Progression and Sequence Questions in Hindi

(C) अनुक्रम के प्रकार को निर्धारित करने के लिए,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर जाँचते हैं।
मान लीजिए अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \dots$ है जहाँ $a_1 = \frac{5}{\sqrt{7}}$,$a_2 = \frac{6}{\sqrt{7}}$,और $a_3 = \sqrt{7}$ है।
दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{6}{\sqrt{7}} - \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$ है।
तीसरे और दूसरे पद के बीच का अंतर $d_2 = a_3 - a_2 = \sqrt{7} - \frac{6}{\sqrt{7}}$ है।
चूँकि $\sqrt{7} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}}$,इसलिए $d_2 = \frac{7}{\sqrt{7}} - \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $d_1 = d_2 = \frac{1}{\sqrt{7}}$ है,इसलिए सार्व अंतर स्थिर है।
अतः,यह अनुक्रम एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) है।

(B) दी गई श्रेणी $\left( 3 - \frac{1}{n} \right) + \left( 3 - \frac{2}{n} \right) + \left( 3 - \frac{3}{n} \right) + \dots$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) है।
प्रथम पद $a = \left( 3 - \frac{1}{n} \right)$.
सार्व अंतर $d = \left( 3 - \frac{2}{n} \right) - \left( 3 - \frac{1}{n} \right) = -\frac{2}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}$.
समांतर श्रेणी का $p$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $T_p = a + (p - 1)d$ है।
मान रखने पर:
$T_p = \left( 3 - \frac{1}{n} \right) + (p - 1)\left( -\frac{1}{n} \right)$
$T_p = 3 - \frac{1}{n} - \frac{p}{n} + \frac{1}{n}$
$T_p = 3 - \frac{p}{n}$.
वैकल्पिक रूप से,अवलोकन करने पर,$k$ वाँ पद $\left( 3 - \frac{k}{n} \right)$ है। अतः,$p$ वाँ पद $\left( 3 - \frac{p}{n} \right)$ होगा।

(A) दी गई श्रेणी $2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 0 + \dots$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 2\sqrt{2}$ और सार्व अंतर $d = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$8$ वें पद $(n = 8)$ के लिए:
$a_8 = 2\sqrt{2} + (8 - 1)(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} + 7(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} - 7\sqrt{2}$
$a_8 = -5\sqrt{2}$.

(B) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $9$ वाँ पद शून्य है:
$a_9 = a + (9 - 1)d = 0$
$a + 8d = 0 \Rightarrow a = -8d$.
अब,हमें $29$ वें पद और $19$ वें पद का अनुपात ज्ञात करना है:
$a_{29} = a + 28d = -8d + 28d = 20d$.
$a_{19} = a + 18d = -8d + 18d = 10d$.
अनुपात $= \frac{a_{29}}{a_{19}} = \frac{20d}{10d} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) अनुक्रम $f(n) = an + b;\;n \in N$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है।
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें अनुक्रम प्राप्त होता है:
$(a + b), (2a + b), (3a + b), \dots$
यहाँ,प्रथम पद $A = (a + b)$ और सार्व अंतर $d = (2a + b) - (a + b) = a$ है।
चूँकि सार्व अंतर स्थिर है,इसलिए यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।
वैकल्पिक रूप से,किसी समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद हमेशा $n$ में $an + b$ के रूप का एक रैखिक व्यंजक होता है,जहाँ $n \in N$ है।

(A) दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = -8 + 18i$ और सार्व अंतर $d = (-6 + 15i) - (-8 + 18i) = 2 - 3i$ है।
समांतर श्रेणी का $n^{th}$ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$T_n = (-8 + 18i) + (n - 1)(2 - 3i)$
$T_n = -8 + 18i + 2n - 2 - 3ni + 3i$
$T_n = (2n - 10) + i(21 - 3n)$
पद के पूर्णतः काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
$2n - 10 = 0$
$2n = 10$
$n = 5$
अतः,$5^{th}$ पद पूर्णतः काल्पनिक है।

(C) दिया गया है कि $n$ वाँ पद $T_n = 2n - 1$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $(S_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k$ का उपयोग कर सकते हैं।
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$
$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$
$S_n = n(n + 1) - n$
$S_n = n^2 + n - n = n^2$.
वैकल्पिक रूप से,अनुक्रम $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ है,जो प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो कि $n^2$ होता है।

