Lorentz Force Questions in Gujarati

(A) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર $\overrightarrow{v}$ વેગ સાથે એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ બંને હાજર હોય,ત્યારે તે બે બળો અનુભવે છે:
$1$. વિદ્યુત બળ: $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$
$2$. ચુંબકીય બળ (લોરેન્ઝ બળ): $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
કુલ બળ,જેને લોરેન્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે,તે આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_e} + \overrightarrow{F_m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન જેવો વિદ્યુતભારિત કણ એવા વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે તે લોરેન્ઝ બળ અનુભવે છે જે $F = q(E + v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v)$ એવો હોય કે જેથી વિદ્યુત બળ $(F_e = qE)$ અને ચુંબકીય બળ $(F_m = q(v \times B))$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય,તો ઇલેક્ટ્રોન પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ સ્થિતિમાં,ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ વિચલન વગર આ વિસ્તારમાંથી પસાર થશે.
તેથી,જો વેગ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે જેથી $v = E/B$ થાય,તો ઇલેક્ટ્રોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરી શકે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં $\overrightarrow{v}$ વેગથી ગતિ કરતા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = Q[\overrightarrow{E} + (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})]$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે લોરેન્ઝ બળનું મૂલ્ય કણના વિદ્યુતભાર $Q$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$F \propto Q$.

(D) જ્યારે કોઈ કણ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બંને ધરાવતા વિસ્તારમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય,ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ટ્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
કુલ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંનેના મૂલ્યો બમણા કરવામાં આવે,તો નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = 2E$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = 2B$ થશે.
નવું બળનું સમીકરણ $\vec{F}' = q(2\vec{E} + \vec{v} \times 2\vec{B}) = 2q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ થશે.
મૂળ શરત $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$ હોવાથી,નવું બળ $\vec{F}'$ પણ શૂન્ય જ રહેશે. તેથી,કણ વિચલિત થયા વગર પસાર થશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = qvB \sin \theta$.
પરિમાણોને ધ્યાનમાં લેતા,$[F] = [q][v][B]$.
અહીં પરિમાણો છે: $[F] = MLT^{-2}$,$[q] = C$,અને $[v] = LT^{-1}$.
$B$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{MLT^{-2}}{C \cdot LT^{-1}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $[B] = M \cdot L^1 L^{-1} \cdot T^{-2} T^1 \cdot C^{-1} = MT^{-1}C^{-1}$.

(B) વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-12 - 1) - \hat{j}(-9 - 1) + \hat{k}(3 - 4)$
$= -13\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકો:
$\overrightarrow{F} = q[(3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + (-13\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k})]$
$\overrightarrow{F} = q[(3 - 13)\hat{i} + (1 + 10)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k}]$
$\overrightarrow{F} = q[-10\hat{i} + 11\hat{j} + \hat{k}]$.
બળનો $y$-ઘટક એ $\hat{j}$ નો સહગુણક છે,જે $11q$ છે.

(D) વર્ણવેલ ઘટના એ હોલ ઇફેક્ટ (Hall effect) છે. ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ (હોલ ફિલ્ડ) $E = R_H J B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_H$ એ હોલ અચળાંક છે.
હોલ અચળાંક $R_H = \frac{1}{ne}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં $n$ એ ચાર્જ કેરિયરની ઘનતા (એકમ કદ દીઠ કેરિયર્સની સંખ્યા) છે અને $e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર છે.
$n$ નો એકમ $m^{-3}$ છે અને $e$ નો એકમ $C$ (કુલંબ) છે.
તેથી,સમપ્રમાણતા અચળાંક $R_H$ નો એકમ $\frac{1}{m^{-3} \cdot C} = \frac{m^3}{C}$ થાય છે.

