... \cdot 3^n)^{1/n}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$G.M. = (3^{1+2+3+...+n})^{1/n}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય છે.
$G.M. = (3^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n}$
$G.M. = 3^{\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{n}}$
$G.M. = 3^{\frac{n+1}{2}}$.

(D) ધારો કે $4$ અને $\frac{1}{4}$ ની વચ્ચેના ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો $g_1, g_2, g_3$ છે.
તેથી $4, g_1, g_2, g_3, \frac{1}{4}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 4$ અને પાંચમું પદ $ar^4 = \frac{1}{4}$ છે.
$a = 4$ મૂકતા,આપણને $4r^4 = \frac{1}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^4 = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
આમ,$r = \frac{1}{2}$ (ધન સામાન્ય ગુણોત્તર લેતા).
ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર $g_1 \times g_2 \times g_3 = (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) = a^3 r^6$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$4^3 \times (\frac{1}{2})^6 = 64 \times \frac{1}{64} = 1$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર $(ab)^{n/2}$ થાય છે.
અહીં,$a = 4, b = \frac{1}{4}, n = 3$.
ગુણાકાર $= (4 \times \frac{1}{4})^{3/2} = 1^{3/2} = 1$.

(B) ધારો કે $1$ અને $64$ ની વચ્ચેના બે ભૌમિતિક મધ્યકો $a$ અને $b$ છે.
તેથી શ્રેણી $1, a, b, 64$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ બનાવે છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી $a = 1 \cdot r$,$b = 1 \cdot r^2$,અને $64 = 1 \cdot r^3$ થાય.
$r^3 = 64$ પરથી,આપણને $r = \sqrt[3]{64} = 4$ મળે છે.
તેથી,$a = 1 \cdot 4 = 4$ અને $b = 1 \cdot 4^2 = 16$ મળે.
આમ,બે ભૌમિતિક મધ્યકો $4$ અને $16$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ને $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગુણોત્તરની બંને બાજુઓનો વર્ગ કરતા,આપણને $\left(\frac{b}{a}\right)^2 = \left(\frac{c}{b}\right)^2 = r^2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{b^2} = r^2$ મળે છે.
ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર $\frac{b^2}{a^2}$ અને $\frac{c^2}{b^2}$ અચળ $(r^2)$ હોવાથી,શ્રેણી $a^2, b^2, c^2$ પણ $G.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $x, G_1, G_2, y$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ માં છે.
ધારો કે $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી,$G_1 = xr$,$G_2 = xr^2$,અને $y = xr^3$ થાય.
છેલ્લા પદ પરથી,$r^3 = y/x$,તેથી $r = (y/x)^{1/3}$ મળે.
હવે,ગુણાકાર $G_1 G_2 = (xr)(xr^2) = x^2 r^3$ થાય.
$r^3 = y/x$ ની કિંમત મૂકતા:
$G_1 G_2 = x^2 (y/x) = xy$.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈપણ $G.P.$ માં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો ગુણાકાર અચળ હોય છે અને તે પ્રથમ અને છેલ્લા પદના ગુણાકાર જેટલો હોય છે. આમ,$G_1 G_2 = x \cdot y$.

(A) ધારો કે ભૌમિતિક શ્રેણીમાં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $1728$ છે,તેથી:
$\left(\frac{a}{r}\right) \times a \times (ar) = 1728$
$a^3 = 1728$
$a = \sqrt[3]{1728} = 12$
અહીં વચ્ચેનું પદ $a$ છે,તેથી વચ્ચેની સંખ્યા $12$ છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $216$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 216 \Rightarrow a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.
આપેલ છે કે બબ્બે પદોના ગુણાકારનો સરવાળો $156$ છે:
$\frac{a}{r} \times a + a \times ar + \frac{a}{r} \times ar = 156$.
$a = 6$ મૂકતા:
$\frac{36}{r} + 36r + 36 = 156$.
$\frac{36}{r} + 36r = 120$.
$12$ વડે ભાગતા,$\frac{3}{r} + 3r = 10$ મળે.
$3 + 3r^2 = 10r \Rightarrow 3r^2 - 10r + 3 = 0$.
$(3r - 1)(r - 3) = 0$.
આમ,$r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$.
જો $r = 3$ હોય,તો પદો $\frac{6}{3}, 6, 6 \times 3$ એટલે કે $2, 6, 18$ મળે.
જો $r = \frac{1}{3}$ હોય,તો પદો $18, 6, 2$ મળે.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $2, 6, 18$ છે.

