Progression and Sequence Questions in Gujarati

(C) શ્રેણીનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત ચકાસીએ છીએ.
ધારો કે શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, \dots$ છે જ્યાં $a_1 = \frac{5}{\sqrt{7}}$,$a_2 = \frac{6}{\sqrt{7}}$,અને $a_3 = \sqrt{7}$ છે.
બીજા અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{6}{\sqrt{7}} - \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$ છે.
ત્રીજા અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત $d_2 = a_3 - a_2 = \sqrt{7} - \frac{6}{\sqrt{7}}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{7} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}}$,તેથી $d_2 = \frac{7}{\sqrt{7}} - \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$ મળે છે.
અહીં $d_1 = d_2 = \frac{1}{\sqrt{7}}$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત અચળ છે.
તેથી,આ શ્રેણી $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $\left( 3 - \frac{1}{n} \right) + \left( 3 - \frac{2}{n} \right) + \left( 3 - \frac{3}{n} \right) + \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) છે.
પ્રથમ પદ $a = \left( 3 - \frac{1}{n} \right)$.
સામાન્ય તફાવત $d = \left( 3 - \frac{2}{n} \right) - \left( 3 - \frac{1}{n} \right) = -\frac{2}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}$.
સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_p = a + (p - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T_p = \left( 3 - \frac{1}{n} \right) + (p - 1)\left( -\frac{1}{n} \right)$
$T_p = 3 - \frac{1}{n} - \frac{p}{n} + \frac{1}{n}$
$T_p = 3 - \frac{p}{n}$.
વૈકલ્પિક રીતે,અવલોકન કરતા,$k$ મું પદ $\left( 3 - \frac{k}{n} \right)$ છે. તેથી,$p$ મું પદ $\left( 3 - \frac{p}{n} \right)$ થશે.

(A) આપેલ શ્રેણી $2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 0 + \dots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2\sqrt{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$8$ માં પદ $(n = 8)$ માટે:
$a_8 = 2\sqrt{2} + (8 - 1)(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} + 7(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} - 7\sqrt{2}$
$a_8 = -5\sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $9$ મું પદ શૂન્ય છે:
$a_9 = a + (9 - 1)d = 0$
$a + 8d = 0 \Rightarrow a = -8d$.
હવે,આપણે $29$ માં પદ અને $19$ માં પદનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$a_{29} = a + 28d = -8d + 28d = 20d$.
$a_{19} = a + 18d = -8d + 18d = 10d$.
ગુણોત્તર $= \frac{a_{29}}{a_{19}} = \frac{20d}{10d} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) શ્રેણી $f(n) = an + b;\;n \in N$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે.
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ મૂકતા,આપણને નીચે મુજબની શ્રેણી મળે છે:
$(a + b), (2a + b), (3a + b), \dots$
અહીં,પ્રથમ પદ $A = (a + b)$ અને સામાન્ય તફાવત $d = (2a + b) - (a + b) = a$ છે.
સામાન્ય તફાવત અચળ હોવાથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ હંમેશા $n$ માં $an + b$ સ્વરૂપની સુરેખ અભિવ્યક્તિ હોય છે,જ્યાં $n \in N$.

(A) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = -8 + 18i$ અને સામાન્ય તફાવત $d = (-6 + 15i) - (-8 + 18i) = 2 - 3i$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_n = (-8 + 18i) + (n - 1)(2 - 3i)$
$T_n = -8 + 18i + 2n - 2 - 3ni + 3i$
$T_n = (2n - 10) + i(21 - 3n)$
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$2n - 10 = 0$
$2n = 10$
$n = 5$
આમ,$5^{th}$ પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(C) આપેલ છે કે $n$ મું પદ $T_n = 2n - 1$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $(S_n)$ શોધવા માટે,આપણે $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$
$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$
$S_n = n(n + 1) - n$
$S_n = n^2 + n - n = n^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,શ્રેણી $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ છે,જે પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $n^2$ થાય છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $T_n$ છે.
દરેક પદના પ્રથમ અવયવો $1, 3, 5, 7, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$ થાય.
દરેક પદના બીજા અવયવો $3, 5, 7, 9, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $b_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$ થાય.
તેથી,શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a_n \times b_n = (2n - 1)(2n + 1)$ થશે.

