Progression and Sequence Questions in Gujarati

(D) ધારો કે અનુરૂપ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$H.P.$ નું $n$ મું પદ એ $A.P.$ ના $n$ માં પદનો વ્યસ્ત હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$A.P.$ નું $7$ મું પદ $= a + 6d = 10$
$A.P.$ નું $12$ મું પદ $= a + 11d = 25$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(a + 11d) - (a + 6d) = 25 - 10$
$5d = 15 \Rightarrow d = 3$
$d = 3$ ને $a + 6d = 10$ માં મૂકતા:
$a + 6(3) = 10 \Rightarrow a + 18 = 10 \Rightarrow a = -8$
$A.P.$ નું $20$ મું પદ $T_{20} = a + 19d = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $20$ મું પદ $49$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $\frac{1}{49}$ થશે.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$H.P.$ નું $n$ મું પદ એ $A.P.$ ના $n$ મા પદનો વ્યસ્ત હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$H.P.$ નું $T_6 = \frac{1}{61} \implies A.P.$ નું $T_6 = a + 5d = 61$ $(i)$
$H.P.$ નું $T_{10} = \frac{1}{105} \implies A.P.$ નું $T_{10} = a + 9d = 105$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 105 - 61$
$4d = 44 \implies d = 11$
$d = 11$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 5(11) = 61$
$a + 55 = 61 \implies a = 6$
આમ,$H.P.$ નું પ્રથમ પદ $\frac{1}{a} = \frac{1}{6}$ થાય.

(B) ધારો કે અનુરૂપ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $p$-મું પદ $T_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q} \dots (i)$
$A.P.$ નું $q$-મું પદ $T_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p} \dots (ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(p - q)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
$\Rightarrow d = \frac{1}{pq}$
$d$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a + \frac{1}{q} - \frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a = \frac{1}{pq}$
$A.P.$ નું $pq$-મું પદ $T_{pq} = a + (pq - 1)d = \frac{1}{pq} + (pq - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1 + pq - 1}{pq} = 1$.
આમ,$A.P.$ નું $pq$-મું પદ $1$ હોવાથી,$H.P.$ નું $pq$-મું પદ $1$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $1$ થશે.

(B) જો કોઈ શ્રેણી $H.P.$ માં હોય,તો તેનો વ્યસ્ત $A.P.$ માં હોય છે.
ધારો કે $A.P.$ ના પદો $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
$H.P.$ નું $4^{th}$ પદ $\frac{3}{5}$ છે,તેથી $A.P.$ નું $4^{th}$ પદ $\frac{5}{3}$ થાય. આમ,$a + 3d = \frac{5}{3}$.
$H.P.$ નું $8^{th}$ પદ $\frac{1}{3}$ છે,તેથી $A.P.$ નું $8^{th}$ પદ $3$ થાય. આમ,$a + 7d = 3$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(a + 7d) - (a + 3d) = 3 - \frac{5}{3} \implies 4d = \frac{4}{3} \implies d = \frac{1}{3}$.
$d$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $a + 3(\frac{1}{3}) = \frac{5}{3} \implies a + 1 = \frac{5}{3} \implies a = \frac{2}{3}$.
$A.P.$ નું $6^{th}$ પદ $a + 5d = \frac{2}{3} + 5(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $6^{th}$ પદ $\frac{7}{3}$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $\frac{3}{7}$ થાય.