(A) दी गई श्रेणी $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ है।
मान लीजिए कि $n$ वां पद $T_n$ है।
प्रत्येक पद के पहले गुणनखंड $1, 3, 5, 7, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
इस समांतर श्रेणी का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$ है।
प्रत्येक पद के दूसरे गुणनखंड $3, 5, 7, 9, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
इस समांतर श्रेणी का $n$ वां पद $b_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$ है।
अतः,श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = a_n \times b_n = (2n - 1)(2n + 1)$ होगा।

(B) दी गई श्रेणी $101, 99, 97, \dots, 47$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 101$ और सार्व अंतर $d = 99 - 101 = -2$ है।
अंतिम पद $l$ (या $T_n$) $47$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $47 = 101 + (n - 1)(-2)$।
दोनों पक्षों से $101$ घटाने पर,$47 - 101 = (n - 1)(-2)$,जो सरल होकर $-54 = (n - 1)(-2)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $-2$ से विभाजित करने पर,हमें $27 = n - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 27 + 1 = 28$।
इस प्रकार,श्रेणी में पदों की संख्या $28$ है।

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि,$p$-वाँ पद ${T_p} = a + (p - 1)d = q$ ..... $(i)$
और $q$-वाँ पद ${T_q} = a + (q - 1)d = p$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = -(p - q)$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
अब,$r$-वाँ पद ${T_r} = a + (r - 1)d$ है।
${T_r} = (p + q - 1) + (r - 1)(-1)$
${T_r} = p + q - 1 - r + 1$
${T_r} = p + q - r$
अतः,$r$-वाँ पद $p + q - r$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण $\tan n\theta = \tan m\theta$ है।
$\tan x = \tan y$ के लिए व्यापक हल $x = N\pi + y$ होता है,जहाँ $N$ एक पूर्णांक है।
दिए गए समीकरण में इसे लागू करने पर: $n\theta = N\pi + m\theta$।
$\theta$ के लिए हल करने पर: $(n - m)\theta = N\pi$,जिससे $\theta = \frac{N\pi}{n - m}$ प्राप्त होता है।
$N = 1, 2, 3, \dots$ के विभिन्न पूर्णांक मानों के लिए,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{n - m}, \frac{2\pi}{n - m}, \frac{3\pi}{n - m}, \dots$ प्राप्त होते हैं।
ये मान समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं क्योंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है: $d = \frac{(N+1)\pi}{n - m} - \frac{N\pi}{n - m} = \frac{\pi}{n - m}$।

(A) दी गई श्रेणी $3.8 + 6.11 + 9.14 + 12.17 + .....$ है।
यह श्रेणी दो पदों के गुणनफल से बनी है।
प्रथम गुणनखंड $3, 6, 9, 12, .....$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
इस अनुक्रम का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)3 = 3n$ है।
दूसरे गुणनखंड $8, 11, 14, 17, .....$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
इस अनुक्रम का $n$ वां पद $b_n = 8 + (n - 1)3 = 8 + 3n - 3 = 3n + 5$ है।
अतः,दी गई श्रेणी का $n$ वां पद दोनों अनुक्रमों के $n$ वें पदों का गुणनफल है:
$T_n = (3n) \times (3n + 5) = 3n(3n + 5)$.

(B) $1$ से $100$ तक के $2$ या $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करते हैं: $S = S_2 + S_5 - S_{10}$,जहाँ $S_n$,$n$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग है।
$1$. $2$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $(2, 4, ..., 100)$: यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 50$,$a = 2$,$l = 100$ है। योग $= \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550$.
$2$. $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $(5, 10, ..., 100)$: यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 20$,$a = 5$,$l = 100$ है। योग $= \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$3$. $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य पूर्णांकों का योग (अर्थात $10$ से विभाज्य) $(10, 20, ..., 100)$: यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 10$,$a = 10$,$l = 100$ है। योग $= \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550$.
कुल योग $= 2550 + 1050 - 550 = 3050$.