(B) આપેલ શ્રેણી $101, 99, 97, \dots, 47$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 101$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 99 - 101 = -2$ છે.
છેલ્લું પદ $l$ (અથવા $T_n$) $47$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $47 = 101 + (n - 1)(-2)$.
બંને બાજુથી $101$ બાદ કરતા,$47 - 101 = (n - 1)(-2)$,જેનું સાદું રૂપ $-54 = (n - 1)(-2)$ થાય છે.
બંને બાજુને $-2$ વડે ભાગતા,આપણને $27 = n - 1$ મળે છે.
તેથી,$n = 27 + 1 = 28$.
આમ,શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા $28$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે,$p$-મું પદ ${T_p} = a + (p - 1)d = q$ ..... $(i)$
અને $q$-મું પદ ${T_q} = a + (q - 1)d = p$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = -(p - q)$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
હવે,$r$-મું પદ ${T_r} = a + (r - 1)d$ છે.
${T_r} = (p + q - 1) + (r - 1)(-1)$
${T_r} = p + q - 1 - r + 1$
${T_r} = p + q - r$
આમ,$r$-મું પદ $p + q - r$ થશે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\tan n\theta = \tan m\theta$ છે.
$\tan x = \tan y$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $x = N\pi + y$ છે,જ્યાં $N$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
આપેલ સમીકરણમાં આ લાગુ પાડતા: $n\theta = N\pi + m\theta$.
$\theta$ ને કર્તા બનાવતા: $(n - m)\theta = N\pi$,તેથી $\theta = \frac{N\pi}{n - m}$ મળે.
$N = 1, 2, 3, \dots$ જેવી વિવિધ પૂર્ણાંક કિંમતો માટે,$\theta$ ના મૂલ્યો $\frac{\pi}{n - m}, \frac{2\pi}{n - m}, \frac{3\pi}{n - m}, \dots$ મળે છે.
આ મૂલ્યો સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે કારણ કે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ છે: $d = \frac{(N+1)\pi}{n - m} - \frac{N\pi}{n - m} = \frac{\pi}{n - m}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $3.8 + 6.11 + 9.14 + 12.17 + .....$ છે.
આ શ્રેણી બે પદોના ગુણાકારથી બનેલી છે.
પ્રથમ અવયવો $3, 6, 9, 12, .....$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
આ શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)3 = 3n$ થાય.
બીજા અવયવો $8, 11, 14, 17, .....$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 8$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
આ શ્રેણીનું $n$ મું પદ $b_n = 8 + (n - 1)3 = 8 + 3n - 3 = 3n + 5$ થાય.
તેથી,આપેલ શ્રેણીનું $n$ મું પદ બંને શ્રેણીઓના $n$ માં પદોનો ગુણાકાર છે:
$T_n = (3n) \times (3n + 5) = 3n(3n + 5)$.

(B) $1$ થી $100$ સુધીની $2$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $S = S_2 + S_5 - S_{10}$,જ્યાં $S_n$ એ $n$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
$1$. $2$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $(2, 4, ..., 100)$: આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 50$,$a = 2$,$l = 100$ છે. સરવાળો $= \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550$.
$2$. $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $(5, 10, ..., 100)$: આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 20$,$a = 5$,$l = 100$ છે. સરવાળો $= \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$3$. $2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો (એટલે કે $10$ વડે વિભાજ્ય) $(10, 20, ..., 100)$: આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 10$,$a = 10$,$l = 100$ છે. સરવાળો $= \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550$.
કુલ સરવાળો $= 2550 + 1050 - 550 = 3050$.

