Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(B) ચુંબકીય બળનું સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ છે. વેગમાન $P = mv$ અચળ હોવાથી, $v = P/m$ લખી શકાય. તેથી, $F = q(P/m)B = (P B) \cdot (q/m)$.
અહીં $P$ અને $B$ અચળ હોવાથી, $F \propto q/m$.
પ્રોટોન $(p)$, ડ્યુટેરોન $(d)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે:
$q_p = e, m_p = m$
$q_d = e, m_d = 2m$
$q_{\alpha} = 2e, m_{\alpha} = 4m$
બળોનો ગુણોત્તર $F_p : F_d : F_{\alpha} = \frac{e}{m} : \frac{e}{2m} : \frac{2e}{4m} = 1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 2 : 1 : 1$.
ઝડપ માટે, $P = mv \Rightarrow v = P/m$. $P$ અચળ હોવાથી, $v \propto 1/m$.
ઝડપનો ગુણોત્તર $v_p : v_d : v_{\alpha} = \frac{1}{m} : \frac{1}{2m} : \frac{1}{4m} = 1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = 4 : 2 : 1$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
અહીં $K$ અને $B$ બંને આયનો માટે અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
હલકા આયન માટે $(m_1 = 4, q_1 = 2)$: $R_1 \propto \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$.
ભારે આયન માટે $(m_2 = 16, q_2 = 3)$: $R_2 \propto \frac{\sqrt{16}}{3} = \frac{4}{3}$.
અહીં $R_2 > R_1$ હોવાથી,ભારે આયનના પથની ત્રિજ્યા મોટી છે.
વિચલન $\theta$ એ પથની ત્રિજ્યા $R$ સાથે $\sin \theta = \frac{d}{R}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $d$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ છે.
કારણ કે $\theta \propto \frac{1}{R}$,તેથી નાની ત્રિજ્યા $R$ એ મોટા વિચલન $\theta$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,હલકો આયન (નાની $R$ સાથે) ભારે આયન કરતા વધુ વિચલિત થશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(kz)$ છે.
$z = \pi/k$ પર વિદ્યુતભાર $q_1 = 4\pi$ માટે:
$\vec{B}_1 = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(k \cdot \frac{\pi}{k}) = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(\pi) = -B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{F}_1 = q_1(\vec{v} \times \vec{B}_1) = 4\pi (0.5c\hat{i} \times (-B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}})) = -\frac{2\pi c B_0}{\sqrt{2}} \hat{k}$.
$z = 3\pi/k$ પર વિદ્યુતભાર $q_2 = 2\pi$ માટે:
$\vec{B}_2 = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(k \cdot \frac{3\pi}{k}) = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(3\pi) = -B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{F}_2 = q_2(\vec{v} \times \vec{B}_2) = 2\pi (0.5c\hat{i} \times (-B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}})) = -\frac{\pi c B_0}{\sqrt{2}} \hat{k}$.
બળોના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{2\pi c B_0 / \sqrt{2}}{\pi c B_0 / \sqrt{2}} = 2 : 1$ છે.

(D) અનંત લંબાઈના સીધા વાહક દ્વારા $R$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$
આપેલ છે: $I = 5 \, A$,$R = 20 \, cm = 0.2 \, m$,$v = 10^{5} \, m/s$,$q = e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{2 \pi \times 0.2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.2} = 5 \times 10^{-6} \, T$.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન વાહકને સમાંતર ગતિ કરતું હોવાથી,વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જે વાહક અને ઇલેક્ટ્રોનના પથના સમતલને લંબ છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$F = qvB \sin 90^{\circ} = qvB$
$F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (10^{5} \, m/s) \times (5 \times 10^{-6} \, T)$
$F = 8 \times 10^{-20} \, N$.
આમ,બળનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-20} \, N$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$K$ એ ગતિઊર્જા,$q$ એ વિદ્યુતભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે બંને કણોની ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને તેઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દાખલ થાય છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{d}}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2m_{d}K} / (q_{d}B)}{\sqrt{2m_{\alpha}K} / (q_{\alpha}B)} = \sqrt{\frac{m_{d}}{m_{\alpha}}} \cdot \frac{q_{\alpha}}{q_{d}}$ થાય.
ડ્યુટેરોન માટે,દળ $m_{d} = 2m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{d} = e$ છે. આલ્ફા કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_{d}}{r_{\alpha}} = \sqrt{\frac{2m_{p}}{4m_{p}}} \cdot \frac{2e}{e} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે દળ $m$ સમાન છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે,તેથી ત્રિજ્યા એ ઝડપ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $R \propto \frac{v}{q}$.