(C) पहली श्रेणी $63, 65, 67, 69, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसका प्रथम पद $a_1 = 63$ और सार्व अंतर $d_1 = 2$ है।
पहली श्रेणी का $m$ वां पद $T_m = a_1 + (m - 1)d_1 = 63 + (m - 1)2 = 63 + 2m - 2 = 2m + 61$ है।
दूसरी श्रेणी $3, 10, 17, 24, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसका प्रथम पद $a_2 = 3$ और सार्व अंतर $d_2 = 7$ है।
दूसरी श्रेणी का $m$ वां पद $T'_m = a_2 + (m - 1)d_2 = 3 + (m - 1)7 = 3 + 7m - 7 = 7m - 4$ है।
दिया गया है कि $m$ वें पद समान हैं,इसलिए $2m + 61 = 7m - 4$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$61 + 4 = 7m - 2m$ प्राप्त होता है।
$65 = 5m$।
$m = 13$।

(B) दी गई श्रेणी $\sqrt 2 + \sqrt 8 + \sqrt {18} + \sqrt {32} + \dots$ है।
इसे $1\sqrt 2 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 + 4\sqrt 2 + \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \sqrt 2$ और सार्व अंतर $d = \sqrt 2$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$n = 24$ पदों के लिए:
$S_{24} = \frac{24}{2} [2(\sqrt 2) + (24 - 1)\sqrt 2]$
$S_{24} = 12 [2\sqrt 2 + 23\sqrt 2]$
$S_{24} = 12 [25\sqrt 2]$
$S_{24} = 300\sqrt 2$.

(C) दिया गया है कि पद $2x, x + 8, 3x + 1$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
किसी भी तीन पदों $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए,मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य होना चाहिए,अर्थात $b = \frac{a + c}{2}$।
दिए गए पदों पर इसे लागू करने पर:
$x + 8 = \frac{2x + (3x + 1)}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2(x + 8) = 5x + 1$
$2x + 16 = 5x + 1$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$16 - 1 = 5x - 2x$
$15 = 3x$
$x = \frac{15}{3}$
$x = 5$

(D) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = nA + n^2B$ है।
$A.P.$ के पदों को ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $T_n = S_n - S_{n-1}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$S_1$ और $S_2$ ज्ञात करें:
$S_1 = A(1) + B(1)^2 = A + B$
$S_2 = A(2) + B(2)^2 = 2A + 4B$
अब,पहले दो पदों की गणना करें:
$T_1 = S_1 = A + B$
$T_2 = S_2 - S_1 = (2A + 4B) - (A + B) = A + 3B$
सार्व अंतर $d$,$d = T_2 - T_1$ द्वारा प्राप्त होता है:
$d = (A + 3B) - (A + B) = 2B$
अतः,सार्व अंतर $2B$ है।

(B) $A.P.$ का $n$ वां पद $T_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है $T_9 = a + 8d = 35$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $T_{19} = a + 18d = 75$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 18d) - (a + 8d) = 75 - 35$
$10d = 40$
$d = 4$।
$d = 4$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 8(4) = 35$
$a + 32 = 35$
$a = 3$।
$20$ वां पद $T_{20} = a + 19d$ है।
$T_{20} = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$।

(A) दी गई श्रेणी $27 + 9 + 5\frac{2}{5} + 3\frac{6}{7} + \dots$ है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$27 = \frac{27}{1}$
$9 = \frac{27}{3}$
$5\frac{2}{5} = \frac{27}{5}$
$3\frac{6}{7} = \frac{27}{7}$
अतः,श्रेणी $\frac{27}{1} + \frac{27}{3} + \frac{27}{5} + \frac{27}{7} + \dots$ है।
अंश स्थिर $(27)$ है,और हर एक समांतर श्रेणी बनाते हैं: $1, 3, 5, 7, \dots$
हर का $n$ वां पद $a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ है।
इसलिए,श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{27}{2n - 1}$ है।
$9$ वें पद के लिए $(n = 9)$:
$T_9 = \frac{27}{2(9) - 1} = \frac{27}{18 - 1} = \frac{27}{17} = 1\frac{10}{17}$.

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$,जिसका अर्थ है $b = \frac{a + c}{2}$।
इस मान को व्यंजक $\frac{(a - c)^2}{(b^2 - ac)}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(a - c)^2}{(\frac{a + c}{2})^2 - ac} = \frac{(a - c)^2}{\frac{a^2 + c^2 + 2ac}{4} - ac}$
$= \frac{4(a - c)^2}{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac} = \frac{4(a - c)^2}{a^2 + c^2 - 2ac}$
$= \frac{4(a - c)^2}{(a - c)^2} = 4$।
वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $a = 1, b = 2, c = 3$ (जो $A.P.$ में हैं)।
तब $\frac{(1 - 3)^2}{(2^2 - 1 \times 3)} = \frac{(-2)^2}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$।

