Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = 10 \; eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 1.6 \times 10^{-18} \; J$ છે.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-18}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 1.876 \times 10^6 \; m/s$ મેળવીએ છીએ.
ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
તેથી, ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{(9.1 \times 10^{-31} \; kg) \times (1.876 \times 10^6 \; m/s)}{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (10^{-4} \; T)}$.
$r \approx 0.1067 \; m \approx 10.67 \; cm \approx 11 \; cm$.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ રૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે સમાન વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આના પરથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક સંપૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે: $T = \frac{2\pi r}{v}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$.
આમ,આવર્તકાળ $T$ એ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે,અને તે માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને કણના $(q/m)$ ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે.

(D) હેલિકલ પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ અને પિચ $p = \frac{2\pi m v_{\parallel}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હેલિકલ પથ સમાન હોવાથી,બંને કણો માટે ત્રિજ્યા $R$ અને પિચ $p$ સમાન હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બંને કણો માટે $|\frac{q}{m}|$ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
કણો સંપૂર્ણપણે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,એક કણ ધન વિદ્યુતભારીત અને બીજો ઋણ વિદ્યુતભારીત હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{q_1}{m_1} = -\frac{q_2}{m_2}$,જે $(\frac{q}{m})_1 + (\frac{q}{m})_2 = 0$ તરફ દોરી જાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = 1.65 \times 10^{-27}\, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,અને $B = 100\, mT = 0.1\, T$ છે.
$90^o$ નો ચાપ કાપવા માટે લાગતો સમય કુલ આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ છે,એટલે કે $t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi m}{4qB} = \frac{\pi m}{2qB}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{3.14 \times 1.65 \times 10^{-27}}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$.
$t = \frac{5.181 \times 10^{-27}}{0.32 \times 10^{-19}} = 16.19 \times 10^{-8} = 1.619 \times 10^{-7}\, s$.
આમ,$t \approx 1.62 \times 10^{-7}\, s$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m$,$v$,અને $B$ બંને આયનો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \frac{1}{q}$ થાય.
ધારો કે $q_1 = e$ (એક-આયનીકૃત) અને $q_2 = 2e$ (દ્વિ-આયનીકૃત).
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{q_2}{q_1} = \frac{2e}{e} = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $r_1 = 2r_2$. આમ,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
બંને આયનોને સમાન બિંદુએથી સમાન વેગ સાથે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવતા હોવાથી,તેમના પથ એવા વર્તુળો હશે જે પ્રક્ષેપણ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તે બિંદુએ વેગ સદિશને સ્પર્શક હોય છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બંને વર્તુળો પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર એકબીજાને સ્પર્શશે. આમ,વિધાન $(d)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 10\,\mu C = 10 \times 10^{-6}\, C$
દળ $m = 1\,\mu g = 1 \times 10^{-9}\, kg$
ત્રિજ્યા $r = 10\, cm = 0.1\, m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1\, T$
કણ અચળ ઝડપે સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત બળ એ ચુંબકીય બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$|\overrightarrow{F}_{m}| = |\overrightarrow{F}_{e}|$
$qvB = qE \Rightarrow E = vB$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાના સૂત્ર પરથી:
$r = \frac{mv}{qB} \Rightarrow v = \frac{qBr}{m}$
$E$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left(\frac{qBr}{m}\right) B = \frac{qB^{2}r}{m}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(10 \times 10^{-6}) \times (0.1)^2 \times 0.1}{1 \times 10^{-9}}$
$E = \frac{10^{-5} \times 0.01 \times 0.1}{10^{-9}} = \frac{10^{-8}}{10^{-9}} = 10\, V/m$

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mE_K}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E_K$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$E_K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,$E_K \propto \frac{q^2 r^2}{m}$.
$\alpha$-કણ માટે: $q_{\alpha} = 2e$,$m_{\alpha} = 4m_p$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
પ્રોટોન માટે: $q_p = e$,$m_p = m_p$ અને ત્રિજ્યા $2r$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{(E_K)_p}{(E_K)_{\alpha}} = \frac{q_p^2 r_p^2}{m_p} \times \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}^2 r_{\alpha}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(E_K)_p}{1 \, MeV} = \frac{e^2 (2r)^2}{m_p} \times \frac{4m_p}{(2e)^2 r^2}$.
$\frac{(E_K)_p}{1 \, MeV} = \frac{4e^2 r^2}{m_p} \times \frac{4m_p}{4e^2 r^2} = 4$.
તેથી,$(E_K)_p = 4 \, MeV$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = E\hat i$ કણ પર $\vec F_e = qE\hat i$ બળ લગાડે છે,જેના કારણે $x$-અક્ષ પર પ્રવેગ $a_x = \frac{qE}{m}$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B\hat i$ એ પ્રારંભિક વેગ $\vec v = v_0\hat j$ ને સમાંતર છે. જ્યારે વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય ત્યારે ચુંબકીય બળ $\vec F_m = q(\vec v \times \vec B) = 0$ થાય છે,તેથી $y$-અક્ષ પર વેગનો ઘટક $v_y = v_0$ અચળ રહે છે.
$t$ સમયે,વેગના ઘટકો $v_x = a_x t = \frac{qE}{m}t$ અને $v_y = v_0$ છે.
$t$ સમયે ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે ઝડપ $2v_0$ થાય છે,તેથી:
$2v_0 = \sqrt{(\frac{qE}{m}t)^2 + v_0^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4v_0^2 = (\frac{qE}{m}t)^2 + v_0^2$
$3v_0^2 = (\frac{qE}{m}t)^2$
વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{3}v_0 = \frac{qE}{m}t$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{\sqrt{3}mv_0}{qE}$