(A) બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ વચ્ચેનો હાર્મોનિક મધ્યક $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{2pq}{p + q}$
આપણે $\frac{H}{p} + \frac{H}{q}$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
$H$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{H}{p} + \frac{H}{q} = \frac{1}{p} \left( \frac{2pq}{p + q} \right) + \frac{1}{q} \left( \frac{2pq}{p + q} \right)$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{2q}{p + q} + \frac{2p}{p + q}$
છેદ સમાન હોવાથી અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા:
$= \frac{2q + 2p}{p + q}$
$= \frac{2(p + q)}{p + q}$
સમાન પદ $(p + q)$ ને ઉડાડતા:
$= 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $H$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક છે,તેથી $H = \frac{2ab}{a + b}$.
આપણે $\frac{1}{H - a} + \frac{1}{H - b}$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
$H$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - b} = \frac{1}{\frac{2ab - a(a + b)}{a + b}} + \frac{1}{\frac{2ab - b(a + b)}{a + b}}$
$= \frac{a + b}{2ab - a^2 - ab} + \frac{a + b}{2ab - ab - b^2} = \frac{a + b}{ab - a^2} + \frac{a + b}{ab - b^2}$
$= \frac{a + b}{-a(a - b)} + \frac{a + b}{b(a - b)} = \frac{a + b}{a - b} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right)$
$= \frac{a + b}{a - b} \left( \frac{a - b}{ab} \right) = \frac{a + b}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.
આમ,કિંમત $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ મળે છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 10x + 11 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-10)/1 = 10$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 11/1 = 11$ થાય.
બે સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ નો હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ શોધવાનું સૂત્ર $H.M. = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $H.M. = \frac{2 \times 11}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$ મળે છે.

(C) બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ નો હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ શોધવાનું સૂત્ર $H.M. = \frac{2xy}{x + y}$ છે.
અહીં,$x = \frac{a}{1 - ab}$ અને $y = \frac{a}{1 + ab}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $xy = \left(\frac{a}{1 - ab}\right) \left(\frac{a}{1 + ab}\right) = \frac{a^2}{1 - a^2b^2}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સરવાળો $x + y = \frac{a}{1 - ab} + \frac{a}{1 + ab} = \frac{a(1 + ab) + a(1 - ab)}{(1 - ab)(1 + ab)} = \frac{a + a^2b + a - a^2b}{1 - a^2b^2} = \frac{2a}{1 - a^2b^2}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને $H.M.$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$H.M. = \frac{2 \left(\frac{a^2}{1 - a^2b^2}\right)}{\frac{2a}{1 - a^2b^2}} = \frac{2a^2}{1 - a^2b^2} \times \frac{1 - a^2b^2}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$.

(A) બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ માં હાર્મોનિક મધ્યક $(H.M.)$ નું સૂત્ર $H_n = \frac{(n+1)ab}{na+b}$ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = \frac{6}{13}$,અને $n = 6$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$H_6 = \frac{(6+1) \times 3 \times \frac{6}{13}}{6 \times 3 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{7 \times 3 \times \frac{6}{13}}{18 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{\frac{126}{13}}{\frac{234+6}{13}}$
$H_6 = \frac{126}{240}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$H_6 = \frac{63}{120}$.

(B) અને $b$ બે સંખ્યાઓનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $\frac{2ab}{a + b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = \frac{2ab}{a + b}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે $(a^{n + 1} + b^{n + 1})(a + b) = 2ab(a^n + b^n)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $a^{n + 2} + a^{n + 1}b + ab^{n + 1} + b^{n + 2} = 2a^{n + 1}b + 2ab^{n + 1}$.
પદોને ગોઠવતા: $a^{n + 2} + b^{n + 2} = a^{n + 1}b + ab^{n + 1}$.
$a^{n + 1}(a - b) - b^{n + 1}(a - b) = 0$.
$(a^{n + 1} - b^{n + 1})(a - b) = 0$.
કારણ કે $a \neq b$,તેથી $a^{n + 1} = b^{n + 1}$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(\frac{a}{b})^{n + 1} = 1 = (\frac{a}{b})^0$.
તેથી,$n + 1 = 0$,જે આપે છે $n = -1$.