(D) લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,વીજભાર $q$ પર લાગતું કુલ બળ $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$ છે.
કારણ કે વીજભાર કોઈ બળ અનુભવતો નથી,$\vec F = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec E + \vec v \times \vec B = 0$,અથવા $\vec E = -(\vec v \times \vec B)$.
આપેલ છે કે $\vec v = v_0(3\hat i - \hat j + 2\hat k)$ અને $\vec B = B_0(\hat i + 2\hat j - 4\hat k)$,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec v \times \vec B$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec v \times \vec B = v_0 B_0 \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
$= v_0 B_0 [\hat i((-1)(-4) - (2)(2)) - \hat j((3)(-4) - (2)(1)) + \hat k((3)(2) - (-1)(1))]$
$= v_0 B_0 [\hat i(4 - 4) - \hat j(-12 - 2) + \hat k(6 + 1)]$
$= v_0 B_0 [0\hat i + 14\hat j + 7\hat k] = v_0 B_0(14\hat j + 7\hat k)$.
તેથી,$\vec E = -(\vec v \times \vec B) = -v_0 B_0(14\hat j + 7\hat k)$.

(B) વીજભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ચુંબકીય બળ વેગને લંબ હોય છે: $W_B = \int q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{r} = \int q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} dt = 0$.
તેથી,કુલ કાર્ય ફક્ત વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે થાય છે: $W = \int \vec{F}_E \cdot d\vec{r} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{S} = (1 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
$W = q(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = q(2(1) + 3(1)) = 5q$.
કુલ કાર્યનું મૂલ્ય $5q$ છે.

(D) વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રોમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(E + v \times B)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ચુંબકીય બળ $(F_m = q(v \times B))$ દ્વારા થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ચુંબકીય બળ હંમેશા કણના વેગ $(v)$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ જ વિદ્યુતભાર પર કાર્ય કરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F_e \cdot d = (qE) \cdot d$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્થાનાંતર છે.
કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોવાથી,આપણી પાસે $qEd = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
આના પરથી,$v^2 = \frac{2qEd}{m}$,જે સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{E}$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ કણની ઝડપમાં થતા ફેરફારમાં ફાળો આપતું નથી.
કારણ કે ઝડપ $v$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ થી સ્વતંત્ર છે,આપણે $v \propto B^0$ લખી શકીએ (જ્યાં $B^0 = 1$).
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો સંબંધ છે.

(B) વિદ્યુતભારિત કણ પ્રવેગિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\vec{F}_{net} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ,$\vec{v} \times \vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{E}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ હોવું જોઈએ અને $\vec{E}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$,તેનું મૂલ્ય $E = vB \sin \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આમ,$\vec{v}$ એ $\vec{E}$ ને લંબ હોવું એ એક આવશ્યક શરત છે.

(N/A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વેગ સદિશ $v$ એ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે,એટલે કે $v = v\hat{i}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે,એટલે કે $B = B\hat{j}$.
સદિશ ગુણાકાર $v \times B$ એ $(\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{k}$ થાય,જે ધન $z$-અક્ષની દિશામાં છે.
$(a)$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે. તેથી,બળ $F = -e(vB\hat{k}) = -evB\hat{k}$ થાય. આ બળ ઋણ $z$-અક્ષની દિશામાં છે.
$(b)$ પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = +e$ છે. તેથી,બળ $F = +e(vB\hat{k}) = +evB\hat{k}$ થાય. આ બળ ધન $z$-અક્ષની દિશામાં છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળ $F$ નું મૂલ્ય લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = B q v \sin \theta$
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$B = \frac{F}{q v \sin \theta}$
વ્યાખ્યા: જ્યારે $1 \ C$ નો એકમ વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે $1 \ m/s$ ની ઝડપથી ગતિ કરતો હોય અને તેના પર $1 \ N$ જેટલું બળ લાગતું હોય,ત્યારે તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $1$ $SI$ એકમ કહેવાય છે.
$SI$ એકમની તારવણી:
$B$ નો એકમ $= \frac{F \text{ નો એકમ}}{q \text{ નો એકમ} \times v \text{ નો એકમ}}$
$= \frac{1 \ N}{1 \ C \times 1 \ m/s} = 1 \ N \cdot C^{-1} \cdot s \cdot m^{-1}$
કારણ કે $1 \ C/s = 1 \ A$,તેથી એકમ નીચે મુજબ થાય:
$= 1 \ N \cdot A^{-1} \cdot m^{-1}$
આ એકમને ટેસ્લા $(T)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરતો હોય જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને હાજર હોય, ત્યારે તેના પર લાગતા કુલ બળને લોરેન્ટ્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ:
$\overrightarrow{F}_{e} = q \overrightarrow{E}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ:
$\overrightarrow{F}_{m} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$
તેથી, બંને ક્ષેત્રોને કારણે વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું કુલ બળ:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_{e} + \overrightarrow{F}_{m} = q \overrightarrow{E} + q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$
$\therefore \overrightarrow{F} = q[\overrightarrow{E} + (\vec{v} \times \overrightarrow{B})]$
આ બળને લોરેન્ટ્ઝ બળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ભૌતિક પરિસ્થિતિ	$B$ નું મૂલ્ય (ટેસ્લામાં)
ન્યુટ્રોન તારાની સપાટી	$10^{8}$
પ્રયોગશાળામાં મોટું ક્ષેત્ર	$1$
નાના ગજિયા ચુંબકની નજીક	$10^{-2}$
પૃથ્વીની સપાટી પર	$10^{-5}$
માનવ ચેતાતંતુ	$10^{-10}$
આંતરતારકીય અવકાશ	$10^{-12}$