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$.
$1.$ $\vec{v} = -v\hat{i}$,$\vec{B} = -B\hat{j}$.
$\vec{F}_m = -e((-v\hat{i}) \times (-B\hat{j})) = -e(vB\hat{k}) = -evB\hat{k}$. આ $-ve\, z$-અક્ષની દિશામાં છે.
$2.$ $\vec{v} = -v\hat{j}$,$\vec{B} = B\hat{i}$.
$\vec{F}_m = -e((-v\hat{j}) \times (B\hat{i})) = -e(-vB(-\hat{k})) = -evB\hat{k}$.
$3.$ અહીં $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંને એક જ દિશામાં ($-y$ અક્ષ) છે,તેથી $\vec{v} \times \vec{B} = 0$,પરિણામે ચુંબકીય બળ શૂન્ય થાય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mE_k}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$ મળે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $q$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ગતિઊર્જા $E_k$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \sqrt{m}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r^2 \propto m$ મળે છે.
તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_x}{m_y} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ થશે.

(B) આપેલ છે:
ઝડપ $v = 3 \times 10^6 \, m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \times 10^{-4} \, T$
ત્રિજ્યા $R = 6 \, cm = 6 \times 10^{-2} \, m$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$Bqv = \frac{mv^2}{R}$
વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તર $(q/m)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$\frac{q}{m} = \frac{v}{BR}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{q}{m} = \frac{3 \times 10^6}{(2 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{-2})}$
$\frac{q}{m} = \frac{3 \times 10^6}{12 \times 10^{-6}}$
$\frac{q}{m} = 0.25 \times 10^{12} \, C/kg = 2.5 \times 10^{11} \, C/kg$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) જ્યારે કણ પરસ્પર લંબ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સંતુલિત હોય છે:
$qE = qVB$
આના પરથી,કણનો વેગ $V = E / B$ મળે છે.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેથી કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{1}{q/m} \cdot \frac{V}{B}$
વિશિષ્ટ વીજભાર $S = q/m$ આપેલ હોવાથી,$S$ અને $V$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \frac{1}{S} \cdot \frac{(E/B)}{B} = \frac{E}{B^2 S}$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $R = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x = a$ અને $x = b$ ની વચ્ચેના વિસ્તારમાં છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $d = b - a$ છે.
કણ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારને ઓળંગીને $x > b$ વાળા વિસ્તારમાં પ્રવેશવા માટે,તેના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
તેથી,$R > (b - a)$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB} > (b - a)$ મળે છે.
$v$ ને કર્તા બનાવતા,$v > \frac{qB(b - a)}{m}$ મળે છે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{F} = m\vec{a}$ હોવાથી,પ્રવેગ $\vec{a}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{a} = x\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
ડોટ ગુણાકાર લેતા: $(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (x\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$2(x) + 3(-2) + 4(1) = 0$.
$2x - 6 + 4 = 0$.
$2x - 2 = 0$.
$2x = 2$.
$x = 1$.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં સીમાના લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે પ્રવેશે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળને કારણે,કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે.
સમાનતાને કારણે,કણ બીજી બાજુએ સીમાના લંબ સાથે સમાન ખૂણે $\theta$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે.
વિચલન કોણ $\delta$ એ આપાત વેગ સદિશની દિશા અને બહાર નીકળતા વેગ સદિશની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પથની ભૂમિતિ પરથી,પ્રવેશ બિંદુએ લંબ અને વેગ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. બહાર નીકળવાના બિંદુએ પણ લંબ અને વેગ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
કુલ વિચલન $\delta$ એ $\delta = 180^\circ - (90^\circ - \theta) - (90^\circ - \theta) = 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિચલન કોણ $\delta$ એ $2\theta$ છે.

