Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(C) પરસ્પર લંબ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિચલન ન અનુભવવા માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ: $qE = qvB$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{E}{B} = \frac{3.2 \times 10^5}{2 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^8 \, m/s$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય બળને કારણે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3}}$.
$r = \frac{9.1 \times 10^{-23}}{3.2 \times 10^{-22}} = 0.45 \, m$.
આમ,ત્રિજ્યા $0.45 \, m$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં છે,$\vec B = 10\,\hat i$.
કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec u = 5\hat i + 4\hat j$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = 5\,\hat i$ છે,જે અચળ રહે છે કારણ કે આ ઘટક પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું નથી.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = 4\,\hat j$ છે. આ ઘટક ચુંબકીય બળ $\vec F = q(\vec v_{\perp} \times \vec B)$ અનુભવે છે,જે કણને $yz$-સમતલમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરાવે છે.
કણ પાસે $x$-અક્ષની દિશામાં અચળ વેગનો ઘટક અને $yz$-સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિનો ઘટક બંને હોવાથી,કણનો પરિણામી પથ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હોય છે.

(A) ચુંબકીય બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે $q = -e = -1.6 \times 10^{-19}\,C$ છે.
જ્યારે વેગ $\vec{v}_2 = (1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j}) \times 10^7\,m/s$ હોય ત્યારે બળ શૂન્ય હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\vec{v}_2$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ. તેથી,$\vec{B} = k(1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j})$.
પ્રથમ કિસ્સાનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{F} = -e(\vec{v}_1 \times \vec{B})$.
$(4.0\,\hat{i} + 3.0\,\hat{j}) \times 10^{-13} = -1.6 \times 10^{-19} \times (2.5 \times 10^7\,\hat{k} \times k(1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j}))$.
$(4.0\,\hat{i} + 3.0\,\hat{j}) \times 10^{-13} = -4.0 \times 10^{-12} \times k \times (1.5\,\hat{j} + 2.0\,\hat{i})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $4.0 \times 10^{-13} = -4.0 \times 10^{-12} \times k \times 2.0 \implies k = -0.05$.
આમ,$\vec{B} = -0.05(1.5\,\hat{i} - 2.0\,\hat{j}) = -0.075\,\hat{i} + 0.1\,\hat{j}\,T$.

(B) જ્યારે $m$ દળ,$q$ વિદ્યુતભાર અને $v$ વેગ ધરાવતો વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ક્ષેત્રને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ચુંબકીય બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{mv}{qB}$.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન માટે $m$,$q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$r \propto v$ મળે છે.
તેથી,વધુ ઝડપે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે વક્રતાની ત્રિજ્યા મોટી હશે.

(A) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ક્ષેત્રને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આના પરથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય છે,જે $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$.
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,આવર્તકાળ $T$ એ ઝડપ $v$ પર આધારિત નથી.
તેથી,બધા ઇલેક્ટ્રોન માટે પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ સમાન રહેશે.

(D) ચોરસ લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ લૂપના સમતલને લંબ અને બહારની તરફ હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને),તેથી $\vec{B} = B\hat{k}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને વિકર્ણ $AC$ પર $C$ તરફ પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. વેગ $\vec{v}$ ની દિશા કેન્દ્રથી $C$ તરફના સદિશની દિશામાં છે,જે $(\hat{i} - \hat{j})$ ની દિશામાં છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{F} = -e [v(\frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}) \times B\hat{k}] = -evB [\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} \times \hat{k} - \hat{j} \times \hat{k})]$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,આપણને $\vec{F} = -evB [\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{j} - \hat{i})] = \frac{evB}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$ મળે છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_e}$ એ બળ $\vec{F}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
આમ,પ્રારંભિક પ્રવેગની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) હેલિકલ પથની પિચ એટલે કણ દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં એક આવર્તકાળ દરમિયાન કાપેલું અંતર.
પિચ માટેનું સૂત્ર: $p = v \cos \theta \times T$
જ્યાં $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ એ વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ છે.
આપેલ કિંમતો: $q = 1 \, C$,$m = 1 \, kg$,$v = 1 \, m/s$,$B = 1 \, T$,અને $\theta = 30^\circ$.
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi (1)}{(1)(1)} = 2 \pi \, s$
$p = (1 \cos 30^\circ) \times (2 \pi)$
$p = (1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) \times 2 \pi = \sqrt{3} \pi \, m$.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને એવા વિસ્તારમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમાંતર હોય,ત્યારે ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ શૂન્ય થાય છે કારણ કે પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે અને ત્યારબાદનો વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર રહે છે.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ કણ પર લાગે છે,જેના કારણે તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને બળ અચળ હોવાથી અને ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં હોવાથી,કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગતિમાન વીજભાર પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી,તેથી માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર જ ગતિઊર્જામાં ફેરફાર માટે જવાબદાર છે.
થયેલું કાર્ય $W = q E_0 x_0 = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$.
આપેલ વિશિષ્ટ વીજભાર $\alpha = \frac{q}{m}$ હોવાથી,$q = m \alpha$ લખી શકાય.
આ કિંમત કાર્ય-ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $m \alpha E_0 x_0 = \frac{1}{2} m v^2$.
$x_0$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $x_0 = \frac{v^2}{2 \alpha E_0}$.
વેગ સદિશ $\vec{v} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ છે,તેથી ઝડપ $v = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$v = 5$ ની કિંમત $x_0$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $x_0 = \frac{5^2}{2 \alpha E_0} = \frac{25}{2 \alpha E_0}$.