તેથી,ત્રિજ્યાઓ $R_1$ અને $R_2$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1}{q_1} \times \frac{q_2}{v_2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right) \times \left(\frac{q_2}{q_1}\right)$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{q_1}{q_2} = \frac{1}{2}$ છે (જેનો અર્થ છે કે $\frac{q_2}{q_1} = \frac{2}{1}$).
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{3}$.
આમ,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
અહીં $K$ અને $B$ અચળ હોવાથી, $R \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $= m$, વિદ્યુતભાર $= e$. તેથી, $R_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: દળ $= 2m$, વિદ્યુતભાર $= e$. તેથી, $R_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $= 4m$, વિદ્યુતભાર $= 2e$. તેથી, $R_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e}$.
આમ, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $R_p : R_d : R_{\alpha} = \frac{\sqrt{m}}{e} : \frac{\sqrt{2m}}{e} : \frac{\sqrt{m}}{e} = 1 : \sqrt{2} : 1$ થાય.

(A) ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ એ વેગ $\overrightarrow{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,બળ હંમેશા વેગને લંબ હોય છે $(\overrightarrow{F} \perp \overrightarrow{v})$.
ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} = \int \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} dt$ છે.
$\overrightarrow{F} \perp \overrightarrow{v}$ હોવાથી,ડોટ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ થાય છે,તેથી કાર્ય $0$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય $0$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જા અચળ રહે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અચળ હોવાથી,કણની ઝડપ $v$ પણ અચળ રહે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$K$ એ ગતિઊર્જા,$q$ એ વિદ્યુતભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જો કણો સમાન વેગથી ગતિ કરતા હોય,તો $R = \frac{mv}{qB}$ મુજબ,$\frac{R_{\alpha}}{R_{p}} = \frac{m_{\alpha}}{m_{p}} \times \frac{q_{p}}{q_{\alpha}}$.
આલ્ફા કણનું દળ $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_{p}$ છે.
તેથી,$\frac{R_{\alpha}}{R_{p}} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = 2:1$.

(C) બિંદુ $P$ પર વાહક $S_{1}$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ (અંતર $r_{1} = 4 \, cm = 0.04 \, m$) પાનાની અંદરની તરફ ($-\hat{k}$ દિશામાં) છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi r_{1}} = \frac{\mu_{0} \times 4}{2 \pi \times 0.04} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \times 100 \, T$ ($-\hat{k}$ દિશામાં).
બિંદુ $P$ પર વાહક $S_{2}$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2}$ (અંતર $r_{2} = 10 \, cm - 4 \, cm = 6 \, cm = 0.06 \, m$) પાનાની બહારની તરફ ($+\hat{k}$ દિશામાં) છે:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi r_{2}} = \frac{\mu_{0} \times 2}{2 \pi \times 0.06} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \times \frac{100}{3} \, T$ ($+\hat{k}$ દિશામાં).
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}_{net} = B_{1} + B_{2} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \left( -100 + \frac{100}{3} \right) \hat{k} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \left( -\frac{200}{3} \right) \hat{k} = -\frac{100 \mu_{0}}{3 \pi} \hat{k} \, T$.
લોરેન્ટ્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) = 3 \pi \left[ (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \times \left( -\frac{100 \mu_{0}}{3 \pi} \hat{k} \right) \right]$.
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ લેતા,$\frac{\mu_{0}}{2 \pi} = 2 \times 10^{-7}$ મળે.
$\overrightarrow{F} = 3 \pi \times \left( -\frac{200}{3} \times 10^{-7} \right) [ 2(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{j} \times \hat{k}) ]$.
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ હોવાથી:
$\overrightarrow{F} = -200 \pi \times 10^{-7} [ -2 \hat{j} + 3 \hat{i} ] = 2 \pi \times 10^{-5} [ 2 \hat{j} - 3 \hat{i} ] = 4 \pi \times 10^{-5} [ -1.5 \hat{i} + \hat{j} ]$.
આને $4 \pi \times 10^{-5} (-x \hat{i} + 2 \hat{j})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ મળે.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ અને પ્રોટોન $(p)$ માટે:
ડ્યુટેરોનનું દળ $m_d = 2m_p$,વિદ્યુતભાર $q_d = e$.
પ્રોટોનનું દળ $m_p = m_p$,વિદ્યુતભાર $q_p = e$.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા સમાન છે $(K_d = K_p = K)$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર: $\frac{r_d}{r_p} = \frac{\sqrt{2m_d K} / eB}{\sqrt{2m_p K} / eB} = \sqrt{\frac{m_d}{m_p}} = \sqrt{\frac{2m_p}{m_p}} = \sqrt{2}$.