(B) સ્થિતિમાન $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $KE = qV$ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2KE}{m}} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
અહીં $B$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$r \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} = 4m_p, q_{\alpha} = 2e$. તેથી,$r_{\alpha} \propto \sqrt{\frac{4m_p}{2e}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{m_p}{e}}$.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m_p, q_p = e$. તેથી,$r_p \propto \sqrt{\frac{m_p}{e}}$.
ડ્યુટેરોન માટે: $m_d = 2m_p, q_d = e$. તેથી,$r_d \propto \sqrt{\frac{2m_p}{e}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{m_p}{e}}$.
તેથી ગુણોત્તર $r_{\alpha} : r_p : r_d = \sqrt{2} : 1 : \sqrt{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે:
વેગ $\vec{v} = (2 \times 10^5 \hat{i})\,m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k})\,T$
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $q = -e = -1.6 \times 10^{-19}\,C$
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v} \times \vec{B} = (2 \times 10^5 \hat{i}) \times (\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) = 2 \times 10^5 (\hat{i} \times \hat{i} - 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{i} \times \hat{k}))$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,તેથી:
$\vec{v} \times \vec{B} = 2 \times 10^5 (0 - 4\hat{k} + 3\hat{j}) = 2 \times 10^5 (3\hat{j} - 4\hat{k})$.
બળ $\vec{F} = -1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^5 (3\hat{j} - 4\hat{k}) = -3.2 \times 10^{-14} (3\hat{j} - 4\hat{k})$.
બળનું મૂલ્ય $F = |q| |\vec{v} \times \vec{B}| = 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^5 \times \sqrt{3^2 + (-4)^2}$.
$F = 3.2 \times 10^{-14} \times \sqrt{9 + 16} = 3.2 \times 10^{-14} \times 5 = 16 \times 10^{-14} = 1.6 \times 10^{-13}\,N$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m$ અને વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
તેથી,ચલ વચ્ચેનો સંબંધ $r \propto \frac{v}{B}$ થાય.
આથી: $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} \cdot \frac{B_1}{B_2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ઝડપ $v_2 = 2v$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{B}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_2}{r} = \frac{2v}{v} \cdot \frac{B}{B/2} = 2 \cdot 2 = 4$.
આમ,$r_2 = 4r$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.5 \times 10^{-2} \, T$
ઝડપ $v = 6 \times 10^7 \, m/s$
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$
ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ (કારણ કે તે લંબરૂપે ગતિ કરે છે),તેથી $\sin \theta = 1$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર:
$r = \frac{mv}{qB}$
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$ હોવાથી,ત્રિજ્યાને આ રીતે લખી શકાય:
$r = \frac{v}{B(q/m)}$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{6 \times 10^7}{(1.5 \times 10^{-2}) \times (1.7 \times 10^{11})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9}$
$r \approx 2.35 \times 10^{-2} \, m$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$r = 2.35 \, cm$.

(C) આપેલ છે:
$B = 2 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$
$E = 1.0 \times 10^4 \, V/m$
ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ વિચલિત થતો ન હોવાથી,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ:
$qE = qvB \Rightarrow v = \frac{E}{B}$
$v = \frac{1.0 \times 10^4}{2 \times 10^{-3}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \, m/s$
જો વિદ્યુત ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે,તો ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય બળને કારણે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB \Rightarrow r = \frac{mv}{qB}$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ અને $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ લેતા:
$r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3}}$
$r = \frac{45.5 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-22}} = 14.218 \times 10^{-3} \, m \approx 1.43 \, cm$
આમ,ઝડપ $5 \times 10^6 \, m/s$ અને ત્રિજ્યા $1.43 \, cm$ છે.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = 0$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ થાય છે.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ કણ પર લાગે છે,જે તેને વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત કરે છે.
જેમ જેમ કણ વેગ $\vec{v}$ પ્રાપ્ત કરે છે,તેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રહે છે કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને સમાંતર છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વેગ સમાંતર હોવાથી,$\vec{v} \parallel \vec{B}$,તેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ હંમેશા શૂન્ય રહે છે.
આમ,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન ચુંબકીય બળ શૂન્ય રહે છે.
કણ માત્ર વિદ્યુત બળનો અનુભવ કરે છે,જેના કારણે તે વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ વેગ $\vec{v}$ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,કણ પર ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,અચળ ગતિઊર્જાનો અર્થ એ છે કે કણની ઝડપ $(v)$ બદલાતી નથી.
જોકે,બળ વેગને લંબ રૂપે લાગતું હોવાથી,તે ગતિની દિશા બદલે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. આમ,વેગ અને પ્રવેગ સતત બદલાતા રહે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારીત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$r_p = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$.
આલ્ફા કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$. તેથી,$r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2mK}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$.
અહીં $r_p = r_{\alpha}$ હોવાથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સમાન ગતિઊર્જા ધરાવતા કોઈપણ બે વિદ્યુતભારીત કણોની ત્રિજ્યા સમાન હશે. જોકે,ત્રિજ્યા એ $\frac{\sqrt{m}}{q}$ ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. આ ગુણોત્તર બધા કણો માટે સમાન હોતો નથી (દા.ત. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન માટે),તેથી કારણ ખોટું છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે બંને કણો માટે વેગમાન $p$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે,તેથી ત્રિજ્યા એ વિદ્યુતભારના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $r \propto \frac{1}{q}$.
આયનીકૃત હાઇડ્રોજન અણુ (પ્રોટોન) માટે,વિદ્યુતભાર $q_{H} = +e$ છે.
$\alpha$-કણ (હિલિયમ ન્યુક્લિયસ) માટે,વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = +2e$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{H}}{r_{\alpha}} = \frac{q_{\alpha}}{q_{H}} = \frac{2e}{e} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $r_{H}: r_{\alpha}$ એ $2:1$ છે.