(A) ચુંબકીય બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$.
આપેલ છે કે $\vec{V_1} = 2\hat{i}$ અને $\vec{F_1} = -2\hat{j}$,તેથી $-2\hat{j} = -e(2\hat{i} \times \vec{B}) \implies \hat{j} = e(\hat{i} \times \vec{B})$.
આપેલ છે કે $\vec{V_2} = 2\hat{j}$ અને $\vec{F_2} = 2\hat{i}$,તેથી $2\hat{i} = -e(2\hat{j} \times \vec{B}) \implies \hat{i} = -e(\hat{j} \times \vec{B})$.
ધારો કે $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$.
$\hat{i} \times (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}) = \frac{1}{e}\hat{j}$ પરથી,આપણને $B_z\hat{j} - B_y\hat{k} = \frac{1}{e}\hat{j}$ મળે છે,એટલે કે $B_z = \frac{1}{e}$ અને $B_y = 0$.
$\hat{j} \times (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}) = -\frac{1}{e}\hat{i}$ પરથી,આપણને $-B_z\hat{i} + B_x\hat{k} = -\frac{1}{e}\hat{i}$ મળે છે,એટલે કે $B_z = \frac{1}{e}$ અને $B_x = 0$.
આમ,$\vec{B} = \frac{1}{e}\hat{k}$.
હવે,$\vec{V_3} = 2\hat{k}$ માટે,બળ $\vec{F_3} = -e(2\hat{k} \times \frac{1}{e}\hat{k}) = -2(\hat{k} \times \hat{k}) = 0$ થશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{QB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કણ માટે,જેનું દળ $M$ અને વીજભાર $Q$ છે,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{2\pi M}{QB}$ છે.
બીજા કણ માટે,જેનું દળ $2M$ અને વીજભાર $Q$ છે,આવર્તકાળ $T_2 = \frac{2\pi(2M)}{QB} = \frac{4\pi M}{QB}$ છે.
કણો ફરીથી ત્યારે મળશે જ્યારે વીતેલો સમય તેમના આવર્તકાળનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય. $T_1$ અને $T_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $T = \frac{4\pi M}{QB}$ છે.
આ સમયે,પ્રથમ કણ $n_1 = T/T_1 = 2$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે અને બીજો કણ $n_2 = T/T_2 = 1$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલું અંતર $d = v \cos\theta \times t$ છે.
$t = T = \frac{4\pi M}{QB}$ મૂકતા,આપણને $d = v \cos\theta \times \frac{4\pi M}{QB} = \frac{4\pi Mv \cos\theta}{QB}$ મળે છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર કક્ષાનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{QB}$ છે.
માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,કણ $YZ$ સીમાના લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર વર્તુળાકાર માર્ગના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\phi = \pi - 2\theta$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\phi}{2\pi} T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = \pi - 2\theta$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} T = T \left( \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} \right)$ મળે છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે।
આકૃતિમાં દર્શાવેલ માર્ગની ભૂમિતિ પરથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદરના માર્ગના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર $C$ આગળ બનતો ખૂણો $\alpha$ એ ખૂણા $\theta$ સાથે $\alpha + \theta + \theta = \pi$ સંબંધ ધરાવે છે, જે પરથી $\alpha = \pi - 2\theta$ મળે છે।
પૂર્ણ વર્તુળાકાર કક્ષાનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{QB}$ છે।
કણ દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t$ એ કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા $\alpha$ ના પ્રમાણમાં હોય છે:
$t = \frac{\alpha}{2\pi} T$
$\alpha = \pi - 2\theta$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$t = \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} T = T \left( \frac{\pi - 2\theta}{2\pi} \right)$.

(A) પ્રવાહધારિત તાર દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે,જે $-\hat{k}$ દિશામાં છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{v} = -v\hat{i}$.
વીજભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$. કિંમતો મૂકતા:
$\vec{F} = -e [(-v\hat{i}) \times (-B\hat{k})]$
$\vec{F} = -e [vB(\hat{i} \times \hat{k})]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,આપણને મળે છે:
$\vec{F} = -e [vB(-\hat{j})] = evB\hat{j}$.
આમ,ચુંબકીય બળની દિશા ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે.