(D) दिया गया है कि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - 7/2)$ $A.P.$ में हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य है: $2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - 7/2)$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$ का उपयोग करने पर: $\log_3(2^x - 5)^2 = \log_3[2(2^x - 7/2)]$.
तुलना करने पर: $(2^x - 5)^2 = 2(2^x) - 7$.
मान लीजिए $y = 2^x$. तब $(y - 5)^2 = 2y - 7$.
$y^2 - 10y + 25 = 2y - 7$.
$y^2 - 12y + 32 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y - 8)(y - 4) = 0$,अतः $y = 8$ या $y = 4$.
यदि $y = 8$,तो $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$.
यदि $y = 4$,तो $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
डोमेन की जांच करने पर: $\log_3(2^x - 5)$ को परिभाषित होने के लिए $2^x - 5 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $2^x > 5$.
यदि $x = 2$,तो $2^2 = 4$,जो $5$ से बड़ा नहीं है। अतः,$x = 2$ अमान्य है।
यदि $x = 3$,तो $2^3 = 8$,जो $5$ से बड़ा है। अतः,$x = 3$ ही एकमात्र हल है।
चूंकि $3$ किसी भी विकल्प में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) माना कि समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
$p$ वां पद $a = A + (p - 1)D$ .....$(i)$
$q$ वां पद $b = A + (q - 1)D$ .....$(ii)$
$r$ वां पद $c = A + (r - 1)D$ .....$(iii)$
हमें $E = a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$ का मान ज्ञात करना है।
$a, b,$ और $c$ के मान रखने पर:
$E = [A + (p - 1)D](q - r) + [A + (q - 1)D](r - p) + [A + (r - 1)D](p - q)$
पदों का विस्तार करने पर:
$E = A(q - r + r - p + p - q) + D[(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)]$
चूंकि $(q - r + r - p + p - q) = 0$,इसलिए पहला भाग $A(0) = 0$ हो जाता है।
दूसरे भाग के लिए:
$(p - 1)(q - r) = pq - pr - q + r$
$(q - 1)(r - p) = qr - qp - r + p$
$(r - 1)(p - q) = rp - rq - p + q$
इनका योग करने पर:
$(pq - qp) + (-pr + rp) + (-qr + rq) + (-q + q) + (-r + r) + (-p + p) = 0$
अतः,$E = A(0) + D(0) = 0$.

(A) माना कि दो समांतर श्रेणियों के ${n^{th}}$ पद $a_n = 3n + 8$ और $b_n = 7n + 15$ हैं।
पहली समांतर श्रेणी का ${12^{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,$a_n$ में $n = 12$ रखने पर:
$a_{12} = 3(12) + 8 = 36 + 8 = 44$.
दूसरी समांतर श्रेणी का ${12^{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,$b_n$ में $n = 12$ रखने पर:
$b_{12} = 7(12) + 15 = 84 + 15 = 99$.
उनके ${12^{th}}$ पदों का अनुपात $\frac{a_{12}}{b_{12}} = \frac{44}{99}$ है।
अंश और हर को $11$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{44 \div 11}{99 \div 11} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $a_n = a_{n-1} - 1$ है,जहाँ $n > 2$ और $a_2 = 2$ है।
चरण $1$: $a_3$ की गणना करें:
$a_3 = a_2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
चरण $2$: $a_4$ की गणना करें:
$a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0$.
चरण $3$: $a_5$ की गणना करें:
$a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1$.
अतः,$a_5$ का मान $-1$ है।

(C) माना $D$ समान्तर श्रेणी $(A.P.)$ का सार्व अंतर है।
चूँकि $a, b, c, d, e$ समान्तर श्रेणी में हैं,हम लिख सकते हैं:
$b = a + D$
$c = a + 2D$
$d = a + 3D$
$e = a + 4D$
इन मानों को व्यंजक $a - 4b + 6c - 4d + e$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= a - 4(a + D) + 6(a + 2D) - 4(a + 3D) + (a + 4D)$
$= a - 4a - 4D + 6a + 12D - 4a - 12D + a + 4D$
$= (a - 4a + 6a - 4a + a) + (-4D + 12D - 12D + 4D)$
$= (0)a + (0)D$
$= 0$

