Progression and Sequence Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A.P.$ નું $11$ મું પદ $= a + 10d$.
$A.P.$ નું $21$ મું પદ $= a + 20d$.
પ્રશ્ન મુજબ,$2 \times (11$ મું પદ$) = 7 \times (21$ મું પદ$)$.
$2(a + 10d) = 7(a + 20d)$.
$2a + 20d = 7a + 140d$.
$5a + 120d = 0$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $a + 24d = 0$ મળે છે.
$A.P.$ નું $25$ મું પદ $a_{25} = a + (25-1)d = a + 24d$ છે.
ચૂકી $a + 24d = 0$,તેથી $25$ મું પદ $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2y = x + z$.
વળી,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
સૂત્ર $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$x+z = 2y$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જો $2y = 0$ હોય અથવા $1-y^2 = 1-xz$ હોય,જેનો અર્થ છે $y^2 = xz$.
જો $x, y, z$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોય,તો $x = y = z$ થાય.

(B) જો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન હોય છે,તેથી $b/a = c/b$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = ac$.
હવે,પદ $a(b^2 + c^2)$ લો:
$a(b^2 + c^2) = ab^2 + ac^2$
$b^2 = ac$ હોવાથી,$b^2$ ની જગ્યાએ $ac$ મૂકતા:
$a(ac) + ac^2 = a^2c + ac^2 = ac(a + c)$.
હવે,પદ $c(a^2 + b^2)$ લો:
$c(a^2 + b^2) = ca^2 + cb^2$
$b^2 = ac$ હોવાથી,$b^2$ ની જગ્યાએ $ac$ મૂકતા:
$ca^2 + c(ac) = ca^2 + ac^2 = ac(a + c)$.
બંને પદો $ac(a + c)$ સમાન હોવાથી,$a(b^2 + c^2) = c(a^2 + b^2)$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$a=1, b=2, c=4$ લેતા,$a(b^2 + c^2) = 1(4 + 16) = 20$ અને $c(a^2 + b^2) = 4(1 + 4) = 20$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{2}, \sqrt{10}, 5\sqrt{2}, \dots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ની ગણતરી $r = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $t_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
$7$ માં પદ $(n = 7)$ માટે:
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^{7-1}$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^6$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (5)^3$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot 125 = 125\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = A r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પદો:
$T_4 = a = A r^3$
$T_7 = b = A r^6$
$T_{10} = c = A r^9$
હવે,ગુણાકાર $ac$ ધ્યાનમાં લો:
$ac = (A r^3) \times (A r^9) = A^2 r^{12}$
તે જ રીતે,$b^2$ ધ્યાનમાં લો:
$b^2 = (A r^6)^2 = A^2 r^{12}$
અહીં $b^2 = A^2 r^{12}$ અને $ac = A^2 r^{12}$ હોવાથી,$b^2 = ac$ સાબિત થાય છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -5$ છે.
ધારો કે $n^{th}$ પદ $3125$ છે.
$G.P.$ ના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a r^{n-1}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5(-5)^{n-1} = 3125$.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા: $(-5)^{n-1} = 625$.
કારણ કે $625 = (-5)^4$,તેથી $(-5)^{n-1} = (-5)^4$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$n - 1 = 4$,જે આપણને $n = 5$ આપે છે.
તેથી,$5^{th}$ પદ $3125$ છે.