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
વર્તુળાકાર ચાપની ભૂમિતિ પરથી,ધારો કે $R$ એ માર્ગની ત્રિજ્યા છે. કણ $y$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે અને $x$ જેટલું ઊભું વિચલન અનુભવે છે.
વર્તુળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$R^2 = (R - x)^2 + y^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$R^2 = R^2 - 2Rx + x^2 + y^2$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $2Rx = x^2 + y^2$ થાય છે,તેથી $R = \frac{x^2 + y^2}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{y^2}{2x} = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x} + x \right)$.
કારણ કે $p = qBR$,આપણે $R$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$p = qB \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x} + x \right) = \frac{qB}{2} \left( \frac{y^2}{x} + x \right)$.

(C) બ્લોક પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ છે,જે ઢળતા સમતલને લંબ અને ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
જ્યારે ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ એ સમતલને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું થાય ત્યારે બ્લોક ઢળતા સમતલ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવશે:
$F = mg \cos \theta$
$qvB = mg \cos \theta$
$v = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
બ્લોક $a = g \sin \theta$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ સરકે છે. સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને,$t$ સમયે તેનો વેગ:
$v = at = (g \sin \theta)t$
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(g \sin \theta)t = \frac{mg \cos \theta}{qB}$
$t = \frac{mg \cos \theta}{qB(g \sin \theta)}$
$t = \frac{m \cot \theta}{qB}$

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $d = \frac{3mv}{5qB}$ આપેલ છે.
ધારો કે વિચલન કોણ $\alpha$ છે. વર્તુળાકાર પથની ભૂમિતિ પરથી,વિચલન કોણ $\alpha$ નો સાઈન $\sin \alpha = \frac{d}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin \alpha = \frac{3mv/5qB}{mv/qB} = \frac{3}{5} = 0.6$.
કારણ કે $\sin 37^{\circ} = 0.6$,તેથી $\alpha = 37^{\circ}$.
ભૂમિતિ પરથી,લંબ સાથે આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ}$ છે.
લંબ સાથે નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ} - \theta$ છે.
વિચલન કોણ $\alpha$ એ આપાતકોણ અને નિર્ગમન કોણ સાથે સંબંધિત છે,જ્યાં કુલ વિચલન $\alpha = 37^{\circ}$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,ખૂણો $\theta$ એવો છે કે જેથી કુલ વિચલન $\alpha = 180^{\circ} - (53^{\circ} + \theta) = 37^{\circ}$ થાય.
આમ,$180^{\circ} - 53^{\circ} - \theta = 37^{\circ} \Rightarrow 127^{\circ} - \theta = 37^{\circ} \Rightarrow \theta = 90^{\circ}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વીજભારિત કણનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કણો સમાન હોવાથી ($m$ અને $q$ સમાન છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,સમયગાળો પ્રવેશના ખૂણા પર આધારિત નથી. તેથી,$a = \frac{T_1}{T_2} = 1$ થાય.
હેલિકલ પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{m v \sin \theta}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $b = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
હેલિકલ પથની પિચ $p = v \cos \theta \cdot T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પિચનો ગુણોત્તર $c = \frac{p_1}{p_2} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ થાય.
હવે,ગુણાકાર $abc = 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$ મળે છે. તેમજ,વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $a = 1$ અને $bc = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$. તેથી $a = bc$ પણ સાચું છે,એટલે સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે જો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય,તો ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(0 \times \vec{B}) = 0$ થાય. તેથી,તે પ્રવેગિત થતું નથી.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય બળ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આ $F = qv(B \sin \theta)$ ને સમાન છે,જ્યાં $B \sin \theta$ એ વેગને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઇલેક્ટ્રોન ધન $X$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતો હોય,તો તેનો વેગ $\vec{v} = v\hat{i}$ છે.
જો આપણે $Y$-અક્ષની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B\hat{j}$ લગાડીએ,તો બળ $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{j}) = -evB\hat{k}$ થશે. આ બળ ઇલેક્ટ્રોનને $XZ$-સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવશે. અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી,વેગ સદિશ ઋણ $X$-દિશામાં હશે.
તે જ રીતે,જો આપણે $Z$-અક્ષની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B\hat{k}$ લગાડીએ,તો બળ $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{k}) = evB\hat{j}$ થશે. આ બળ ઇલેક્ટ્રોનને $XY$-સમતલમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવશે. અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી,વેગ સદિશ ઋણ $X$-દિશામાં હશે.
આમ,$Y$-અક્ષ અથવા $Z$-અક્ષ બંનેમાંથી કોઈપણ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગાડવાથી ઇલેક્ટ્રોન તેની દિશા ઉલટાવી શકે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B\hat{j}$ છે. પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = v \cos \alpha \hat{j} + v \sin \alpha \hat{k}$ છે.
પ્રોટોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q[(v \cos \alpha \hat{j} + v \sin \alpha \hat{k}) \times B\hat{j}] = qvB \sin \alpha (\hat{k} \times \hat{j}) = -qvB \sin \alpha \hat{i}$ છે.
બળ ઋણ $x-$દિશામાં હોવાથી,કણ ઋણ $x-$દિશામાં પ્રવેગિત થશે. આમ,$x-$યામ હંમેશા ઋણ (અથવા ઉગમબિંદુ પર શૂન્ય) રહેશે. તેથી,$x-$યામ ક્યારેય ધન હોઈ શકે નહીં.