(C) પ્રથમ શ્રેણી $63, 65, 67, 69, \dots$ છે જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1 = 63$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 2$ છે.
પ્રથમ શ્રેણીનું $m$ મું પદ $T_m = a_1 + (m - 1)d_1 = 63 + (m - 1)2 = 63 + 2m - 2 = 2m + 61$ થાય.
બીજી શ્રેણી $3, 10, 17, 24, \dots$ છે જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_2 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 7$ છે.
બીજી શ્રેણીનું $m$ મું પદ $T'_m = a_2 + (m - 1)d_2 = 3 + (m - 1)7 = 3 + 7m - 7 = 7m - 4$ થાય.
આપેલ છે કે $m$ માં પદો સમાન છે,તેથી $2m + 61 = 7m - 4$.
પદોને ગોઠવતા,$61 + 4 = 7m - 2m$.
$65 = 5m$.
$m = 13$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\sqrt 2 + \sqrt 8 + \sqrt {18} + \sqrt {32} + \dots$ છે.
આને $1\sqrt 2 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 + 4\sqrt 2 + \dots$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \sqrt 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 24$ પદો માટે:
$S_{24} = \frac{24}{2} [2(\sqrt 2) + (24 - 1)\sqrt 2]$
$S_{24} = 12 [2\sqrt 2 + 23\sqrt 2]$
$S_{24} = 12 [25\sqrt 2]$
$S_{24} = 300\sqrt 2$.

(C) આપેલ છે કે પદો $2x, x + 8, 3x + 1$ એ $A.P.$ માં છે.
કોઈપણ ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય ત્યારે,વચ્ચેનું પદ એ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક હોય છે,એટલે કે $b = \frac{a + c}{2}$.
આપેલ પદો માટે આ સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$x + 8 = \frac{2x + (3x + 1)}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2(x + 8) = 5x + 1$
$2x + 16 = 5x + 1$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$16 - 1 = 5x - 2x$
$15 = 3x$
$x = \frac{15}{3}$
$x = 5$

(D) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = nA + n^2B$ છે.
$A.P.$ ના પદો શોધવા માટે,આપણે $T_n = S_n - S_{n-1}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$S_1$ અને $S_2$ શોધો:
$S_1 = A(1) + B(1)^2 = A + B$
$S_2 = A(2) + B(2)^2 = 2A + 4B$
હવે,પ્રથમ બે પદોની ગણતરી કરો:
$T_1 = S_1 = A + B$
$T_2 = S_2 - S_1 = (2A + 4B) - (A + B) = A + 3B$
સામાન્ય તફાવત $d$ એ $d = T_2 - T_1$ દ્વારા મળે છે:
$d = (A + 3B) - (A + B) = 2B$
આમ,સામાન્ય તફાવત $2B$ છે.

(B) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $T_9 = a + 8d = 35$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $T_{19} = a + 18d = 75$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 18d) - (a + 8d) = 75 - 35$
$10d = 40$
$d = 4$.
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 8(4) = 35$
$a + 32 = 35$
$a = 3$.
$20$ મું પદ $T_{20} = a + 19d$ છે.
$T_{20} = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$.

(A) આપેલ શ્રેણી $27 + 9 + 5\frac{2}{5} + 3\frac{6}{7} + \dots$ છે.
આપણે પદોને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$27 = \frac{27}{1}$
$9 = \frac{27}{3}$
$5\frac{2}{5} = \frac{27}{5}$
$3\frac{6}{7} = \frac{27}{7}$
આમ,શ્રેણી $\frac{27}{1} + \frac{27}{3} + \frac{27}{5} + \frac{27}{7} + \dots$ છે.
અંશ અચળ $(27)$ છે,અને છેદ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $1, 3, 5, 7, \dots$
છેદનું $n$ મું પદ $a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ થાય.
તેથી,શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = \frac{27}{2n - 1}$ છે.
$9$ માં પદ માટે $(n = 9)$:
$T_9 = \frac{27}{2(9) - 1} = \frac{27}{18 - 1} = \frac{27}{17} = 1\frac{10}{17}$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જેનો અર્થ થાય છે $b = \frac{a + c}{2}$.
આ કિંમતને પદાવલિ $\frac{(a - c)^2}{(b^2 - ac)}$ માં મૂકતા:
$\frac{(a - c)^2}{(\frac{a + c}{2})^2 - ac} = \frac{(a - c)^2}{\frac{a^2 + c^2 + 2ac}{4} - ac}$
$= \frac{4(a - c)^2}{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac} = \frac{4(a - c)^2}{a^2 + c^2 - 2ac}$
$= \frac{4(a - c)^2}{(a - c)^2} = 4$.
વૈકલ્પિક રીતે,ધારો કે $a = 1, b = 2, c = 3$ (જે $A.P.$ માં છે).
તો $\frac{(1 - 3)^2}{(2^2 - 1 \times 3)} = \frac{(-2)^2}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$.