(B) ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,સંખ્યાઓ $x + 2, x + 14, x + 62$ એ $G.P.$ માં છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે $G.P.$ માં હોવાની શરત $b^2 = ac$ છે.
આ શરત લાગુ પાડતા: $(x + 14)^2 = (x + 2)(x + 62)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 28x + 196 = x^2 + 64x + 124$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $28x + 196 = 64x + 124$.
પદોને ગોઠવતા: $196 - 124 = 64x - 28x$.
$72 = 36x$.
$x = 2$.
આમ,આપેલી સંખ્યાઓમાં $2$ ઉમેરવાથી $4, 16, 64$ મળે છે,જે $4$ ના સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે $G.P.$ બનાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $(p + q)^{th}$ પદ $m = ar^{p+q-1}$ છે અને $(p - q)^{th}$ પદ $n = ar^{p-q-1}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{m}{n} = \frac{ar^{p+q-1}}{ar^{p-q-1}} = r^{(p+q-1) - (p-q-1)} = r^{2q}$.
આમ,$r^{2q} = \frac{m}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $r = (\frac{m}{n})^{1/(2q)}$.
$p^{th}$ પદ $T_p = ar^{p-1}$ છે.
આપણે $m$ ને $T_p \cdot r^q$ તરીકે અને $n$ ને $T_p \cdot r^{-q}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
$m$ અને $n$ નો ગુણાકાર કરતા: $m \cdot n = (T_p \cdot r^q) \cdot (T_p \cdot r^{-q}) = T_p^2 \cdot r^0 = T_p^2$.
તેથી,$T_p = \sqrt{mn}$.
વૈકલ્પિક રીત: $G.P.$ માં,$p^{th}$ પદ એ તેનાથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) હોય છે. કારણ કે $(p+q)$ અને $(p-q)$ એ $p$ થી સમાન અંતરે ($q$ અંતરે) આવેલા છે,તેથી $p^{th}$ પદ $\sqrt{mn}$ થશે.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે,તેથી:
$T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$
સામાન્ય પદનું સૂત્ર $T_n = ar^{n-1}$ મૂકતા:
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
અહીં $a > 0$ અને $r > 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $ar^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$G.P.$ ના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ પણ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે ઋણ કિંમતને અવગણીએ છીએ:
$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

(D) આપેલ છે કે $x, 2x + 2, 3x + 3$ એ $G.P.$ માં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ $G.P.$ માં હોય તો શરત $b^2 = ac$ થાય.
તેથી,$(2x + 2)^2 = x(3x + 3)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $4(x + 1)^2 = 3x(x + 1)$.
કિસ્સો $1$: જો $x + 1 = 0$,તો $x = -1$. શ્રેણી $-1, 0, 0$ બને છે,જે $G.P.$ નથી કારણ કે સામાન્ય ગુણોત્તર અવ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $2$: જો $x + 1 \neq 0$,તો $(x + 1)$ વડે ભાગતા: $4(x + 1) = 3x$.
$4x + 4 = 3x \Rightarrow x = -4$.
શ્રેણીના પદો $x = -4$,$2(-4) + 2 = -6$,$3(-4) + 3 = -9$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-6}{-4} = 1.5$.
ચોથું પદ $T_4 = ar^3 = (-4)(1.5)^3 = (-4)(3.375) = -13.5$.

(A) $G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a(r^3 - 1)/(r - 1)}{a(r^6 - 1)/(r - 1)} = \frac{125}{152}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$,તેથી $\frac{r^3 - 1}{(r^3 - 1)(r^3 + 1)} = \frac{125}{152}$.
$\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$.
$r^3 + 1 = \frac{152}{125}$.
$r^3 = \frac{152}{125} - 1 = \frac{152 - 125}{125} = \frac{27}{125}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$r = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$ થાય.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = m$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$.
આમ,$x = \log_a m$,$y = \log_b m$,અને $z = \log_c m$.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન હોય,તેથી $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$.
$x, y, z$ ની કિંમતો લઘુગણકના સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{\ln a}{\ln b} = \frac{\ln b}{\ln c}$ મળે છે.
તેથી,$\log_b a = \log_c b$.