(N/A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર (ચુંબકીય ઘટક) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = q(v \times B)$
જ્યાં:
$F$ એ ચુંબકીય બળ સદિશ છે.
$q$ એ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
$v$ એ વિદ્યુતભારનો વેગ સદિશ છે.
$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ છે.
આ બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(N/A) જો $1\, C$ નો વિદ્યુતભાર $1\, m/s$ ના વેગથી ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતો હોય અને તેના પર $1\, N$ નું ચુંબકીય બળ લાગતું હોય,તો તે ચુંબકીય ક્ષેત્રને $1\, T$ કહેવામાં આવે છે.
આ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર પરથી મેળવવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,$F = qvB \sin(\theta)$.
અહીં $F = 1\, N$,$q = 1\, C$,$v = 1\, m/s$,અને $\theta = 90^\circ$ (જ્યાં $\sin(90^\circ) = 1$) લેતા:
$1 = 1 \times 1 \times B \times 1$
$B = 1\, T$.

(N/A) લોરેન્ટ્ઝ બળ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બંનેની હાજરીમાં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું કુલ બળ છે.
તેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$
જ્યાં:
- $\vec{F}$ એ લોરેન્ટ્ઝ બળ છે.
- $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
- $\vec{E}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ છે.
- $\vec{v}$ એ વિદ્યુતભારનો વેગ સદિશ છે.
- $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ છે.
- $\times$ એ સદિશ ક્રોસ ગુણાકાર દર્શાવે છે.

(N/A) લોરેન્ટ્ઝ બળ એ વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ છે જે એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને હાજર હોય.
તે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળના સદિશ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = F_e + F_m$
$F = qE + q(v \times B)$
$F = q(E + v \times B)$
જ્યાં:
$q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે,
$E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ છે,
$v$ એ કણનો વેગ સદિશ છે,
$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ છે,
અને $\times$ એ સદિશ ક્રોસ ગુણાકાર દર્શાવે છે.

(C) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $\vec{v}$ વેગ સાથે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ધરાવતા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ અનુભવે છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને લંબ હોય અને કણના વેગને પણ લંબ હોય,તો વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q\vec{E}$ અને ચુંબકીય બળ $\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B})$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જો આ બળોના મૂલ્યો સમાન હોય,એટલે કે $qE = qvB$,તો કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,જો કણનો પ્રારંભિક વેગ $v = E/B$ હોય,તો કણ કોઈપણ વિચલન વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.

