Progression and Sequence Questions in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,$n$-મું પદ $T_n$ આ રીતે લખી શકાય:
$T_n = \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)} = \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.
હવે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ લખીએ:
$S_n = T_1 + T_2 + T_3 + \dots + T_n$
$S_n = \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{2 + a} \right) + \left( \frac{1}{2 + a} - \frac{1}{3 + a} \right) + \left( \frac{1}{3 + a} - \frac{1}{4 + a} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$S_n = \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.
અનંત સુધીનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $n \to \infty$ લઈએ છીએ:
$S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a} \right) = \frac{1}{1 + a} - 0 = \frac{1}{1 + a}$.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના ચાર ખૂણાઓ $A.P.$ માં $x, x+10^o, x+20^o$ અને $x+30^o$ છે.
ચતુષ્કોણના અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^o$ થાય છે.
તેથી,$x + (x+10^o) + (x+20^o) + (x+30^o) = 360^o$.
$4x + 60^o = 360^o$.
$4x = 300^o$.
$x = 75^o$.
આમ,ખૂણાઓ $75^o, 75^o+10^o=85^o, 75^o+20^o=95^o$ અને $75^o+30^o=105^o$ છે.
તેથી,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $75^o, 85^o, 95^o$ અને $105^o$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ છે.
પ્રથમ $m$ પદોનો સરવાળો $S_m = \frac{m}{2} \{2a + (m - 1)d\}$ છે.
આપેલ છે કે $S_n = S_m$,તેથી:
$\frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\} = \frac{m}{2} \{2a + (m - 1)d\}$
$n \{2a + (n - 1)d\} = m \{2a + (m - 1)d\}$
$2an + n(n - 1)d = 2am + m(m - 1)d$
$2a(n - m) + d(n^2 - n - m^2 + m) = 0$
$2a(n - m) + d((n^2 - m^2) - (n - m)) = 0$
$2a(n - m) + d((n - m)(n + m) - (n - m)) = 0$
$m \ne n$ હોવાથી,આપણે $(n - m)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$2a + d(n + m - 1) = 0$
હવે,પ્રથમ $(m + n)$ પદોનો સરવાળો:
$S_{m+n} = \frac{m+n}{2} \{2a + (m + n - 1)d\}$
$2a + (m + n - 1)d = 0$ કિંમત મૂકતા:
$S_{m+n} = \frac{m+n}{2} \times 0 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $A.P.$ માં છે અને ધન છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$q = \frac{p + r}{2}$ થાય ......$(i)$
દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = q^2 - 4pr \ge 0$
$q = \frac{p + r}{2}$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$
$\frac{p^2 + 2pr + r^2}{4} - 4pr \ge 0$
$p^2 + 2pr + r^2 - 16pr \ge 0$
$p^2 - 14pr + r^2 \ge 0$
$p^2$ વડે ભાગતા ($p > 0$ હોવાથી):
$1 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + \left( \frac{r}{p} \right)^2 \ge 0$
ધારો કે $x = \frac{r}{p}$. તો $x^2 - 14x + 1 \ge 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x - 7)^2 - 49 + 1 \ge 0$
$(x - 7)^2 \ge 48$
$|x - 7| \ge \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
આમ,$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

(B) $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ત્રણેય $A.P.$ માટે $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3$ આપેલ છે.
$S_1$ માટે: $S_1 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)1] = \frac{n}{2}[n + 1]$.
$S_2$ માટે: $S_2 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)2] = \frac{n}{2}[2n] = n^2$.
$S_3$ માટે: $S_3 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)3] = \frac{n}{2}[3n - 1]$.
હવે,$S_1 + S_3$ ની ગણતરી કરતા:
$S_1 + S_3 = \frac{n}{2}[n + 1 + 3n - 1] = \frac{n}{2}[4n] = 2n^2$.
કારણ કે $S_2 = n^2$,તેથી $2S_2 = 2n^2$.
આમ,સાચો સંબંધ $S_1 + S_3 = 2S_2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ છે: $\log_a x + \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \dots + \log_{a^{1/a}} x = \frac{a(a+1)}{2}$.
$\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ:
$\log_a x + 2 \log_a x + 3 \log_a x + \dots + a \log_a x = \frac{a(a+1)}{2}$.
$\log_a x$ સામાન્ય લેતા:
$\log_a x (1 + 2 + 3 + \dots + a) = \frac{a(a+1)}{2}$.
પ્રથમ $a$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{a(a+1)}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\log_a x \cdot \frac{a(a+1)}{2} = \frac{a(a+1)}{2}$.
બંને બાજુ $\frac{a(a+1)}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\log_a x = 1$ મળે છે.
તેથી,$x = a^1 = a$.