(B) અને $b$ વચ્ચેનો હાર્મોનિક મધ્યક $H$ એ $H = \frac{2ab}{a + b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે પદાવલિ $\frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b} = \frac{(H + a)(H - b) + (H + b)(H - a)}{(H - a)(H - b)}$
$= \frac{(H^2 - Hb + aH - ab) + (H^2 - Ha + bH - ab)}{H^2 - Hb - aH + ab}$
$= \frac{2H^2 - 2ab}{H^2 - H(a + b) + ab}$.
કારણ કે $H = \frac{2ab}{a + b}$,તેથી $H(a + b) = 2ab$ થાય.
છેદમાં આ કિંમત મૂકતા:
છેદ $= H^2 - 2ab + ab = H^2 - ab$.
આમ,પદાવલિ $\frac{2(H^2 - ab)}{H^2 - ab} = 2$ બને છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$b = \frac{2ac}{a+c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $c$ માટે,સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ એ હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ કરતા મોટો હોય છે.
$A.M. = \frac{a+c}{2}$ અને $H.M. = b$.
તેથી,$\frac{a+c}{2} > b$.
પાવર મીન અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$n=2$ માટે,વર્ગ મધ્યક એ હરાત્મક મધ્યક કરતા મોટો હોય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પદ $a^2 + c^2 - 2b^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
$b = \frac{2ac}{a+c}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $a^2 + c^2 - 2(\frac{2ac}{a+c})^2 = a^2 + c^2 - \frac{8a^2c^2}{(a+c)^2}$.
$= \frac{(a^2+c^2)(a+c)^2 - 8a^2c^2}{(a+c)^2} = \frac{(a^2+c^2)(a^2+c^2+2ac) - 8a^2c^2}{(a+c)^2}$.
$= \frac{(a^2+c^2)^2 + 2ac(a^2+c^2) - 8a^2c^2}{(a+c)^2} = \frac{(a^2-c^2)^2 + 2ac(a-c)^2}{(a+c)^2}$.
આ પદ $a \neq c$ માટે હંમેશા ધન હોવાથી,$a^2 + c^2 > 2b^2$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં છે.
કારણ કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $b$ એ $a$ અને $c$ વચ્ચેનો $H.M.$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ માટે,$A.M. > G.M. > H.M.$
$a$ અને $c$ માટે,$A.M. = \frac{a+c}{2}$,$G.M. = \sqrt{ac}$,અને $H.M. = b$.
કારણ કે $A.M. > H.M.$,તેથી $\frac{a+c}{2} > b \Rightarrow a + c > 2b$ .... $(i)$
કારણ કે $G.M. > H.M.$,તેથી $\sqrt{ac} > b \Rightarrow ac > b^2$ .... $(ii)$
તે જ રીતે,$b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$c$ એ $b$ અને $d$ વચ્ચેનો $H.M.$ છે.
તેથી,$A.M. > H.M. \Rightarrow \frac{b+d}{2} > c \Rightarrow b + d > 2c$ .... $(iii)$
અને $G.M. > H.M. \Rightarrow \sqrt{bd} > c \Rightarrow bd > c^2$ .... $(iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે $(a + c) + (b + d) > 2b + 2c \Rightarrow a + d > b + c$.
$(ii)$ અને $(iv)$ નો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $(ac)(bd) > (b^2)(c^2) \Rightarrow abcd > b^2c^2 \Rightarrow ad > bc$.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + k} = \frac{1}{\frac{k(k + 1)}{2}} = \frac{2}{k(k + 1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $T_k = 2 \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right]$.
$(n + 1)$ પદોનો સરવાળો $S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} T_k = \sum_{k = 1}^{n + 1} 2 \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right]$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S_{n + 1} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,જેથી $S_{n + 1} = 2 \left[ 1 - \frac{1}{n + 2} \right]$ વધે છે.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા: $S_{n + 1} = 2 \left[ \frac{n + 2 - 1}{n + 2} \right] = \frac{2(n + 1)}{n + 2}$.

(C) ધારો કે $T_k$ એ શ્રેણીનું $k$-મું પદ છે.
$k$-મું પદ એ પ્રથમ $k$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $T_k = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$.
આપણે $(n - 1)$ પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} T_k = \sum_{k=1}^{n-1} k^2$ છે.
પ્રથમ $m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m + 1)(2m + 1)}{6}$.
$m = n - 1$ મૂકતા:
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)((n - 1) + 1)(2(n - 1) + 1)}{6} = \frac{(n - 1)(n)(2n - 2 + 1)}{6} = \frac{n(n - 1)(2n - 1)}{6}$.