(N/A) ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે વિદ્યુતભારિત કણનો વેગ $\vec{v}$ એ જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધાર રાખે છે,તેથી કણ દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ પણ સંદર્ભ ફ્રેમ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,કુલ બળ (લોરેન્ટ્ઝ બળ) $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે. જ્યારે આપણે સંદર્ભ ફ્રેમ બદલીએ છીએ,ત્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે કે જેથી કુલ બળ $\vec{F}$ તે ફ્રેમમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો સાથે સુસંગત રહે.
ચોખ્ખા પ્રવેગના સંદર્ભમાં,ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{a} = \vec{F}/m$. કારણ કે બળ $\vec{F}$ એ ફ્રેમ પર આધારિત છે,તેથી પ્રવેગ $\vec{a}$ ખરેખર અલગ-અલગ જડત્વીય ફ્રેમમાં અલગ હોઈ શકે છે. આ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત છે,જ્યાં સુધી ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમો (જેમ કે મેક્સવેલના સમીકરણો) આ ફ્રેમ્સમાં અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$.
આપેલ છે: $q = 1\,\mu C = 10^{-6}\, C$,$\overrightarrow{V} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})\, ms^{-1}$,અને $\overrightarrow{B} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}) \times 10^{-3}\, T$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 3 & -6 \end{vmatrix} \times 10^{-3}$
$= [\hat{i}(-18 - 12) - \hat{j}(-12 - 20) + \hat{k}(6 - 15)] \times 10^{-3}$
$= (-30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}) \times 10^{-3}$.
હવે,બળ $\overrightarrow{F}_{total} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{F}_{total} = 10^{-6} \times (-30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}) \times 10^{-3}$
$= (-30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}) \times 10^{-9}\, N$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\overrightarrow{F} \times 10^{-9}\, N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\overrightarrow{F} = -30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}$ મળે છે.

(A) લોરેન્ટ્ઝ બળનું સૂત્ર $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ છે.
આપેલ છે: $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m = 1.6 \times 10^{-27} \; kg$,$\overrightarrow{V} = 2 \hat{i} \; m/s$,$\overrightarrow{E} = 10 \times 10^{-6} \hat{i} \; V/m$,$\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times 10^{-6} \; T$.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = (2 \hat{i}) \times (\hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times 10^{-6} = (6 \hat{k} - 8 \hat{j}) \times 10^{-6} \; V/m$.
હવે,$\overrightarrow{F} = q [10 \hat{i} \times 10^{-6} + (6 \hat{k} - 8 \hat{j}) \times 10^{-6}] = q \times 10^{-6} [10 \hat{i} - 8 \hat{j} + 6 \hat{k}] \; N$.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6} [10 \hat{i} - 8 \hat{j} + 6 \hat{k}]}{1.6 \times 10^{-27}} = 10^2 [10 \hat{i} - 8 \hat{j} + 6 \hat{k}] = [1000 \hat{i} - 800 \hat{j} + 600 \hat{k}] \; m/s^2$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \sqrt{1000^2 + (-800)^2 + 600^2} = \sqrt{2000000} \approx 1414 \; m/s^2$. વિકલ્પો મુજબ,$1400$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) લોરેન્ટ્ઝ બળના સમીકરણ મુજબ: $\overrightarrow{F} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$.
અહીં $q = 1$ હોવાથી,$\overrightarrow{F} = \vec{v} \times \overrightarrow{B}$ થાય.
ધારો કે $\overrightarrow{B} = B \hat{i} + B \hat{j} + B_0 \hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ B & B & B_0 \end{vmatrix} = \hat{i}(4B_0 - 6B) - \hat{j}(2B_0 - 6B) + \hat{k}(2B - 4B) = 4 \hat{i} - 20 \hat{j} + 12 \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $4B_0 - 6B = 4$
$2$) $-(2B_0 - 6B) = -20 \implies 2B_0 - 6B = 20$
$3$) $2B - 4B = 12 \implies -2B = 12 \implies B = -6$.
$B = -6$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2B_0 - 6(-6) = 20 \implies 2B_0 + 36 = 20 \implies 2B_0 = -16 \implies B_0 = -8$.
આમ,$\overrightarrow{B} = -6 \hat{i} - 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ મળે છે.