(C) ઘરની કુલ કિંમત $15000$ રૂપિયા છે. જયરામે શરૂઆતમાં $5000$ રૂપિયા ચૂકવ્યા,તેથી બાકી રહેતી રકમ $15000 - 5000 = 10000$ રૂપિયા છે.
તે બાકીની $10000$ રૂપિયાની રકમ $1000$ રૂપિયાના $10$ વાર્ષિક હપ્તામાં અને બાકી રહેલી રકમ પર $10\%$ વ્યાજ સાથે ચૂકવે છે.
પ્રથમ વર્ષે,તે ચૂકવે છે: $1000 + (10000 \text{ ના } 10\%) = 1000 + 1000 = 2000$ રૂપિયા.
બીજા વર્ષે,બાકી રહેલી રકમ $9000$ છે,તેથી તે ચૂકવે છે: $1000 + (9000 \text{ ના } 10\%) = 1000 + 900 = 1900$ રૂપિયા.
ત્રીજા વર્ષે,બાકી રહેલી રકમ $8000$ છે,તેથી તે ચૂકવે છે: $1000 + (8000 \text{ ના } 10\%) = 1000 + 800 = 1800$ રૂપિયા.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2000$,સામાન્ય તફાવત $d = -100$,અને પદોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
આ $10$ હપ્તાઓનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(2000) + (10-1)(-100)] = 5[4000 - 900] = 5[3100] = 15500$ રૂપિયા.
જયરામ દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલી કુલ રકમ એ શરૂઆતની ચુકવણી અને હપ્તાઓના સરવાળા જેટલી છે: $5000 + 15500 = 20500$ રૂપિયા.

(D) ધારો કે $x_n$ એ ચોરસ $S_n$ ની બાજુની લંબાઈ છે. $S_{n+1}$ નો વિકર્ણ $x_{n+1}\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $x_n = x_{n+1}\sqrt{2}$,તેથી $x_{n+1} = \frac{x_n}{\sqrt{2}}$.
આ બાજુની લંબાઈ માટે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે: $x_n = x_1 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1}$.
$S_n$ નું ક્ષેત્રફળ $A_n = x_n^2 = x_1^2 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{100}{2^{n-1}}$ છે.
આપણે $A_n < 1$ જોઈએ છે,તેથી $\frac{100}{2^{n-1}} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $2^{n-1} > 100$.
$n=8$ માટે,$2^{8-1} = 2^7 = 128 > 100$.
$n=9$ માટે,$2^{9-1} = 2^8 = 256 > 100$.
$n=10$ માટે,$2^{10-1} = 2^9 = 512 > 100$.
આમ,$n=8, 9, 10$ ત્રણેય કિંમતો શરતનું પાલન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$-મી સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_k = k$ અને સામાન્ય તફાવત $d_k = 2k - 1$ છે.
તેથી,$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n - 1)(2k - 1)] = \frac{n}{2}[2k + 2kn - n - 2k + 1] = \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$ શોધવો છે.
$= \frac{n}{2} [2n \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} (1 - n)]$.
$= \frac{n}{2} [2n \frac{m(m+1)}{2} + m(1 - n)]$.
$= \frac{n}{2} [nm(m+1) + m - mn] = \frac{n}{2} [nm^2 + nm + m - mn] = \frac{n}{2} [nm^2 + m] = \frac{mn(mn + 1)}{2}$.

(D) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,શરૂઆતથી અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે પ્રથમ અને અંતિમ પદના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ માં,${a_1} + {a_{24}} = {a_5} + {a_{20}} = {a_{10}} + {a_{15}}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$3({a_1} + {a_{24}}) = 225$
${a_1} + {a_{24}} = 75$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 24$ માટે:
$S_{24} = \frac{24}{2}({a_1} + {a_{24}}) = 12 \times 75 = 900$.

(C) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ ${x^3} - 12{x^2} + 39x - 28 = 0$ ના બીજ $a - d, a, a + d$ છે,જે $A.P.$ માં છે.
ત્રિઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો = $(a - d) + a + (a + d) = -(-12)/1 = 12$
$3a = 12 \implies a = 4$
બીજનો ગુણાકાર = $(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = -(-28)/1 = 28$
$a(a^2 - d^2) = 28$
$a = 4$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(4^2 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 9$
$d = \pm 3$
આમ,સામાન્ય તફાવત $\pm 3$ છે.