(B) શ્રેણી $1^2, 2.2^2, 3^2, 2.4^2, 5^2, 2.6^2, \dots$ છે.
જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $n$-મું પદ $n^2$ છે.
કારણ કે $n$ એકી છે,તેથી $n-1$ બેકી સંખ્યા છે.
પ્રથમ $n-1$ પદોનો સરવાળો બેકી પદો માટે આપેલ સૂત્રમાં $n$ ની જગ્યાએ $n-1$ મૂકીને મેળવી શકાય છે:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = S_{n-1} + T_n$ છે.
$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.
ચકાસણી: $n=1$ માટે,$S_1 = 1^2 = 1$. વિકલ્પ $(b)$ માં કિંમત મૂકતા $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$ મળે છે. $n=3$ માટે,$S_3 = 1^2 + 2.2^2 + 3^2 = 1 + 8 + 9 = 18$. વિકલ્પ $(b)$ માં કિંમત મૂકતા $\frac{3^2(3+1)}{2} = \frac{9 \times 4}{2} = 18$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ છે.
આને $2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ થાય છે.
તેથી,શ્રેણીનો સરવાળો $4 \times \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ મળે છે.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ એ $k=1$ થી $n$ સુધીના $T_k$ નો સરવાળો છે:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right]$
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1+3}{3} \right]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{4} \cdot \frac{2n+4}{3} = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $n$-મું પદ $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$.
$\frac{n(n + 1)}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$.
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1 + 3}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

(C) ધારો કે સરવાળો $S_n = 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + \dots + n(n!)$ છે.
આપણે $k$-મું પદ $k(k!) = ((k + 1) - 1)k! = (k + 1)! - k!$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,આપણે આ પદોનો $k = 1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરીએ:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} ((k + 1)! - k!)$
$S_n = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n + 1)! - n!)$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે.
$S_n = (n + 1)! - 1!$
$S_n = (n + 1)! - 1$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં તમામ વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $S_n = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$ મળે છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + \dots$ છે જે $(n - 2)$ પદો સુધી છે.
ધારો કે શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = (k + 2)(k + 5) = k^2 + 7k + 10$ છે.
$m$ પદોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{m} (k^2 + 7k + 10)$ થાય,જ્યાં $m = n - 2$ છે.
સરવાળો $= \sum_{k=1}^{m} k^2 + 7 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 10 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + \frac{7m(m+1)}{2} + 10m$.
$m = n - 2$ મૂકતા:
સરવાળો $= \frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6} + \frac{7(n-2)(n-1)}{2} + 10(n-2)$.
$= \frac{(n-2)}{6} [(n-1)(2n-3) + 21(n-1) + 60] = \frac{(n-2)}{6} [2n^2 - 5n + 3 + 21n - 21 + 60] = \frac{(n-2)(2n^2 + 16n + 42)}{6} = \frac{2n^3 + 12n^2 + 10n - 84}{6}$.

(A) આપેલ સરવાળો $\sum_{i = 1}^n (3i - 2)$ છે.
સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\sum_{i = 1}^n (3i - 2) = 3 \sum_{i = 1}^n i - \sum_{i = 1}^n 2$.
કારણ કે $\sum_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ અને $\sum_{i = 1}^n 2 = 2n$,આ કિંમતો મૂકતા:
$= 3 \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right] - 2n$.
$= \frac{3n^2 + 3n}{2} - 2n$.
$= \frac{3n^2 + 3n - 4n}{2}$.
$= \frac{3n^2 - n}{2} = \frac{n(3n - 1)}{2}$.

(B) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n^2(n + 1) = n^3 + n^2$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$ થાય.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ અને $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{n(n+1)}{2} + \frac{2n+1}{3}]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{3n^2 + 3n + 4n + 2}{6}]$
$S_n = \frac{n(n+1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$.