(C) સંયુક્ત વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $F = q(E + v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નીચેની તરફ નિર્દેશિત છે. જમણી તરફ ગતિ કરતા ધન વીજભારિત કણ માટે,વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમતલની બહારની તરફ છે. ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ જમણી તરફ છે અને $B$ સમતલની બહાર છે,ચુંબકીય બળ $F_m$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ધન વીજભારિત કણ માટે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ બંને એક જ નીચેની દિશામાં લાગતા હોવાથી,તે નીચેની તરફ વિચલિત થશે અને $P$ છિદ્રમાંથી પસાર થશે નહીં.
ઋણ વીજભારિત કણ માટે,વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે ચુંબકીય બળ $F_m = q(v \times B)$ પણ ઉપરની તરફ લાગે છે. આમ,તે ઉપરની તરફ વિચલિત થશે અને $P$ છિદ્રમાંથી પસાર થશે નહીં.
તટસ્થ કણો પર વિદ્યુત કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કોઈ બળ લાગતું નથી $(F = 0)$ અને તેઓ સીધી રેખામાં ગતિ કરીને $P$ છિદ્રમાંથી પસાર થશે.
તેથી,માત્ર તટસ્થ કણો જ $P$ માંથી પસાર થશે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની હાજરીમાં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારીત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ઉપરની દિશામાં છે. ધન વિદ્યુતભારીત કણ માટે,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ પણ ઉપરની દિશામાં લાગે છે કારણ કે વેગ $\vec{v}$ સમક્ષિતિજ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની અંદરની તરફ (અથવા એવા ખૂણે છે કે જેથી સદિશ ગુણાકારનું પરિણામી બળ ઉપરની તરફ મળે) છે.
આમ,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ બંને એક જ ઉપરની દિશામાં લાગતા હોવાથી,કણ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય નથી અને તે ઉપરની તરફ લાગે છે.
તેથી,વિદ્યુતભારીત કણો તેમના મૂળ માર્ગથી વિચલિત થશે અને મૂળ માર્ગ પર આવેલા છિદ્રમાંથી પસાર થઈ શકશે નહીં.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
તેથી,સાચી રજૂઆત $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ અને $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.

(B) $(1)$ માટે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = qE + q(v \times B)$. પરિમાણો સુસંગત રહે તે માટે, $E$ અને $vB$ ના એકમો સમાન હોવા જોઈએ। તેથી, $E = vB$. વેગ $v$ નું પરિમાણ $[L][T]^{-1}$ હોવાથી, $[E] = [L][T]^{-1}[B]$ મળે છે. આ વિકલ્પ $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(2)$ માટે: શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ અને પરમીબિલિટી $\mu_0$ સાથે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$. $c$ નું પરિમાણ $[L][T]^{-1}$ હોવાથી, $c^2$ નું પરિમાણ $[L]^2[T]^{-2}$ થાય છે. તેથી, $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1} ([L]^2[T]^{-2})^{-1} = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$. આ વિકલ્પ $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ એ વેગ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,તે હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે.
બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\vec{F} \perp \vec{v}$ છે,તેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ થાય છે.
આમ,ચુંબકીય બળ દ્વારા વિદ્યુતભારિત કણ પર થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેની હાજરીમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળને લોરેન્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું બળ $\overrightarrow{F}_{e} = q\overrightarrow{E}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે લાગતું બળ $\overrightarrow{F}_{m} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ $\overrightarrow{F}$ એ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_{e} + \overrightarrow{F}_{m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર $q$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બંનેની હાજરીમાં ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેના પર લાગતા કુલ બળને લોરેન્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યુત બળનું સૂત્ર $\vec{F}_e = q\vec{E}$ છે.
ચુંબકીય બળનું સૂત્ર $\vec{F}_m = q(\vec{V} \times \vec{B})$ છે.
તેથી,કુલ લોરેન્ઝ બળ એ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = q\vec{E} + q(\vec{V} \times \vec{B})$.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર '$q$' એ વેગ '$\overrightarrow{v}$' સાથે એવા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર '$\overrightarrow{E}$' અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$\overrightarrow{B}$' બંને હાજર હોય,ત્યારે તે બે બળો અનુભવે છે:
$1$. વિદ્યુત બળ: $\overrightarrow{F}_e = q\overrightarrow{E}$
$2$. ચુંબકીય બળ (લોરેન્ટ્ઝ બળ): $\overrightarrow{F}_m = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ એ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે,જેને લોરેન્ટ્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_e + \overrightarrow{F}_m = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રોટોનનો વેગ $\vec{v} = 5 \times 10^6 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 4 \times 10^6 [2 \hat{i} + 0.2 \hat{j} + 0.1 \hat{k}] \text{ Vm}^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.2 [\hat{i} + 0.2 \hat{j} + \hat{k}] \text{ T}$,પ્રોટોનનો વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
લોરેન્ઝ બળ મુજબ કુલ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
પ્રથમ,$\vec{v} \times \vec{B} = (5 \times 10^6 \hat{j}) \times (0.2 \hat{i} + 0.04 \hat{j} + 0.2 \hat{k}) = 10^6 [\hat{j} \times \hat{i} + 0.2 \hat{j} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{k}] = 10^6 [-\hat{k} + \hat{i}] = 10^6 [\hat{i} - \hat{k}]$.
હવે,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 10^6 [8 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + 0.4 \hat{k} + \hat{i} - \hat{k}] = 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
$\vec{F} = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}] = 1.6 \times 10^{-13} [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
મૂલ્ય $F = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{9^2 + 0.8^2 + (-0.6)^2} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{81 + 0.64 + 0.36} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{82} \approx 14.48 \times 10^{-13} \text{ N}$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકનો જવાબ $20 \times 10^{-13} \text{ N}$ છે.