$\frac{r_d}{r_p} = \sqrt{2} : 1$ ને $\sqrt{x} : 1$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: મેગ્નેશિયમ આયનનું દળ $m = 24 \times 1.66 \times 10^{-27} \, kg \approx 3.984 \times 10^{-26} \, kg$. ગતિઊર્જા $K = 5 \, keV = 5000 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 8 \times 10^{-16} \, J$. વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \, T$.
પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2 \times 3.984 \times 10^{-26} \times 8 \times 10^{-16}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5}$.
$R = \frac{\sqrt{63.744 \times 10^{-42}}}{0.8 \times 10^{-19}} = \frac{7.984 \times 10^{-21}}{0.8 \times 10^{-19}} \approx 9.98 \times 10^{-2} \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $R \approx 9.98 \times 10^{-2} \times 100 \, cm \approx 10 \, cm$.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગે છે,જે તેની ઝડપ અને ગતિઊર્જા બદલી શકે છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી ચુંબકીય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \int \vec{F}_m \cdot d\vec{r} = \int (\vec{F}_m \cdot \vec{v}) dt = 0$ થાય છે. આમ,તે ગતિઊર્જા બદલતું નથી.
વિધાન $II$ ખોટું છે: વિદ્યુત બળ ધન વિદ્યુતભારિત કણને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રવેગિત કરે છે,તેને લંબ નહીં. ચુંબકીય બળ વિદ્યુતભારિત કણના વેગને લંબ રૂપે લાગે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં નહીં.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{eB}{2 \pi m}$
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1 \times 10^{-4} \, Wb/m^2$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.0 \times 10^{-31} \, kg$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}}{2 \times 3.14159 \times 9.0 \times 10^{-31}}$
$f = \frac{1.6 \times 10^{-23}}{56.548 \times 10^{-31}}$
$f \approx 0.2829 \times 10^8 \, Hz = 2.8 \times 10^6 \, Hz$
આમ,પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $2.8 \times 10^6 \, Hz$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારીત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
વિદ્યુતભાર $q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$q = \frac{\sqrt{2mK}}{RB}$ મળે.
અહીં $K$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \times \frac{R_2}{R_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}$ અને $\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{4}$,તેથી $\frac{q_1}{q_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} \times \frac{5}{6} = \frac{3}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

(A) વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં કણ વિચલિત થયા વગર પસાર થાય તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોવા જોઈએ: $qE = qvB$,જેનો અર્થ છે $E = vB$.
પ્રથમ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $K = 728 \, eV$ નો ઉપયોગ કરીને તેનો વેગ $v$ શોધો:
$K = \frac{1}{2} mv^2$
$728 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \, kg \times v^2$
$v^2 = \frac{2 \times 728 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}$
$v^2 = 256 \times 10^{12} \, m^2/s^2$
$v = 16 \times 10^6 \, m/s$
હવે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ગણતરી કરો:
$E = vB = (16 \times 10^6 \, m/s) \times (12 \times 10^{-3} \, T)$
$E = 192 \times 10^3 \, V/m = 192 \, kV/m$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{F} = m\vec{a}$ હોવાથી,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે.
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{B} = 0$.
અહીં $\vec{a} = (\alpha \hat{i} - 4 \hat{j})$ અને $\vec{B} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j})$ આપેલ છે,તેથી:
$(\alpha \hat{i} - 4 \hat{j}) \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 0$
$2\alpha - 12 = 0$
$2\alpha = 12$
$\alpha = 6$.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y < 0$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની બહારની તરફ (ધન $z$-દિશા) છે અને વેગ $\vec{v}$ એ $-y$-દિશામાં છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $\vec{F}$ એ $-x$-દિશામાં લાગે છે. આમ,પ્રોટોન ડાબી તરફ અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
જ્યારે પ્રોટોન $y = 0$ ને ઓળંગીને $y > 0$ વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની અંદરની તરફ (ઋણ $z$-દિશા) હોય છે. હવે વેગ $\vec{v}$ એ $+y$-દિશામાં છે. $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $\vec{F}$ એ $-x$-દિશામાં લાગે છે. આમ,પ્રોટોન તે જ દિશામાં વળાંક લેવાનું ચાલુ રાખે છે,અને $xy$-સમતલમાં એક સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર માર્ગ પૂર્ણ કરે છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,ગતિપથ એક સંપૂર્ણ વર્તુળ છે,જે આપેલ ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ દ્રશ્ય રજૂઆત સાથે મેળ ખાય છે.