(B) લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયામાં રહેલા ધન વિદ્યુતભારો માટે,બળની દિશા સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અહીં વેગ $\vec{v}$ જમણી તરફ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પાનાની અંદરની તરફ છે,તેથી જમણા હાથના નિયમ મુજબ ધન વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ છેડા $A$ તરફ હોય છે.
પરિણામે,ધન વિદ્યુતભારો છેડા $A$ પર એકઠા થાય છે,જેનાથી તે ધન વિદ્યુતભારિત બને છે.
સળિયો તટસ્થ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન (ઋણ વિદ્યુતભાર) વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે છેડા $B$ તરફ બળ અનુભવે છે,જેનાથી છેડો $B$ ઋણ વિદ્યુતભારિત બને છે.
તેથી,છેડો $A$ ધન વિદ્યુતભારિત બને છે.

(C) વીજભારિત કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $v = 0$ છે.
ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જો $v = 0$ હોય,તો $F_m = 0$ થાય.
વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ સ્થિર હોવાથી,તે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ની દિશામાં (જો $q > 0$ હોય) અથવા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં (જો $q < 0$ હોય) પ્રવેગિત થશે.
વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાંતર હોવાથી,કણ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં ગતિ કરશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની સમાંતર ગતિ કરતા કણ પર કોઈ બળ લગાડતું નથી,તેથી કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) કણ પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
કણ વેગમાં કોઈ ફેરફાર વગર વિસ્તારમાંથી પસાર થાય છે,તેથી કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) = \vec{B} \times \vec{v}$.
બંને બાજુ $\vec{B}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા: $\vec{E} \times \vec{B} = (\vec{B} \times \vec{v}) \times \vec{B}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{A}(\vec{B} \cdot \vec{C})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\vec{E} \times \vec{B} = \vec{v}(\vec{B} \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\vec{v} \cdot \vec{B})$.
અહીં $\vec{v} \perp \vec{B}$ હોવાથી,$\vec{v} \cdot \vec{B} = 0$,તેથી $\vec{E} \times \vec{B} = \vec{v} B^2$.
આમ,$\vec{v} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
અહીં $K$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m, q_p = e \Rightarrow r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: $m_d = 2m, q_d = e \Rightarrow r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e} = \sqrt{2} r_p$.
આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે: $m_{\alpha} = 4m, q_{\alpha} = 2e \Rightarrow r_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = r_p$.
આમ,$r_{\alpha} = r_p$ અને $r_d = \sqrt{2} r_p$ મળે છે.
તેથી,$r_{\alpha} = r_p < r_d$ સંબંધ સાચો છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2Km}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2Km}}{qB}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $r_e = \frac{\sqrt{2Km_e}}{eB}$.
પ્રોટોન માટે: $r_p = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
આલ્ફા કણ માટે: $r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2K(4m_p)}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2Km_p}}{2eB} = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
આમ,$m_e < m_p$ હોવાથી $r_e < r_p$ થાય છે અને $r_p = r_{\alpha}$ થાય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $r_e < r_p = r_{\alpha}$ છે.

(C) હેલિકલ પથની પિચ $x$ એ એક આવર્તકાળ $T$ માં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલું અંતર છે: $x = v \cos \theta \cdot T = v \cos \theta \cdot \frac{2\pi m}{qB}$.
હેલિકલ પથની ત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $R = \frac{mv \sin \theta}{qB}$.
$R$ ના સમીકરણને $x$ ના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{R}{x} = \frac{mv \sin \theta / qB}{2\pi mv \cos \theta / qB} = \frac{\sin \theta}{2\pi \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{2\pi}$.
અહીં $\theta = 30^o$ આપેલ છે,તેથી $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$R = x \cdot \frac{\tan 30^o}{2\pi} = x \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{x}{2\sqrt{3}\pi}$.

