Progression and Sequence Questions in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19\frac{1}{3} - 20 = -\frac{2}{3}$ છે.
શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d = 20 + (n - 1)\left( -\frac{2}{3} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરવાળો મહત્તમ થાય તે માટે,આપણે ત્યાં સુધીના પદો લઈએ જ્યાં સુધી તે અઋણ હોય,એટલે કે $a_n \ge 0$.
$20 - \frac{2}{3}(n - 1) \ge 0$
$20 \ge \frac{2}{3}(n - 1)$
$30 \ge n - 1$
$n \le 31$.
આમ,પ્રથમ $31$ પદોનો સરવાળો મહત્તમ છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$S_{31} = \frac{31}{2}[2(20) + (31 - 1)(-\frac{2}{3})]$
$S_{31} = \frac{31}{2}[40 + 30(-\frac{2}{3})]$
$S_{31} = \frac{31}{2}[40 - 20] = \frac{31}{2} \times 20 = 310$.

(A) $100$ અને $1000$ ની વચ્ચેની $9$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
$100$ થી મોટી $9$ વડે વિભાજ્ય પ્રથમ સંખ્યા $108$ છે $(a = 108)$.
$1000$ થી નાની $9$ વડે વિભાજ્ય છેલ્લી સંખ્યા $999$ છે $(l = 999)$.
સામાન્ય તફાવત $d = 9$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદના સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$999 = 108 + (n - 1)9$
$891 = (n - 1)9$
$n - 1 = 99$
$n = 100$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$S_{100} = \frac{100}{2}(108 + 999)$
$S_{100} = 50 \times 1107$
$S_{100} = 55350$.

(C) આપેલ છે કે $m$ અને $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$.
તેથી,$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$.
$\Rightarrow \frac{2a + (m - 1)d}{2a + (n - 1)d} = \frac{m}{n}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$n[2a + (m - 1)d] = m[2a + (n - 1)d]$ મળે.
$2an + n(m - 1)d = 2am + m(n - 1)d$.
$2an + mnd - nd = 2am + mnd - md$.
$2an - 2am = nd - md$.
$2a(n - m) = d(n - m)$.
આમ,$d = 2a$.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ છે.
$m$ માં અને $n$ માં પદનો ગુણોત્તર $\frac{T_m}{T_n} = \frac{a + (m - 1)d}{a + (n - 1)d}$ થાય.
$d = 2a$ મૂકતા,$\frac{a + (m - 1)2a}{a + (n - 1)2a} = \frac{a(1 + 2m - 2)}{a(1 + 2n - 2)} = \frac{2m - 1}{2n - 1}$ મળે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^n \log \left( \frac{a^r}{b^{r-1}} \right) = \log a + \log \left( \frac{a^2}{b} \right) + \log \left( \frac{a^3}{b^2} \right) + \dots + \log \left( \frac{a^n}{b^{n-1}} \right)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a_1 = \log a$ અને $n$-મું પદ $a_n = \log \left( \frac{a^n}{b^{n-1}} \right)$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $S_n = \frac{n}{2} \left[ \log a + \log \left( \frac{a^n}{b^{n-1}} \right) \right]$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log x + \log y = \log(xy)$ નો ઉપયોગ કરતા,$S_n = \frac{n}{2} \log \left( a \cdot \frac{a^n}{b^{n-1}} \right) = \frac{n}{2} \log \left( \frac{a^{n+1}}{b^{n-1}} \right)$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + \dots + (x + 28) = 155$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = (x + 1)$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. છેલ્લું પદ $l = (x + 28)$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x + 28) = (x + 1) + (n - 1)3$.
$27 = (n - 1)3 \Rightarrow n - 1 = 9 \Rightarrow n = 10$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $155 = \frac{10}{2}[(x + 1) + (x + 28)]$.
$155 = 5(2x + 29)$.
$31 = 2x + 29$.
$2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

(C) $4$ વડે ભાગતા $1$ શેષ વધતી હોય તેવી બે અંકની સંખ્યાઓ $4n + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સ્વરૂપની સૌથી નાની બે અંકની સંખ્યા $13$ છે (કારણ કે $4 \times 3 + 1 = 13$) અને સૌથી મોટી સંખ્યા $97$ છે (કારણ કે $4 \times 24 + 1 = 97$).
આ સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે: $13, 17, 21, \dots, 97$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 13$,અંતિમ પદ $l = 97$,અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$.
$97 = 13 + (n - 1)4$
$84 = (n - 1)4$
$n - 1 = 21$
$n = 22$.
આ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{22} = \frac{22}{2}(13 + 97) = 11(110) = 1210$.