(A) સમગુણોત્તર શ્રેણીના અનંત પદોનો સરવાળો $(S_{\infty})$ શોધવાનું સૂત્ર: $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે: $S_{\infty} = 4/3$ અને $a = 3/4$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{3} = \frac{3/4}{1 - r}$.
બંને બાજુ $(1 - r)$ વડે ગુણતા અને સાદું રૂપ આપતા: $1 - r = \frac{3/4}{4/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.
તેથી,$r = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = 7/16$.

(B) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \alpha$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{a}{1 - r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$ હોય.
આપેલ સમીકરણ: $3 + 3\alpha + 3{\alpha ^2} + \dots \infty = \frac{45}{8}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{1 - \alpha} = \frac{45}{8}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{1 - \alpha} = \frac{15}{8}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8 = 15(1 - \alpha)$.
$8 = 15 - 15\alpha$.
$15\alpha = 15 - 8$.
$15\alpha = 7$.
તેથી,$\alpha = \frac{7}{15}$.

(D) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે.
આ શ્રેણી ત્યારે જ અભિસારી (convergent) બને છે જો સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $1$ કરતા ઓછું હોય,જેને $|r| < 1$ અથવા $-1 < r < 1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો $|r| \ge 1$ હોય,તો પદો શૂન્યની નજીક પહોંચતા નથી અને શ્રેણીનો સરવાળો અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી (તે અપસારી છે).

(B) આપેલ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી: $A = 1 + r^z + r^{2z} + r^{3z} + .......\infty$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^z$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|R| < 1$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \frac{1}{1 - r^z}$.
$r^z$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$1 - r^z = \frac{1}{A}$
$r^z = 1 - \frac{1}{A}$
$r^z = \frac{A - 1}{A}$
બંને બાજુ $z$-મું મૂળ લેતા,આપણને મળે છે $r = \left( \frac{A - 1}{A} \right)^{1/z}$.

(A) આપેલ શ્રેણીઓ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે.
$x = 1 + a + a^2 + ... \infty$ માટે,સરવાળો $x = \frac{1}{1 - a}$ થાય.
$a$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$1 - a = \frac{1}{x}$,તેથી $a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ મળે.
તે જ રીતે,$y = 1 + b + b^2 + ... \infty$ માટે,સરવાળો $y = \frac{1}{1 - b}$ થાય.
$b$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$1 - b = \frac{1}{y}$,તેથી $b = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y - 1}{y}$ મળે.
માંગેલ શ્રેણી $1 + ab + a^2b^2 + ... \infty$ છે,જે પણ એક અનંત $G.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $ab$ છે.
તેનો સરવાળો $\frac{1}{1 - ab}$ થાય.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
સરવાળો $= \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})(\frac{y - 1}{y})} = \frac{1}{1 - \frac{(x - 1)(y - 1)}{xy}}$.
સરવાળો $= \frac{xy}{xy - (xy - x - y + 1)} = \frac{xy}{xy - xy + x + y - 1} = \frac{xy}{x + y - 1}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G.P.$ નું બીજું પદ $ar = 2$ આપેલ છે.
$G.P.$ ના અનંત પદોનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = 8$ છે,જ્યાં $|r| < 1$.
$ar = 2$ પરથી,આપણને $a = \frac{2}{r}$ મળે છે.
આ કિંમત સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2/r}{1 - r} = 8$.
$\Rightarrow \frac{2}{r(1 - r)} = 8$.
$\Rightarrow 2 = 8r(1 - r)$.
$\Rightarrow 1 = 4r(1 - r)$.
$\Rightarrow 4r^2 - 4r + 1 = 0$.
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $(2r - 1)^2 = 0$.
તેથી,$r = \frac{1}{2}$.
હવે,પ્રથમ પદ $a$ શોધો: $a = \frac{2}{r} = \frac{2}{1/2} = 4$.
આમ,પ્રથમ પદ $4$ છે.