(B) વેગને લંબરૂપે રહેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો ગતિપથ વર્તુળાકાર હોય છે.
આ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = \frac{mv}{Bq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V$ જેટલા સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા આયન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
$R$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \frac{m}{Bq} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{Bq} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે છે.
આયન સ્ક્રીન સાથે અથડાય તે માટે,તેના પથની ત્રિજ્યા ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારની પહોળાઈ $\omega$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,એટલે કે $R > \omega$.
તેથી,$\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}} > \omega$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{2mV}{B^2q} > \omega^2$ મળે છે.
$q$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $q < \frac{2mV}{B^2\omega^2}$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
ચુંબકીય બળ $F$ હંમેશા ઇલેક્ટ્રોનના વેગ સદિશ $v$ ને લંબ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર ચુંબકીય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય છે,કારણ કે $W = F \cdot d = F \cdot (v \Delta t) = (F \cdot v) \Delta t = 0$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિ ઊર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ અચળ હોવાથી અને દળ $m$ અચળ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ પણ અચળ રહે છે. જોકે,વેગની દિશા બદલાય છે,તેથી વેગમાન $(p = mv)$ અચળ રહેતું નથી,અને જેમ ઇલેક્ટ્રોન ગતિ કરે છે તેમ બળની દિશા બદલાય છે,તેથી બળ અચળ રહેતું નથી.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દાખલ થાય છે,ત્યારે તે $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,કણ $a$ બાજુવાળા ચોરસની એક બાજુને લંબરૂપે દાખલ થાય છે અને $\theta$ ખૂણે વિચલિત થયા પછી બહાર નીકળે છે. ત્રિજ્યા $r$,બાજુ $a$ અને માર્ગ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણને મળે છે:
$\sin \theta = \frac{a}{r}$
તેથી,$r = \frac{a}{\sin \theta} = a \csc \theta$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{mv}{qB} = a \csc \theta$
ઝડપ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{qB}{m} a \csc \theta$
નોંધ: જો વિચલન કોણ $\theta$ નાનો હોય,તો $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta$ લઈ શકાય. જોકે,આપેલા પ્રમાણિત વિકલ્પોને આધારે,ભૂમિતિ પરથી મેળવેલ સંબંધ $r = a / \sin \theta$ છે. વિકલ્પોને જોતા,જો આપણે $\sin \theta \approx \tan \theta$ નું અંદાજિત મૂલ્ય ન લઈએ,તો સાચું સ્વરૂપ $v = \frac{qBa}{m \sin \theta}$ છે. જો પ્રશ્ન ચોક્કસ ભૂમિતિક સંબંધ $r \sin \theta = a$ સૂચવે છે અને વિકલ્પો $1/\sin \theta$ માટે $\cot \theta$ નો અંદાજ તરીકે ઉપયોગ કરે છે,તો વિકલ્પ $(A)$ એ આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટે પ્રમાણિત સ્વીકૃત જવાબ છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$. આપેલ છે કે વેગ $\vec{v}$ એ $+x$ દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $+y$ દિશામાં છે,તેથી ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = -e(v\hat{i} \times B\hat{j}) = -evB\hat{k}$ થશે.
આ બળ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ($-z$ દિશામાં) લાગે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને વિચલિત થતો અટકાવવા માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e$ એ ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. આમ,$\vec{F}_e = -\vec{F}_m = +evB\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{F}_e = q\vec{E} = -e\vec{E}$,આપણી પાસે $-e\vec{E} = evB\hat{k}$ છે,જે $\vec{E} = -vB\hat{k}$ આપે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા $-z$ દિશામાં છે,જે કાગળના સમતલને લંબ અને કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
બળ $F$ એ $v$ અને $B$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા વેગ સદિશ $v$ ને લંબ હોય છે.
બળ દ્વારા સ્થાનાંતર $ds$ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \int F \cdot ds$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $ds = v dt$ હોવાથી,આપણને $W = \int (F \cdot v) dt$ મળે છે.
કારણ કે $F$ એ $v$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $F \cdot v = 0$ થાય છે.
તેથી,ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે,પછી ભલે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા ગમે તે હોય.
આમ,$W_1 = W_2 = 0$.

(C) ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ માં વિદ્યુતભારીત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ છે. કણ બાજુ $AB$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશે છે અને $30^{\circ}$ ના વિચલન કોણ $\theta$ સાથે બાજુ $BC$ માંથી બહાર નીકળે છે.