(C) સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $(S_{2n} - S_n)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$S_{2n} - S_n = \frac{2n}{2}\{2a + (2n - 1)d\} - \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$
$= n\{2a + 2nd - d\} - \frac{n}{2}\{2a + nd - d\}$
$= \frac{n}{2}\{4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d\}$
$= \frac{n}{2}\{2a + 3nd - d\} = \frac{n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$
હવે,$S_{3n} = \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$ ધ્યાનમાં લો.
તેથી,$\frac{1}{3}S_{3n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\} = \frac{n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$.
આમ,$(S_{2n} - S_n) = \frac{1}{3}S_{3n}$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log_{\sqrt{3}} x + \log_{\sqrt[4]{3}} x + \log_{\sqrt[6]{3}} x + \dots + \log_{\sqrt[16]{3}} x = 36$
$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\log_{3^{1/n}} x = n \log_3 x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \log_3 x + 4 \log_3 x + 6 \log_3 x + \dots + 16 \log_3 x = 36$
$\log_3 x$ સામાન્ય લેતા:
$(\log_3 x) (2 + 4 + 6 + \dots + 16) = 36$
સમાંતર શ્રેણી $2 + 4 + 6 + \dots + 16$ નો સરવાળો $\frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=8$,$a=2$,અને $l=16$ છે:
સરવાળો $= \frac{8}{2}(2 + 16) = 4 \times 18 = 72$.
તેથી,$(\log_3 x) \times 72 = 36$
$\log_3 x = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$
$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $k$ પદોનો સરવાળો ${S_k} = \frac{k}{2} \{2a + (k - 1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{S_{kn}}{S_n} = \frac{\frac{kn}{2} \{2a + (kn - 1)d\}}{\frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}}$ આપેલ છે.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{S_{kn}}{S_n} = k \left\{ \frac{2a + (kn - 1)d}{2a + (n - 1)d} \right\} = k \left\{ \frac{(2a - d) + knd}{(2a - d) + nd} \right\}$.
આ પદાવલિ $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,જો $2a - d = 0$ હોય,તો:
$\frac{S_{kn}}{S_n} = k \left\{ \frac{knd}{nd} \right\} = k^2$.
અહીં $k^2$ એ $n$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી શરત $2a - d = 0$ છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{n}{x} + y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે સરવાળાના સૂત્ર $S_r = \sum_{n=1}^{r} T_n$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_r = \sum_{n=1}^{r} \left( \frac{n}{x} + y \right) = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{r} n + \sum_{n=1}^{r} y$.
પ્રથમ $r$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{n=1}^{r} n = \frac{r(r + 1)}{2}$.
તેથી,$S_r = \frac{1}{x} \left( \frac{r(r + 1)}{2} \right) + ry$.
$S_r = \left\{ \frac{r(r + 1)}{2x} \right\} + ry$.

(D) ધારો કે $S$ એ $1$ થી $100$ સુધીની તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
$S = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50 \times 101 = 5050$.
ધારો કે $S_1$ એ $100$ સુધીની $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $3, 6, 9, \dots, 99$.
$S_1 = 3(1 + 2 + 3 + \dots + 33) = 3 \times \frac{33 \times 34}{2} = 3 \times 33 \times 17 = 1683$.
ધારો કે $S_2$ એ $100$ સુધીની $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $5, 10, 15, \dots, 100$.
$S_2 = 5(1 + 2 + 3 + \dots + 20) = 5 \times \frac{20 \times 21}{2} = 5 \times 10 \times 21 = 1050$.
ધારો કે $S_3$ એ $100$ સુધીની $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $15$ વડે વિભાજ્ય) સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $15, 30, 45, 60, 75, 90$.
$S_3 = 15(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 15 \times \frac{6 \times 7}{2} = 15 \times 21 = 315$.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,$3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_1 + S_2 - S_3 = 1683 + 1050 - 315 = 2418$ થાય.
તેથી,$3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓનો સરવાળો $S - (S_1 + S_2 - S_3) = 5050 - 2418 = 2632$ થાય.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો $12$ છે:
$(a - d) + (a + d) = 12$
$2a = 12$
$a = 6$
હવે,પ્રથમ અને બીજા પદનો ગુણાકાર $24$ છે:
$(a - d) \times a = 24$
સમીકરણમાં $a = 6$ મૂકતા:
$(6 - d) \times 6 = 24$
$6 - d = 4$
$d = 2$
તેથી,પ્રથમ પદ $(a - d) = 6 - 2 = 4$ થાય.