(D) આપેલ છે કે $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ અને $\log_3(2^x - 7/2)$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,વચ્ચેનું પદ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક છે: $2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - 7/2)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log_3(2^x - 5)^2 = \log_3[2(2^x - 7/2)]$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $(2^x - 5)^2 = 2(2^x) - 7$.
ધારો કે $y = 2^x$. તો $(y - 5)^2 = 2y - 7$.
$y^2 - 10y + 25 = 2y - 7$.
$y^2 - 12y + 32 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y - 8)(y - 4) = 0$,તેથી $y = 8$ અથવા $y = 4$.
જો $y = 8$,તો $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$.
જો $y = 4$,તો $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
પ્રદેશ તપાસતા: $\log_3(2^x - 5)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $2^x - 5 > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $2^x > 5$.
જો $x = 2$,તો $2^2 = 4$,જે $5$ કરતા મોટું નથી. તેથી,$x = 2$ શક્ય નથી.
જો $x = 3$,તો $2^3 = 8$,જે $5$ કરતા મોટું છે. તેથી,$x = 3$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
$p$ મું પદ $a = A + (p - 1)D$ .....$(i)$
$q$ મું પદ $b = A + (q - 1)D$ .....$(ii)$
$r$ મું પદ $c = A + (r - 1)D$ .....$(iii)$
આપણે $E = a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = [A + (p - 1)D](q - r) + [A + (q - 1)D](r - p) + [A + (r - 1)D](p - q)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = A(q - r + r - p + p - q) + D[(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)]$
અહીં $(q - r + r - p + p - q) = 0$ હોવાથી,પ્રથમ ભાગ $A(0) = 0$ થશે.
બીજા ભાગ માટે:
$(p - 1)(q - r) = pq - pr - q + r$
$(q - 1)(r - p) = qr - qp - r + p$
$(r - 1)(p - q) = rp - rq - p + q$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$(pq - qp) + (-pr + rp) + (-qr + rq) + (-q + q) + (-r + r) + (-p + p) = 0$
આમ,$E = A(0) + D(0) = 0$.

(A) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓના ${n^{th}}$ પદો $a_n = 3n + 8$ અને $b_n = 7n + 15$ છે.
પ્રથમ સમાંતર શ્રેણીનું ${12^{th}}$ પદ શોધવા માટે,$a_n$ માં $n = 12$ મૂકતા:
$a_{12} = 3(12) + 8 = 36 + 8 = 44$.
બીજી સમાંતર શ્રેણીનું ${12^{th}}$ પદ શોધવા માટે,$b_n$ માં $n = 12$ મૂકતા:
$b_{12} = 7(12) + 15 = 84 + 15 = 99$.
તેમના ${12^{th}}$ પદોનો ગુણોત્તર $\frac{a_{12}}{b_{12}} = \frac{44}{99}$ છે.
અંશ અને છેદને $11$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{44 \div 11}{99 \div 11} = \frac{4}{9}$ મળે છે.

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $a_n = a_{n-1} - 1$ છે,જ્યાં $n > 2$ અને $a_2 = 2$ છે.
પગલું $1$: $a_3$ ની ગણતરી કરો:
$a_3 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
પગલું $2$: $a_4$ ની ગણતરી કરો:
$a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0$.
પગલું $3$: $a_5$ ની ગણતરી કરો:
$a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1$.
આમ,$a_5$ ની કિંમત $-1$ છે.