(C) કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_{i} = v_{0} \hat{j}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_{0} \hat{i}$ એ બળ $\vec{F}_{E} = q E_{0} \hat{i}$ લગાડે છે,જેના કારણે $x$-અક્ષ પર પ્રવેગ $a_{x} = \frac{q E_{0}}{m}$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_{0} \hat{i}$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. પ્રારંભિક વેગ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{B} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $z$-દિશામાં કાર્ય કરશે. જોકે,ચુંબકીય બળ કોઈ કાર્ય કરતું નથી,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે થાય છે.
ધારો કે અંતિમ ઝડપ $v_{f} = 2 v_{0}$ છે. અંતિમ વેગના ઘટકો $v_{x} = a_{x} t = \frac{q E_{0}}{m} t$ અને $v_{y} = v_{0}$ છે.
$v_{f}^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,અને ઝડપનો વર્ગ $v_{f}^{2} = (2 v_{0})^{2} = 4 v_{0}^{2}$ હોવાથી:
$4 v_{0}^{2} = v_{x}^{2} + v_{0}^{2} + v_{z}^{2}$.
ચુંબકીય બળ માત્ર વેગ સદિશને $yz$-સમતલમાં ફેરવે છે,તેથી $yz$-સમતલમાં વેગના ઘટકનું મૂલ્ય $v_{0}$ અચળ રહે છે. તેથી,$v_{x}^{2} = 4 v_{0}^{2} - v_{0}^{2} = 3 v_{0}^{2}$.
આથી,$v_{x} = \sqrt{3} v_{0}$.
$v_{x} = \frac{q E_{0}}{m} t$ મૂકતા,આપણને $\frac{q E_{0}}{m} t = \sqrt{3} v_{0}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $t = \frac{\sqrt{3} m v_{0}}{q E_{0}}$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qvB$ છે. $F = ma$ હોવાથી,$ma = qvB$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{qvB}{m}$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે છે.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $a = \frac{qB}{m} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{qB \sqrt{2K}}{m^{3/2}}$.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B = \frac{m^{3/2} a}{q \sqrt{2K}}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 1.6 \times 10^{-27} \; kg$,$a = 10^{12} \; m/s^2$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$K = 1 \; MeV = 1.6 \times 10^{-13} \; J$.
ગણતરી કરતા: $B = \frac{(1.6 \times 10^{-27})^{3/2} \times 10^{12}}{1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-13}}} \approx 0.71 \times 10^{-3} \; T = 0.71 \; mT$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} nI$ છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $v$ ઝડપ સાથે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના વેગને લંબ રૂપે લોરેન્ઝ બળ $F = evB$ અનુભવે છે,જેના કારણે તે $r = \frac{mv}{eB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સોલેનોઇડની સપાટીને ન અથડાય તે માટે,તેના વર્તુળાકાર માર્ગનો વ્યાસ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ. આમ,$2r \leq R$,જેનો અર્થ છે કે $r \leq \frac{R}{2}$.
$r = \frac{mv}{e(\mu_{0} nI)}$ મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{e\mu_{0} nI} \leq \frac{R}{2}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \frac{e \mu_{0} nIR}{2m}$ થાય.

(N/A) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{9 \times 10^{-31} \; kg \times 3 \times 10^{7} \; m/s}{1.6 \times 10^{-19} \; C \times 6 \times 10^{-4} \; T} = \frac{27 \times 10^{-24}}{9.6 \times 10^{-23}} \; m = 0.28125 \; m \approx 28.1 \; cm$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2\pi r} = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
$f = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 6 \times 10^{-4}}{2 \times 3.14 \times 9 \times 10^{-31}} \approx 1.7 \times 10^{7} \; Hz = 17 \; MHz$.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$E = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^7)^2 = 4.05 \times 10^{-16} \; J$.
$keV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{4.05 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} \; eV = 2531.25 \; eV \approx 2.53 \; keV$.

(N/A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન ક્ષેત્રને લંબ રૂપે દાખલ થતો હોવાથી,બળ હંમેશા વેગને લંબ હોય છે,જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે. આના કારણે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આપેલ છે:
$B = 6.5 \;G = 6.5 \times 10^{-4} \;T$
$v = 4.8 \times 10^{6} \;m s^{-1}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \;C$
$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \;kg$
$\theta = 90^{\circ}$
ચુંબકીય બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા:
$evB = \frac{m_{e}v^{2}}{r}$
$r = \frac{m_{e}v}{eB}$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{6}}{1.6 \times 10^{-19} \times 6.5 \times 10^{-4}}$
$r = \frac{43.68 \times 10^{-25}}{10.4 \times 10^{-23}}$
$r = 4.2 \times 10^{-2} \;m = 4.2 \;cm$
વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા $4.2 \;cm$ છે.