(C) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $(2, 5, 8, \dots)$ માટે: પ્રથમ પદ $a_1 = 2$, સામાન્ય તફાવત $d_1 = 3$. પ્રથમ $2n$ પદોનો સરવાળો $S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n [4 + 6n - 3] = n(6n + 1)$.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $(57, 59, 61, \dots)$ માટે: પ્રથમ પદ $a_2 = 57$, સામાન્ય તફાવત $d_2 = 2$. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = \frac{n}{2} [112 + 2n] = n(56 + n)$.
આપેલ છે કે $S_{2n} = S_n$, તેથી $n(6n + 1) = n(56 + n)$.
$n \neq 0$ હોવાથી, $n$ વડે ભાગતા: $6n + 1 = 56 + n$.
$5n = 55$, જે આપણને $n = 11$ આપે છે.

(D) $250$ અને $1000$ ની વચ્ચે $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $252, 255, \dots, 999$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 252$,અંતિમ પદ $l = 999$,અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
$n$-માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$.
$999 = 252 + (n - 1)3$.
$747 = (n - 1)3$.
$n - 1 = 249$.
$n = 250$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n$ શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
$S_{250} = \frac{250}{2}(252 + 999)$.
$S_{250} = 125 \times 1251$.
$S_{250} = 156375$.

(B) $A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $7$ મું પદ $a_7 = a + 6d = 40$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 13$ માટે,$S_{13} = \frac{13}{2}[2a + (13 - 1)d] = \frac{13}{2}[2a + 12d]$.
$2$ સામાન્ય કાઢતા,$S_{13} = \frac{13}{2} \times 2(a + 6d) = 13(a + 6d)$.
$a + 6d = 40$ ની કિંમત મૂકતા,$S_{13} = 13 \times 40 = 520$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{n+1}}$ એ $A.P.$ માં છે,જેનો સામાન્ય તફાવત $d = {a_{k+1}} - {a_k}$ છે.
ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{{{a_k}{a_{k+1}}}}$.
કારણ કે ${a_{k+1}} - {a_k} = d$,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{{{a_k}{a_{k+1}}}} = \frac{1}{d} \left( \frac{{a_{k+1}} - {a_k}}{{{a_k}{a_{k+1}}}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{{{a_k}}} - \frac{1}{{{a_{k+1}}}} \right)$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{{{a_1}}} - \frac{1}{{{a_2}}} \right) + \left( \frac{1}{{{a_2}}} - \frac{1}{{{a_3}}} \right) + \dots + \left( \frac{1}{{{a_n}}} - \frac{1}{{{a_{n+1}}}} \right) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$S = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{{{a_1}}} - \frac{1}{{{a_{n+1}}}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{{{a_{n+1}} - {a_1}}}{{{a_1}{a_{n+1}}}} \right)$.
કારણ કે ${a_{n+1}} = {a_1} + nd$,તેથી ${a_{n+1}} - {a_1} = nd$.
તેથી,$S = \frac{1}{d} \left( \frac{nd}{{{a_1}{a_{n+1}}}} \right) = \frac{n}{{{a_1}{a_{n+1}}}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 5n^2 + 2n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજું પદ $(T_2)$ શોધવા માટે,આપણે $T_n = S_n - S_{n-1}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$n = 2$ માટે,$T_2 = S_2 - S_1$.
પ્રથમ,$S_2$ ની ગણતરી કરો: $S_2 = 5(2)^2 + 2(2) = 5(4) + 4 = 20 + 4 = 24$.
ત્યારબાદ,$S_1$ ની ગણતરી કરો: $S_1 = 5(1)^2 + 2(1) = 5 + 2 = 7$.
તેથી,$T_2 = 24 - 7 = 17$.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ એ સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે.
તેથી,$a_2 - a_1 = a_4 - a_3 = \dots = a_{2n} - a_{2n - 1} = d$.
આપણે સરવાળો $S = a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 + \dots + a_{2n - 1}^2 - a_{2n}^2$ શોધવાનો છે.
વર્ગોના તફાવતના સૂત્ર $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (a_1 - a_2)(a_1 + a_2) + (a_3 - a_4)(a_3 + a_4) + \dots + (a_{2n - 1} - a_{2n})(a_{2n - 1} + a_{2n})$.
કારણ કે એકી $k$ માટે $a_k - a_{k+1} = -d$,તેથી:
$S = -d(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{2n - 1} + a_{2n})$.
$2n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{2n}{2}(a_1 + a_{2n}) = n(a_1 + a_{2n})$ થાય છે.
આમ,$S = -d \cdot n(a_1 + a_{2n})$.
$n$-માં પદના સૂત્ર પરથી,$a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d$,તેથી $d = \frac{a_{2n} - a_1}{2n - 1}$.
$d$ ની કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = -\left( \frac{a_{2n} - a_1}{2n - 1} \right) \cdot n(a_1 + a_{2n}) = \frac{n(a_1 - a_{2n})(a_1 + a_{2n})}{2n - 1} = \frac{n}{2n - 1}(a_1^2 - a_{2n}^2)$.