(C) ધારો કે $D$ એ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $a, b, c, d, e$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી:
$b = a + D$
$c = a + 2D$
$d = a + 3D$
$e = a + 4D$
હવે,આ કિંમતોને $a - 4b + 6c - 4d + e$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a - 4(a + D) + 6(a + 2D) - 4(a + 3D) + (a + 4D)$
$= a - 4a - 4D + 6a + 12D - 4a - 12D + a + 4D$
$= (a - 4a + 6a - 4a + a) + (-4D + 12D - 12D + 4D)$
$= (0)a + (0)D$
$= 0$

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $x$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે છઠ્ઠું પદ $a_6 = a + 5x = 2$,તેથી $a = 2 - 5x$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3x)(a + 4x)$.
$a = 2 - 5x$ ને ગુણાકારમાં મૂકતા:
$P = (2 - 5x)(2 - 5x + 3x)(2 - 5x + 4x)$
$P = (2 - 5x)(2 - 2x)(2 - x)$
$P = (2 - 5x)(4 - 6x + 2x^2) = 8 - 12x + 4x^2 - 20x + 30x^2 - 10x^3$
$P = -10x^3 + 34x^2 - 32x + 8 = 2(-5x^3 + 17x^2 - 16x + 4)$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dx} = 2(-15x^2 + 34x - 16) = 0$.
$-15x^2 + 34x - 16 = 0$ અથવા $15x^2 - 34x + 16 = 0$ ને ઉકેલતા:
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(15)(16)}}{2(15)} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{30} = \frac{34 \pm \sqrt{196}}{30} = \frac{34 \pm 14}{30}$.
તેથી,$x = \frac{48}{30} = \frac{8}{5}$ અથવા $x = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2P}{dx^2} = 2(-30x + 34)$ તપાસતા:
$x = \frac{8}{5}$ માટે,$\frac{d^2P}{dx^2} = 2(-48 + 34) < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \frac{2}{3}$ માટે,$\frac{d^2P}{dx^2} = 2(-20 + 34) > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,$x = \frac{2}{3}$ માટે $P$ ન્યૂનતમ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$p \cdot T_p = q \cdot T_q$.
સૂત્ર મૂકતા: $p\{a + (p - 1)d\} = q\{a + (q - 1)d\}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $ap + p(p - 1)d = aq + q(q - 1)d$.
પદોને ગોઠવતા: $a(p - q) + \{p(p - 1) - q(q - 1)\}d = 0$.
$a(p - q) + \{p^2 - p - q^2 + q\}d = 0$.
$a(p - q) + \{(p^2 - q^2) - (p - q)\}d = 0$.
$a(p - q) + \{(p - q)(p + q) - (p - q)\}d = 0$.
$(p - q)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $p \neq q$): $a + (p + q - 1)d = 0$.
આમ,$T_{p+q} = a + (p + q - 1)d = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે સમાંતર શ્રેણીઓના પ્રથમ પદો $a_1$ અને $a_2$ છે અને તેમના સામાન્ય તફાવત અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે.
આપેલ છે કે $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર: $\frac{S_{n_1}}{S_{n_2}} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
$n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
તેથી,$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d_1}{a_2 + \frac{n-1}{2}d_2} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
આપણે $13$ માં પદોનો ગુણોત્તર જોઈએ છે,જે $\frac{T_{13_1}}{T_{13_2}} = \frac{a_1 + 12d_1}{a_2 + 12d_2}$ છે.
$\frac{n-1}{2} = 12$ સરખાવતા,આપણને $n - 1 = 24$ મળે છે,તેથી $n = 25$.
ગુણોત્તરમાં $n = 25$ મૂકતા: $\frac{T_{13_1}}{T_{13_2}} = \frac{2(25) + 3}{6(25) + 5} = \frac{50 + 3}{150 + 5} = \frac{53}{155}$.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ છે અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
$m^{th}$ પદ $a_m = A + (m - 1)D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(m+k)^{th}$ પદ $a_{m+k} = A + (m+k-1)D$ છે.
$(m-k)^{th}$ પદ $a_{m-k} = A + (m-k-1)D$ છે.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$a_{m+k} + a_{m-k} = [A + (m+k-1)D] + [A + (m-k-1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (m+k-1+m-k-1)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (2m-2)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2[A + (m-1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2a_m$
તેથી,$a_m = \frac{a_{m+k} + a_{m-k}}{2}$.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$r^{th}$ પદનું સૂત્ર ${T_r} = a + (r - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે,${T_m} = a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ --- $(1)$
અને ${T_n} = a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$
$m \neq n$ હોવાથી,$d = \frac{1}{mn}$ મળે.
$d$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a = \frac{1}{mn}$.
હવે,$mn^{th}$ પદ ${T_{mn}} = a + (mn - 1)d$ થાય.
${T_{mn}} = \frac{1}{mn} + (mn - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{mn} + 1 - \frac{1}{mn} = 1$.