(C) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(n + 1)(n + 2)$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ મળે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{4}$ સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2(2n+1) + 4]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 4n + 2 + 4] = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 5n + 6]$.
અહીં $n^2 + 5n + 6 = (n+2)(n+3)$ હોવાથી,$S_n = \frac{1}{4}n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ મળે.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$
અહીં,$n = 15$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{15} = \left[ \frac{15(15+1)}{2} \right]^2$
$S_{15} = \left[ \frac{15 \times 16}{2} \right]^2$
$S_{15} = (15 \times 8)^2$
$S_{15} = (120)^2$
$S_{15} = 14400$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\sum n^2 = \sum n + 330$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{2} + 330$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = 330$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] = 330$.
કૌંસની અંદરનું પદ સાદું રૂપ આપતા: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1-3}{3} \right] = 330$.
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2(n-1)}{3} = 330$.
$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} = 330$.
$n(n^2-1) = 990$.
$n^3 - n - 990 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $n=10$ હોય,તો $10^3 - 10 = 1000 - 10 = 990$. તેથી,$n = 10$.

(D) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \cot^{-1}(r^2 + r + 1)$ છે.
નિત્યસમ $\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{1}{x} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{1}{r^2 + r + 1} \right)$ મળે.
છેદને $1 + r(r+1)$ તરીકે લખતા,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{(r+1) - r}{1 + r(r+1)} \right)$ થાય.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_r = \tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1} r$ મળે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^{n} (\tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1} r)$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$.
તેથી,$S_n = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} 1$.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ સૂત્ર મુજબ,$S_n = \tan^{-1} \left( \frac{n+1-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$.
વળી,$\tan^{-1} x = \cot^{-1} (1/x)$ હોવાથી,$S_n = \cot^{-1} \left( \frac{n+2}{n} \right)$.
આમ,તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(B) $n^{th}$ હારમાં $n$ પદો છે. $(n-1)^{th}$ હારનું છેલ્લું પદ એ પ્રથમ $(n-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $\frac{(n-1)n}{2}$ છે.
તેથી,$n^{th}$ હારનું પ્રથમ પદ $\frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ છે.
$n^{th}$ હાર એ $n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2}[2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$.
$S_n = \frac{n}{2}[n^2 - n + 2 + n - 1] = \frac{n}{2}(n^2 + 1)$.

(A) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{1} + \frac{1 + 2}{2} + \frac{1 + 2 + 3}{3} + \dots$ છે.
શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાને $n$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n}$
$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n}$
$T_n = \frac{n + 1}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો વર્ગ આ મુજબ છે:
${\left( \sum_{r=1}^{n} r \right)}^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \sum_{r=1}^{n} r^2 + 2 \sum_{1 \le s < t \le n} st$
એકસાથે બે સંખ્યાઓ લઈને તેમના ગુણાકારોનો સરવાળો શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2 \sum_{s < t} st = {\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)}^2 - \sum_{r=1}^{n} r^2$
વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ મૂકતા:
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\frac{n(n+1)}{12}$ ને સામાન્ય લેતા:
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) - 2(2n+1)]$
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 3n - 4n - 2] = \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{12}$
દ્વિઘાત પદાવલિ $(3n^2 - n - 2) = (n-1)(3n+2)$ ના અવયવ પાડતા:
$2 \sum_{s < t} st = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$
$2$ વડે ભાગતા:
$\sum_{s < t} st = \frac{1}{24}n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n + 1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા, $T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે છે.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4 \sum_{n=1}^{20} n^3 + 4 \sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = \left[ \frac{N(N+1)}{2} \right]^2$, $\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$, અને $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$.
$N = 20$ માટે:
$4 \sum_{n=1}^{20} n^3 = 4 \left[ \frac{20 \cdot 21}{2} \right]^2 = 4 \cdot (210)^2 = 4 \cdot 44100 = 176400$.
$4 \sum_{n=1}^{20} n^2 = 4 \cdot \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 4 \cdot 2870 = 11480$.
$\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $S_{20} = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