(B) $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m$-મું પદ $T_m = S_m - S_{m-1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $T_m = 164$,તેથી:
$164 = (3m^2 + 5m) - [3(m-1)^2 + 5(m-1)]$
$164 = (3m^2 + 5m) - [3(m^2 - 2m + 1) + 5m - 5]$
$164 = 3m^2 + 5m - [3m^2 - 6m + 3 + 5m - 5]$
$164 = 3m^2 + 5m - [3m^2 - m - 2]$
$164 = 3m^2 + 5m - 3m^2 + m + 2$
$164 = 6m + 2$
$6m = 162$
$m = 27$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર: ${S_n} = \frac{n}{2} \{ 2a + (n - 1)d \}$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ સમીકરણ: ${S_n} = nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$.
આને આ રીતે લખી શકાય: ${S_n} = \frac{n}{2} \{ 2P + (n - 1)Q \}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સામાન્ય તફાવત $d = Q$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે પદોનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય તફાવત શોધી શકીએ છીએ:
${S_1} = P + 0 = P$
${S_2} = 2P + \frac{1}{2}(2)(1)Q = 2P + Q$
${T_1} = {S_1} = P$
${T_2} = {S_2} - {S_1} = (2P + Q) - P = P + Q$
સામાન્ય તફાવત $d = {T_2} - {T_1} = (P + Q) - P = Q$.

(B) આપેલ છે કે ${S_{2n}} = 3{S_n}$.
$A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાના સૂત્ર ${S_n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2n}{2}[2a + (2n - 1)d] = 3 \times \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$2[2a + (2n - 1)d] = 3[2a + (n - 1)d]$
$4a + 4nd - 2d = 6a + 3nd - 3d$
$nd + d = 2a$
$2a = (n + 1)d$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{{{S_{3n}}}}{{{S_n}}}$ શોધવાનો છે:
$\frac{{{S_{3n}}}}{{{S_n}}} = \frac{\frac{3n}{2}[2a + (3n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]} = 3 \times \frac{2a + (3n - 1)d}{2a + (n - 1)d}$.
$2a = (n + 1)d$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 3 \times \frac{(n + 1)d + (3n - 1)d}{(n + 1)d + (n - 1)d} = 3 \times \frac{(n + 1 + 3n - 1)d}{(n + 1 + n - 1)d} = 3 \times \frac{4nd}{2nd} = 3 \times 2 = 6$.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોની બનેલી છે,તેથી સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
પ્રથમ પદ $a = p^2 + 1$.
પદોની સંખ્યા $n = 2p + 1$.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{2p+1} = \frac{2p + 1}{2} [2(p^2 + 1) + (2p + 1 - 1)(1)]$
$S_{2p+1} = \frac{2p + 1}{2} [2p^2 + 2 + 2p]$
$S_{2p+1} = (2p + 1)(p^2 + p + 1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p + 1)^3 = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$.
$p^3 + (p + 1)^3$ નું વિસ્તરણ કરતા: $p^3 + p^3 + 3p^2 + 3p + 1 = 2p^3 + 3p^2 + 3p + 1$.
તેવી જ રીતે,$(2p + 1)(p^2 + p + 1)$ નો ગુણાકાર કરતા: $2p^3 + 2p^2 + 2p + p^2 + p + 1 = 2p^3 + 3p^2 + 3p + 1$.
આમ,સરવાળો $p^3 + (p + 1)^3$ થાય છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 11$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો: $a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 56$.
$a = 11$ મૂકતા: $11 + (11 + d) + (11 + 2d) + (11 + 3d) = 56$.
$44 + 6d = 56 \Rightarrow 6d = 12 \Rightarrow d = 2$.
$n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ ના છેલ્લા ચાર પદો $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ છે.
આ પદો $(11 + (n-4)2), (11 + (n-3)2), (11 + (n-2)2), (11 + (n-1)2)$ છે.
સરવાળો $= 44 + 2(4n - 10) = 112$.
$44 + 8n - 20 = 112$.
$8n + 24 = 112$.
$8n = 88 \Rightarrow n = 11$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7 - 3 = 4$ છે.
આપેલ સરવાળો $S_n = 406$ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$406 = \frac{n}{2}[2(3) + (n - 1)4]$
$406 = \frac{n}{2}[6 + 4n - 4]$
$406 = \frac{n}{2}[4n + 2]$
$406 = n(2n + 1)$
$2n^2 + n - 406 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-406)}}{2(2)}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3248}}{4}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{3249}}{4}$
$n = \frac{-1 \pm 57}{4}$
પદોની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી ધન કિંમત લેતા:
$n = \frac{56}{4} = 14$.
આમ,પદોની સંખ્યા $14$ છે.