(A) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a_1 = 1$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી પદો $a_1 = 1$, $a_2 = r$, અને $a_3 = r^2$ થશે.
આપણને પદાવલિ $f(r) = 4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2$ આપેલ છે.
$f(r)$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $r$ ની કિંમત શોધવા, આપણે $f(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીશું:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r$.
$f'(r) = 0$ લેતા, આપણને $4 + 10r = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $10r = -4$, તેથી $r = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
અહીં દ્વિતીય વિકલિત $f''(r) = 10 > 0$ હોવાથી, વિધેય $r = -\frac{2}{5}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે ......$(i)$
ગુણાકાર $P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \dots (ar^{n-1}) = a^n r^{0+1+2+\dots+(n-1)} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ મળે ......(ii)
વ્યસ્તનો સરવાળો $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}$ છે.
આ એક $G.P.$ છે જેનું પ્રથમ પદ $\frac{1}{a}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{r}$ છે.
$R = \frac{\frac{1}{a}(1 - (\frac{1}{r})^n)}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{\frac{1}{a}(\frac{r^n - 1}{r^n})}{\frac{r - 1}{r}} = \frac{r^n - 1}{a r^{n-1}(r - 1)} = \frac{1 - r^n}{a r^{n-1}(1 - r)}$ ......(iii)
હવે,$\frac{S}{R} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \cdot \frac{a r^{n-1}(1 - r)}{1 - r^n} = a^2 r^{n-1}$ થાય.
તેથી,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$ થાય.
સમીકરણ (ii) સાથે સરખાવતા,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$.
આપણને આપેલ છે કે $(n^m + 1)$ એ $S$ ને ભાગે છે.
તેથી,$\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ મળે છે.
કોઈપણ $n > 1$ માટે આ પદાવલિ પૂર્ણાંક બને તે માટે,આપણે $n^m + 1 = n^{64} + 1$ લઈ શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $m = 64$.
જો $m = 64$ હોય,તો પદાવલિ $\frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ બને છે,જે સ્પષ્ટપણે એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $m = 64$ છે.

(C) ધારો કે $G.P.$ માં $2n$ પદો છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તમામ $2n$ પદોનો સરવાળો $S_{2n} = a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r - 1)}$ છે.
એકી સ્થાને રહેલા પદો $a, ar^2, ar^4, \dots, ar^{2n-2}$ છે. આ એક $G.P.$ છે જેમાં $n$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
એકી સ્થાને રહેલા પદોનો સરવાળો $S_{odd} = a\frac{((r^2)^n - 1)}{(r^2 - 1)} = a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r^2 - 1)}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_{2n} = 5 \times S_{odd}$.
સૂત્રો મૂકતા: $a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r - 1)} = 5 \times a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r^2 - 1)}$.
કારણ કે $r \neq 1$ અને $r^{2n} - 1 \neq 0$,આપણે બંને બાજુને $a\frac{(r^{2n} - 1)}{(r - 1)}$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$1 = \frac{5}{r + 1}$.
$r + 1 = 5$.
$r = 4$.

(A) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x)f(y)$ તમામ $x, y \in N$ માટે.
$x = 1$ માટે,$f(2) = f(1 + 1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$.
$x = 2$ માટે,$f(3) = f(2 + 1) = f(2)f(1) = 3^2 \cdot 3 = 3^3 = 27$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$f(x) = 3^x$.
હવે,આપણને આપેલ છે કે $\sum_{x = 1}^n f(x) = 120$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n = 120$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે,જ્યાં $a = 3$ અને $r = 3$.
તેથી,$\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.
$3(3^n - 1) = 240$.
$3^n - 1 = 80$.
$3^n = 81$.
$3^n = 3^4$.
તેથી,$n = 4$.

(C) આપેલ છે કે $G$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક છે,તેથી $G = (ab)^{1/2}$.
જો $G_1, G_2, ..., G_n$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય,તો $a, G_1, G_2, ..., G_n, b$ એ $n+2$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તો $b = a r^{n+1}$,જેનો અર્થ છે કે $r = (b/a)^{1/(n+1)}$.
$n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર $P = G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = (ar) \cdot (ar^2) \cdot ... \cdot (ar^n) = a^n r^{1+2+...+n} = a^n r^{n(n+1)/2}$ થાય.
$r = (b/a)^{1/(n+1)}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P = a^n \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = a^n \left( \frac{b}{a} \right)^{n/2} = a^n \cdot \frac{b^{n/2}}{a^{n/2}} = a^{n/2} b^{n/2} = (ab)^{n/2}$.
કારણ કે $G = (ab)^{1/2}$,તેથી $G^n = ((ab)^{1/2})^n = (ab)^{n/2}$.
તેથી,$G_1 \cdot G_2 \cdot ... \cdot G_n = G^n$.