(C) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $F$ એ હંમેશા $v$ અને $B$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F$ એ વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ બંનેને લંબ હોય છે.

(C) લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે $q = -e = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
પ્રથમ,$\vec{v} \times \vec{B}$ શોધો: $\vec{v} \times \vec{B} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \times (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
હવે,$\vec{F} = -e [ (3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + (6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}) ] = -e (9 \hat{i} + 6 \hat{k})$.
આમ,બળનું મૂલ્ય અને દિશા આપેલ વિકલ્પ $C$ મુજબ મળે છે.

(C) લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$
આપેલ છે: $q = 2 \ C$,$\overrightarrow{V} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ ms^{-1}$,$\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,$\overrightarrow{E} = (-2 \hat{k}) \ NC^{-1}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ શોધો:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 4) = 12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
હવે,લોરેન્ઝ બળના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = 2[(-2 \hat{k}) + (12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k})]$
$\overrightarrow{F} = 2[12 \hat{i} - 9 \hat{j}] = 24 \hat{i} - 18 \hat{j}$.
બળનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(24)^2 + (-18)^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \ N$.

(D) વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું લોરેન્ટ્ઝ બળ $F = q(E + v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી $F = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $E + (v \times B) = 0$,અથવા $E = -(v \times B) = B \times v$.
જેহেতু $E$ એ $v$ અને $B$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) જેટલું છે,તેથી $E$ એ $v$ અને $B$ બંનેને લંબ હોવું જોઈએ.
તેથી,$E \cdot v = 0$ અને $E \cdot B = 0$. આમ,વિકલ્પો $(a)$ અને $(b)$ સાચા છે.
જો $v \cdot B = 0$ હોય,તો $v$ એ $B$ ને લંબ છે. $E = -(v \times B)$ આપેલ હોવાથી,આપણે $B$ સાથે સદિશ ગુણાકાર કરી શકીએ:
$E \times B = -(v \times B) \times B = -[(v \cdot B)B - (B \cdot B)v]$.
જેহেতু $v \cdot B = 0$,આ સમીકરણ $E \times B = (B \cdot B)v$ માં પરિણમે છે,જે આપે છે $v = \frac{E \times B}{B \cdot B}$. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
અંતે,$v \times E = v \times (-(v \times B)) = -(v \times (v \times B)) = -[(v \cdot B)v - (v \cdot v)B]$.
આ સામાન્ય રીતે $B$ ની બરાબર નથી. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો નથી.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \times 10^{-26} \,kg$, વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, વેગ $\vec{v} = 1.28 \times 10^6 \hat{i} \,ms^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -102.4 \times 10^3 \hat{k} \,NC^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 8 \times 10^{-2} \hat{j} \,Wbm^{-2}$.
કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
ચુંબકીય બળની ગણતરી કરતા: $\vec{v} \times \vec{B} = (1.28 \times 10^6 \hat{i}) \times (8 \times 10^{-2} \hat{j}) = (1.28 \times 8 \times 10^4) (\hat{i} \times \hat{j}) = 10.24 \times 10^4 \hat{k} = 1.024 \times 10^5 \hat{k} \,Vm^{-1}$.