(B) આપેલ છે કે પદોની સંખ્યા $n = 15$,પ્રથમ પદ $a = 5$,અને સરવાળો $S_{15} = 390$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$.
કિંમતો મૂકતા: $390 = \frac{15}{2} [2(5) + (15 - 1)d]$.
$390 = \frac{15}{2} [10 + 14d]$.
$390 = 15(5 + 7d)$.
$26 = 5 + 7d$.
$7d = 21$,તેથી $d = 3$.
$15$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું મધ્યમ પદ $\frac{15+1}{2} = 8$ મું પદ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$n = 8$ માટે: $a_8 = 5 + (8 - 1)(3) = 5 + 7(3) = 5 + 21 = 26$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_{10} = 4 \times S_5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] = 4 \times \frac{5}{2}[2a + (5 - 1)d]$
$5[2a + 9d] = 4 \times 2.5[2a + 4d]$
$5[2a + 9d] = 10[2a + 4d]$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$2a + 9d = 2[2a + 4d]$
$2a + 9d = 4a + 8d$
$a:d$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$9d - 8d = 4a - 2a$
$d = 2a$
$\frac{a}{d} = \frac{1}{2}$
તેથી,પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવતનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાઓનો સરવાળો $18$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 18$
$3a = 18$
$a = 6$
તેમના વર્ગોનો સરવાળો $158$ છે:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 158$
$(6 - d)^2 + 6^2 + (6 + d)^2 = 158$
$(36 - 12d + d^2) + 36 + (36 + 12d + d^2) = 158$
$108 + 2d^2 = 158$
$2d^2 = 50$
$d^2 = 25$
$d = \pm 5$
જો $d = 5$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(6 - 5), 6, (6 + 5)$ એટલે કે $1, 6, 11$ મળે.
જો $d = -5$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(6 - (-5)), 6, (6 + (-5))$ એટલે કે $11, 6, 1$ મળે.
બંને કિસ્સામાં,સૌથી મોટી સંખ્યા $11$ છે.

(A) અંશ એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 2$ છે. $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] = \frac{n}{2}[6 + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2n + 4] = n(n+2)$ થાય.
છેદ એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_2 = 5$,સામાન્ય તફાવત $d_2 = 3$ અને $10$ પદો છે. સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2}[2(5) + (10-1)3] = 5[10 + 27] = 5 \times 37 = 185$ થાય.
ગુણોત્તર $7$ આપેલ હોવાથી,$\frac{n(n+2)}{185} = 7$.
$n^2 + 2n = 1295$.
$n^2 + 2n - 1295 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n + 37)(n - 35) = 0$.
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 35$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $\frac{1}{3}, A_1, A_2, \frac{1}{24}$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જેમાં $n=4$ પદો છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{b-a}{n+1}$ છે,જ્યાં $a = \frac{1}{3}$,$b = \frac{1}{24}$,અને $n=2$ (મધ્યકોની સંખ્યા).
$d = \frac{\frac{1}{24} - \frac{1}{3}}{2+1} = \frac{\frac{1-8}{24}}{3} = \frac{-7/24}{3} = -\frac{7}{72}$.
હવે,$A_1 = a + d = \frac{1}{3} - \frac{7}{72} = \frac{24-7}{72} = \frac{17}{72}$.
$A_2 = A_1 + d = \frac{17}{72} - \frac{7}{72} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36}$.
આમ,તેમની કિંમતો $\frac{17}{72}$ અને $\frac{5}{36}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = \frac{a + b}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(a^{n + 1} + b^{n + 1}) = (a + b)(a^n + b^n)$
$2a^{n + 1} + 2b^{n + 1} = a^{n + 1} + ab^n + ba^n + b^{n + 1}$
પદોને ગોઠવતા:
$a^{n + 1} - ab^n - ba^n + b^{n + 1} = 0$
$a^n(a - b) - b^n(a - b) = 0$
$(a^n - b^n)(a - b) = 0$
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$a^n - b^n = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a^n = b^n$.
આમ,$(a/b)^n = 1 = (a/b)^0$.
તેથી,$n = 0$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાનો વ્યસ્ત છે,તેથી $a = \frac{1}{b}$ અથવા $ab = 1$.
બે સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક $\frac{a + b}{2} = \frac{13}{12}$ આપેલ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $a + b = \frac{13}{6}$.
સમીકરણમાં $b = \frac{1}{a}$ મૂકતા,આપણને $a + \frac{1}{a} = \frac{13}{6}$ મળે છે.
$6a$ વડે ગુણતા,$6a^2 - 13a + 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6a^2 - 9a - 4a + 6 = 0 \Rightarrow 3a(2a - 3) - 2(2a - 3) = 0$.
$(3a - 2)(2a - 3) = 0$.
આમ,$a = \frac{2}{3}$ અથવા $a = \frac{3}{2}$.
જો $a = \frac{3}{2}$ હોય,તો $b = \frac{2}{3}$. જો $a = \frac{2}{3}$ હોય,તો $b = \frac{3}{2}$.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $\frac{3}{2}$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a+b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $A_1, A_2, \dots, A_n$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકો છે. તો $a, A_1, A_2, \dots, A_n, b$ એ $n+2$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{b-a}{n+1}$ છે.
$n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ છે.
$A_1, A_2, \dots, A_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમનો સરવાળો $S = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ થાય.
અહીં,$A_1 = a + d = \frac{an + b}{n+1}$ અને $A_n = b - d = \frac{bn + a}{n+1}$ છે.
તેથી,$S = \frac{n}{2} \left( \frac{an + b + bn + a}{n+1} \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{(a+b)(n+1)}{n+1} \right) = \frac{n(a+b)}{2}$.
$A = \frac{a+b}{2}$ હોવાથી,આપણને $S = nA$ મળે છે.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \dots, n$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ છે.
સમાંતર મધ્યક એટલે અવલોકનોનો સરવાળો ભાગ્યા અવલોકનોની કુલ સંખ્યા.
તેથી, $\text{સમાંતર મધ્યક} = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n} = \frac{n + 1}{2}$.