(A) ધારો કે $x = 0.4\overline{23} = 0.4232323...$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $10$ વડે ગુણતા: $10x = 4.232323...$
પુનરાવર્તિત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $1000$ વડે ગુણતા: $1000x = 423.232323...$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
તેથી,$x = \frac{419}{990}$.

(D) આપેલ શ્રેણી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \infty$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|r| < 1$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $y = \frac{x}{1 - (-x)}$.
$y = \frac{x}{1 + x}$.
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$y(1 + x) = x$
$y + yx = x$
$y = x - yx$
$y = x(1 - y)$
$x = \frac{y}{1 - y}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sum_{n = 0}^\infty a^n = \frac{1}{1 - a}$.
$a$ માટે ગોઠવતા,આપણને $1 - a = \frac{1}{x}$ મળે,તેથી $a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$.
તે જ રીતે,$y = \sum_{n = 0}^\infty b^n = \frac{1}{1 - b}$,જે $b = \frac{y - 1}{y}$ આપે છે.
વળી,$z = \sum_{n = 0}^\infty (ab)^n = \frac{1}{1 - ab}$,જે $ab = \frac{z - 1}{z}$ આપે છે.
$a$ અને $b$ ના પદોને $ab$ ના પદમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{y - 1}{y}\right) = \frac{z - 1}{z}$.
$\frac{(x - 1)(y - 1)}{xy} = \frac{z - 1}{z}$.
$z(xy - x - y + 1) = xy(z - 1)$.
$xyz - xz - yz + z = xyz - xy$.
$-xz - yz + z = -xy$.
$xy + z = xz + yz$.

(C) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $|r| < 1$ છે.
અનંત પદોનો સરવાળો $x = \frac{a}{1 - r} \implies a = x(1 - r) \dots (i)$.
જ્યારે દરેક પદનો વર્ગ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી શ્રેણી $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ મળે છે,જે પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ ધરાવતી $G.P.$ છે.
આ નવી શ્રેણીનો સરવાળો $y = \frac{a^2}{1 - r^2} = \frac{a^2}{(1 - r)(1 + r)} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = x(1 - r)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{[x(1 - r)]^2}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{x^2(1 - r)^2}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{x^2(1 - r)}{1 + r}$.
$r$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$y(1 + r) = x^2(1 - r)$
$y + yr = x^2 - x^2r$
$yr + x^2r = x^2 - y$
$r(x^2 + y) = x^2 - y$
$r = \frac{x^2 - y}{x^2 + y}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ શ્રેણી $a + ar + ar^2 + \dots$ છે,જ્યાં $|r| < 1$ છે.
આ અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S_1 = \frac{a}{1-r} = 3$ છે,તેથી $a = 3(1-r)$ મળે.
પદોના વર્ગો દ્વારા બનતી બીજી શ્રેણી $a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 + \dots$ છે.
આ અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S_2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $a = 3(1-r)$ મૂકતા:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
અનંત પદોનો સરવાળો $S$ એ $S = \frac{a}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ માટે ગોઠવતા,આપણને $1 - r = \frac{a}{S}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 - \frac{a}{S}$.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ એ $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S = \frac{a}{1 - r}$ અને $r = 1 - \frac{a}{S}$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_n = S(1 - r^n) = S\left[ {1 - {{\left( {1 - \frac{a}{S}} \right)}^n}} \right]$.