(B) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
$p$ મું પદ $a = A R^{p-1}$ ---$(i)$
$q$ મું પદ $b = A R^{q-1}$ ---(ii)
$r$ મું પદ $c = A R^{r-1}$ ---(iii)
હવે,પદાવલિ $E = a^{q - r} b^{r - p} c^{p - q}$ ધ્યાનમાં લો.
$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = (A R^{p-1})^{q-r} (A R^{q-1})^{r-p} (A R^{r-1})^{p-q}$
$E = A^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$A$ નો ઘાતાંક ગણતા:
$(q-r) + (r-p) + (p-q) = 0$
$R$ નો ઘાતાંક ગણતા:
$(pq - pr - q + r) + (qr - qp - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
આમ,$E = A^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $4$ છે,તેથી $ar^2 = 4$.
પ્રથમ $5$ પદોનો ગુણાકાર $P = a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$ થાય.
$P = a^5 \times r^{(1+2+3+4)} = a^5 \times r^{10}$.
$P = (ar^2)^5$.
$ar^2 = 4$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = 4^5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_5 = ar^4 = \frac{1}{3}$ --- $(i)$
આપેલ છે કે $T_9 = ar^8 = \frac{16}{243}$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^8}{ar^4} = \frac{16/243}{1/3}$
$r^4 = \frac{16}{243} \times 3 = \frac{16}{81}$
$r^4 = (\frac{2}{3})^4$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{2}{3}$ (ધન મૂળ લેતા).
$r = \frac{2}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a(\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{3}$
$a(\frac{16}{81}) = \frac{1}{3}$
$a = \frac{1}{3} \times \frac{81}{16} = \frac{27}{16}$
હવે,$4$ થું પદ $T_4 = ar^3$:
$T_4 = \frac{27}{16} \times (\frac{2}{3})^3$
$T_4 = \frac{27}{16} \times \frac{8}{27} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ છે.
આ શ્રેણીનું ${n^{th}}$ પદ ${T_n} = (2n) \times (2n + 2) = 4n(n + 1)$ તરીકે લખી શકાય.
${20^{th}}$ પદ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 20$ મૂકીએ:
${T_{20}} = 4 \times 20 \times (20 + 1)$
${T_{20}} = 80 \times 21$
${T_{20}} = 1680$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
તેથી,$a = A R^{p-1}$,$b = A R^{q-1}$,અને $c = A R^{r-1}$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left( \frac{c}{b} \right)^p \left( \frac{b}{a} \right)^r \left( \frac{a}{c} \right)^q = \left( \frac{A R^{r-1}}{A R^{q-1}} \right)^p \left( \frac{A R^{q-1}}{A R^{p-1}} \right)^r \left( \frac{A R^{p-1}}{A R^{r-1}} \right)^q$
$= (R^{r-q})^p (R^{q-p})^r (R^{p-r})^q$
$= R^{pr - pq + qr - pr + pq - qr}$
$= R^0 = 1$.

(D) $G.P.$ નું $n$-મું પદ $l = a r^{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે,$r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે અને $l$ અંતિમ પદ છે.
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{l}{a} = r^{n-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક (logarithm) લેતા,$\log\left(\frac{l}{a}\right) = \log(r^{n-1})$ મળે છે.
$\log(x/y) = \log x - \log y$ અને $\log(x^k) = k \log x$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log l - \log a = (n-1) \log r$ મળે છે.
$n$ માટે પદોને ગોઠવતા,$n-1 = \frac{\log l - \log a}{\log r}$ મળે છે.
તેથી,$n = 1 + \frac{\log l - \log a}{\log r}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\log _x a, a^{x/2}, \log _b x$ એ $G.P.$ માં છે.
$G.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,મધ્યમ પદનો વર્ગ એ અંતિમ પદોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$(a^{x/2})^2 = (\log _x a) \cdot (\log _b x)$
$a^x = \frac{\log a}{\log x} \cdot \frac{\log x}{\log b}$
$a^x = \frac{\log a}{\log b} = \log _b a$
બંને બાજુ $\log _a$ લેતા:
$x = \log _a(\log _b a)$
આધાર બદલવાના સૂત્ર $\log _b a = \frac{\log _e a}{\log _e b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \log _a\left( \frac{\log _e a}{\log _e b} \right)$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log (m/n) = \log m - \log n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \log _a(\log _e a) - \log _a(\log _e b)$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ના બીજ $\frac{A}{R}, A, AR$ છે,જ્યાં $A$ અને $R$ અચળાંકો છે.
બીજ $G.P.$ માં હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $\frac{A}{R} \cdot A \cdot AR = A^3 = -\frac{d}{a}$ થાય.
આમ,$A = -\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3}$.
$A$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $aA^3 + bA^2 + cA + d = 0$ નું સમાધાન કરશે.
$A^3 = -\frac{d}{a}$ અને $A = -\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3}$ મૂકતા:
$a\left(-\frac{d}{a}\right) + b\left(-\frac{d}{a}\right)^{2/3} + c\left(-\frac{d}{a}\right)^{1/3} + d = 0$.
$-d + b\left(\frac{d}{a}\right)^{2/3} - c\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3} + d = 0$.
$b\left(\frac{d}{a}\right)^{2/3} = c\left(\frac{d}{a}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$b^3 \cdot \frac{d^2}{a^2} = c^3 \cdot \frac{d}{a}$.
બંને બાજુ $a^2$ વડે ગુણતા:
$b^3d^2 = c^3ad$.
$d$ વડે ભાગતા (ધારો કે $d \neq 0$):
$b^3d = c^3a$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$મું પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $T_{10} = ar^9 = 9$ અને $T_4 = ar^3 = 4$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^9}{ar^3} = \frac{9}{4} \Rightarrow r^6 = \frac{9}{4}$.
આપણે $7$મું પદ $T_7 = ar^6$ શોધવાનું છે.
$ar^3 = 4$ પરથી,$a = \frac{4}{r^3}$ મળે.
તેથી,$T_7 = \left(\frac{4}{r^3}\right)r^6 = 4r^3$.
$r^6 = \frac{9}{4}$ હોવાથી,$r^3 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ થાય.
તેથી,$T_7 = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે,$7$મું પદ એ $4$થા અને $10$મા પદનો સમગુણોત્તર મધ્યક છે કારણ કે $7$ એ $4$ અને $10$ નો સરેરાશ છે: $T_7 = \sqrt{T_4 \times T_{10}} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.