(A) પ્રથમ $n$ ઘનનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \times \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$ છે.
$n = 12$ મૂકતા:
ગુણોત્તર $= \frac{3 \times 12 \times (12+1)}{2 \times (2 \times 12 + 1)} = \frac{3 \times 12 \times 13}{2 \times 25} = \frac{3 \times 6 \times 13}{25} = \frac{234}{25}$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
આ કિંમત $T_n$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ લખી શકાય.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \right]$.
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) = 6 \left( \frac{n + 1 - 1}{n + 1} \right) = \frac{6n}{n + 1}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 \cdot 11 + \dots + n$ પદો છે.
$r$-મું પદ $T_r$ એ ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓના $r$-મા પદોનો ગુણાકાર છે: $(1, 2, 3, \dots)$,$(3, 5, 7, \dots)$,અને $(5, 8, 11, \dots)$.
$T_r = r \cdot (2r + 1) \cdot (3r + 2) = r(6r^2 + 4r + 3r + 2) = 6r^3 + 7r^2 + 2r$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r = 6 \sum r^3 + 7 \sum r^2 + 2 \sum r$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$S_n = \frac{6n^2(n+1)^2}{4} + \frac{7n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n(n+1) + 7(2n+1) + 6]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n^2 + 9n + 14n + 7 + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{3^n - 1}{3^n} = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^k\right)$ છે.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k$.
$S_n = n - \left[ \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} \right]$.
$S_n = n - \left[ \frac{\frac{1}{3}(1 - 3^{-n})}{\frac{2}{3}} \right]$.
$S_n = n - \frac{1}{2}(1 - 3^{-n}) = n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 3^{-n} = n + \frac{1}{2}(3^{-n} - 1)$.

(C) પદાવલિ $\sum\limits_{m = 1}^n {{m^2}}$ એ પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા માટેના પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ:
$\sum\limits_{m = 1}^n {{m^2}} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$.

(B) આપેલ શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$.
$\frac{n(n + 1)}{6}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{6} [(2n + 1) + 3] = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$.

(B) સરવાળો $\sum_{n=11}^{20} n^3 = \sum_{n=1}^{20} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\sum_{n=1}^{k} n^3 = [\frac{k(k+1)}{2}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k=20$ માટે,$\sum_{n=1}^{20} n^3 = [\frac{20(21)}{2}]^2 = (210)^2 = 44100$.
$k=10$ માટે,$\sum_{n=1}^{10} n^3 = [\frac{10(11)}{2}]^2 = (55)^2 = 3025$.
તેથી,સરવાળો $44100 - 3025 = 41075$ છે.
આમ,$41075$ એ એકી પૂર્ણાંક છે અને તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આ શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(2n + 1)^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ મળે છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^3 + 4k^2 + k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 4 \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] + 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + \frac{n(n+1)}{2}$.
$S_n = n^2(n+1)^2 + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ ને સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [6n(n+1) + 4(2n+1) + 3]$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [6n^2 + 6n + 8n + 4 + 3] = \frac{n(n+1)}{6} (6n^2 + 14n + 7)$.

(B) આપેલ $n$ મું પદ $T_n = 3 + n(n - 1) = n^2 - n + 3$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k + 3)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$,અને $\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$.
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 3n$.
$\frac{n}{6}$ ને સામાન્ય લેતા:
$S_n = \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 18]$.
$S_n = \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 18] = \frac{n}{6} [2n^2 + 16]$.
$S_n = \frac{2n(n^2 + 8)}{6} = \frac{n(n^2 + 8)}{3} = \frac{n^3 + 8n}{3}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{k=1}^{n} k(2n - (2k - 1))$ છે.
સામાન્ય પદ $T_k = k(2n - 2k + 1) = 2nk - 2k^2 + k$ ને વિસ્તૃત કરતા.
$k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો લેતા:
$S = \sum_{k=1}^{n} (2nk - 2k^2 + k) = 2n \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2n \cdot \frac{n(n + 1)}{2} - 2 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$.
$S = n^2(n + 1) - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} + \frac{n(n + 1)}{2}$.
$\frac{n(n + 1)}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$S = \frac{n(n + 1)}{6} [6n - 2(2n + 1) + 3]$.
$S = \frac{n(n + 1)}{6} [6n - 4n - 2 + 3] = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.