(C) ધારો કે વધતી જતી $G.P.$ એ $k, kr, kr^2, kr^3$ છે જ્યાં $k > 0$ અને $r > 1$ છે.
તેથી,$\alpha = k, \beta = kr, \gamma = kr^2, \delta = kr^3$.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - 3x + a = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = k(1 + r) = 3$ અને ગુણાકાર $\alpha \beta = k^2r = a$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - 12x + b = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\gamma + \delta = kr^2(1 + r) = 12$ અને ગુણાકાર $\gamma \delta = k^2r^5 = b$ છે.
સરવાળાના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{kr^2(1 + r)}{k(1 + r)} = \frac{12}{3} \implies r^2 = 4$. શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$r = 2$ મળે.
$r = 2$ ને $k(1 + r) = 3$ માં મૂકતા,$k(3) = 3 \implies k = 1$ મળે.
હવે,$a = k^2r = (1)^2(2) = 2$.
અને $b = k^2r^5 = (1)^2(2^5) = 32$.
તેથી,$(a, b) = (2, 32)$.

(C) આપેલ છે કે $2.\overline{357} = 2.357357357...$
આને $2 + 0.357357357...$ તરીકે લખી શકાય.
$= 2 + \frac{357}{10^3} + \frac{357}{10^6} + \frac{357}{10^9} + ...$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{357}{1000}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{1000}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{\frac{357}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{357}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{357}{999}$.
તેથી,$2.\overline{357} = 2 + \frac{357}{999} = \frac{2 \times 999 + 357}{999} = \frac{1998 + 357}{999} = \frac{2355}{999}$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos \alpha$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે,સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ થાય,જ્યાં $|r| < 1$.
અહીં $S = 2 - \sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{1 - \cos \alpha} = 2 - \sqrt{2}$.
વ્યસ્ત લેતા,$1 - \cos \alpha = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$1 - \cos \alpha = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $-\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,એટલે કે $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$0 < \alpha < \pi$ હોવાથી અને $\cos \alpha$ ઋણ હોવાથી,$\alpha$ બીજા ચરણમાં હશે.
$\cos \alpha = -\cos(\pi/4) = \cos(\pi - \pi/4) = \cos(3\pi/4)$.
તેથી,$\alpha = 3\pi/4$.

(B) અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S$,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ માટે $S = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $|r| < 1$ હોય.
અહીં $a = x$ અને $S = 5$ આપેલ છે,તેથી $5 = \frac{x}{1 - r}$.
$r$ ને કર્તા બનાવતા,$1 - r = \frac{x}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 - \frac{x}{5}$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળા માટેની શરત $|r| < 1$ હોવાથી,$|1 - \frac{x}{5}| < 1$ થાય.
આ અસમતાને $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$ તરીકે લખી શકાય.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા,$-2 < -\frac{x}{5} < 0$ મળે.
$-5$ વડે ગુણતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા),$10 > x > 0$ મળે,એટલે કે $0 < x < 10$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ થાય છે.
ધારો કે પદાવલિ $E = \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ છે.
સંબંધ $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ કૌંસ $\left( \frac{1}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) - \frac{1}{a} \right) = \left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right)$ બને છે.
સંબંધ $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,બીજો કૌંસ $\left( \frac{2}{b} - \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{b}$ બને છે.
આમ,$E = \left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right) \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{3}{b^2} - \frac{2}{ab}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$.
ધારો કે $H_1, H_2, \dots, H_m$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $m$ હાર્મોનિક મધ્યકો છે. શ્રેણી $a, H_1, H_2, \dots, H_m, b$ એ હાર્મોનિક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.
તેથી,$\frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \dots, \frac{1}{H_m}, \frac{1}{b}$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
ધારો કે આ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તો $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + (m + 1)d$,તેથી $d = \frac{a - b}{ab(m + 1)}$.
$H_1 = \frac{1}{\frac{1}{a} + d} = \frac{ab(m + 1)}{mb + a}$ અને $H_m = \frac{1}{\frac{1}{b} - d} = \frac{ab(m + 1)}{ma + b}$.
તફાવત $H_m - H_1 = ab(m + 1) \left[ \frac{1}{ma + b} - \frac{1}{mb + a} \right] = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m(a^2 + b^2) + ab(m^2 + 1)}$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $m^2 - 1$ થાય છે.
તેથી,$H_m - H_1 = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m^2 - 1} = ab(b - a)$.

(C) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $d$ કિમી છે.
શાળાએ જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{x}$ કલાક છે.
ઘરે પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{y}$ કલાક છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d + d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{x} + \frac{d}{y}}$.
આ પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2d}{d(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})} = \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{2xy}{x+y}$.
આ પદ $\frac{2xy}{x+y}$ એ $x$ અને $y$ નો હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ છે.