(C) माना $a$ प्रथम पद है और $x$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दिया गया है कि छठा पद $a_6 = a + 5x = 2$,इसलिए $a = 2 - 5x$.
माना गुणनफल $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3x)(a + 4x)$.
$a = 2 - 5x$ को गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (2 - 5x)(2 - 5x + 3x)(2 - 5x + 4x)$
$P = (2 - 5x)(2 - 2x)(2 - x)$
$P = (2 - 5x)(4 - 6x + 2x^2) = 8 - 12x + 4x^2 - 20x + 30x^2 - 10x^3$
$P = -10x^3 + 34x^2 - 32x + 8 = 2(-5x^3 + 17x^2 - 16x + 4)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dx} = 2(-15x^2 + 34x - 16) = 0$.
$-15x^2 + 34x - 16 = 0$ या $15x^2 - 34x + 16 = 0$ को हल करने पर:
द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4(15)(16)}}{2(15)} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{30} = \frac{34 \pm \sqrt{196}}{30} = \frac{34 \pm 14}{30}$.
अतः,$x = \frac{48}{30} = \frac{8}{5}$ या $x = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
द्वितीय अवकलज $\frac{d^2P}{dx^2} = 2(-30x + 34)$ की जाँच करने पर:
$x = \frac{8}{5}$ के लिए,$\frac{d^2P}{dx^2} = 2(-48 + 34) < 0$ (स्थानीय उच्चतम)।
$x = \frac{2}{3}$ के लिए,$\frac{d^2P}{dx^2} = 2(-20 + 34) > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,$x = \frac{2}{3}$ के लिए $P$ न्यूनतम है।

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$p \cdot T_p = q \cdot T_q$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $p\{a + (p - 1)d\} = q\{a + (q - 1)d\}$.
पदों का विस्तार करने पर: $ap + p(p - 1)d = aq + q(q - 1)d$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a(p - q) + \{p(p - 1) - q(q - 1)\}d = 0$.
$a(p - q) + \{p^2 - p - q^2 + q\}d = 0$.
$a(p - q) + \{(p^2 - q^2) - (p - q)\}d = 0$.
$a(p - q) + \{(p - q)(p + q) - (p - q)\}d = 0$.
$(p - q)$ से भाग देने पर (चूंकि $p \neq q$): $a + (p + q - 1)d = 0$.
अतः,$T_{p+q} = a + (p + q - 1)d = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके सार्व अंतर क्रमशः $d_1$ और $d_2$ हैं।
दिया गया है कि $n$ पदों के योग का अनुपात: $\frac{S_{n_1}}{S_{n_2}} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$ है।
$n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
अतः,$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$।
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d_1}{a_2 + \frac{n-1}{2}d_2} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$।
हमें $13$ वें पदों का अनुपात चाहिए,जो $\frac{T_{13_1}}{T_{13_2}} = \frac{a_1 + 12d_1}{a_2 + 12d_2}$ है।
$\frac{n-1}{2} = 12$ की तुलना करने पर,हमें $n - 1 = 24$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 25$ है।
अनुपात में $n = 25$ रखने पर: $\frac{T_{13_1}}{T_{13_2}} = \frac{2(25) + 3}{6(25) + 5} = \frac{50 + 3}{150 + 5} = \frac{53}{155}$।

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $A$ है और सार्व अंतर $D$ है।
$m^{th}$ पद $a_m = A + (m - 1)D$ द्वारा दिया जाता है।
$(m+k)^{th}$ पद $a_{m+k} = A + (m+k-1)D$ है।
$(m-k)^{th}$ पद $a_{m-k} = A + (m-k-1)D$ है।
इन दोनों पदों को जोड़ने पर:
$a_{m+k} + a_{m-k} = [A + (m+k-1)D] + [A + (m-k-1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (m+k-1+m-k-1)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (2m-2)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2[A + (m-1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2a_m$
अतः,$a_m = \frac{a_{m+k} + a_{m-k}}{2}$.