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $A.P.$ માં હોવાથી, વચ્ચેનું પદ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક છે.
$2 \log_9(3^{1-x} + 2) = \log_3(4 \cdot 3^x - 1) + 1$
ગુણધર્મ $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(4 \cdot 3^x - 1) + \log_3 3$
$\log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(3(4 \cdot 3^x - 1))$
$3^{1-x} + 2 = 12 \cdot 3^x - 3$
ધારો કે $y = 3^x$. તેથી $3^{1-x} = \frac{3}{y}$.
$\frac{3}{y} + 2 = 12y - 3$
$3 + 2y = 12y^2 - 3y$
$12y^2 - 5y - 3 = 0$
$(4y - 3)(3y + 1) = 0$
$y = 3^x > 0$ હોવાથી, $y = \frac{3}{4}$ મળે.
$3^x = \frac{3}{4} \implies x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d_0$ છે.
તેથી,$b = a + d_0$,$c = a + 2d_0$,$d = a + 3d_0$,અને $e = a + 4d_0$ થાય.
આ કિંમતોને $a + b + 4c - 4d + e$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a + (a + d_0) + 4(a + 2d_0) - 4(a + 3d_0) + (a + 4d_0)$
$= a + a + d_0 + 4a + 8d_0 - 4a - 12d_0 + a + 4d_0$
$= (a + a + 4a - 4a + a) + (d_0 + 8d_0 - 12d_0 + 4d_0)$
$= 3a + (1 + 8 - 12 + 4)d_0$
$= 3a + d_0$
આમ,પદાવલિ સામાન્ય તફાવત $d_0$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તેને માત્ર $a$ ના પદમાં દર્શાવી શકાય નહીં. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $S_n$ અને $S'_n$ એ બે $A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળા છે,જેના પ્રથમ પદો $a, a'$ અને સામાન્ય તફાવત $d, d'$ છે.
$n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
$\frac{a + \frac{n - 1}{2}d}{a' + \frac{n - 1}{2}d'} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
આપણે $11$ મા પદોનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{a + 10d}{a' + 10d'}$ છે.
$\frac{n - 1}{2}$ ની સરખામણી $10$ સાથે કરતા,આપણને $n - 1 = 20$ મળે છે,તેથી $n = 21$.
ગુણોત્તરમાં $n = 21$ મૂકતા:
$\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \dots$ ના $9$ પદો છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_9 = \frac{9}{2} [2(\frac{1}{2}) + (9 - 1)(-\frac{1}{6})]$.
$S_9 = \frac{9}{2} [1 + 8(-\frac{1}{6})] = \frac{9}{2} [1 - \frac{8}{6}] = \frac{9}{2} [1 - \frac{4}{3}]$.
$S_9 = \frac{9}{2} [-\frac{1}{3}] = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $n$ છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n - 2) \times 180^{\circ}$ થાય છે.
અહીં ખૂણાઓ $A.P.$ માં છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 120^{\circ}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5^{\circ}$ છે,તેથી $n$ ખૂણાઓનો સરવાળો $\frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ થાય.
બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{n}{2} [2(120^{\circ}) + (n - 1)5^{\circ}] = (n - 2)180^{\circ}$
$n[240 + 5n - 5] = 360(n - 2)$
$5n^2 + 235n = 360n - 720$
$5n^2 - 125n + 720 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$n^2 - 25n + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0$
તેથી,$n = 9$ અથવા $n = 16$ મળે.
જો $n = 16$ લઈએ,તો સૌથી મોટો ખૂણો $T_{16} = a + 15d = 120^{\circ} + 15(5^{\circ}) = 120^{\circ} + 75^{\circ} = 195^{\circ}$ થાય.