(C) જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત પદો $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ એ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હોય.
$H.P.$ માં કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પદો માટે,વચ્ચેનું પદ બાકીના બે પદોનો હરાત્મક મધ્યક હોય છે. તેથી,$b = \frac{2ac}{a+c}$ અને $c = \frac{2bd}{b+d}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ માટે,ભૌમિતિક મધ્યક $(G.M.)$ એ હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ કરતા મોટો હોય છે.
$a$ અને $c$ માટે,$G.M. = \sqrt{ac}$ અને $H.M. = b$ છે. તેથી,$\sqrt{ac} > b \Rightarrow ac > b^2$.
તે જ રીતે,$b$ અને $d$ માટે,$G.M. = \sqrt{bd}$ અને $H.M. = c$ છે. તેથી,$\sqrt{bd} > c \Rightarrow bd > c^2$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને $ac + bd > b^2 + c^2$ મળે છે.

(B) ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સમાંતર મધ્યક $(AM)$ એ ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ કરતા મોટો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$
$\frac{b + c}{2} > \sqrt{bc}$
$\frac{c + a}{2} > \sqrt{ca}$
આ ત્રણેય અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{a + b}{2}\right) \left(\frac{b + c}{2}\right) \left(\frac{c + a}{2}\right) > \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > \sqrt{a^2 b^2 c^2}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > abc$
તેથી,$(a + b)(b + c)(c + a) > 8abc$.

(A) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
શરત $I$: $\frac{a}{r} + a + ar = 14$
$\Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$ ... $(i)$
શરત $II$: $\frac{a}{r} + 1, a + 1, ar - 1$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(a + 1) = (\frac{a}{r} + 1) + (ar - 1)$
$2a + 2 = \frac{a}{r} + ar$
$2a + 2 = a(\frac{1}{r} + r)$ ... (ii)
$(i)$ પરથી,$a(\frac{1}{r} + r) = 14 - a$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$2a + 2 = 14 - a$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
$a = 4$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$
$\frac{1}{r} + r = \frac{14}{4} - 1 = 3.5 - 1 = 2.5 = \frac{5}{2}$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0 \Rightarrow r = 2$ અથવા $r = 0.5$.
જો $r = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $\frac{4}{2}, 4, 4(2) \Rightarrow 2, 4, 8$ મળે.
જો $r = 0.5$ હોય,તો સંખ્યાઓ $\frac{4}{0.5}, 4, 4(0.5) \Rightarrow 8, 4, 2$ મળે.
બંને કિસ્સામાં,સંખ્યાઓનો સમૂહ ${2, 4, 8}$ છે.
આમ,સૌથી મોટી સંખ્યા $8$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
ચૂકી $\log a - \log 2b, \log 2b - \log 3c, \log 3c - \log a$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો એ વચ્ચેના પદના બમણા જેટલો થાય:
$(\log a - \log 2b) + (\log 3c - \log a) = 2(\log 2b - \log 3c)$
$\log 3c - \log 2b = 2\log 2b - 2\log 3c$
$3\log 3c = 3\log 2b \Rightarrow 3c = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}c$.
$b = \frac{3}{2}c$ ને $b^2 = ac$ માં મૂકતા,આપણને મળે $(\frac{3}{2}c)^2 = ac \Rightarrow \frac{9}{4}c^2 = ac \Rightarrow a = \frac{9}{4}c$.
આમ,બાજુઓ $a = \frac{9}{4}c, b = \frac{3}{2}c, c = c$ છે.
$\frac{4}{c}$ વડે ગુણતા,બાજુઓ $9, 6, 4$ ના પ્રમાણમાં છે.
ચૂકી $9^2 > 6^2 + 4^2$ $(81 > 36 + 16 = 52)$,તેથી આ ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
કારણ કે ${A_1}, {A_2}$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $AMs$ છે,તેથી $a, {A_1}, {A_2}, b$ એ $A.P.$ માં છે.
આમ,${A_1} - a = b - {A_2} \Rightarrow {A_1} + {A_2} = a + b$ ......$(i)$
કારણ કે ${G_1}, {G_2}$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $GMs$ છે,તેથી $a, {G_1}, {G_2}, b$ એ $G.P.$ માં છે.
આમ,$\frac{{G_1}}{a} = \frac{b}{{G_2}} \Rightarrow {G_1}{G_2} = ab$ ......$(ii)$
કારણ કે ${H_1}, {H_2}$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $HMs$ છે,તેથી $a, {H_1}, {H_2}, b$ એ $H.P.$ માં છે.
આમ,$\frac{1}{{H_1}} - \frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{{H_2}} \Rightarrow \frac{1}{{H_1}} + \frac{1}{{H_2}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$\Rightarrow \frac{{H_1 + H_2}}{{H_1 H_2}} = \frac{{a + b}}{{ab}}$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{{H_1 + H_2}}{{H_1 H_2}} = \frac{{A_1 + A_2}}{{G_1 G_2}}$
તેથી,$\frac{{G_1 G_2}}{{H_1 H_2}} = \frac{{A_1 + A_2}}{{H_1 + H_2}}$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
અંકગણિતીય મધ્યક $A = \frac{x + y}{2}$ છે અને ભૌમિતિક મધ્યક $G = \sqrt{xy}$ છે.
હાર્મોનિક મધ્યક $H = \frac{2xy}{x + y} = 4$ આપેલ છે.
$H = 4$ પરથી,$\frac{2xy}{x + y} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $xy = 2(x + y)$.
$A = \frac{x + y}{2}$ હોવાથી,$x + y = 2A$,તેથી $xy = 2(2A) = 4A$.
$G^2 = xy$ હોવાથી,$G^2 = 4A$ મળે.
આપેલ સંબંધ $2A + G^2 = 27$ માં $G^2 = 4A$ મૂકતા:
$2A + 4A = 27 \Rightarrow 6A = 27 \Rightarrow A = \frac{27}{6} = 4.5$.
હવે,$x + y = 2A = 2(4.5) = 9$ અને $xy = 4A = 4(4.5) = 18$.
$x$ અને $y$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ છે,જે $t^2 - 9t + 18 = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 6)(t - 3) = 0$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $6$ અને $3$ છે.