(D) ધારો કે $x = 0.14189189189...$
આને $x = 0.14 + 0.00189189189...$ તરીકે લખી શકાય.
$x = \frac{14}{100} + \frac{189}{99900}$
$x = \frac{14}{100} + \frac{189 \div 27}{99900 \div 27} = \frac{14}{100} + \frac{7}{3700}$
સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ શોધો,જે $3700$ છે:
$x = \frac{14 \times 37}{3700} + \frac{7}{3700} = \frac{518 + 7}{3700} = \frac{525}{3700}$
અંશ અને છેદ બંનેને $25$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{525 \div 25}{3700 \div 25} = \frac{21}{148}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $5.05 + 1.212 + 0.29088 + ... \infty$ છે.
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 5.05$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ની ગણતરી કરતા,$r = \frac{1.212}{5.05} = 0.24$ મળે છે.
અહીં $|r| < 1$ હોવાથી,અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_{\infty} = \frac{5.05}{1 - 0.24} = \frac{5.05}{0.76}$ મળે છે.
ભાગાકાર કરતા,$S_{\infty} = 6.6447368... \approx 6.64474$ થાય છે.

(A) ધારો કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{a}{1-r} = 3$,તેથી $a = 3(1-r)$ ..... $(i)$.
તેના પદોના વર્ગોથી બનતી શ્રેણી $a^2, a^2r^2, a^2r^4, .....$ છે. આ પણ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે ..... $(ii)$.
$(ii)$ માં $a = 3(1-r)$ મૂકતા:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a = 3(1 - \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
તેથી શ્રેણી $a, ar, ar^2, .....$ એ $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, .....$ છે.

(D) અનંત $G.P.$ માટે,સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 4$ અને બીજું પદ $ar = \frac{3}{4}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a = 4(1-r)$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $4(1-r)r = \frac{3}{4}$.
$r(1-r) = \frac{3}{16} \implies r - r^2 = \frac{3}{16} \implies 16r^2 - 16r + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(4r - 3)(4r - 1) = 0$.
આમ,$r = \frac{3}{4}$ અથવા $r = \frac{1}{4}$ મળે.
જો $r = \frac{3}{4}$ હોય,તો $a = 4(1 - 3/4) = 4(1/4) = 1$.
જો $r = \frac{1}{4}$ હોય,તો $a = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$.
શક્ય જોડીઓ $(a, r)$ એ $(1, 3/4)$ અને $(3, 1/4)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) પ્રથમ,અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ ગણો.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_1 = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
સરવાળો $x = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
હવે,$a = 0.2 = \frac{1}{5}$,$b = \sqrt{5} = 5^{1/2}$,અને $x = \frac{1}{2}$ ને $a^{\log_b x}$ પદમાં મૂકતા:
$a^{\log_b x} = (\frac{1}{5})^{\log_{\sqrt{5}} (1/2)} = (5^{-1})^{\log_{5^{1/2}} (2^{-1})}$.
ગુણધર્મ $\log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\log_{5^{1/2}} (2^{-1}) = \frac{1}{1/2} \log_5 (2^{-1}) = 2 \log_5 (2^{-1}) = \log_5 (2^{-1})^2 = \log_5 (2^{-2}) = \log_5 (1/4)$.
આમ,પદ $(5^{-1})^{\log_5 (1/4)} = 5^{-\log_5 (1/4)} = 5^{\log_5 (1/4)^{-1}} = 5^{\log_5 4} = 4$ બને છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = {4^{1/3}} \cdot {4^{1/9}} \cdot {4^{1/27}} \cdots \infty$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m+n}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = {4^{(1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/3$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,ઘાતાંકનો સરવાળો $\frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = 1/2$ થાય છે.
તેથી,$S = {4^{1/2}} = \sqrt{4} = 2$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી $(G.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
અનંત $G.P.$ ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \frac{x}{1 - x}$ મળે છે.
હવે,$x$ માટે ઉકેલતા:
$y(1 - x) = x$
$y - yx = x$
$y = x + yx$
$y = x(1 + y)$
$x = \frac{y}{1 + y}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. $G.P.$ ના અનંત પદોનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે .....$(i)$
$G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, \dots$ છે. આ પદોના વર્ગો $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ છે,જે એક નવી $G.P.$ બનાવે છે જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
પદોના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે .....(ii)
$(i)$ પરથી,$a = 3(1-r)$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \Rightarrow r = 1/2$
$r = 1/2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a = 3(1 - 1/2) = 3(1/2) = 3/2$
આમ,પ્રથમ પદ $3/2$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $1/2$ છે.