(C) જ્યારે વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબ રૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આપેલ છે: $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 10^7 \, m/s$,અને $B = 1 \, T$.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{(1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 1} \approx 0.104 \, m = 10.4 \, cm$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,$C$ બિંદુએ સીમા સાથેનો આપાતકોણ $45^\circ$ છે. વેગ સદિશ અને સીમાના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ છે.
વર્તુળાકાર ચાપની સંમિતિને કારણે,$D$ બિંદુએ સીમા સાથેનો બહાર નીકળવાનો ખૂણો પણ $45^\circ$ જ રહેશે.
તેથી,$\theta = 45^\circ$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં કણનો વેગ $v$ આપેલો નથી. જો આપણે ધારીએ કે કણ પ્રોટોન છે,તો ત્રિજ્યાની ગણતરી કરવા માટે વેગની જરૂર પડે.
જો આપણે $v = 10^7 \, m/s$ લઈએ (જે આવા પ્રશ્નો માટે સામાન્ય મૂલ્ય છે),તો $R = \frac{(1.67 \times 10^{-27})(10^7)}{(1.6 \times 10^{-19})(1)} \approx 0.104 \, m$ મળે.
આમ,$v = 10^7 \, m/s$ લેતા સાચો વિકલ્પ $0.104 \, m$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$v = 10^7 \, m/s$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $B = 1 \, T$.
$R = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 1} = \frac{1.67}{1.6} \times 10^{-1} \approx 1.04375 \times 10^{-1} \, m = 0.104375 \, m$.
પથની ભૂમિતિ પરથી,કણ સીમા સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે $C$ બિંદુએ પ્રવેશે છે. વર્તુળાકાર પથનું કેન્દ્ર $C$ આગળ વેગને લંબ રેખા પર આવેલું છે.
અંતર $CD$ એ વર્તુળાકાર ચાપની જીવાની લંબાઈ છે. કેન્દ્ર આગળ જીવા $CD$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $2 \times 45^\circ = 90^\circ$ છે.
તેથી,$CD = 2R \sin(\frac{90^\circ}{2}) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \times \frac{1}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
$CD = 0.104375 \times 1.414 \approx 0.1476 \, m \approx 0.148 \, m$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $B = 1 \, T$.
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1} \approx 6.56 \times 10^{-8} \, s = 65.6 \, ns$.
કણ $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રવેશે છે અને $45^{\circ}$ ના ખૂણે બહાર નીકળે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર કણ દ્વારા કાપવામાં આવેલો ખૂણો $\Delta \phi = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન) છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\Delta \phi}{2\pi} \times T = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times T = \frac{T}{4}$ છે.
$t = \frac{65.6 \, ns}{4} = 16.4 \, ns$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $16.3 \, ns$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1} \approx 65.6 \times 10^{-9} \, s = 65.6 \, ns$.
સંમિતિને કારણે કણ $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રવેશે છે અને $45^{\circ}$ ના ખૂણે બહાર નીકળે છે. વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\phi = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન) છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\phi}{2\pi} \times T = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times T = \frac{T}{4}$ છે.
$t = \frac{65.6}{4} \, ns = 16.4 \, ns$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સમય $16 \, ns$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય,તો ચુંબકીય બળ $F$ શૂન્ય થાય છે. આ કિસ્સામાં,કણ અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિદ્યુતભારિત કણનો માર્ગ વેગ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ દ્વારા નક્કી થાય છે. જો $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય,તો માર્ગ સીધી રેખા છે; જો $\theta = 90^\circ$ હોય,તો માર્ગ વર્તુળાકાર છે; અને અન્ય ખૂણાઓ માટે,માર્ગ હેલિકલ (કુંતલાકાર) હોય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ માં જણાવ્યા મુજબ માર્ગ સીધી રેખા કેમ હોઈ શકે છે તેની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન $+x$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેનો વેગ સદિશ $\vec{v} = v\hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $x-y$ સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરાવવા માટે,પ્રારંભિક બિંદુએ કેન્દ્રગામી બળ $+y$ દિશામાં હોવું જોઈએ (એટલે કે $\vec{F} = F\hat{j}$).
વીજભાર $q$ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વીજભાર $(q = -e)$ હોવાથી,$\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $F\hat{j} = -e(v\hat{i} \times \vec{B})$.
સદિશ ગુણાકાર $\hat{i} \times \vec{B}$ નું પરિણામ $-\hat{j}$ દિશામાં મળે (જેથી $-e(-\hat{j}) = +\hat{j}$ થાય),તે માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $-z$ દિશામાં હોવું જોઈએ (કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = \hat{j}$,અને ઋણ વીજભારને કારણે $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{k}) = -evB(-\hat{j}) = +evB\hat{j}$).
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $-z$ દિશામાં લાગુ કરવું જોઈએ.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્યારે શૂન્ય હોય છે જ્યારે $\alpha$ કણનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ (કણથી બિંદુ $A$ સુધીનો સદિશ) ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કણ બિંદુ $A$ થી જોતા વર્તુળ પરના સ્પર્શક બિંદુઓ પર હોય.
ધારો કે કેન્દ્રને બિંદુ $A$ સાથે જોડતી રેખા અને સ્પર્શક બિંદુ સુધીની ત્રિજ્યા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{3}$.
કણ એક સ્પર્શક બિંદુથી બીજા સ્પર્શક બિંદુ સુધી $2\theta = \frac{2\pi}{3}$ ખૂણા જેટલા ચાપ પર ગતિ કરે છે.
આ કોણીય સ્થાનાંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{2\theta}{\omega} = \frac{2\pi/3}{\omega} = \frac{2\pi}{3\omega}$ છે.
તેથી,$\omega = \frac{2\pi}{3t}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોન બીમ કાગળના સમતલમાંથી બહારની તરફ (નિરીક્ષક તરફ) ગતિ કરી રહ્યો છે. ધારો કે વેગ $\vec{v} = v \hat{k}$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ નીચેની તરફ નિર્દેશિત છે,તેથી $\vec{E} = -E \hat{j}$. વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F}_e = -e \vec{E} = eE \hat{j}$ છે. આ ધન $y$-દિશામાં વિચલનનું કારણ બને છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નીચેની તરફ નિર્દેશિત છે,તેથી $\vec{B} = -B \hat{j}$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F}_m = -e (\vec{v} \times \vec{B}) = -e (v \hat{k} \times -B \hat{j}) = -e (vB \hat{i}) = -evB \hat{i}$ છે. આ ઋણ $x$-દિશામાં વિચલનનું કારણ બને છે.
વિચલનનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = eE \hat{j} - evB \hat{i}$ છે.
સ્પોટ બીજા ચરણમાં (ઋણ $x$,ધન $y$) વિચલિત થશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આકૃતિ $D$ બીજા ચરણમાં સ્પોટ દર્શાવે છે.