(C) દરેક સમૂહના પ્રથમ પદનું અવલોકન કરો:
સમૂહ $1$: $1$
સમૂહ $2$: $2$
સમૂહ $3$: $5$
સમૂહ $4$: $10$
સમૂહ $5$: $17$
ધારો કે $a_n$ એ $n^{th}$ સમૂહનું પ્રથમ પદ છે.
પ્રથમ પદોની શ્રેણી $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$2 - 1 = 1$
$5 - 2 = 3$
$10 - 5 = 5$
$17 - 10 = 7$
તફાવતો $1, 3, 5, 7, \dots$ છે, જે $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી છે.
આ શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $a_n = 1 + (n-1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$11^{th}$ સમૂહ માટે, $n = 11$ લેતા:
$a_{11} = (11 - 1)^2 + 1 = 10^2 + 1 = 100 + 1 = 101$.

(C) પ્રથમ $n$ $\text{પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો}$ શોધવાનું સૂત્ર: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
$11^2 + 12^2 + \dots + 20^2$ નો સરવાળો શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ $20$ $\text{સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળામાંથી}$ પ્રથમ $10$ $\text{સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો}$ બાદ કરીશું.
પ્રથમ $20$ $\text{સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો}$: $\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
પ્રથમ $10$ $\text{સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો}$: $\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385$.
આમ, $\text{જરૂરી સરવાળો} = 2870 - 385 = 2485$ થાય.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સામાન્ય પદને $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,પ્રથમ $N$ પદોનો સરવાળો $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ થાય.
આને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $S_N = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})$ મળે છે.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,જેથી $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$ વધે છે.
જ્યારે $N \to \infty$ લેતા,આપણને $S = \lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = 1 - 0 = 1$ મળે છે.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{2 \cdot 2}}}{{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનનો સરવાળો કરવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$,આપણને મળે છે:
$T_n = \frac{{\frac{n(n + 1)}{4}}}{{\left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2}} = \frac{{\frac{n(n + 1)}{4}}}{{\frac{n^2(n + 1)^2}{4}}} = \frac{1}{n(n + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $S_n = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum n = \frac{n(n + 1)}{2}$,આપણને મળે છે:
$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k + 1}{2}$ છે.
$S = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)}{2} + n \right)$.
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2 + n + 2n}{2} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4} = \frac{n(n + 3)}{4}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ છે.
અંશનું અવલોકન કરો: $2, 7, 15, 26, \dots$
ધારો કે $a_n$ એ $n$ માં પદનો અંશ છે. ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $5, 8, 11, \dots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
અંશના શ્રેણીનું $n$ મું પદ આ $AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$a_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-1} (5 + 3k) = 2 + \frac{n}{2} [2(5) + (n-1)3] = 2 + \frac{n}{2} [10 + 3n - 3] = 2 + \frac{n(3n + 7)}{2} = \frac{4 + 3n^2 + 7n}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલ્પોમાં આપેલ પેટર્ન જોતા:
$T_n = \frac{2 + 5 + 8 + \dots + (3n - 1)}{n!} = \frac{\frac{n}{2}[2(2) + (n-1)3]}{n!} = \frac{\frac{n}{2}[4 + 3n - 3]}{n!} = \frac{n(3n + 1)}{2(n!)}$.

(D) આપેલ છે કે $t_n = \frac{1}{4}(n + 2)(n + 3)$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n}$ શોધવાનો છે.
$t_n$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$ મળે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}$.
તેથી,$S = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S = 4 \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2005} - \frac{1}{2006}) \right]$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,તેથી $S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$ બાકી રહેશે.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \times \frac{2003}{6018} = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(A) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$.
આપણે સરવાળાને એકી અને બેકી પદોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $S = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4} + \sum_{n=2,4,6,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.
ધારો કે $S_{odd} = \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.
બેકી પદોને $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^4} = \frac{1}{2^4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \frac{1}{16} S$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,$S = S_{odd} + \frac{1}{16} S$.
$S_{odd} = S - \frac{1}{16} S = \frac{15}{16} S$.
$S = \frac{\pi^4}{90}$ મૂકતા,આપણને મળે $S_{odd} = \frac{15}{16} \times \frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{16 \times 6} = \frac{\pi^4}{96}$.