(A) આપેલ ભૂમિતિ શ્રેણી $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}, \frac{1}{2}, \dots$ છે.
પ્રથમ પદ $a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2}$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} \div \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$S = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) - 1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2 \cdot \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 + \sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^3}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^2$.

(B) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 20$ .....$(i)$
પદોના વર્ગો એક નવી $G.P.$ બનાવે છે જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $S' = \frac{a^2}{1-r^2} = 100$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a = 20(1-r)$.
આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{[20(1-r)]^2}{1-r^2} = 100$
$\frac{400(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 100$
$\frac{4(1-r)}{1+r} = 1$
$4 - 4r = 1 + r$
$5r = 3$
$r = 3/5$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $|r| < 1$ છે.
પ્રથમ પદ પછીના બાકીના પદોનો સરવાળો $S - a = \frac{a}{1-r} - a = a\left(\frac{1}{1-r} - 1\right) = a\left(\frac{1 - 1 + r}{1-r}\right) = \frac{ar}{1-r}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ પદ એ બાકીના પદોના સરવાળા કરતાં બમણું છે:
$a = 2 \left( \frac{ar}{1-r} \right)$.
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $a \neq 0$):
$1 = \frac{2r}{1-r}$.
$1 - r = 2r$.
$1 = 3r$.
$r = 1/3$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{x}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો નિશ્ચિત હોવા માટે,શરત $|r| < 1$ સંતોષાવી જોઈએ.
તેથી,$|\frac{2}{x}| < 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2}{|x|} < 1$,જેનો અર્થ છે $|x| > 2$.
કારણ કે પદો ધન છે,આપણે $x > 2$ લઈએ છીએ.

(C) ધારો કે $x = 0.5737373......$
આને $x = 0.5 + 0.0737373......$ તરીકે લખી શકાય.
$x = 0.5 + \frac{73}{1000} + \frac{73}{100000} + \frac{73}{10000000} + ...$
આ બીજા પદથી શરૂ થતી એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{73}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{100}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$x = 0.5 + \frac{73/1000}{1 - 1/100} = \frac{5}{10} + \frac{73/1000}{99/100} = \frac{1}{2} + \frac{73}{1000} \times \frac{100}{99} = \frac{1}{2} + \frac{73}{990}$.
$x = \frac{495 + 73}{990} = \frac{568}{990}$.

(D) ધારો કે $x = 0.037037037...$
આ એક આવૃત દશાંશ સંખ્યા છે જેને અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે:
$x = 0.037 + 0.000037 + 0.000000037 + ...$
$x = \frac{37}{10^3} + \frac{37}{10^6} + \frac{37}{10^9} + ...$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{37}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{1000}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{37/1000}{1 - 1/1000} = \frac{37/1000}{999/1000} = \frac{37}{999}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$x = \frac{37}{999} = \frac{1}{27}$.
અહીં $\frac{37}{999}$ એ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $3 + x, 9 + x, 21 + x$ એ $G.P.$ માં છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ $G.P.$ માં હોય ત્યારે શરત $b^2 = ac$ થાય છે.
આ શરત લાગુ પાડતા: $(9 + x)^2 = (3 + x)(21 + x)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $81 + x^2 + 18x = 63 + 21x + 3x + x^2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $81 + 18x = 63 + 24x$
પદોને ગોઠવતા: $81 - 63 = 24x - 18x$
$18 = 6x$
$x = 3$
ચકાસણી: જો $x = 3$ હોય,તો સંખ્યાઓ $3+3=6, 9+3=12, 21+3=24$ થાય. અહીં $12/6 = 2$ અને $24/12 = 2$ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન છે,જે સાબિત કરે છે કે તે $G.P.$ માં છે.