બહિર્મુખ બહુકોણનો અંતઃકોણ $180^{\circ}$ થી વધુ ન હોઈ શકે,તેથી $n = 16$ શક્ય નથી.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $n = 9$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $p$-મું પદ $T_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q} \dots (i)$
અને $q$-મું પદ $T_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p} \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(p - q)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
તેથી,$d = \frac{1}{pq}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $d$ ની કિંમત મૂકતા:
$a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \implies a + \frac{1}{q} - \frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \implies a = \frac{1}{pq}$.
$pq$ પદોનો સરવાળો $S_{pq} = \frac{pq}{2} [2a + (pq - 1)d]$.
$a$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{pq} = \frac{pq}{2} [2(\frac{1}{pq}) + (pq - 1)(\frac{1}{pq})]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2} [\frac{2 + pq - 1}{pq}] = \frac{pq}{2} [\frac{pq + 1}{pq}] = \frac{pq + 1}{2}$.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શ્રેણી $1, 2, 3, 4, \dots, n$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
આ સૂત્રમાં $a = 1$ અને $d = 1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય તફાવત $d = 4$,અને પદોની સંખ્યા $n = 40$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(2) + (40 - 1)4]$
$S_{40} = 20[4 + 39 \times 4]$
$S_{40} = 20[4 + 156]$
$S_{40} = 20[160]$
$S_{40} = 3200$.
તેથી,પ્રથમ $40$ પદોનો સરવાળો $3200$ થાય છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + (-1)^{n-1}n$ છે.
કિસ્સો $I$: જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો ધારો કે $n = 2m + 1$.
સરવાળો $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m) + (2m + 1)$ થશે.
આનું સાદું રૂપ $(-1) + (-1) + \dots + (-1) \text{ (m વખત)} + (2m + 1) = -m + 2m + 1 = m + 1$ થાય.
કારણ કે $n = 2m + 1$,તેથી $m = \frac{n - 1}{2}$,એટલે સરવાળો $\frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}$ થશે.
કિસ્સો $II$: જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો ધારો કે $n = 2m$.
સરવાળો $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m)$ થશે.
આ $m$ પદોનો સરવાળો છે,જેમાં દરેક પદ $-1$ છે,તેથી સરવાળો $-m$ થાય.
કારણ કે $n = 2m$,તેથી $m = \frac{n}{2}$,એટલે સરવાળો $-\frac{n}{2}$ થશે.
આમ,જો $n$ એકી હોય તો સરવાળો $\frac{n + 1}{2}$ અને જો $n$ બેકી હોય તો $-\frac{n}{2}$ મળે છે. વિકલ્પ $(d)$ આ શરતી વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $A = a$ છે.
દ્વિતીય પદ $A + d = b$ છે,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$d = b - a$.
અંતિમ પદ $l = 2a$ છે.
$n$-માં પદનું સૂત્ર $l = A + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2a = a + (n - 1)(b - a)$.
$a = (n - 1)(b - a) \implies n - 1 = \frac{a}{b - a}$.
$n = \frac{a}{b - a} + 1 = \frac{a + b - a}{b - a} = \frac{b}{b - a}$.
$A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(A + l)$ છે.
$n = \frac{b}{b - a}$,$A = a$,અને $l = 2a$ મૂકતા:
$S_n = \frac{b}{2(b - a)}(a + 2a) = \frac{b}{2(b - a)}(3a) = \frac{3ab}{2(b - a)}$.