(A) $1$. $y > 0$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = B_1\hat{k}$ (પાનાની બહાર) છે. વેગ $\vec{v} = v\hat{j}$ છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}_1) = q(v\hat{j} \times B_1\hat{k}) = qvB_1\hat{i}$ થાય.
$2$. આકૃતિ પરથી,$y > 0$ માટે કણ ધન $x$-અક્ષ તરફ વળે છે,જેનો અર્થ છે કે બળ $+\hat{i}$ દિશામાં છે. $v, B_1 > 0$ હોવાથી,$q$ ધન હોવો જોઈએ $(q > 0)$.
$3$. વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $y > 0$ વિસ્તારમાં ત્રિજ્યા $R_1 = \frac{mv}{qB_1}$ અને $y < 0$ વિસ્તારમાં ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{mv}{qB_2}$ છે.
$4$. ગતિપથ જોતા,$y < 0$ વિસ્તારમાં પથ $y > 0$ વિસ્તાર કરતા વધુ વળાંકવાળો છે,જેનો અર્થ છે કે $R_2 < R_1$.
$5$. $R_2 < R_1$ હોવાથી,$\frac{mv}{qB_2} < \frac{mv}{qB_1}$ થાય,જે સૂચવે છે કે $B_2 > B_1$,અથવા $|B_1| < |B_2|$.

(D) હેલિકલ પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv_{\perp}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પથ સમાન હોવાથી,$R_1 = R_2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{m_1 v_{\perp 1}}{q_1 B} = \frac{m_2 v_{\perp 2}}{q_2 B}$.
આપેલ છે કે કણો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી વિદ્યુતભારોના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ,એટલે કે $q_1 = -q_2$.
હેલિકલ પથ સમાન હોવા માટે,પિચ $p = \frac{2\pi m v_{\parallel}}{qB}$ પણ સમાન હોવી જોઈએ. પરિભ્રમણની દિશા વિરુદ્ધ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{qB}{m}$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
જો પથ ભૌમિતિક રીતે અને પિચમાં સમાન હોય,તો વિદ્યુતભાર-દળ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ,પરંતુ ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{q_1}{m_1} = -\frac{q_2}{m_2}$,જે પરિણમે છે $\frac{q_1}{m_1} + \frac{q_2}{m_2} = 0$.