(B) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ ના સરવાળાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$s = \frac{a}{1 - r}$
જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે (જ્યાં $|r| < 1$ હોય).
$r$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$s(1 - r) = a$
$1 - r = \frac{a}{s}$
$r = 1 - \frac{a}{s}$
$r = \frac{s - a}{s}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $9 - 3 + 1 - \frac{1}{3} + .....$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 9$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના અનંત પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,$S_{\infty} = \frac{9}{1 - (-1/3)} = \frac{9}{1 + 1/3} = \frac{9}{4/3} = \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{4}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a^2 + b^2 + 16c^2 = 6ab + 12bc + 8ac$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $a^2 + b^2 + 16c^2 - 6ab - 12bc - 8ac = 0$.
જો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $b^2 = ac$ થાય.
આમ,$a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = (32)(32)^{1/6}(32)^{1/36} \dots \infty$ છે.
આધાર સમાન હોવાથી, આપણે ઘાતાંકોનો સરવાળો કરી શકીએ: $P = (32)^{1 + 1/6 + 1/36 + \dots \infty}$.
ઘાતાંક એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/6$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S = a / (1 - r)$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $S = 1 / (1 - 1/6) = 1 / (5/6) = 6/5$.
તેથી, $P = (32)^{6/5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $32 = 2^5$, તેથી $P = (2^5)^{6/5} = 2^{(5 \times 6/5)} = 2^6$.
$2^6 = 64$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $H.P.$ નું $m$ મું પદ $n$ છે અને $n$ મું પદ $m$ છે.
તેને અનુરૂપ $A.P.$ માટે,$m$ મું પદ $\frac{1}{n}$ અને $n$ મું પદ $\frac{1}{m}$ થશે.
ધારો કે આ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી,$a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ --- $(i)$
અને,$a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$
આમ,$d = \frac{1}{mn}$.
$d$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a = \frac{1}{n} - \frac{m - 1}{mn} = \frac{m - m + 1}{mn} = \frac{1}{mn}$.
$A.P.$ નું $r$ મું પદ $T_r = a + (r - 1)d = \frac{1}{mn} + (r - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + r - 1}{mn} = \frac{r}{mn}$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $r$ મું પદ $A.P.$ ના $r$ માં પદનો વ્યસ્ત એટલે કે $\frac{mn}{r}$ થશે.

(D) ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $x$ છે. નવી સંખ્યાઓ $(13 + x), (15 + x), (19 + x)$ થશે.
આ સંખ્યાઓ $H.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત પદો $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હશે.
તેથી,$\frac{1}{15 + x} - \frac{1}{13 + x} = \frac{1}{19 + x} - \frac{1}{15 + x}$.
$\Rightarrow \frac{(13 + x) - (15 + x)}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{(15 + x) - (19 + x)}{(19 + x)(15 + x)}$.
$\Rightarrow \frac{-2}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{-4}{(19 + x)(15 + x)}$.
$\Rightarrow \frac{1}{13 + x} = \frac{2}{19 + x}$.
$\Rightarrow 19 + x = 2(13 + x)$.
$\Rightarrow 19 + x = 26 + 2x$.
$\Rightarrow x = 19 - 26 = -7$.
આમ,ઉમેરવાની સંખ્યા $-7$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $2, 2\frac{1}{2}, 3\frac{1}{3}, \dots$ એ $H.P.$ માં છે.
તેના વ્યસ્ત લેતા,શ્રેણી $\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \dots$ એ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં થશે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4-5}{10} = -\frac{1}{10}$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A.P.$ ના $5$ મા પદ માટે: $T_5 = \frac{1}{2} + (5-1)(-\frac{1}{10}) = \frac{1}{2} - \frac{4}{10} = \frac{5-4}{10} = \frac{1}{10}$.
જેથી $H.P.$ એ $A.P.$ નો વ્યસ્ત હોવાથી,$H.P.$ નું $5$ મું પદ $\frac{1}{10}$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $10$ થશે.