(C) मान लीजिए कि समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$r^{th}$ पद का सूत्र ${T_r} = a + (r - 1)d$ होता है।
दिया गया है,${T_m} = a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ --- $(1)$
और ${T_n} = a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$
चूंकि $m \neq n$,इसलिए $d = \frac{1}{mn}$ प्राप्त होता है।
$d$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a = \frac{1}{mn}$।
अब,$mn^{th}$ पद ${T_{mn}} = a + (mn - 1)d$ होगा।
${T_{mn}} = \frac{1}{mn} + (mn - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{mn} + 1 - \frac{1}{mn} = 1$।

(B) चूंकि दी गई संख्याएँ $A.P.$ में हैं, इसलिए मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य है।
$2 \log_9(3^{1-x} + 2) = \log_3(4 \cdot 3^x - 1) + 1$
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(4 \cdot 3^x - 1) + \log_3 3$
$\log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(3(4 \cdot 3^x - 1))$
$3^{1-x} + 2 = 12 \cdot 3^x - 3$
मान लीजिए $y = 3^x$. तब $3^{1-x} = \frac{3}{y}$.
$\frac{3}{y} + 2 = 12y - 3$
$3 + 2y = 12y^2 - 3y$
$12y^2 - 5y - 3 = 0$
$(4y - 3)(3y + 1) = 0$
चूंकि $y = 3^x > 0$, इसलिए $y = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$3^x = \frac{3}{4} \implies x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$.

(D) माना कि $A.P.$ का सार्व अंतर $d_0$ है।
तब,$b = a + d_0$,$c = a + 2d_0$,$d = a + 3d_0$,और $e = a + 4d_0$ होगा।
इन मानों को व्यंजक $a + b + 4c - 4d + e$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= a + (a + d_0) + 4(a + 2d_0) - 4(a + 3d_0) + (a + 4d_0)$
$= a + a + d_0 + 4a + 8d_0 - 4a - 12d_0 + a + 4d_0$
$= (a + a + 4a - 4a + a) + (d_0 + 8d_0 - 12d_0 + 4d_0)$
$= 3a + (1 + 8 - 12 + 4)d_0$
$= 3a + d_0$
चूंकि व्यंजक सार्व अंतर $d_0$ पर निर्भर करता है,इसलिए इसे केवल $a$ के पदों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $S_n$ और $S'_n$ दो $A.P.$ के $n$ पदों के योग हैं,जिनके प्रथम पद $a, a'$ और सार्व अंतर $d, d'$ हैं।
$n$ पदों के योग का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
$\frac{a + \frac{n - 1}{2}d}{a' + \frac{n - 1}{2}d'} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$
हमें $11$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{a + 10d}{a' + 10d'}$ है।
$\frac{n - 1}{2}$ की तुलना $10$ से करने पर,हमें $n - 1 = 20$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 21$ है।
अनुपात में $n = 21$ रखने पर:
$\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $4:3$ है।

(D) दी गई श्रेणी $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \dots$ के $9$ पद हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$ है।
पदों की संख्या $n = 9$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_9 = \frac{9}{2} [2(\frac{1}{2}) + (9 - 1)(-\frac{1}{6})]$.
$S_9 = \frac{9}{2} [1 + 8(-\frac{1}{6})] = \frac{9}{2} [1 - \frac{8}{6}] = \frac{9}{2} [1 - \frac{4}{3}]$.
$S_9 = \frac{9}{2} [-\frac{1}{3}] = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$.

(C) माना बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है।
$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n - 2) \times 180^{\circ}$ होता है।
चूंकि कोण $A.P.$ में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 120^{\circ}$ और सार्व अंतर $d = 5^{\circ}$ है,तो $n$ कोणों का योग $\frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ होगा।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{n}{2} [2(120^{\circ}) + (n - 1)5^{\circ}] = (n - 2)180^{\circ}$
$n[240 + 5n - 5] = 360(n - 2)$
$5n^2 + 235n = 360n - 720$
$5n^2 - 125n + 720 = 0$
$5$ से भाग देने पर:
$n^2 - 25n + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0$
अतः,$n = 9$ या $n = 16$ प्राप्त होता है।
यदि $n = 16$ लेते हैं,तो सबसे बड़ा कोण $T_{16} = a + 15d = 120^{\circ} + 15(5^{\circ}) = 120^{\circ} + 75^{\circ} = 195^{\circ}$ होगा।
चूंकि एक उत्तल बहुभुज का आंतरिक कोण $180^{\circ}$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $n = 16$ संभव नहीं है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 9$ है।