પથની ભૂમિતિ પરથી,બાજુ $BC$ થી પ્રવેશ બિંદુ સુધીનું અંતર $x$ એ $R - x = R \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$x = R(1 - \cos 30^{\circ}) = R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાઈને $B'$ થાય છે,ત્યારે પથની ત્રિજ્યા $R' = \frac{mv}{qB'}$ બને છે. વિચલન કોણ $\theta' = 60^{\circ}$ થાય છે.
પ્રદેશની ભૂમિતિ નિશ્ચિત હોવાથી બહાર નીકળવાનું બિંદુ $x$ સમાન રહે છે. તેથી,$R' - x = R' \cos 60^{\circ}$.
$x = R'(1 - \cos 60^{\circ}) = R'(1 - \frac{1}{2}) = \frac{R'}{2}$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{R'}{2} \Rightarrow R' = 2R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = R(2 - \sqrt{3})$.
કારણ કે $R = \frac{mv}{qB_0}$ અને $R' = \frac{mv}{qB'}$,તેથી $\frac{1}{B'} = \frac{2 - \sqrt{3}}{B_0}$.
$B' = \frac{B_0}{2 - \sqrt{3}} = B_0(2 + \sqrt{3})$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v} = v\hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B\hat{j}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\vec{F} = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,તેથી બળ $\vec{F} = -evB\hat{k}$ થશે.
આ દર્શાવે છે કે બળ $z$-અક્ષની ઋણ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 \pi m}{q B}$
જ્યાં $m$ એ પ્રોટોનનું દળ છે અને $q$ એ તેનો વિદ્યુતભાર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સમયગાળો $T$ એ કણના વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો વેગ $v$ થી બદલાઈને $2v$ થાય,તો પણ સમયગાળો બદલાતો નથી.
આમ,નવો સમયગાળો $T$ જ રહેશે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ છે.
$K = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2} m v^2 = qV$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
જ્યારે વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{R}$.
આ સમીકરણ $R = \frac{mv}{qB}$ માં પરિણમે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 = \frac{2mV}{qB^2}$.
વીજભાર અને દળના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{q}{m} = \frac{2V}{B^2 R^2}$.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તેના પર ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ લાગે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = W = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે ગતિ ઉર્જા (અને તેથી ઝડપ) અચળ રહે છે.
જો કે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરતું હોવાથી,તે વેગ સદિશ $\vec{v}$ ની દિશા બદલે છે. વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,વેગની દિશામાં ફેરફાર થવાથી વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,ઉર્જા અચળ રહે છે,પરંતુ વેગમાન બદલાય છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો તફાવત પારખવા માટે,આપણે વિદ્યુતભારિત કણને વિરુદ્ધ દિશાઓમાંથી ફેંકી શકીએ છીએ.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં,વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ છે. આ બળ કણના વેગથી સ્વતંત્ર છે. જો આપણે વિદ્યુતભારને વિરુદ્ધ દિશાઓમાંથી ફેંકીએ,તો બળનું મૂલ્ય અને દિશા સમાન રહે છે,જેના કારણે કણ ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં એક જ દિશામાં વિચલિત થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં,વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે. આ બળ વેગ $\vec{v}$ પર આધાર રાખે છે. જો આપણે વેગની દિશા ઉલટાવીએ (વિરુદ્ધ દિશાઓમાંથી ફેંકીએ),તો ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ ની દિશા પણ ઉલટાઈ જાય છે. તેથી,કણ ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશાઓમાં વિચલિત થશે,જે આપણને બંને ક્ષેત્રો વચ્ચેનો તફાવત પારખવામાં મદદ કરે છે.

(C) સાચો જવાબ $(c)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશને લંબ હોવાથી $(\vec{F} \perp \vec{v})$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,કણની ગતિઊર્જા અને ઝડપ અચળ રહે છે.
જોકે,બળ વેગને લંબ રૂપે લાગતું હોવાથી,તે કણની ગતિની દિશા બદલવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી $(\vec{F} \perp \vec{v})$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી. તેથી,કણની ગતિઊર્જા અને ઝડપ અચળ રહે છે,એટલે કે $v_1 = v_2$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની સંમિતિને કારણે,પ્રવેશનો ખૂણો $\alpha$ એ બહાર નીકળવાના ખૂણા $\beta$ જેટલો હોય છે,તેથી $\alpha = \beta$.
કણ વર્તુળાકાર ચાપને અનુસરે છે. કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $2(\pi - \alpha)$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\theta}{\omega}$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{qB}{m}$. તેથી,$t = \frac{2(\pi - \alpha)m}{qB}$.