(C) કારણ કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ એ $A.P.$ માં હશે.
ધારો કે આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a_k - a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} = d$,અથવા $a_k - a_{k+1} = d(a_k a_{k+1})$.
આનો $k=1$ થી $n-1$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$(a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \dots + (a_{n-1} - a_n) = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$a_1 - a_n = d \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$A.P.$ માટે,$n$-મું પદ $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$ છે,તેથી $d = \frac{1/a_n - 1/a_1}{n-1} = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$.
$d$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a_1 - a_n = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n} \sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1})$
$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k a_{k+1}) = (n-1)a_1 a_n$.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી મધ્યમ પદ $y$ એ $x$ અને $z$ નો હરાત્મક મધ્યક છે,એટલે કે $y = \frac{2xz}{x + z}$.
આપણે પદાવલિ $E = \log(x + z) + \log(x - 2y + z)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \log[(x + z)(x - 2y + z)]$.
$y = \frac{2xz}{x + z}$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \log\left[(x + z)\left(x - 2\left(\frac{2xz}{x + z}\right) + z\right)\right]$
$E = \log\left[(x + z)\left(x + z - \frac{4xz}{x + z}\right)\right]$
$E = \log\left[(x + z)^2 - 4xz\right]$
$E = \log(x^2 + 2xz + z^2 - 4xz)$
$E = \log(x^2 - 2xz + z^2) = \log(x - z)^2$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a^n) = n\log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = 2\log(x - z)$.

(A) ધારો કે અનુરૂપ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) $a, a+d, a+2d, \dots$ છે,જેથી $H.P.$ નું $n^{th}$ પદ $1/(a+(n-1)d)$ થાય.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું ${5^{th}}$ પદ $1/45$ છે,તેથી $A.P.$ નું ${5^{th}}$ પદ $a + 4d = 45$ $(i)$ થાય.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું ${11^{th}}$ પદ $1/69$ છે,તેથી $A.P.$ નું ${11^{th}}$ પદ $a + 10d = 69$ $(ii)$ થાય.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 10d) - (a + 4d) = 69 - 45$
$6d = 24 \implies d = 4$.
$d = 4$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 4(4) = 45 \implies a + 16 = 45 \implies a = 29$.
હવે,$A.P.$ નું ${16^{th}}$ પદ $a + 15d = 29 + 15(4) = 29 + 60 = 89$ થાય.
આમ,$H.P.$ નું ${16^{th}}$ પદ $1/89$ થશે.