(D) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u_0 \cos(37^o) \hat{i} + u_0 \sin(37^o) \hat{j} = u_0 (\frac{4}{5} \hat{i} + \frac{3}{5} \hat{j})$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ હોવાથી,કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
આ બળ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે,તેથી $y$-અક્ષની દિશામાં વેગનો ઘટક $(v_y)$ અચળ રહે છે. આમ,$v_y = u_0 \sin(37^o) = \frac{3}{5} u_0$.
વળી,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કણની ઝડપ અચળ રહે છે,તેથી $|\vec{v}|^2 = u_0^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$.
$v_y = \frac{3}{5} u_0$ મૂકતા,આપણને $v_x^2 + v_z^2 = u_0^2 - (\frac{3}{5} u_0)^2 = \frac{16}{25} u_0^2$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(D)$ માટે: $v_x^2 + v_z^2 = u_0^2 [(\frac{\sqrt{39}}{10})^2 + (\frac{1}{2})^2] = u_0^2 [\frac{39}{100} + \frac{1}{4}] = u_0^2 [\frac{39+25}{100}] = u_0^2 [\frac{64}{100}] = \frac{16}{25} u_0^2$. આ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) કણ એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec E = E\hat j$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B\hat j$ બંને હાજર છે.
કણ પર લાગતું બળ $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$ છે.
વિદ્યુત બળ માત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં લાગે છે,જેના કારણે પ્રવેગ $a_y = \frac{qE}{m}$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 + 2a_y y$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = 0$ (પ્રારંભિક વેગનો $y$-ઘટક શૂન્ય છે),આપણને $v_y^2 = 2 \left( \frac{qE}{m} \right) y$ મળે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec F_m = q(\vec v \times \vec B)$ હંમેશા વેગને લંબ હોય છે,તેથી તે કોઈ કાર્ય કરતું નથી અને કણની ઝડપમાં ફેરફાર કરતું નથી.
પ્રારંભિક ઝડપ $v_0 = |\vec v| = v$ છે.
અંતિમ ઝડપ $v_f$ એ $v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ કોઈ કાર્ય કરતું ન હોવાથી,ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે થાય છે: $\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv^2 = qEy$.
આમ,$v_f^2 = v^2 + \frac{2qEy}{m}$,જે આપણને $v_f = \sqrt{v^2 + \frac{2qEy}{m}}$ આપે છે.

(D) ધારો કે બે તાર $xz$-સમતલમાં $z$-અક્ષને સમાંતર $x = d/2$ અને $x = -d/2$ પર મૂકેલા છે.
પ્રવાહ $I$ (at $x = d/2$) અને $-I$ (at $x = -d/2$) છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર છે,જે બંને તારથી સમાન અંતરે છે.
પ્રથમ તારને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ એ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
બીજા તારને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પણ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2$ એ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભારનો વેગ $v$ એ તારના સમતલ ($xz$-સમતલ) ને લંબ છે,એટલે કે $v$ એ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ અને $B$ બંને $y$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
બે સમાંતર સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે,તેથી $v \times B = 0$.
તેથી,ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F = 0$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
આપેલ સમય $t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ છે.
$\frac{T}{2}$ સમયના ગાળામાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ વેગનો ઘટક ઉલટાઈ જાય છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\vec{B} = 2\hat{i}$ ને સમાંતર ઘટક $v_{\parallel} = 2\hat{i}$ છે.
લંબ ઘટક $\vec{v}_{\perp} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$t = \frac{T}{2}$ સમય પછી,વેગ $\vec{v} = v_{\parallel} - \vec{v}_{\perp} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$ થાય છે.
કણ અચળ ઝડપે સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે,ચોખ્ખું લોરેન્ટ્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
તેથી,$\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) = -((2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}) \times 2\hat{i})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{E} = -[2\hat{i} \times 2\hat{i} - 3\hat{j} \times 2\hat{i} - 4\hat{k} \times 2\hat{i}] = -[0 - 6(-\hat{k}) - 8(\hat{j})] = -[6\hat{k} - 8\hat{j}] = -6\hat{k} + 8\hat{j}$ એકમ.

(A) ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,જે $R = \frac{mv_0}{eB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક રીતે,વર્તુળાકાર પથનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર દીવાલથી $R$ અંતરે આવેલું છે.
ગોળાના કેન્દ્રથી વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $(b - R)$ છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $a$,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ અને અંતર $(b - R)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાંથી:
$a^2 + R^2 = (b - R)^2$
$a^2 + R^2 = b^2 + R^2 - 2bR$
$a^2 = b^2 - 2bR$
$2bR = b^2 - a^2$
$R = \frac{b^2 - a^2}{2b}$
$R = \frac{mv_0}{eB}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{mv_0}{eB} = \frac{b^2 - a^2}{2b}$
$B = \frac{2bmv_0}{(b^2 - a^2)e}$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $d = \frac{mv}{\sqrt{2}qB} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કણ દ્વારા વળેલ ખૂણો $\theta$ એ $\sin \theta = \frac{d}{R} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t_1 = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi/4}{qB/m} = \frac{m\pi}{4qB}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રહિત વિસ્તારમાં દીવાલ સુધી કાપેલું અંતર $d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે. આ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v} = \frac{R/\sqrt{2}}{v} = \frac{mv/qB}{\sqrt{2}v} = \frac{m}{\sqrt{2}qB}$ છે.
દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,કણ તેના માર્ગે પાછો ફરે છે. વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં બને તે માટેનો કુલ સમય $T = 2t_1 + 2t_2 = 2(\frac{m\pi}{4qB}) + 2(\frac{m}{\sqrt{2}qB}) = \frac{m\pi}{2qB} + \frac{2m}{qB} = \frac{m}{2qB}(\pi + 4)$.