(A) ધારો કે $a$ અને $b$ ની વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_n$ છે.
આ મધ્યકો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $b$ એ $(n+2)$-મું પદ છે.
$n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(A_1 + A_n)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A_1 = a + d$ અને $A_n = b - d$ છે,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે,તેથી $A_1 + A_n = a + b$ થાય.
તેથી,સરવાળો $\frac{n}{2}(a + b)$ થાય છે.

(B) પરિણામી શ્રેણીમાં $n + 2$ પદો હશે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને અંતિમ પદ $l = 38$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_m = \frac{m}{2}(a + l)$ છે,જ્યાં $m$ એ કુલ પદોની સંખ્યા છે.
અહીં,$m = n + 2$,$a = 2$,અને $l = 38$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $200$ છે,તેથી:
$200 = \frac{n + 2}{2}(2 + 38)$
$200 = \frac{n + 2}{2}(40)$
$200 = 20(n + 2)$
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા:
$10 = n + 2$
$n = 10 - 2 = 8$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $8$ છે.

(B) શ્રેણીનો મધ્યક તમામ પદોના સરવાળાને કુલ પદોની સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણી: $a, a + nd, a + 2nd$.
પદોની સંખ્યા = $3$.
પદોનો સરવાળો = $a + (a + nd) + (a + 2nd) = 3a + 3nd$.
મધ્યક = $\frac{3a + 3nd}{3} = \frac{3(a + nd)}{3} = a + nd$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x + y, x - y) = xy$.
ધારો કે $u = x + y$ અને $v = x - y$.
$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{u + v}{2}$ અને $y = \frac{u - v}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને વિધેયની વ્યાખ્યામાં મૂકતા,આપણને $f(u, v) = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{u - v}{2} \right) = \frac{u^2 - v^2}{4}$ મળે છે.
આમ,$f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{4}$ અને $f(y, x) = \frac{y^2 - x^2}{4}$ થાય.
$f(x, y)$ અને $f(y, x)$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{f(x, y) + f(y, x)}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2 - y^2}{4} + \frac{y^2 - x^2}{4} \right) = \frac{1}{2} (0) = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\log 2, \log (2^n - 1)$ અને $\log (2^n + 3)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $2b = a + c$ થાય.
તેથી,$2 \log (2^n - 1) = \log 2 + \log (2^n + 3)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log (ab)$ અને $n \log a = \log (a^n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log (2^n - 1)^2 = \log [2(2^n + 3)]$.
બંને બાજુથી લઘુગણક દૂર કરતા:
$(2^n - 1)^2 = 2(2^n + 3)$.
ધારો કે $x = 2^n$. તો $(x - 1)^2 = 2(x + 3)$.
$x^2 - 2x + 1 = 2x + 6$.
$x^2 - 4x - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 5)(x + 1) = 0$.
તેથી,$x = 5$ અથવા $x = -1$.
કારણ કે $x = 2^n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $2^n = 5$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$n = \log_2 5$.