(N/A) ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 6.5 \times 10^{-4} \; T$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ,$v = 4.8 \times 10^{6} \; m/s$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા,$r = 4.2 \; cm = 0.042 \; m$.
ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી $evB = \frac{mv^2}{r}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\nu = \frac{eB}{2\pi m}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 18.2 \times 10^{6} \; Hz = 18 \; MHz$.
આમ,આવૃત્તિનું સૂત્ર $\nu = \frac{eB}{2\pi m}$ માં વેગ $v$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી આવૃત્તિ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) આપેલ છે:
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.15 \; T$
ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિદ્યુતભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત,$V = 2.0 \; kV = 2 \times 10^{3} \; V$
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $eV = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
$(a)$ જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વેગને લંબ હોય,ત્યારે ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $Bev = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{Be} = \frac{m}{Be} \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{1}{0.15} \sqrt{\frac{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2 \times 10^3}{1.6 \times 10^{-19}}} \approx 1.01 \times 10^{-3} \; m = 1.0 \; mm$.
ગતિપથ $1.0 \; mm$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$(b)$ જ્યારે ક્ષેત્ર વેગ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે,ત્યારે ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin \theta$ થાય.
હેલિકલ પથની ત્રિજ્યા $r' = \frac{mv \sin \theta}{Be} = r \sin 30^{\circ} = 1.0 \; mm \times 0.5 = 0.5 \; mm$.
ગતિપથ $0.5 \; mm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી હેલિક્સ (કુંતલાકાર) છે અને પિચ $p = v \cos \theta \times T = v \cos \theta \times \frac{2\pi m}{Be}$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.75 \;T$. પ્રવેગક વોલ્ટેજ,$V = 15 \;kV = 15 \times 10^{3} \;V$. સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર,$E = 9.0 \times 10^{5} \;V \,m^{-1}$.
ધારો કે કણનું દળ $m$ અને તેનો વીજભાર $q$ છે. કણ દ્વારા મેળવેલ ગતિઊર્જા $qV = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી,$\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2V} \dots (i)$.
બીમ વિચલિત થતો નથી,તેથી વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન છે: $qE = qvB$,જે આપે છે $v = \frac{E}{B} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{q}{m} = \frac{E^2}{2VB^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{q}{m} = \frac{(9.0 \times 10^5)^2}{2 \times 15000 \times (0.75)^2} = 4.8 \times 10^7 \;C \,kg^{-1}$.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} \approx 4.8 \times 10^7 \;C \,kg^{-1}$ એ ડ્યુટેરોન $(_{1}^{2}H^+)$ અથવા ડ્યુટેરિયમ આયનોને અનુરૂપ છે. આ જવાબ અનન્ય નથી કારણ કે વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m}$ ફક્ત વીજભાર અને દળના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. $He^{++}$ અથવા $Li^{+++}$ જેવા અન્ય કણો પણ સમાન $\frac{q}{m}$ ગુણોત્તર ધરાવે છે.

(D) ધારો કે $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $dl$ લંબાઈ ધરાવતા વાહક તારના ખંડમાં એકમ કદ દીઠ $n$ વિદ્યુતભાર વાહકો છે,જે દરેક $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે અને ડ્રિફ્ટ વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરે છે.
તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I = nAq v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં રહેલા પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ પર લાગતું બળ $d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B}$ છે.
$I = nAqv$ મૂકતા,આપણને $d\vec{F} = (nAqv) d\vec{l} \times \vec{B}$ મળે છે.
વેગ $\vec{v}$ એ $d\vec{l}$ ની દિશામાં હોવાથી,આપણે $v d\vec{l} = (dl) \vec{v}$ લખી શકીએ.
આમ,$d\vec{F} = nA(dl) q (\vec{v} \times \vec{B})$.
કદ ખંડ $dV = A dl$ માં કુલ વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા $N = n A dl$ છે.
એક વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_m = \frac{d\vec{F}}{N} = \frac{nA dl q (\vec{v} \times \vec{B})}{nA dl}$ છે.
તેથી,ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા,$E = 18 \;keV = 18 \times 10^{3} \times 1.6 \times 10^{-19} \;J = 2.88 \times 10^{-15} \;J$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.04 \;G = 4 \times 10^{-6} \;T$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \;kg$.
બીમ દ્વારા કાપેલું અંતર,$d = 0.3 \;m$.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$ પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2E}{m_{e}}} \approx 7.95 \times 10^{7} \;m/s$.
ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $r = \frac{m_{e} v}{Be} \approx 113 \;m$.
વિચલન $x = r(1 - \cos \theta)$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{d}{r}$. નાના ખૂણા માટે $x \approx \frac{d^{2}}{2r}$.
ગણતરી કરતા,$x \approx 3.9 \;mm$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v = 5.20 \times 10^{6} \;m s^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.30 \times 10^{-4} \;T$,વિશિષ્ટ વીજભાર $e/m = 1.76 \times 10^{11} \;C \;kg^{-1}$.
ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $evB = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર: $r = \frac{mv}{eB} = \frac{v}{(e/m)B}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{5.20 \times 10^{6}}{(1.76 \times 10^{11}) \times (1.30 \times 10^{-4})} = \frac{5.20 \times 10^{6}}{2.288 \times 10^{7}} \approx 0.227 \;m = 22.7 \;cm$.
$(b)$ ના,આ સૂત્ર $20 \;MeV$ ના ઇલેક્ટ્રોન બીમ માટે માન્ય નથી. $20 \;MeV$ પર,ગતિઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર દળ ઊર્જા $(0.511 \;MeV)$ કરતા ઘણી વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ એ પ્રકાશની ઝડપ $c$ ની નજીક પહોંચે છે.
આ સાપેક્ષવાદના ક્ષેત્રમાં,દળ $m$ અચળ રહેતું નથી પરંતુ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_0$ એ સ્થિર દળ છે.
ત્રિજ્યા માટેનું સુધારેલું સૂત્ર $r = \frac{mv}{eB} = \frac{m_0 v}{eB \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ છે.

