સમીકરણ $x^2 - 18x + 9 = 0$ ના બીજનો $G.M.$ (ભૂમિતિ મધ્યક) કેટલો થાય?

ધારો કે એક $A.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $39$ છે અને તેના છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $178$ છે. જો આ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $10$ હોય,તો $A.P.$ નો મધ્યસ્થ શોધો.

એક શ્રેણી ધ્યાનમાં લો જેનો પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 4n^2 + 6n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n \in N$. આ શ્રેણીનું $15$ મું પદ $(T_{15})$ શોધો.

ધારો કે $S_1, S_2, \dots, S_{101}$ એ એક $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) ના ક્રમિક પદો છે. જો $\frac{1}{S_1 S_2} + \frac{1}{S_2 S_3} + \dots + \frac{1}{S_{100} S_{101}} = \frac{1}{6}$ અને $S_1 + S_{101} = 50$ હોય, તો $|S_1 - S_{101}|$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ ત્રણ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય જે $H.P.$ માં હોય,તો $\frac{3a + 2b}{2a - b} + \frac{3c + 2b}{2c - b}$ એ

એક સમગુણોત્તર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો $14$ છે. જો પ્રથમ અને બીજા પદમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે અને ત્રીજા પદમાંથી $1$ બાદ કરવામાં આવે,તો મળતા નવા પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય છે. તો મૂળ પદોમાં સૌથી નાનું પદ કયું છે?