(B) ધારો કે $A.P.$ ના ચાર પદો $(a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, બે અંતિમ પદોનો સરવાળો $8$ છે:
$(a - 3d) + (a + 3d) = 8$
$2a = 8 \Rightarrow a = 4$.
બે મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર $15$ છે:
$(a - d)(a + d) = 15$
$a^2 - d^2 = 15$.
$a = 4$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4^2 - d^2 = 15$
$16 - d^2 = 15$
$d^2 = 1 \Rightarrow d = 1$ (શ્રેણી માટે ધન કિંમત લેતા).
ચાર પદો નીચે મુજબ છે:
$a - 3d = 4 - 3(1) = 1$
$a - d = 4 - 1 = 3$
$a + d = 4 + 1 = 5$
$a + 3d = 4 + 3(1) = 7$
આમ, શ્રેણીના પદો $1, 3, 5, 7$ છે. સૌથી મોટી સંખ્યા $7$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે,જ્યાં $d > 0$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ સૌથી મોટી બાજુ હોય છે,તેથી કર્ણ $(a + d)$ થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે:
$(a + d)^2 = a^2 + (a - d)^2$
બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^2 + d^2 + 2ad = a^2 + a^2 - 2ad + d^2$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2ad = a^2 - 2ad$
$a^2 - 4ad = 0$
$a(a - 4d) = 0$
અહીં $a$ એ બાજુની લંબાઈ હોવાથી $a \neq 0$,તેથી $a = 4d$ મળે.
હવે બાજુઓ $(a - d, a, a + d)$ માં $a = 4d$ મૂકતા:
$(4d - d) : 4d : (4d + d) = 3d : 4d : 5d = 3:4:5$.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d), a, (a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $33$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
આ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $792$ છે:
$(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 792$
$a(a^2 - d^2) = 792$
$11(11^2 - d^2) = 792$
$121 - d^2 = 72$
$d^2 = 121 - 72 = 49$
$d = 7$ (શ્રેણી માટે ધન કિંમત લેતા).
તેથી સંખ્યાઓ $(11 - 7), 11, (11 + 7)$ એટલે કે $4, 11, 18$ છે.
આમ,સૌથી નાની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c, d, e, f$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $K$ છે.
તેથી,$b - a = c - b = d - c = e - d = f - e = K$.
આપણે $e - c$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $d - c = K$ અને $e - d = K$,તેથી $e - d = d - c$ થાય.
બંને બાજુ $d$ ઉમેરતા,આપણને $e = 2d - c$ મળે છે.
તેથી,$e - c = (2d - c) - c = 2d - 2c = 2(d - c)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$A.P.$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e = c + 2K$ અને $d = c + K$.
આમ,$e - c = (c + 2K) - c = 2K$.
કારણ કે $d - c = K$,તેથી $2K = 2(d - c)$.
આમ,$e - c = 2(d - c)$.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીની ત્રણ સંખ્યાઓ $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $15$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$
તેમના વર્ગોનો સરવાળો $83$ છે:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 83$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 83$
$3a^2 + 2d^2 = 83$
$a = 5$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(5^2) + 2d^2 = 83$
$3(25) + 2d^2 = 83$
$75 + 2d^2 = 83$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
જો $d = 2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(5 - 2), 5, (5 + 2)$ એટલે કે $3, 5, 7$ મળે.
જો $d = -2$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(5 - (-2)), 5, (5 + (-2))$ એટલે કે $7, 5, 3$ મળે.
બંને કિસ્સામાં,સંખ્યાઓનો સમૂહ ${3, 5, 7}$ છે.