આમ,બધા જ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે કારણ કે ચુંબકીય બળ વેગને લંબરૂપે લાગે છે.
આપેલ છે કે એકમ દળ દીઠ વિદ્યુતભાર $\frac{q}{m} = \alpha$.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{v_0}{\alpha B_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર $x$-અક્ષની દિશામાં વેગ સાથે મુક્ત થાય છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $-z$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q(v_0 \hat{i} \times -B_0 \hat{k}) = q v_0 B_0 \hat{j}$ એ $+y$ દિશામાં લાગે છે.
કણ $(0, y, 0)$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,અંતર $y$ એ વર્તુળાકાર માર્ગના વ્યાસ જેટલું છે.
$y = 2R = 2 \left( \frac{v_0}{\alpha B_0} \right) = \frac{2 v_0}{\alpha B_0}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ની હાજરીમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(E + v \times B)$.
વેગ અચળ રહે તે માટે,ચોખ્ખું બળ $F$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$(i)$ જો $E=0$ અને $B \neq 0$ હોય,તો પ્રોટોન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર ગતિ કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં,ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B) = 0$ થાય છે કારણ કે $v$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ છે. આમ,વેગ અચળ રહે છે.
$(ii)$ જો $E \neq 0$ અને $B \neq 0$ હોય,તો વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ અને ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ સમાન અને વિરુદ્ધ હોઈ શકે છે,જેથી $F_e + F_m = 0$ થાય. આ વેલોસિટી સિલેક્ટરનો સિદ્ધાંત છે.
પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે વિસ્તારમાં શું હોઈ શકે,અને વિકલ્પ $A$ $(E=0, B \neq 0)$ એક માન્ય સ્થિતિ છે જ્યાં પ્રોટોન પર કોઈ બળ લાગતું નથી,તેથી તે એક સાચી શક્યતા છે.

(A) લાંબા સીધા તાર દ્વારા વિદ્યુતભાર $Q$ ના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા).
વિદ્યુતભારનો વેગ $\vec{v}$ એ ધન $Y$-અક્ષની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v} \times \vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
- $\vec{v}$ એ $+Y$ દિશામાં છે.
- $\vec{B}$ એ $-Z$ દિશામાં (કાગળની અંદર) છે.
- પરિણામી બળ $\vec{F}$ તાર તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે ઋણ $X$ દિશામાં છે ($OX$ ની વિરુદ્ધ).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
જ્યારે કણ $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થાય,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^2 = \frac{2mV}{B^2 q} \implies m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$.
આપેલ છે: $q = 2 \times 10^{-6}\,C$,$V = 100\,V$,$B = 4 \times 10^{-3}\,T$,$r = 3 \times 10^{-2}\,m$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{(3 \times 10^{-2})^2 \times (2 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-3})^2}{2 \times 100}$.
$m = \frac{(9 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{-6}) \times (16 \times 10^{-6})}{200} = \frac{288 \times 10^{-16}}{200} = 1.44 \times 10^{-16}\,kg = 144 \times 10^{-18}\,kg$.

(C) ગતિઊર્જા $K = 2.0 \, eV = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$.
વેગ $v$ એ $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-27}}} = \sqrt{4 \times 10^8} = 2 \times 10^4 \, m/s$.
હેલિકલ પથની પિચ $p$ એ $p = (v \cos \theta) \times T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = \frac{2\pi m}{qB}$ એ આવર્તકાળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $p = v \cos 60^{\circ} \times \frac{2\pi m}{qB}$.
$p = (2 \times 10^4) \times \frac{1}{2} \times \frac{2\pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\frac{\pi}{2} \times 10^{-3})}$.
$p = 10^4 \times \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.5 \times 10^{-3}} = 10^4 \times 4 \times 10^{-5} = 0.4 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $p = 0.4 \times 100 = 40 \, cm$.

(C) ધારો કે $v_1$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર વેગનો ઘટક છે અને $v_2$ એ $B$ ને લંબ ઘટક છે.
$1$. સમાંતર ઘટક $v_1$ ને કારણે,ચુંબકીય બળ $F = q(v_1 \times B) = q v_1 B \sin(0^{\circ}) = 0$ થાય છે. આમ,કણ $B$ ની દિશામાં અચળ વેગ $v_1$ થી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$2$. લંબ ઘટક $v_2$ ને કારણે,ચુંબકીય બળ $F = q(v_2 \times B)$ એ $v_2$ અને $B$ બંનેને લંબ લાગે છે,જે $B$ ને લંબ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$3$. $B$ ની દિશામાં સમાન રેખીય ગતિ અને $B$ ને લંબ સમતલમાં સમાન વર્તુળાકાર ગતિના સંયોજનને કારણે હેલિકલ પથ રચાય છે,જેમાં હેલિક્સની ધરી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર હોય છે.