(C) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ $\frac{a + b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક મધ્યક $(G.M.)$ $\sqrt{ab}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A.M. = G.M. + 2$,તેથી $\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab} + 2$ ......$(i)$.
સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $4:1$ છે,તેથી $\frac{a}{b} = \frac{4}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4b$ ......$(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{4b + b}{2} = \sqrt{4b \cdot b} + 2$
$\frac{5b}{2} = \sqrt{4b^2} + 2$
$\frac{5b}{2} = 2b + 2$
$2$ વડે ગુણતા: $5b = 4b + 4$,જે આપણને $b = 4$ આપે છે.
હવે,$b = 4$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$a = 4(4) = 16$.
આમ,તે સંખ્યાઓ $16$ અને $4$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ $8$ છે:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 8 \Rightarrow \alpha + \beta = 16$.
આપેલ છે કે બીજનો સમગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ $5$ છે:
$\sqrt{\alpha \beta} = 5 \Rightarrow \alpha \beta = 25$.
બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$x^2 - (16)x + (25) = 0$.
આમ,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 16x + 25 = 0$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ માટે,સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$,ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ અને હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ વચ્ચેનો સંબંધ $A.M. \ge G.M. \ge H.M.$ અસમતા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $\frac{144}{15} = 9.6$,$15$ અને $12$ છે.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $15 > 12 > 9.6$ મળે છે.
તેથી,$A.M. = 15$,$G.M. = 12$ અને $H.M. = \frac{144}{15}$ થાય.
આપણને $H.M., G.M., A.M.$ ના ક્રમમાં કિંમતો શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે.
ઓળખાયેલી કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{144}{15}, 12, 15$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $a$ એ $b$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક છે,તેથી $a = \frac{b+c}{2}$,એટલે કે $b+c = 2a$.
$G_1, G_2$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેના બે ગુણોત્તર મધ્યક હોવાથી,શ્રેણી $b, G_1, G_2, c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તો $G_1 = br$,$G_2 = br^2$,અને $c = br^3$.
આથી,$r = (c/b)^{1/3}$.
$G_1 = b(c/b)^{1/3} = b^{2/3} c^{1/3}$ અને $G_2 = b(c/b)^{2/3} = b^{1/3} c^{2/3}$.
હવે,$G_1^3 + G_2^3 = (b^{2/3} c^{1/3})^3 + (b^{1/3} c^{2/3})^3 = b^2 c + b c^2 = bc(b+c)$.
$b+c = 2a$ મૂકતા,આપણને $G_1^3 + G_2^3 = bc(2a)$ મળે છે.
કારણ કે $G_1 G_2 = (b^{2/3} c^{1/3})(b^{1/3} c^{2/3}) = bc$,તેથી $G_1^3 + G_2^3 = 2 a G_1 G_2$.