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $p$-वाँ पद $T_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q} \dots (i)$
और $q$-वाँ पद $T_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(p - q)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
अतः,$d = \frac{1}{pq}$।
समीकरण $(i)$ में $d$ का मान रखने पर:
$a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \implies a + \frac{1}{q} - \frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \implies a = \frac{1}{pq}$।
$pq$ पदों का योग $S_{pq} = \frac{pq}{2} [2a + (pq - 1)d]$।
$a$ और $d$ का मान रखने पर:
$S_{pq} = \frac{pq}{2} [2(\frac{1}{pq}) + (pq - 1)(\frac{1}{pq})]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2} [\frac{2 + pq - 1}{pq}] = \frac{pq}{2} [\frac{pq + 1}{pq}] = \frac{pq + 1}{2}$।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला $1, 2, 3, 4, \dots, n$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 1$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
इस सूत्र में $a = 1$ और $d = 1$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

(A) दिया गया है: प्रथम पद $a = 2$,सार्व अंतर $d = 4$,और पदों की संख्या $n = 40$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(2) + (40 - 1)4]$
$S_{40} = 20[4 + 39 \times 4]$
$S_{40} = 20[4 + 156]$
$S_{40} = 20[160]$
$S_{40} = 3200$.
अतः,प्रथम $40$ पदों का योगफल $3200$ है।

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + (-1)^{n-1}n$ है।
स्थिति $I$: यदि $n$ विषम है,तो मान लीजिए $n = 2m + 1$ है।
योग $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m) + (2m + 1)$ होगा।
यह सरल होकर $(-1) + (-1) + \dots + (-1) \text{ (m बार)} + (2m + 1) = -m + 2m + 1 = m + 1$ हो जाता है।
चूंकि $n = 2m + 1$,इसलिए $m = \frac{n - 1}{2}$,अतः योग $\frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 1}{2}$ होगा।
स्थिति $II$: यदि $n$ सम है,तो मान लीजिए $n = 2m$ है।
योग $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots + ((2m - 1) - 2m)$ होगा।
यह $m$ पदों का योग है,जिनमें से प्रत्येक $-1$ के बराबर है,इसलिए योग $-m$ होगा।
चूंकि $n = 2m$,इसलिए $m = \frac{n}{2}$,अतः योग $-\frac{n}{2}$ होगा।
इस प्रकार,यदि $n$ विषम है तो योग $\frac{n + 1}{2}$ है और यदि $n$ सम है तो $-\frac{n}{2}$ है। विकल्प $(d)$ इस सशर्त व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) दिया गया है,प्रथम पद $A = a$ है।
द्वितीय पद $A + d = b$ है,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
अतः,$d = b - a$ है।
अंतिम पद $l = 2a$ है।
$n$-वें पद का सूत्र $l = A + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $2a = a + (n - 1)(b - a)$।
$a = (n - 1)(b - a) \implies n - 1 = \frac{a}{b - a}$।
$n = \frac{a}{b - a} + 1 = \frac{a + b - a}{b - a} = \frac{b}{b - a}$।
$A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(A + l)$ है।
$n = \frac{b}{b - a}$,$A = a$,और $l = 2a$ रखने पर:
$S_n = \frac{b}{2(b - a)}(a + 2a) = \frac{b}{2(b - a)}(3a) = \frac{3ab}{2(b - a)}$।

(C) प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $S_{Even} = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n + 1)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $S_{Odd} = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम $n$ सम संख्याओं के योग और प्रथम $n$ विषम संख्याओं के योग का अनुपात $\frac{S_{Even}}{S_{Odd}} = \frac{n(n + 1)}{n^2} = \frac{n + 1}{n}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $(n + 1):n$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, ..., a_n$ एक $A.P.$ में हैं जिसका सार्व अंतर $d = a_{i+1} - a_i$ है।
हम जानते हैं कि $a_n = a_1 + (n-1)d$,जिसका अर्थ है कि $(n-1)d = a_n - a_1$.
योग $S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}}$ के प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर:
$S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$
$S = \frac{1}{d} [(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})]$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = \frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$.
अंश और हर को $(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})$ से गुणा करने पर:
$S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$
चूंकि $a_n - a_1 = (n-1)d$,इसलिए:
$S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$.

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots = a_n - a_{n-1}$ के साथ $A.P.$ में हैं।
दी गई श्रेणी $S = \sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ है।
हम $\sin d = \sin(a_{k+1} - a_k)$ लिख सकते हैं।
अतः,सामान्य पद $\frac{\sin(a_{k+1} - a_k)}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \frac{\sin a_{k+1} \cos a_k - \cos a_{k+1} \sin a_k}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \cot a_k - \cot a_{k+1}$ है।
इस मान को योग में रखने पर:
$S = (\cot a_1 - \cot a_2) + (\cot a_2 - \cot a_3) + \dots + (\cot a_{n-1} - \cot a_n)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S = \cot a_1 - \cot a_n$.