(A) એનોડનું પોટેન્શિયલ,$V = 100 \; V$
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 2.83 \times 10^{-4} \; T$
વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા,$r = 12.0 \; cm = 12.0 \times 10^{-2} \; m$
દરેક ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $= m$,દરેક ઇલેક્ટ્રોન પરનો વીજભાર $= e$,દરેક ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $= v$
દરેક ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા તેની ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે,એટલે કે,
$\frac{1}{2} m v^{2} = e V$
$v^{2} = \frac{2 e V}{m} \dots (i)$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^{2}}{r} = e v B$
$v = \frac{e B r}{m}$
સમીકરણ $(i)$ માં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2 e V}{m} = \left( \frac{e B r}{m} \right)^{2} = \frac{e^{2} B^{2} r^{2}}{m^{2}}$
$\frac{e}{m} = \frac{2 V}{B^{2} r^{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{e}{m} = \frac{2 \times 100}{(2.83 \times 10^{-4})^{2} \times (12.0 \times 10^{-2})^{2}} = 1.73 \times 10^{11} \; C \; kg^{-1}$
તેથી,વિશિષ્ટ વીજભારનો ગુણોત્તર $(e/m) = 1.73 \times 10^{11} \; C \; kg^{-1}$ છે.

(N/A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_{m}}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{F_{m}} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$
$\therefore F_{m} = q v B \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
લાક્ષણિકતાઓ:
$(i)$ આ બળ વિદ્યુતભાર $q$,વેગ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ પર આધાર રાખે છે. ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$(ii)$ આ બળ એ વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સદિશ ગુણાકાર છે. જો $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ હોય,તો $F_{m} = q v B \sin(0^{\circ}) = 0$ અથવા $F_{m} = q v B \sin(180^{\circ}) = 0$ થાય. બળની દિશા વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોય છે,જે જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$(iii)$ જો વિદ્યુતભાર સ્થિર હોય $(v = 0)$,તો ચુંબકીય બળ શૂન્ય થાય છે. આમ,માત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભાર જ ચુંબકીય બળ અનુભવે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B) = qvB \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે ખૂણો $\theta = 0^\circ$ હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને પ્રતિ-સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે ખૂણો $\theta = 180^\circ$ હોય છે.
બંને કિસ્સાઓમાં,$\sin(0^\circ) = 0$ અને $\sin(180^\circ) = 0$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F = qvB(0) = 0$ થાય છે.

(N/A) જ્યારે $q$ જેટલો વિદ્યુતભાર $v$ વેગથી વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F} = \vec{F}_{E} + \vec{F}_{B} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) \dots (1)$
ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ છે અને બંને કણના વેગ $\vec{v}$ ને પણ લંબ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $\vec{E} = E\hat{j}$ અને $\vec{B} = B\hat{k}$,અને કણ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે $(\vec{v} = v\hat{i})$.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_{E} = q\vec{E} = qE\hat{j}$ છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{B} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -qvB\hat{j} \dots (2)$ (કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$).
આમ,$\vec{F}_{E}$ અને $\vec{F}_{B}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જો આપણે $\vec{E}$ અને $\vec{B}$ ના મૂલ્યોને એવી રીતે ગોઠવીએ કે જેથી બંને બળોના મૂલ્યો સમાન થાય,તો વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય થાય છે અને કણ વિચલિત થયા વિના ગતિ કરે છે.
$|\vec{F}_{E}| = |\vec{F}_{B}|$ લેતા,આપણને $qE = qvB$ મળે છે.
તેથી,$v = \frac{E}{B} \dots (3)$.
આ શરતનો ઉપયોગ કરીને આપણે વિવિધ ઝડપ ધરાવતા કણોના બીમમાંથી ચોક્કસ વેગ $v = \frac{E}{B}$ ધરાવતા વિદ્યુતભારીત કણોને પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે તેમના વિદ્યુતભાર કે દળ પર આધારિત નથી. આમ,પરસ્પર લંબ $\vec{E}$ અને $\vec{B}$ ક્ષેત્રો વેલોસિટી સિલેક્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે,જે ફક્ત $\frac{E}{B}$ ઝડપ ધરાવતા કણોને જ વિચલિત થયા વિના પસાર થવા દે છે.