(C) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,$a, ar, ar^2 - 64$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(ar) = a + (ar^2 - 64) \implies a(r^2 - 2r + 1) = 64 \implies a(r - 1)^2 = 64$ .....$(i)$
બીજી શરત મુજબ,$A.P.$ ના બીજા પદમાં $8$ ઘટાડતા,$a, ar - 8, ar^2 - 64$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(ar - 8)^2 = a(ar^2 - 64) \implies a^2r^2 - 16ar + 64 = a^2r^2 - 64a \implies 16ar - 64a = 64 \implies ar - 4a = 4 \implies a(r - 4) = 4$ .....(ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\frac{a(r - 1)^2}{a(r - 4)} = \frac{64}{4} \implies \frac{(r - 1)^2}{r - 4} = 16 \implies r^2 - 2r + 1 = 16r - 64 \implies r^2 - 18r + 65 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(r - 5)(r - 13) = 0$,તેથી $r = 5$ અથવા $r = 13$.
જો $r = 5$ હોય,તો $a(5 - 4) = 4 \implies a = 4$. સંખ્યાઓ $4, 4(5), 4(5^2) = 4, 20, 100$ છે.
જો $r = 13$ હોય,તો $a(13 - 4) = 4 \implies 9a = 4 \implies a = 4/9$. સંખ્યાઓ $4/9, 52/9, 676/9$ છે.
વિકલ્પ $(c)$ ચકાસતા: $4, 20, 100$. $3^{rd}$ પદમાં $64$ ઘટાડતા $4, 20, 36$ મળે છે,જે $A.P.$ છે $(d=16)$. $2^{nd}$ પદમાં $8$ ઘટાડતા $4, 12, 36$ મળે છે,જે $G.P.$ છે $(r=3)$. આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$ થાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને $2 \ln y = \ln x + \ln z$ મળે.
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,$2 + 2 \ln y = 2 + \ln x + \ln z$ મળે,જેને $2(1 + \ln y) = (1 + \ln x) + (1 + \ln z)$ તરીકે લખી શકાય.
આ સૂચવે છે કે $(1 + \ln x), (1 + \ln y), (1 + \ln z)$ એ $A.P.$ માં છે.
કારણ કે $A.P.$ ના પદોના વ્યસ્ત $H.P.$ બનાવે છે,તેથી $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, g, h$ એ બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ ના અનુક્રમે સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{x + y}{2}$,$g = \sqrt{xy}$,અને $h = \frac{2xy}{x + y}$.
હવે,$g^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$g^2 = (\sqrt{xy})^2 = xy$ ...$(i)$
ત્યારબાદ,$ah$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$ah = \left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \left(\frac{2xy}{x + y}\right) = xy$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણને $g^2 = ah$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g = \sqrt{ah}$.
આ સાબિત કરે છે કે $g$ એ $a$ અને $h$ વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.

(D) સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા $(AM \ge GM)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin \theta} \cdot 2^{\cos \theta}}$
$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2 \cdot 2^{\frac{\sin \theta + \cos \theta}{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે,તેથી $\sin \theta + \cos \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
આમ,$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2 \cdot 2^{\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^1 \cdot 2^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2^{(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c, d > 0$ અને $a + b + c + d = 2$.
ધારો કે $x = a + b$ અને $y = c + d$. તેથી $x + y = 2$.
આપણે $M = xy$ નો વિસ્તાર શોધવો છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $1 \ge \sqrt{M}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $M \le 1$ મળે.
કારણ કે $a, b, c, d$ ધન છે,તેથી $x = a + b > 0$ અને $y = c + d > 0$,તેથી $M = xy > 0$.
આમ,સંતોષાતો સંબંધ $0 < M \le 1$ છે.

(D) ધારો કે $A.P.$ ના પદો $a = b - d$ અને $c = b + d$ છે,જ્યાં $d > 0$ કારણ કે $a < b < c$ છે.
આપેલ છે કે $a + b + c = \frac{3}{2}$,તેથી $(b - d) + b + (b + d) = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $3b = \frac{3}{2}$,તેથી $b = \frac{1}{2}$.
આમ,$a = \frac{1}{2} - d$ અને $c = \frac{1}{2} + d$.
$a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$(b^2)^2 = a^2 c^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^4 = (ac)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$b^2 = \pm ac$.
જો $b^2 = ac$ હોય,તો $b^2 = (b - d)(b + d) = b^2 - d^2$,તેથી $d^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d = 0$. આ $a < b < c$ ની વિરુદ્ધ છે.
તેથી,$b^2 = -ac$.
$b = \frac{1}{2}$,$a = \frac{1}{2} - d$,અને $c = \frac{1}{2} + d$ મૂકતા:
$(\frac{1}{2})^2 = -(\frac{1}{2} - d)(\frac{1}{2} + d)$
$\frac{1}{4} = -(\frac{1}{4} - d^2)$
$\frac{1}{4} = -\frac{1}{4} + d^2$
$d^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (કારણ કે $d > 0$).
અંતે,$a = \frac{1}{2} - d = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(A.G.P.)$ છે.
અંશના પદો $1, 4, 7, 10, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
આ $A.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)3 = 3n - 2$ થાય.
છેદના પદો $1, 5, 5^2, 5^3, \dots$ છે,જે સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 5$ છે.
આ $G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $G_n = ar^{n - 1} = 1 \cdot 5^{n - 1} = 5^{n - 1}$ થાય.
તેથી,આપેલ શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ એ $A.P.$ ના $n^{th}$ પદ અને $G.P.$ ના $n^{th}$ પદનો ગુણોત્તર છે,જે $\frac{3n - 2}{5^{n - 1}}$ છે.