(B) જો કોઈ શ્રેણીના પદોના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં હોય,તો તે શ્રેણી હાર્મોનિક શ્રેણી $(H.P.)$ કહેવાય છે.
અહીં $H.P.$ નું પ્રથમ પદ $1/7$ છે,તેથી અનુરૂપ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a = 7$ થશે.
$H.P.$ નું બીજું પદ $1/9$ છે,તેથી $A.P.$ નું બીજું પદ $a + d = 9$ થશે.
સામાન્ય તફાવત $d$ શોધતા: $d = 9 - 7 = 2$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$A.P.$ માટે $12$ મું પદ: $T_{12} = 7 + (12 - 1) \times 2 = 7 + 11 \times 2 = 7 + 22 = 29$.
આમ,$H.P.$ નું $12$ મું પદ એ $A.P.$ ના $12$ માં પદનો વ્યસ્ત હોવાથી,તે $1/29$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $\frac{1}{a} = p - q$,$\frac{1}{b} = p$,અને $\frac{1}{c} = p + q$,જ્યાં $p, q > 0$ અને $p > q$.
તેથી $a = \frac{1}{p-q}$,$b = \frac{1}{p}$,અને $c = \frac{1}{p+q}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3a + 2b}{2a - b} = \frac{\frac{3}{p-q} + \frac{2}{p}}{\frac{2}{p-q} - \frac{1}{p}} = \frac{3p + 2(p-q)}{2p - (p-q)} = \frac{5p - 2q}{p + q}$
તે જ રીતે,$\frac{3c + 2b}{2c - b} = \frac{\frac{3}{p+q} + \frac{2}{p}}{\frac{2}{p+q} - \frac{1}{p}} = \frac{3p + 2(p+q)}{2p - (p+q)} = \frac{5p + 2q}{p - q}$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા: $\frac{5p - 2q}{p + q} + \frac{5p + 2q}{p - q} = \frac{(5p - 2q)(p - q) + (5p + 2q)(p + q)}{p^2 - q^2} = \frac{5p^2 - 7pq + 2q^2 + 5p^2 + 7pq + 2q^2}{p^2 - q^2} = \frac{10p^2 + 4q^2}{p^2 - q^2} = 10 + \frac{14q^2}{p^2 - q^2}$.
કારણ કે $p > q > 0$,તેથી $p^2 - q^2 > 0$,તેથી આ પદાવલિનું મૂલ્ય $10$ કરતા મોટું છે.

(A) જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ એ $A.P.$ માં હોય.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $k$ છે. તો $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + k$,$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + 2k$,અને $\frac{1}{d} = \frac{1}{a} + 3k$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$H.P.$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$b = \frac{2ac}{a+c}$ અને $c = \frac{2bd}{b+d}$ મળે.
$b = \frac{2ac}{a+c}$ પરથી,$\frac{1}{b} = \frac{a+c}{2ac} = \frac{1}{2c} + \frac{1}{2a}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2ac = b(a+c) = ab + bc$.
તે જ રીતે,$c = \frac{2bd}{b+d}$ પરથી,$2bd = c(b+d) = bc + cd$ મળે.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$ab + 2bc + cd = 2ac + 2bd$ મળે.
$a=1, b=1/2, c=1/3, d=1/4$ લેતા,$ab+bc+cd = (1)(1/2) + (1/2)(1/3) + (1/3)(1/4) = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 9/12 = 3/4$ થાય.
અહીં $3ad = 3(1)(1/4) = 3/4$ હોવાથી,સાચો જવાબ $3ad$ છે.

(D) ધારો કે હાર્મોનિક શ્રેણી $(H.P.)$ $H_1, H_2, H_3, \dots$ છે. તેની અનુરૂપ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $\frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \frac{1}{H_3}, \dots$ થશે.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $7$ મું પદ $8$ છે,તેથી અનુરૂપ $A.P.$ નું $7$ મું પદ $\frac{1}{8}$ થશે.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $8$ મું પદ $7$ છે,તેથી અનુરૂપ $A.P.$ નું $8$ મું પદ $\frac{1}{7}$ થશે.
ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$a + 6d = \frac{1}{8}$ --- $(1)$
$a + 7d = \frac{1}{7}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $d = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8-7}{56} = \frac{1}{56}$.
$d$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $a + 6(\frac{1}{56}) = \frac{1}{8} \implies a + \frac{3}{28} = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{8} - \frac{3}{28} = \frac{7-6}{56} = \frac{1}{56}$.
$A.P.$ નું $15$ મું પદ $a + 14d = \frac{1}{56} + 14(\frac{1}{56}) = \frac{15}{56}$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $15$ મું પદ $A.P.$ ના $15$ મા પદનો વ્યસ્ત એટલે કે $\frac{56}{15}$ થશે.