(B) લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સોલેનોઇડની અક્ષ પર $\overrightarrow{v}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
કારણ કે $\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ સમાંતર છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
તેથી,ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin(0^{\circ}) = 0$ થાય છે.
ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ બળ લાગશે નહીં અને તે અચળ વેગ સાથે અક્ષ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
આમ,વિધાનો $B$ અને $C$ સાચા છે.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$. વેગ સદિશ $\overrightarrow{v} = v\hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = -B\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{F} = -e(v\hat{i} \times -B\hat{k}) = evB(\hat{i} \times \hat{k}) = evB(-\hat{j})$.
આમ,બળ ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં લાગે છે ($B$ સાચું છે).
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે ($E$ સાચું છે).
તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $E$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $KE = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
આ કિંમતને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$R \propto \sqrt{m}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m \propto R^2$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_X}{m_Y} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$ થશે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 4.0 \mu C = 4.0 \times 10^{-6} \ C$.
વેગ $\vec{v} = 4.0 \times 10^6 \hat{j} \ m/s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2 \hat{k} \ T$.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{F} = (4.0 \times 10^{-6} \ C) \times (4.0 \times 10^6 \hat{j} \ m/s \times 2 \hat{k} \ T)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમ $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\vec{F} = (4.0 \times 10^{-6}) \times (8.0 \times 10^6) \hat{i} \ N$.
$\vec{F} = 32 \hat{i} \ N$.
આને $\vec{F} = x \hat{i} \ N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 32$ મળે છે.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5e \hat{k} = -e(3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (B_0 \hat{i} + 2 B_0 \hat{j})$.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \times (B_0 \hat{i} + 2 B_0 \hat{j}) = 3(2 B_0) \hat{k} + 5(B_0) (-\hat{k}) = 6 B_0 \hat{k} - 5 B_0 \hat{k} = B_0 \hat{k}$.
આમ,$5e \hat{k} = -e(B_0 \hat{k})$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$B_0 = 5 \ T$ મળે છે.

(B) લાંબા પ્રવાહધારિત સોલેનોઇડની અંદર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમાન હોય છે અને તે સોલેનોઇડની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને અક્ષની દિશામાં વેગ $\vec{v}$ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે (એટલે કે,$\vec{v} \parallel \vec{B}$).
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F} = qvB \sin \theta$ છે. અહીં $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ છે,તેથી $\sin \theta = 0$ થાય.
તેથી,ચુંબકીય બળ $\vec{F} = 0$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું ન હોવાથી,તે સોલેનોઇડની અક્ષ પર તેના પ્રારંભિક સમાન વેગ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,ચોખ્ખું લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$F_{net} = F_e + F_m = 0$
$qE = qvB$
$E = vB$
ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}}$.
અહીં $KE = 5 \ eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ અને $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16}{9} \times 10^{12}} = \frac{4}{3} \times 10^6 \ m/s$.
હવે,$B = 3 \ \mu T = 3 \times 10^{-6} \ T$ સાથે $E = vB$ ની ગણતરી કરતા:
$E = (\frac{4}{3} \times 10^6) \times (3 \times 10^{-6}) = 4 \ N C^{-1}$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2m(K.E.)}}{qB}$
અહીં બંને કણો સમાન ગતિઊર્જા $(K.E.)$ ધરાવે છે અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ માં ગતિ કરે છે,તેથી:
$R \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. ડ્યુટેરોન માટે,$m_d = 2m$ અને $q_d = e$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_d}{r_p} = \frac{\sqrt{m_d}/q_d}{\sqrt{m_p}/q_p} = \sqrt{\frac{m_d}{m_p}} \times \frac{q_p}{q_d}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_d}{r_p} = \sqrt{\frac{2m}{m}} \times \frac{e}{e} = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$
તેથી,$r_d : r_p$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{2} : 1$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a < x < 2a$ વિસ્તાર માટે,$\overrightarrow{v} = v_0 \hat{i}$ અને $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{j}$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{F} = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$.
બળ $+\hat{k}$ દિશામાં હોવાથી,ગતિપથ ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ (concave upward) હશે.
$2a < x < 3a$ વિસ્તાર માટે,$\overrightarrow{v}$ નો $\hat{k}$ દિશામાં ઘટક છે,પરંતુ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ છે.
બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times -B_0 \hat{j})$ હવે $-\hat{k}$ દિશામાં ઘટક ધરાવશે.