અહીં $102.4 \times 10^3 = 1.024 \times 10^5$ હોવાથી, $\vec{E} = -1.024 \times 10^5 \hat{k} \,NC^{-1}$ મળે છે.
તેથી, $\vec{F} = q(-1.024 \times 10^5 \hat{k} + 1.024 \times 10^5 \hat{k}) = 0$.
કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવાથી, કણ વિચલિત થયા વગર ધન $X$-અક્ષની દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખશે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\vec{E} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k} \text{ V m}^{-1}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ T}$,$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m s}^{-1}$,અને $q = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
પ્રથમ,ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ હોવાથી,સદિશો સમાંતર છે $(\vec{v} \parallel \vec{B})$.
તેથી,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_m = 0$.
હવે,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{F}_e = (-1.6 \times 10^{-19}) (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}) = -4.8 \times 10^{-19}\hat{i} - 9.6 \times 10^{-19}\hat{j} - 3.2 \times 10^{-19}\hat{k} \text{ N}$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = |\vec{F}_e| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{9 + 36 + 4} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{49} = 1.6 \times 10^{-19} \times 7 = 1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$.
આમ,$1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
કણ સમાન વેગથી ગતિ કરે તે માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\vec{F} = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $E=0$ અને $B=0$ હોય,તો કણ સમાન વેગથી ગતિ કરે છે (ન્યૂટનનો પ્રથમ નિયમ).
કિસ્સો $2$: જો $E=0$ અને $B \neq 0$ હોય,તો જો કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર ગતિ કરે તો તે સમાન વેગથી ગતિ કરે છે $(\vec{v} \times \vec{B} = 0)$.
કિસ્સો $3$: જો $E \neq 0$ અને $B \neq 0$ હોય,તો જો વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ એકબીજાને નાબૂદ કરે તો કણ સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$. મૂલ્યોની દ્રષ્ટિએ,આનો અર્થ $E = vB$ થાય છે (જ્યાં $\vec{v} \perp \vec{B}$ અને $\vec{E} \perp \vec{v}$).
આમ,$E=vB$ ની શરત સમાન વેગ માટે એક માન્ય શક્યતા છે.

(C) લોરેન્ટ્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
આપેલ છે: $q = 10^{-9} \text{ C}$,$\vec{E} = 0.4 \hat{i} \text{ N/C}$,$\vec{B} = 4 \times 10^{-3} \hat{k} \text{ T}$,અને $\vec{F} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \times 10^{-10} \text{ N}$.
ધારો કે વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
તેથી $\vec{v} \times \vec{B} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (4 \times 10^{-3} \hat{k}) = -4 \times 10^{-3} v_x \hat{j} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i}$.
બળના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \times 10^{-10} = 10^{-9} (0.4 \hat{i} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i} - 4 \times 10^{-3} v_x \hat{j})$.
બંને બાજુ $10^{-9}$ વડે ભાગતા: $(0.4 \hat{i} + 0.2 \hat{j}) = 0.4 \hat{i} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i} - 4 \times 10^{-3} v_x \hat{j}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x$-ઘટક: $0.4 = 0.4 + 4 \times 10^{-3} v_y \implies v_y = 0$.
$y$-ઘટક: $0.2 = -4 \times 10^{-3} v_x \implies v_x = -50 \text{ m/s}$.
આમ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $C$ છે.