(B) $1$. ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ વહેતા પ્રવાહ માટે,વાહકની ઉપર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પશ્ચિમ દિશામાં હોય છે.
$2$. ગતિમાન વીજભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$. આપેલ છે કે કણ ધન વીજભારિત $(q > 0)$ છે,ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે ($\vec{v}$ ઉત્તર છે),અને ઉપરની તરફ બળ ($\vec{F}$ ઉપર છે) અનુભવે છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે તે સ્થાને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પશ્ચિમ દિશામાં છે.
$4$. હવે,કણ વાહકની પૂર્વ દિશામાં છે તેમ ધારો. વાહક દ્વારા તેની પૂર્વમાં આવેલા બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ ઉપરની તરફ હોય છે.
$5$. કણનો વેગ $\vec{v}$ વાહકની તરફ (એટલે કે પશ્ચિમ તરફ) છે.
$6$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\vec{v}$ પશ્ચિમમાં છે અને $\vec{B}$ ઉપર છે. પરિણામી બળ $\vec{F}$ દક્ષિણ દિશામાં મળે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે. પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv_0}{eB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિતિ પરથી,ગોળાનું કેન્દ્ર,પ્રક્ષેપણ બિંદુ અને ઇલેક્ટ્રોનના વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો.
ગોળાના કેન્દ્રથી વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $(b - R)$ છે. ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે અને વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ છે. ઇલેક્ટ્રોન લંબરૂપે ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,પ્રક્ષેપણ બિંદુએ ગોળાની ત્રિજ્યા વેગ $v_0$ ને લંબ છે,જે વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(b - R)^2 = a^2 + R^2$.
$b^2 + R^2 - 2bR = a^2 + R^2$
$b^2 - a^2 = 2bR$
$R = \frac{b^2 - a^2}{2b}$
$R = \frac{mv_0}{eB}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{mv_0}{eB} = \frac{b^2 - a^2}{2b}$.
$B$ માટે ઉકેલતા,$B = \frac{2bmv_0}{(b^2 - a^2)e}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
આપેલ સમય $t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક કણ $t$ સમયમાં અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ સદિશો $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ એ $X$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $0^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
$t = \frac{T}{2}$ સમય પછી, કણો તેમના પ્રારંભિક બિંદુઓથી વ્યાસાંતે, ઉગમબિંદુથી $2R$ અંતરે હશે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1$ એ પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1$ ને લંબ ($Y$-અક્ષ પર) હશે અને $\vec{r}_2$ એ પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_2$ ને લંબ હશે.
$\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ એટલે કે $60^{\circ}$ હશે.
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{r}_1| = |\vec{r}_2| = 2R = \frac{2mv}{qB}$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = |\vec{r}_1| |\vec{r}_2| \cos(60^{\circ}) = (2R)(2R) \cos(60^{\circ}) = 4R^2 \times \frac{1}{2} = 2R^2$ થાય.
$R = \frac{mv}{qB}$ મૂકતા, આપણને $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 2(\frac{mv}{qB})^2$ મળે છે.

(B) $\alpha -$ કણ એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે જ્યાં $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ અને $\vec{B} = B_0 \hat{i}$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q_{\alpha} E_0 \hat{i}$ ને કારણે $x-$દિશામાં પ્રવેગ $a_x = \frac{q_{\alpha} E_0}{m_{\alpha}}$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q_{\alpha} (\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગને લંબ હોય છે,તેથી તે કોઈ કાર્ય કરતું નથી અને ઝડપમાં ફેરફાર કરતું નથી.
$t$ સમય પછી,$x-$દિશામાં વેગનો ઘટક $v_x = a_x t = \left( \frac{q_{\alpha} E_0}{m_{\alpha}} \right) \left( \sqrt{3} \times 10^7 \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha} E_0} \right) = \sqrt{3} \times 10^7 \ m/s$ થાય છે.
$y-$દિશામાં વેગનો ઘટક $v_y = v_0$ અચળ રહે છે.
અંતિમ ઝડપ $v_f = 2v_0$ આપેલ છે. તેથી,$v_f^2 = v_x^2 + v_y^2$.
$(2v_0)^2 = (\sqrt{3} \times 10^7)^2 + v_0^2$.
$4v_0^2 = 3 \times 10^{14} + v_0^2$.
$3v_0^2 = 3 \times 10^{14} \implies v_0^2 = 10^{14}$.
$v_0 = 10^7 \ m/s$.

(C) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં,આયન પર લાગતું વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સંતુલિત હોવું જોઈએ જેથી તે વિચલિત થયા વગર પસાર થઈ શકે:
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
ડિફ્લેક્શન ચેમ્બરમાં,ચુંબકીય બળ આયનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
$r = \frac{mv}{qB}$
$v = \frac{E}{B}$ ની કિંમત મૂકતા અને એક આયન માટે $q = e$ લેતા:
$r = \frac{m(E/B)}{eB} = \frac{mE}{eB^2}$