(B) $G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે $T_6 = 32$,તેથી $ar^5 = 32$ .....$(i)$
આપેલ છે કે $T_8 = 128$,તેથી $ar^7 = 128$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^7}{ar^5} = \frac{128}{32}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$
આપેલા વિકલ્પોમાં $2$ હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(A) આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી $5, - \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, - \frac{5}{8}, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-5/2}{5} = -\frac{1}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $T_n = ar^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે $T_n = \frac{5}{1024}$,તેથી:
$\frac{5}{1024} = 5 \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{1}{1024} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1024 = 2^{10}$,તેથી $\frac{1}{1024} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{10}$ લખી શકાય કારણ કે $(-1)^{10} = 1$.
આમ,$\left( -\frac{1}{2} \right)^{10} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$10 = n - 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 11$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે.
ત્રીજું પદ $ar^2$ છે અને પ્રથમ પદ $a$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ એ પ્રથમ પદનો વર્ગ છે: $ar^2 = a^2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,આપણને $a = r^2$ મળે છે.
બીજું પદ $ar = 8$ છે.
$a = r^2$ ને બીજા પદના સમીકરણમાં મૂકતા: $(r^2)r = 8 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$.
તેથી $a = r^2 = 2^2 = 4$.
$6$ મું પદ $T_6 = ar^5$ છે.
$T_6 = 4 \times 2^5 = 4 \times 32 = 128$.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના $9$ પદો $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
આપેલ છે કે પાંચમું પદ $a = 2$ છે.
આ $9$ પદોનો ગુણાકાર:
$P = \left(\frac{a}{r^4}\right) \times \left(\frac{a}{r^3}\right) \times \left(\frac{a}{r^2}\right) \times \left(\frac{a}{r}\right) \times a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^9$
$a = 2$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = 2^9 = 512$.

(D) ધારો કે અનંત $G.P.$ શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots, \infty$ છે.
અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = 9$ છે.
આના પરથી,આપણને $a = 9(1 - r)$ મળે છે $\dots(i)$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = 5$ છે,જેને $a(1 + r) = 5$ તરીકે લખી શકાય $\dots(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$9(1 - r)(1 + r) = 5$
$9(1 - r^2) = 5$
$1 - r^2 = \frac{5}{9}$
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
$r = \pm \frac{2}{3}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $2/3$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3 + 4\frac{1}{2} + 6\frac{3}{4} + \dots = 3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{4} + \dots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 5$ પદો માટે:
$S_5 = \frac{3 \left[ (\frac{3}{2})^5 - 1 \right]}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3 \left[ \frac{243}{32} - 1 \right]}{\frac{1}{2}}$
$S_5 = 6 \left[ \frac{243 - 32}{32} \right] = 6 \left[ \frac{211}{32} \right] = \frac{3 \times 211}{16} = \frac{633}{16}$
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $\frac{633}{16} = 39\frac{9}{16}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots$ એ $100$ પદો સુધી છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0.9 = \frac{9}{10}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{0.09}{0.9} = 0.1 = \frac{1}{10}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$ છે.
કિંમતો $a = \frac{9}{10}$,$r = \frac{1}{10}$,અને $n = 100$ મૂકતા:
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{1 - \frac{1}{10}} \right)$
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{\frac{9}{10}} \right)$
$S_{100} = 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{100}$.