(A) માસ સ્પેક્ટ્રોમીટર એ એક વિશ્લેષણાત્મક સાધન છે જેનો ઉપયોગ આયનોના દળ-થી-વીજભારના ગુણોત્તર $(m/q)$ ને માપવા માટે થાય છે.
તે રાસાયણિક ઘટકોનું આયનીકરણ કરીને અને વિદ્યુત તથા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેમના દળ-થી-વીજભારના ગુણોત્તરના આધારે આયનોને અલગ કરીને કાર્ય કરે છે.
આનાથી નમૂનામાં રહેલા અણુઓની ઓળખ અને જથ્થાત્મક માપન શક્ય બને છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ વેગ સાથે વિસ્તારમાં પ્રવેશ કરે છે.
$xy$-સમતલને સમાંતર સમતલમાં સર્પાકાર ગતિ મેળવવા માટે,ચુંબકીય બળ $xy$-સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવું જોઈએ. આ માટે $z$-અક્ષની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \hat{k}$ હોવું જરૂરી છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = -e(\vec{v} \times \vec{B}) = -e(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{k}) = e v_0 B_0 \hat{j}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન સર્પાકાર ગતિ કરે તે માટે તેની ઝડપ બદલાવી જોઈએ,જે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ દ્વારા થાય છે. ઇલેક્ટ્રોન $xy$-સમતલમાં ગતિ કરતું હોવાથી અને સર્પાકાર વિસ્તરતો હોવાથી,$xy$-સમતલમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રનો ઘટક જરૂરી છે. ખાસ કરીને,$\vec{E} = E_0 \hat{i}$ જેટલું વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત કરશે,જેથી તેની ઝડપ $v$ વધશે અને પરિણામે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{eB}$ વધશે,જે સર્પાકાર ગતિમાં પરિણમશે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન બંને માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{P}{eB}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,બંને કણોની ગતિ $yz$-સમતલમાં મર્યાદિત છે.
ધારો કે ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનના વેગમાન સદિશો $yz$-સમતલમાં $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. વર્તુળાકાર કક્ષાના કેન્દ્રો,$C_e$ અને $C_p$,તેમના પ્રારંભિક સ્થાનોથી $R$ અંતરે અને વેગમાન સદિશને લંબ રૂપે આવેલા છે.
$(0, 0, 0)$ થી શરૂ થતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,જેનું વેગમાન $P_1$ એ $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે,તેનું કેન્દ્ર $C_e$ એ $(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ પર છે.
$(0, 0, 1.5R)$ થી શરૂ થતા પોઝિટ્રોન માટે,જેનું વેગમાન $P_2$ એ $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે,તેનું કેન્દ્ર $C_p$ એ $(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ પર છે.
જો કેન્દ્રો $C_e$ અને $C_p$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોય,એટલે કે $d > 2R$,તો કક્ષાઓ એકબીજાને છેદશે નહીં.
$C_e(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ અને $C_p(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ $d^2$ ગણતા:
$d^2 = (0 - 0)^2 + (-R \sin \theta - (-R \sin \theta))^2 + (1.5R - R \cos \theta - R \cos \theta)^2$
$d^2 = 0 + 0 + (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
$d^2 = (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
અપરસ્પર છેદતી કક્ષાઓ માટે,$d > 2R$,તેથી $d^2 > 4R^2$:
$(1.5R - 2R \cos \theta)^2 > 4R^2$
$|1.5R - 2R \cos \theta| > 2R$
કિસ્સો $1$: $1.5R - 2R \cos \theta > 2R \implies -2R \cos \theta > 0.5R \implies \cos \theta < -0.25$
કિસ્સો $2$: $1.5R - 2R \cos \theta < -2R \implies -2R \cos \theta < -3.5R \implies \cos \theta > 1.75$ (શક્ય નથી કારણ કે $\cos \theta \le 1$)
આમ,અપરસ્પર છેદતી કક્ષાઓ માટેની શરત $\cos \theta < -0.25$ છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જ્યારે કણનો વેગ માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
બળ હંમેશા સ્થાનાંતર (વેગ) ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $(\Delta K)$ એ કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કારણ કે કાર્ય શૂન્ય છે,તેથી ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર પણ શૂન્ય છે $(\Delta K = 0)$,જેનો અર્થ છે કે કણની ઝડપ અચળ રહે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન $10$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો કુલ સમય $t = 10T = 10 \times \frac{2 \pi m}{qB}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = v \cos(60^{\circ}) = v \times \frac{1}{2} = \frac{v}{2}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી,ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલું અંતર $l = v_{\parallel} \times t = \frac{v}{2} \times 10 \times \frac{2 \pi m}{qB} = \frac{10 \pi m v}{qB}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$l = \frac{10 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{5}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$
$l = \frac{20.942 \times 10^{-21}}{0.48 \times 10^{-19}} = \frac{20.942}{48} \approx 0.436 \, m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$l \approx 0.44 \, m$.