(B) ધારો કે $T_n$ એ શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.
$T_n = \frac{n}{{1 + n^2 + n^4}} = \frac{n}{{(1 + n^2)^2 - n^2}}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{n}{{(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)}}$
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{n^2 - n + 1}} - \frac{1}{{n^2 + n + 1}} \right]$
અહીં $n^2 - n + 1 = 1 + n(n - 1)$ અને $n^2 + n + 1 = 1 + n(n + 1)$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{{1 + (n - 1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right]$.
$r=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો લેતા:
$S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{1 + (n-1)n}} - \frac{1}{{1 + n(n+1)}} \right) \right]$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી વચ્ચેના તમામ પદો ઉડી જશે:
$S_n = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{{1 + n(n + 1)}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1 + n^2 + n - 1}{{n^2 + n + 1}} \right] = \frac{n(n + 1)}{{2(n^2 + n + 1)}}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$ છે.
$n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,બેકી ક્રમાંકવાળા પદો બાદ થાય છે અને એકી ક્રમાંકવાળા પદો ઉમેરાય છે.
આ સરવાળાને $1^3$ થી $n^3$ સુધીના તમામ ઘનનો સરવાળો અને તેમાંથી બેકી પદોના ઘનનો બમણો સરવાળો બાદ કરીને લખી શકાય:
$S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{j=1}^{(n-1)/2} (2j)^3$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 - 2 \cdot 8 \sum_{j=1}^{(n-1)/2} j^3$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 [\frac{(\frac{n-1}{2})(\frac{n-1}{2} + 1)}{2}]^2$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 [\frac{(\frac{n-1}{2})(\frac{n+1}{2})}{2}]^2$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 [\frac{(n-1)(n+1)}{8}]^2$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 16 \cdot \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{64}$.
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$.
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$.
$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n^2 - 2n + 1)]$.
$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

(D) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $a_k = \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને મળે $a_k = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{(2k+1) - (2k-1)} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2}$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})$ છે.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા: $S_n = \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $S_n = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$ મળે છે.

(C) $n^{th}$ પદ $T_n$ એ અંશમાં પ્રથમ $n$ ઘનનો સરવાળો અને છેદમાં પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
અંશ: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
છેદ: પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,$d=2$ અને $n$ પદો છે. સરવાળો $\frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2] = n^2$ થાય.
તેથી,$T_n = \frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{k=1}^{n^2-1} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ છે.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક પદને તેના અનુબદ્ધ (conjugate) $(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$ વડે ગુણીને તેનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ:
$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \times \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.
શ્રેણીમાં આ લાગુ પાડતા:
$S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n^2} - \sqrt{n^2 - 1})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$S = -\sqrt{1} + \sqrt{n^2} = -1 + n = n - 1$.

(D) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$,તેથી $\frac{\frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$ મળે.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા,$\frac{a_1 + (\frac{p-1}{2})d}{a_1 + (\frac{q-1}{2})d} = \frac{p}{q}$ મળે.
$\frac{a_6}{a_{21}}$ શોધવા માટે,આપણે એવો $n$ જોઈએ કે જેથી $\frac{n-1}{2} = 5$ ($a_6$ માટે) અને $\frac{n-1}{2} = 20$ ($a_{21}$ માટે) થાય.
$a_6$ માટે,$p-1 = 10 \Rightarrow p = 11$.
$a_{21}$ માટે,$q-1 = 40 \Rightarrow q = 41$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{p}{q} = \frac{11}{41}$ થાય.

(C) જો $a_1, a_2, \dots, a_n$ એ $H.P.$ માં હોય, તો તેમના વ્યસ્ત પદો $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ એ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હોય.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k}$ છે.
તેથી, $a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} (a_k - a_{k+1})$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k - a_{k+1}}{d} = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ, $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_1} = (n-1)d$.
આથી, $\frac{a_1 - a_n}{a_1 a_n} = (n-1)d$, તેથી $\frac{a_1 - a_n}{d} = (n-1) a_1 a_n$.
તેથી, સરવાળો $(n-1) a_1 a_n$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
આ વિસ્તરણમાં $x = -1$ મૂકતા:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
કારણ કે $1 - 1 = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $e^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$a = ar + ar^2$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે ધન ઉકેલ લઈશું:
$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$