(A) ધારો કે $x = 0.2343434...$
પુનરાવર્તિત ભાગને અલગ કરવા માટે $10$ વડે ગુણતા: $10x = 2.343434...$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $1000$ વડે ગુણતા: $1000x = 234.343434...$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $1000x - 10x = 234.343434... - 2.343434...$
$990x = 232$
$x = \frac{232}{990}$

(B) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $216$ છે:
$(\frac{a}{r}) \cdot a \cdot (ar) = 216$
$a^3 = 216$
$a = 6$
આપેલ છે કે પદોનો સરવાળો $19$ છે:
$\frac{a}{r} + a + ar = 19$
$a = 6$ મુકતા:
$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$
$\frac{6}{r} + 6r = 13$
$r$ વડે ગુણતા:
$6 + 6r^2 = 13r$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$
$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$
આમ,$r = \frac{2}{3}$ અથવા $r = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots$ $n$ પદો સુધી.
$S_n = 6(1 + 11 + 111 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી})$
$S_n = \frac{6}{9}(9 + 99 + 999 + \dots \text{ } n \text{ પદો સુધી})$
$S_n = \frac{2}{3}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1))$
$S_n = \frac{2}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + 1 \text{ } n \text{ પદો સુધી}))$
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = a(r^n - 1)/(r - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right)$
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(D) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે,તેથી: $T_n = T_{n-1} + T_{n-2}$.
સામાન્ય પદના સૂત્ર $T_n = ar^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા: $ar^{n-1} = ar^{n-2} + ar^{n-3}$.
બંને બાજુ $ar^{n-3}$ વડે ભાગતા ($a > 0$ અને $r > 0$ હોવાથી): $r^2 = r + 1$.
આ સમીકરણને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $r^2 - r - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે.
શ્રેણીના પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ પણ ધન હોવો જોઈએ. તેથી,આપણે ધન કિંમત લઈએ છીએ: $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

(B) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,દરેક પદ તેના અગાઉના પદ કરતાં બમણું છે,તેથી $r = 2$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = 1$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $r = 2$ મૂકતા:
$a + a(2) = 1$
$3a = 1$
$a = 1/3$.
તેથી,પ્રથમ પદ $1/3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $G.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 255$ (કારણ કે $r > 1$) .....$(i)$
$n^{th}$ પદ $a_n = ar^{n-1} = 128$ .....$(ii)$
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ .....$(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $r = 2$ મૂકતા:
$a(2^{n-1}) = 128$ .....$(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માં $r = 2$ મૂકતા:
$\frac{a(2^n - 1)}{2 - 1} = 255 \Rightarrow a(2^n - 1) = 255$ .....$(v)$
સમીકરણ $(v)$ ને સમીકરણ $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(2^n - 1)}{a(2^{n-1})} = \frac{255}{128}$
$\frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$\frac{2^n}{2^{n-1}} - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$\frac{1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{255}{128} = \frac{256 - 255}{128} = \frac{1}{128}$
$128 = 2^7$ હોવાથી,$2^{n-1} = 2^7$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n - 1 = 7$,તેથી $n = 8$.
સમીકરણ $(iv)$ માં $n = 8$ મૂકતા:
$a(2^{8-1}) = 128$
$a(2^7) = 128$
$a(128) = 128$
$a = 1$.

(C) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. $G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_6 = 9 \times S_3$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$.
જો $r \neq 1$ હોય,તો આપણે બંને બાજુથી $\frac{a}{r - 1}$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$r^6 - 1 = 9(r^3 - 1)$.
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = r^3$:
$(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$.
કારણ કે $r \neq 1$,તેથી $r^3 - 1 \neq 0$,તેથી આપણે $(r^3 - 1)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$r^3 + 1 = 9$.
$r^3 = 8$.
$r = 2$.

(C) ધારો કે $S$ એ $91$ વખત $1$ ધરાવતી સંખ્યા છે. આને ભૌમિતિક શ્રેણી તરીકે લખી શકાય: $S = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{90}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{10^{91} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{91} - 1}{9}$.
કારણ કે $91 = 7 \times 13$,આપણે $10^{91} - 1 = (10^{13})^7 - 1$ લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(10^{13})^7 - 1 = (10^{13} - 1)( (10^{13})^6 + (10^{13})^5 + \dots + 1)$.
આમ,$S = \frac{10^{13} - 1}{9} \times (10^{78} + 10^{65} + \dots + 1)$.
જેથી $S$ એ $1$ કરતા મોટી બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે,તેથી તે વિભાજ્ય સંખ્યા છે અને અવિભાજ્ય નથી.