(B) હેલિકલ પથની પિચનું સૂત્ર: $P = v \cos \theta \times T = v \cos \theta \times \frac{2 \pi m}{qB}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ઝડપ $v = 4 \times 10^{5} \ m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.3 \ T$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
દળ $m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$
વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{5} \times \cos 60^{\circ}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$
$\cos 60^{\circ} = 0.5$ હોવાથી:
$P = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{5} \times 0.5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$
$P = \frac{10.4872 \times 10^{-22}}{0.48 \times 10^{-19}}$
$P \approx 0.0437 \ m \approx 4.37 \ cm$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $4 \ cm$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{mv}{qB_{0}}$ છે.
કણ તેના પ્રારંભિક સ્થાનથી $d$ અંતરે મૂકેલા પડદાને ન અથડાય તે માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $d$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$R \leq d$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB_{0}} \leq d$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v \leq \frac{q B_{0} d}{m}$ મળે છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં $v$ નું તે ન્યૂનતમ મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું છે જેના માટે કણ પડદાને અથડાશે નહીં. જો કણનો માર્ગ પડદાને સ્પર્શક હોય,તો તે અથડાયા વગર પસાર થઈ જશે. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે $R = d$ હોય.
આમ,$v = \frac{q B_{0} d}{m}$ એ જરૂરી મૂલ્ય છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન $x$-અક્ષ પર વિચલિત થયા વિના ગતિ કરે તે માટે,કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
આપેલ છે: $\vec{v} = 6 \times 10^{6} \hat{i} \, m/s$ અને $\vec{E} = 300 \, V/cm = 3 \times 10^{4} \, V/m$ એ $+y$ દિશામાં છે,તેથી $\vec{E} = 3 \times 10^{4} \hat{j} \, V/m$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E} = (-e)(3 \times 10^{4} \hat{j}) = -3 \times 10^{4} e \hat{j}$ છે.
આને સંતુલિત કરવા માટે,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ એ $+y$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$q = -e$ હોવાથી,આપણે $(-e)(v\hat{i} \times \vec{B}) = +3 \times 10^{4} e \hat{j}$ ની જરૂર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{v} \times \vec{B}$ એ $-y$ દિશામાં હોવું જોઈએ. કારણ કે $\hat{i} \times (-\hat{k}) = \hat{j}$ અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,તેથી $\vec{B}$ એ $-z$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
મૂલ્યની શરત $E = vB$ નો ઉપયોગ કરતા,$B = \frac{E}{v} = \frac{3 \times 10^{4}}{6 \times 10^{6}} = 0.5 \times 10^{-2} = 5 \times 10^{-3} \, T$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $5 \times 10^{-3} \, T$ એ $-z$ દિશામાં છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,બળ $\vec{F}_m$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ એ વેગ $\vec{v}$ ની દિશામાં હોવાથી (એટલે કે $d\vec{l} = \vec{v} dt$),બળ $\vec{F}_m$ એ સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ ને પણ લંબ હોય છે.
ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $dW = \vec{F}_m \cdot d\vec{l} = F_m dl \cos(90^\circ)$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ છે,તેથી કાર્ય $dW = 0$ થાય છે.
આમ,ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય $0$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{p}}{r_{\alpha}} = \frac{2}{1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_{p}$ છે.
સૂત્ર $\frac{r_{p}}{r_{\alpha}} = \frac{p_{p}}{q_{p}B} \cdot \frac{q_{\alpha}B}{p_{\alpha}} = \frac{p_{p}}{p_{\alpha}} \cdot \frac{q_{\alpha}}{q_{p}} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા.
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{p_{p}}{p_{\alpha}} \cdot \frac{2q_{p}}{q_{p}} = 2 \implies \frac{p_{p}}{p_{\alpha}} \cdot 2 = 2 \implies \frac{p_{p}}{p_{\alpha}} = 1$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$\frac{K_{p}}{K_{\alpha}} = \frac{p_{p}^2}{2m_{p}} \cdot \frac{2m_{\alpha}}{p_{\alpha}^2} = \left(\frac{p_{p}}{p_{\alpha}}\right)^2 \cdot \frac{m_{\alpha}}{m_{p}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_{p}}{K_{\alpha}} = (1)^2 \cdot \frac{4m_{p}}{m_{p}} = 1 \cdot 4 = 4$.
આમ,$K_{p}:K_{\alpha}$ નો ગુણોત્તર $4:1$ છે.