એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો 3 છે. તેના પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, .....$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.આપેલ છે કે,$\frac{a}{1-r} = 3$,તેથી $a = 3(1-r)$ ..... $(i)$.તેના પદોના વર્ગોથી બનતી શ્રેણી $a^2, a^2r^2, a^2r^4, .....$ છે. આ પણ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ છે ..... $(ii)$.$(ii)$ માં $a = 3(1-r)$ મૂકતા:$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$$3 - 3r = 1 + r$$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.$r = \frac{1}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:$a = 3(1 - \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.તેથી શ્રેણી $a, ar, ar^2, .....$ એ $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, .....$ છે.

એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $3$ છે. તેના પદોના વર્ગોથી બનતી શ્રેણીનો સરવાળો પણ $3$ છે. તો પ્રથમ શ્રેણી કઈ છે?

Similar Questions

શ્રેણી $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

જો $a$ અને $b$ ની વચ્ચે $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો મૂકવામાં આવે,તો $n^{th}$ સમગુણોત્તર મધ્યક શું થશે?

શ્રેણી $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module