(B) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે કારણ કે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર અચળ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = a_1 = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ છે.
$n = 20$ માટે,આપણને મળે છે:
$S_{20} = \frac{2(1 - (1/3)^{20})}{1 - 1/3}$
$S_{20} = \frac{2(1 - 1/3^{20})}{2/3}$
$S_{20} = 2 \times \frac{3}{2} \times (1 - \frac{1}{3^{20}})$
$S_{20} = 3 \left( 1 - \frac{1}{3^{20}} \right)$.

(C) આપણી પાસે સમીકરણ $1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$ છે.
ડાબી બાજુ એ $x+1$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેનો સરવાળો $\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a} = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
બંને બાજુ $(1 - a)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$1 - a^{x+1} = (1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
નિત્યસમ $(1 - a)(1 + a) = (1 - a^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
$(1 - a^2)(1 + a^2) = (1 - a^4)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^4)(1 + a^4)$.
$(1 - a^4)(1 + a^4) = (1 - a^8)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - a^{x+1} = 1 - a^8$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$x + 1 = 8$,જે આપણને $x = 7$ આપે છે.

(B) આપેલ છે: $a_1 = 3$,$a_n = 96$,અને $S_n = 189$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં,$n$-મું પદ $a_n = a_1 r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 r^{n-1} = 96 \Rightarrow r^{n-1} = 32$ ..... $(i)$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = 189$ છે.
આપણે $S_n = \frac{a_1 r^n - a_1}{r - 1} = \frac{r(a_1 r^{n-1}) - a_1}{r - 1} = 189$ લખી શકીએ.
$a_1 r^{n-1} = 96$ અને $a_1 = 3$ મૂકતા: $\frac{r(96) - 3}{r - 1} = 189$.
$96r - 3 = 189(r - 1) \Rightarrow 96r - 3 = 189r - 189$.
$186 = 93r \Rightarrow r = 2$.
$(i)$ પરથી,$2^{n-1} = 32 = 2^5$.
તેથી,$n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
ગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = a r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_n = 486$,તેથી $a(3)^{n-1} = 486$. બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને $a(3)^n = 1458$ મળે છે .....$(i)$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_n = 728$ અને $r = 3$,તેથી $728 = \frac{a(3^n - 1)}{3 - 1}$.
$728 = \frac{a(3^n) - a}{2}$.
$1456 = a(3^n) - a$ .....$(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a(3^n)$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$1456 = 1458 - a$.
$a = 1458 - 1456 = 2$.
આમ,પ્રથમ પદ $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $n$ ધન સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો ગુણાકાર $1$ છે,એટલે કે $x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 1$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ માટે,સમાંતર મધ્યક હંમેશા ભૌમિતિક મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે.
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n)^{1/n}$.
આપેલ ગુણાકારની કિંમત મૂકતા:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (1)^{1/n} = 1$.
તેથી,$x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n$.
આનો અર્થ એ છે કે આ $n$ ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો ક્યારેય $n$ થી ઓછો હોઈ શકે નહીં.

(A) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $1728$ છે,તેથી $(\frac{a}{r}) \cdot a \cdot (ar) = 1728$,જેનો અર્થ છે કે $a^3 = 1728$,તેથી $a = 12$.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $38$ છે,તેથી $\frac{a}{r} + a + ar = 38$.
$a = 12$ મૂકતા,આપણને $\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6r^2 - 13r + 6 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $(3r - 2)(2r - 3) = 0$.
આમ,$r = \frac{2}{3}$ અથવા $r = \frac{3}{2}$.
જો $r = \frac{3}{2}$ હોય,તો સંખ્યાઓ $\frac{12}{3/2}, 12, 12(\frac{3}{2}) = 8, 12, 18$ છે.
જો $r = \frac{2}{3}$ હોય,તો સંખ્યાઓ $\frac{12}{2/3}, 12, 12(\frac{2}{3}) = 18, 12, 8$ છે.
બંને કિસ્સામાં,સંખ્યાઓ $8, 12, 18$ છે. સૌથી મોટી સંખ્યા $18$ છે.

(B) ધારો કે સરવાળો $S_n = 3 + 33 + 333 + \dots + n$ પદો છે.
આપણે $S_n = 3(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ પદો})$ લખી શકીએ.
$9$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ પદો})$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ પદો})]$
પ્રથમ ભાગ એ $a = 10$,$r = 10$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેનો સરવાળો $\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$ થાય.
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right]$
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right]$
$S_n = \frac{1}{27}(10^{n+1} - 9n - 10)$.