(B) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 5 - 2 = 3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
यहाँ $S_n = 60100$ दिया गया है, इसलिए:
$60100 = \frac{n}{2} [2(2) + (n - 1)3]$
$120200 = n [4 + 3n - 3]$
$120200 = n(3n + 1)$
$3n^2 + n - 120200 = 0$
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-120200)}}{2(3)}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1442400}}{6}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1442401}}{6}$
$n = \frac{-1 \pm 1201}{6}$
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए $n = \frac{1200}{6} = 200$.
अतः, पदों की संख्या $200$ है।

(B) $1$ और $100$ के बीच $3$ के गुणज वाली प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $3, 6, 9, \dots, 99$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 3$,और अंतिम पद $l = 99$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं:
$99 = 3 + (n - 1)3$
$96 = (n - 1)3$
$32 = n - 1$
$n = 33$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n$ ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है:
$S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99)$
$S_{33} = \frac{33}{2}(102)$
$S_{33} = 33 \times 51 = 1683$.

(C) दी गई श्रेणी $1, 3, 5, 7, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 3 - 1 = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n - 1)2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2]$.
$S_n = \frac{n}{2} [2n]$.
$S_n = n^2$.

(A) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 54$ और सार्व अंतर $d = 51 - 54 = -3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_n = 513$ दिया गया है, इसलिए:
$513 = \frac{n}{2} [2(54) + (n - 1)(-3)]$
$513 = \frac{n}{2} [108 - 3n + 3]$
$1026 = n(111 - 3n)$
$1026 = 111n - 3n^2$
$3n^2 - 111n + 1026 = 0$
समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$n^2 - 37n + 342 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
अतः, $n = 18$ या $n = 19$ प्राप्त होता है।
$n = 19$ की जाँच करने पर: $19$वाँ पद $a_{19} = a + 18d = 54 + 18(-3) = 54 - 54 = 0$ है। चूँकि $19$वाँ पद $0$ है, इसलिए $18$ पदों और $19$ पदों का योग समान $(513)$ रहता है। विकल्पों के अनुसार, $18$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = 2n^2 + 5n$ है।
$n$ वें पद $T_n$ को ज्ञात करने का सूत्र $T_n = S_n - S_{n-1}$ है,जहाँ $n > 1$ है।
सबसे पहले,$S_{n-1}$ की गणना करें:
$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1)$
$S_{n-1} = 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$
$S_{n-1} = 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5$
$S_{n-1} = 2n^2 + n - 3$
अब,$T_n$ ज्ञात करें:
$T_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3)$
$T_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$T_n = 4n + 3$
वैकल्पिक रूप से,$n=1$ के लिए,$T_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 7$ है। सूत्र $4n+3$ में $n=1$ रखने पर,$4(1)+3 = 7$ प्राप्त होता है,जो समान है।

(D) दिया गया है कि $A.P.$ का $n$ वां पद $T_n = 3n - 1$ है।
प्रथम पांच पद ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखते हैं:
$n = 1$ के लिए: $T_1 = 3(1) - 1 = 2$
$n = 2$ के लिए: $T_2 = 3(2) - 1 = 5$
$n = 3$ के लिए: $T_3 = 3(3) - 1 = 8$
$n = 4$ के लिए: $T_4 = 3(4) - 1 = 11$
$n = 5$ के लिए: $T_5 = 3(5) - 1 = 14$
प्रथम पांच पद $2, 5, 8, 11, 14$ हैं।
प्रथम पांच पदों का योग $S_5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ है।
वैकल्पिक रूप से,योग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k - 1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \frac{n(n+1)}{2} - n$.
$n = 5$ के लिए: $S_5 = \frac{3(5)(6)}{2} - 5 = 45 - 5 = 40$.

(C) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 10$,अंतिम पद $l = 50$ और पदों का योग $S = 300$ है।
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों,तो $A.P.$ के योग का सूत्र $S = \frac{n}{2}(a + l)$ होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$300 = \frac{n}{2}(10 + 50)$
$300 = \frac{n}{2}(60)$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$.
अतः,पदों की संख्या $10$ है।