(B) ધારો કે ચાર સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, A_3$ અને $A_4$ છે.
તેથી,શ્રેણી $3, A_1, A_2, A_3, A_4, 23$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને છઠ્ઠું પદ $T_6 = 23$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a + (n-1)d$ છે.
$n = 6$ માટે,આપણને મળે છે $23 = 3 + (6-1)d$.
$23 = 3 + 5d$
$20 = 5d$
$d = 4$.
હવે,આપણે મધ્યકોની ગણતરી કરીએ:
$A_1 = a + d = 3 + 4 = 7$
$A_2 = a + 2d = 3 + 8 = 11$
$A_3 = a + 3d = 3 + 12 = 15$
$A_4 = a + 4d = 3 + 16 = 19$
આમ,ચાર સમાંતર મધ્યકો $7, 11, 15, 19$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $(a - d)$,$a$,અને $(a + d)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,આ પદોનો સરવાળો $51$ છે:
$(a - d) + a + (a + d) = 51$
$3a = 51$
$a = 17$
પ્રથમ પદ $(a - d)$ અને છેલ્લા પદ $(a + d)$ નો ગુણાકાર $273$ છે:
$(a - d)(a + d) = 273$
$a^2 - d^2 = 273$
$a = 17$ મૂકતા:
$17^2 - d^2 = 273$
$289 - d^2 = 273$
$d^2 = 289 - 273 = 16$
$d = \pm 4$
જો $d = 4$ હોય,તો પદો $(17 - 4), 17, (17 + 4)$ એટલે કે $13, 17, 21$ મળે.
જો $d = -4$ હોય,તો પદો $(17 - (-4)), 17, (17 + (-4))$ એટલે કે $21, 17, 13$ મળે.
બંને કિસ્સામાં શ્રેણી સમાન છે. તેથી,સંખ્યાઓ $21, 17, 13$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{p + q}, \frac{1}{r + p}, \frac{1}{q + r}$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે:
$\frac{1}{r + p} - \frac{1}{p + q} = \frac{1}{q + r} - \frac{1}{r + p}$
$\Rightarrow \frac{(p + q) - (r + p)}{(r + p)(p + q)} = \frac{(r + p) - (q + r)}{(q + r)(r + p)}$
$\Rightarrow \frac{q - r}{p + q} = \frac{p - q}{q + r}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(q - r)(q + r) = (p - q)(p + q)$
$q^2 - r^2 = p^2 - q^2$
$2q^2 = p^2 + r^2$
આ શરત સૂચવે છે કે $p^2, q^2, r^2$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$\log_y x = 1 + d \implies x = y^{1+d}$
$\log_z y = 1 + 2d \implies y = z^{1+2d}$
$-15 \log_x z = 1 + 3d \implies \log_x z = -\frac{1+3d}{15} \implies z = x^{-(1+3d)/15}$
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $x = y^{1+d} = (z^{1+2d})^{1+d} = z^{(1+2d)(1+d)}$.
વધુમાં,$z = x^{-(1+3d)/15} \implies x = z^{-15/(1+3d)}$.
$z$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $(1+2d)(1+d) = -\frac{15}{1+3d}$.
$(1+d)(1+2d)(1+3d) = -15$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $(1 + 3d + 2d^2)(1 + 3d) = 1 + 3d + 3d + 9d^2 + 2d^2 + 6d^3 = 6d^3 + 11d^2 + 6d + 1 = -15$.
$6d^3 + 11d^2 + 6d + 16 = 0$.
$d = -2$ ચકાસતા: $6(-8) + 11(4) + 6(-2) + 16 = -48 + 44 - 12 + 16 = 0$.
આમ,$d = -2$ એ ઉકેલ છે.
$d = -2$ માટે: $\log_y x = 1 - 2 = -1 \implies x = y^{-1}$.
$\log_z y = 1 + 2(-2) = -3 \implies y = z^{-3}$.
કારણ કે $x = y^{-1}$ અને $y = z^{-3}$,તેથી $x = (z^{-3})^{-1} = z^3$.
તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(B) ધારો કે પૂર્ણાંક $n$ છે. પૂર્ણાંક અને તેના ઘન વચ્ચેનો તફાવત $n^3 - n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ પદાવલિના અવયવ પાડતા: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$.
આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે: $(n - 1)$,$n$,અને $(n + 1)$.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ નો ગુણક હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય છે.
$2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ એ કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકારને ભાગી શકે છે.
તેથી,$n^3 - n$ હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણી પાસે ગુણધર્મ છે કે $2b = a + c$.
હવે,આપેલ પદાવલિ $(a + 2b - c)(2b + c - a)(c + a - b)$ માં $2b = a + c$ મૂકતા:
$1$. પ્રથમ પદ: $(a + 2b - c) = (a + (a + c) - c) = 2a$.
$2$. બીજું પદ: $(2b + c - a) = ((a + c) + c - a) = 2c$.
$3$. ત્રીજું પદ: $(c + a - b) = (2b - b) = b$ (કારણ કે $a + c = 2b$).
આ પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$(2a) \times (2c) \times (b) = 4abc$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર સંખ્યાઓ $A_1, A_2, A_3, A_4$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 + A_4 = 8$ $(i)$ અને $A_2 \times A_3 = 15$ $(ii)$.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆતથી અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે પ્રથમ અને અંતિમ પદના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$A_2 + A_3 = A_1 + A_4 = 8$ $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,આપણને $A_2 + \frac{15}{A_2} = 8$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $A_2^2 - 8A_2 + 15 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(A_2 - 3)(A_2 - 5) = 0$ મળે છે,તેથી $A_2 = 3$ અથવા $A_2 = 5$.
જો $A_2 = 3$ હોય,તો $A_3 = 5$. જો $A_2 = 5$ હોય,તો $A_3 = 3$.
$A_2 = \frac{A_1 + A_3}{2}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણને $A_1 = 2A_2 - A_3$ મળે છે.
$A_2 = 3$ અને $A_3 = 5$ માટે,$A_1 = 2(3) - 5 = 1$. ત્યારબાદ $A_4 = 8 - 1 = 7$.
શ્રેણી $1, 3, 5, 7$ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1$ છે.