(D) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 7$,અંતિમ પદ $l = a r^{n-1} = 448$,અને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 889$.
$G.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $S_n = \frac{a r^n - a}{r - 1} = \frac{(a r^{n-1})r - a}{r - 1}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $889 = \frac{448r - 7}{r - 1}$.
બંને બાજુ $(r - 1)$ વડે ગુણતા: $889(r - 1) = 448r - 7$.
$889r - 889 = 448r - 7$.
$889r - 448r = 889 - 7$.
$441r = 882$.
$r = \frac{882}{441} = 2$.
તેથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે, પદોની સંખ્યા $n$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ છે.
$G.P.$ નો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 364$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેલ્લું પદ $l = ar^{n-1} = 243$ છે.
સરવાળાના સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $S_n = \frac{ar^{n-1} \cdot r - a}{r - 1} = 364$.
$ar^{n-1} = 243$ અને $r = 3$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{243 \cdot 3 - a}{3 - 1} = 364$
$\frac{729 - a}{2} = 364$
$729 - a = 728$
$a = 1$.
હવે, છેલ્લા પદના સૂત્ર $ar^{n-1} = 243$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 \cdot 3^{n-1} = 243$
$3^{n-1} = 3^5$
$n - 1 = 5$
$n = 6$.
આમ, પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) જો બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો $g_1, g_2, \dots, g_n$ મૂકવામાં આવે,તો શ્રેણી $a, g_1, g_2, \dots, g_n, b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે.
ધારો કે આ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. આ શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા $n+2$ છે.
તેથી,અંતિમ પદ $b$ ને $b = a \cdot r^{(n+2)-1} = a \cdot r^{n+1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}}$ મળે છે.
$n^{th}$ સમગુણોત્તર મધ્યક $g_n = a \cdot r^n$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $g_n = a \left( \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}} \right)^n = a \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{n+1}}$ મળે છે.

(B) અને $b$ વચ્ચેનો ભૌમિતિક મધ્યક $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = (ab)^{1/2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે $a^{n + 1} + b^{n + 1} = (ab)^{1/2}(a^n + b^n)$.
$a^{n + 1} + b^{n + 1} = a^{n + 1/2}b^{1/2} + a^{1/2}b^{n + 1/2}$.
પદોને ગોઠવતા: $a^{n + 1} - a^{n + 1/2}b^{1/2} + b^{n + 1} - a^{1/2}b^{n + 1/2} = 0$.
$a^{n + 1/2}(a^{1/2} - b^{1/2}) - b^{n + 1/2}(a^{1/2} - b^{1/2}) = 0$.
$(a^{n + 1/2} - b^{n + 1/2})(a^{1/2} - b^{1/2}) = 0$.
કારણ કે $a \neq b$,તેથી $a^{1/2} - b^{1/2} \neq 0$,તેથી $a^{n + 1/2} - b^{n + 1/2} = 0$ હોવું જોઈએ.
$a^{n + 1/2} = b^{n + 1/2}$.
$(a/b)^{n + 1/2} = 1 = (a/b)^0$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$n + 1/2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = -1/2$.

(B) આપેલ છે કે $G$ એ $x$ અને $y$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે,તેથી $G = \sqrt{xy}$,જેનો અર્થ છે કે $G^2 = xy$.
આપેલ પદમાં $G^2 = xy$ મૂકતા:
$\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2} = \frac{1}{xy - x^2} + \frac{1}{xy - y^2}$
$= \frac{1}{x(y - x)} + \frac{1}{y(x - y)}$
$= \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{y - x}{xy} \right)$
$= \frac{1}{xy} = \frac{1}{G^2}$.

(C) ધારો કે $2$ અને $32$ ની વચ્ચે ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો $g_1, g_2, g_3$ છે.
તેથી શ્રેણી $2, g_1, g_2, g_3, 32$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ અને પાંચમું પદ $ar^4 = 32$ છે.
સમીકરણ $ar^4 = 32$ માં $a = 2$ મૂકતા,આપણને $2r^4 = 32$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^4 = 16$.
કારણ કે $16 = 2^4$,તેથી $r = 2$ મળે છે.
ત્રીજો સમગુણોત્તર મધ્યક એ શ્રેણીનું ચોથું પદ છે,જે $g_3 = ar^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$g_3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$.