તેથી,આ વિસ્તારમાં ગતિપથ નીચેની તરફ અંતર્ગોળ (concave downward) હશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ ગતિપથ આ વર્તણૂક સાથે મેળ ખાય છે.

(A,D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગ $V$ ને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $R = \frac{mV}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
કણ વિસ્તાર $III$ માં પ્રવેશે તે માટે,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા વિસ્તારની પહોળાઈ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,એટલે કે $R > \ell$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{mV}{qB} > \ell$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V > \frac{qB\ell}{m}$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(B)$ ખોટું છે.
જો $R < \ell$ હોય,તો કણ અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરીને વિસ્તાર $I$ માં પાછો ફરે છે. વિસ્તાર $II$ માં પથની લંબાઈ $\pi R = \pi \frac{mV}{qB}$ છે. આ $V$ સાથે વધે છે જ્યાં સુધી $R = \ell$ ન થાય,તેથી $(C)$ ખોટું છે.
જો કણ વિસ્તાર $I$ માં પાછો ફરે છે,તો તે અર્ધવર્તુળ કાપે છે. વિતાવેલો સમય $t = \frac{\pi m}{qB}$ છે,જે વેગ $V$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(D)$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R' = \frac{p}{QB}$ છે.
કણ $(0, -R)$ પર પ્રવેશ કરે છે. વર્તુળાકાર પથનું કેન્દ્ર $(R', 0)$ પર છે.
કણ ફરીથી વિસ્તાર $1$ માં પ્રવેશ કરે તે માટે,ત્રિજ્યા $R'$ એ વિસ્તારની પહોળાઈ $d = \frac{3R}{2}$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
જો $R' < \frac{3R}{2}$ હોય,તો $\frac{p}{QB} < \frac{3R}{2} \implies B > \frac{2p}{3QR}$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
કણ $P_2(3R/2, 0)$ પર બહાર નીકળે તે માટે,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3R/2, -R')$ પર હોવું જોઈએ. કેન્દ્ર $(3R/2, -R')$ થી પ્રવેશ બિંદુ $(0, -R)$ સુધીનું અંતર $R'$ હોવું જોઈએ.
$(3R/2)^2 + (R' - R)^2 = R'^2 \implies \frac{9R^2}{4} + R'^2 - 2R'R + R^2 = R'^2 \implies \frac{13R^2}{4} = 2R'R \implies R' = \frac{13R}{8}$.
$R' = \frac{p}{QB}$ હોવાથી,આપણને $\frac{p}{QB} = \frac{13R}{8} \implies B = \frac{8p}{13QR}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે ફરીથી પ્રવેશવાનું અંતર $R'$ પર આધાર રાખે છે,જે $p = mv$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી નિશ્ચિત વેગ $v$ માટે તે દળ $m$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y > 0$ વિસ્તાર માટે, ત્રિજ્યા $R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ છે.
$y < 0$ વિસ્તાર માટે, ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{mv_0}{qB_2}$ છે.
આપેલ છે કે $B_2 = 4B_1$, તેથી $R_2 = \frac{mv_0}{q(4B_1)} = \frac{R_1}{4}$.
કણ $y > 0$ વિસ્તારમાં અર્ધવર્તુળમાં ગતિ કરે છે અને ત્યારબાદ $x$-અક્ષને ફરીથી ઓળંગતા પહેલા $y < 0$ વિસ્તારમાં અર્ધવર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
$x$-અક્ષ પર કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x = 2R_1 + 2R_2 = 2R_1 + 2(\frac{R_1}{4}) = 2R_1 + \frac{R_1}{2} = \frac{5R_1}{2}$ છે.
$y > 0$ વિસ્તારમાં અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ છે.
$y < 0$ વિસ્તારમાં અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{\pi m}{qB_2} = \frac{\pi m}{q(4B_1)} = \frac{t_1}{4}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $T = t_1 + t_2 = t_1 + \frac{t_1}{4} = \frac{5t_1}{4}$ છે.
$x$-અક્ષ પર સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\Delta x}{T} = \frac{5R_1/2}{5t_1/4} = \frac{5R_1}{2} \times \frac{4}{5t_1} = \frac{2R_1}{t_1}$ છે.
$R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ અને $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ મૂકતા, આપણને $v_{avg} = \frac{2(mv_0/qB_1)}{\pi m/qB_1} = \frac{2v_0}{\pi}$ મળે છે.
$v_0 = \pi \text{ m s}^{-1}$ આપેલ હોવાથી, સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{2(\pi)}{\pi} = 2 \text{ m s}^{-1}$ થાય છે.