(C) પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_{Even} = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n + 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_{Odd} = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓના સરવાળા અને પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{S_{Even}}{S_{Odd}} = \frac{n(n + 1)}{n^2} = \frac{n + 1}{n}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $(n + 1):n$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, ..., a_n$ એ $A.P.$ માં છે,જેનો સામાન્ય તફાવત $d = a_{i+1} - a_i$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = a_1 + (n-1)d$,જેનો અર્થ છે કે $(n-1)d = a_n - a_1$.
સરવાળા $S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}}$ ના દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$
$S = \frac{1}{d} [(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})]$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S = \frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$
કારણ કે $a_n - a_1 = (n-1)d$,તેથી:
$S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$.

(B) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \dots, a_n$ એ સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots = a_n - a_{n-1}$ સાથે $A.P.$ માં છે.
આપેલ શ્રેણી $S = \sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ છે.
આપણે $\sin d = \sin(a_{k+1} - a_k)$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સામાન્ય પદ $\frac{\sin(a_{k+1} - a_k)}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \frac{\sin a_{k+1} \cos a_k - \cos a_{k+1} \sin a_k}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \cot a_k - \cot a_{k+1}$ થાય.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = (\cot a_1 - \cot a_2) + (\cot a_2 - \cot a_3) + \dots + (\cot a_{n-1} - \cot a_n)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$S = \cot a_1 - \cot a_n$.

(B) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5 - 2 = 3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
અહીં $S_n = 60100$ આપેલ છે, તેથી:
$60100 = \frac{n}{2} [2(2) + (n - 1)3]$
$120200 = n [4 + 3n - 3]$
$120200 = n(3n + 1)$
$3n^2 + n - 120200 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-120200)}}{2(3)}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1442400}}{6}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1442401}}{6}$
$n = \frac{-1 \pm 1201}{6}$
$n$ ધન હોવો જોઈએ, તેથી $n = \frac{1200}{6} = 200$.
આમ, પદોની સંખ્યા $200$ છે.

(B) $1$ અને $100$ ની વચ્ચેની $3$ ના ગુણક હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $3, 6, 9, \dots, 99$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$,અને અંતિમ પદ $l = 99$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$99 = 3 + (n - 1)3$
$96 = (n - 1)3$
$32 = n - 1$
$n = 33$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n$ શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે:
$S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99)$
$S_{33} = \frac{33}{2}(102)$
$S_{33} = 33 \times 51 = 1683$.

(C) આપેલ શ્રેણી $1, 3, 5, 7, \dots$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3 - 1 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n - 1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2n]$.
$S_n = n^2$.

(A) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 54$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 51 - 54 = -3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_n = 513$ આપેલ હોવાથી:
$513 = \frac{n}{2} [2(54) + (n - 1)(-3)]$
$513 = \frac{n}{2} [108 - 3n + 3]$
$1026 = n(111 - 3n)$
$1026 = 111n - 3n^2$
$3n^2 - 111n + 1026 = 0$
સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$n^2 - 37n + 342 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
આમ, $n = 18$ અથવા $n = 19$ મળે છે.
$n = 19$ માટે તપાસતા: $19$મું પદ $a_{19} = a + 18d = 54 + 18(-3) = 54 - 54 = 0$ થાય છે. તેથી $18$ પદો અને $19$ પદોનો સરવાળો સમાન $(513)$ રહે છે. વિકલ્પો મુજબ, $18$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 2n^2 + 5n$ છે.
$n$ મું પદ $T_n$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $T_n = S_n - S_{n-1}$ છે,જ્યાં $n > 1$.
પ્રથમ,$S_{n-1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1)$
$S_{n-1} = 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$
$S_{n-1} = 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5$
$S_{n-1} = 2n^2 + n - 3$
હવે,$T_n$ શોધીએ:
$T_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3)$
$T_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$T_n = 4n + 3$
વૈકલ્પિક રીતે,$n=1$ માટે,$T_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 7$. સૂત્ર $4n+3$ માં $n=1$ મૂકતા,$4(1)+3 = 7$ મળે છે,જે સમાન છે.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = 3n - 1$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદો શોધવા માટે,આપણે $n = 1, 2, 3, 4, 5$ મૂકીએ છીએ:
$n = 1$ માટે: $T_1 = 3(1) - 1 = 2$
$n = 2$ માટે: $T_2 = 3(2) - 1 = 5$
$n = 3$ માટે: $T_3 = 3(3) - 1 = 8$
$n = 4$ માટે: $T_4 = 3(4) - 1 = 11$
$n = 5$ માટે: $T_5 = 3(5) - 1 = 14$
પ્રથમ પાંચ પદો $2, 5, 8, 11, 14$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $S_5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k - 1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \frac{n(n+1)}{2} - n$.
$n = 5$ માટે: $S_5 = \frac{3(5)(6)}{2} - 5 = 45 - 5 = 40$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 10$,અંતિમ પદ $l = 50$ અને પદોનો સરવાળો $S = 300$ છે.
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય ત્યારે $A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$300 = \frac{n}{2}(10 + 50)$
$300 = \frac{n}{2}(60)$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$.
તેથી,પદોની સંખ્યા $10$ છે.